銳角三角函數(shù)培優(yōu)題目

銳角三角函數(shù)培優(yōu)題目 三角函數(shù)揭示了直角三角形中邊與銳角之間的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的橋梁之一，有以下豐富的性質(zhì)： 1單調(diào)性； 2互余三角函數(shù)間的關(guān)系； 3同角三角函數(shù)間的關(guān)系 平方關(guān)系：sin2+cos2=1； 商數(shù)關(guān)系：tg=，ctg=； 倒數(shù)關(guān)系：tgctg=1 【例題求解】【例1】 已知在ABC中，A、B是銳角，且sinA，tanB=2，AB=29cm，則SABC = 思路點撥 過C作CDAB于D，這樣由三角函數(shù)定義得到線段的比，sinA=，tanB=，設(shè)CD=5m，AC13m，CD2n，BDn，解題的關(guān)鍵是求出m、n的值注：設(shè)ABC中，a、b、c為A、B、C的對邊，R為ABC外接圓的半徑，不難證明：與銳角三角函數(shù)相關(guān)的幾個重要結(jié)論： (1) SABC=； （2）【例2】 在ABC中ACB90，ABC15，BC=1，則AC=( ) A B C0.3 D思路點撥 由15構(gòu)造特殊角，用特殊角的三角函數(shù)促使邊角轉(zhuǎn)化注：（1）求(已知)非特角三角函數(shù)值的關(guān)是構(gòu)造出含特殊角直角三角形 （2）求(已知)銳角角函數(shù)值常根據(jù)定轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)線段比，有時需通過等的比來轉(zhuǎn)換【例3】 如圖，已知ABC是等腰直角三角形，ACB90，過BC的中點D作DEAB于E，連結(jié)CE，求sinACE的值思路點撥 作垂線把ACE變成直角三角形的一個銳角，將問題轉(zhuǎn)化成求線段的比【例4】 如圖，在ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cosDAC， (1)求證：ACBD； (2)若sinC=，BC=12，求AD的長思路點撥 (1)把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線段的比，利用比例線段證明；(2) sinC=，引入?yún)?shù)可設(shè)AD=12，AC13【例5】 已知：在RtABC中，C=90，sinA、sinB是方程的兩個根 (1)求實數(shù)、應(yīng)滿足的條件； (2)若、滿足(1)的條件，方程的兩個根是否等于RtABC中兩銳角A、B的正弦?思路點撥 由韋達(dá)定理、三角函數(shù)關(guān)系建立、等式，注意判別式、三角函數(shù)值的有界性，建立嚴(yán)密約束條件的不等式，才能準(zhǔn)確求出實數(shù)、應(yīng)滿足的條件學(xué)歷訓(xùn)練A組1已知為銳角，下列結(jié)論sin+cos=l；如果>45，那么sin>cos；如果cos> ，那么<60； 正確的有 2如圖，在菱形ABCD中，AEBC于E，BC=1，cosB，則這個菱形的面積為 3如圖，C=90，DBC=30，ABBD，利用此圖可求得tan75= 4化簡: (1)= (2)sin2l+sin22+sin288+sin289= 5身高相等的三名同學(xué)甲、乙、丙參加風(fēng)箏比賽三人放出風(fēng)箏線長、線與地面夾角如下表(假設(shè)風(fēng)箏線是拉直的)，則三人所放的風(fēng)箏中( ) A甲的最高 B丙的最高 C乙的最低 D丙的最低6已知 sincos=，且0<<45則co-sin的值為( ) A B C D7在ABC中，C90，ABC30，D是AC的中點，則ctgDBC的值是( ) A B C D 8在等腰RtABC中C90，AC6，D是AC上一點，若tanDBA=，則AD的長為( ) A B2 C 1 D9已知關(guān)于的方程的兩根恰是某直角三角形兩銳角的正弦，求m的值10D是ABC的邊AC上的一點，CD=2AD，AEBC于E，若BD8，sinCBD=，求AE的長 B組11若0<<45，且sincon=，則sin= 12已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，為銳角，那么的取值范圍是 13已知是ABC的三邊，a、b、c滿足等式，且有，則sinA+sinB+sinC的值為 14設(shè)為銳角，且滿足sin=3cos，則sincos等于( ) A B C D 15如圖，若兩條寬度為1的帶子相交成30的角，則重疊部分(圖中陰影部分)的面積是( )A2 B C1 D 16如圖，在ABC中，A30，tanB=，AC=，則AB的長是( ) A B C5 D17己在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊，且c=，若關(guān)于的方程有兩個相等的實根，又方程的兩實根的平方和為6，求ABC的面積18如圖，已知AB=CD=1，ABC90，CBD=30，求AC的長19設(shè) a、b、c是直角三角形的三邊，c為斜邊，n為正整數(shù)，試判斷與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論20如圖，已知邊長為2的正三角形ABC沿直線滾動(1)當(dāng)ABC滾動一周到A lB1C1的位置，此時A點所運動的路程為 ，約為 (精確到0.1，=3.14) (2)設(shè)ABC滾動240，C點的位置為C，ABC滾動480時，A點的位置在A，請你利用三角函數(shù)中正切的兩角和公式tan(+)=(tan+tan)(1-tantan)，求出CAC+CAA的度數(shù)