離散數(shù)學(xué)(屈婉玲版)第四章部分答案

4.1 （1）設(shè)S=1，2，R是S上的二元關(guān)系，且xRy。如果R=Is，則（A）；如果R是數(shù)的小于等于關(guān)系，則（B），如果R=Es，則（C）。（2）設(shè)有序?qū)?lt;x+2,4>與有序?qū)?lt;5,2x+y>相等，則 x=(D),y=(E).供選擇的答案A、B、C： x,y可任意選擇1或2； x=1,y=1； x=1,y=1 或 2；x=y=2； x=2,y=2； x=y=1或 x=y=2； x=1,y=2；x=2,y=1。 D、E： 3； 2；-2。答案： A: B: C: D: E: 4.2設(shè)S=<1,2,3,4>,R為S上的關(guān)系，其關(guān)系矩陣是 則（1）R的關(guān)系表達(dá)式是（A）。 （2）domR=(B),ranR=(C). （3）RR中有（D）個有序?qū)Α?（4）R1的關(guān)系圖中有（E）個環(huán)。 供選擇的答案 A :<1,1>,<1,2>,<1,4>,<4,1>,<4,3>； <1,1>,<1,4>,<2,1>,<4,1>,<3,4>；B、C：1，2，3，4；1，2，4；1，41，3，4。D、E1；3；6；7。答案： A:B:C:D:E:4.3設(shè)R是由方程x+3y=12定義的正整數(shù)集Z+上的關(guān)系，即 x,yx,yZ+x+3y=12,則 （1）R中有A個有序?qū)Α?（2）dom=B。 (3)R2,3,4,6=D。 (4)3在R下的像是D。 （5）R。R的集合表達(dá)式是E。供選擇的答案A:2;3;4.B、C、D、E:3，3；3，3，6，2；0，3，6，9，12；3，6，9；3；3。答案：A：。分別是：3，36，29，1 B：。 C：。D：。E: 。4.4 設(shè)S=1,2,3,圖4-13給出了S上的5個關(guān)系，則它們只具有以下性質(zhì)：R1是A, R2是B, R3是C, R4是D, R5是E。供選擇的答案A,B,C,D,E:自反的，對稱的，傳遞的；反自反的，反對稱的；反自反的，反對稱的，傳遞的；自反的；反對稱的，傳遞的；什么性質(zhì)也沒有；對稱的；反對稱的；反自反的，對稱的；自反的，對稱的，反對稱的，傳遞的 A: B: C： D: E: 45 設(shè)Z+=x|xZx>0,1, 2, 3是Z的3個劃分。 1=x|xZ, 2=S1,S2,S為素數(shù)集，S2=Z-S1, 3=Z+, 則 （1）3個劃分中分塊最多的是A,最少的是B. (2)劃分1對應(yīng)的是Z+上的C, 2對應(yīng)的是Z+上的D, 3對應(yīng)的是Z+上的E 供選擇的答案A,B:1;2;3.C,D,E:整除關(guān)系；全域關(guān)系；包含關(guān)系；小于等于關(guān)系；恒等關(guān)系；含有兩個等價類的等價關(guān)系；以上關(guān)系都不是。 答案 A B C D E 4.6 設(shè)S=1，2，,10,是S上的整除關(guān)系,則<S,>的哈斯圖是(A),其中最大元是(B),最小元是(C),最小上界是(D),最大下界是(E).供選擇的答案A: 一棵樹; 一條鏈; 以上都不對.B、C、D、E: ； 1； 10； 6，7，8，9，10； 6； 0； 不存在。答案： A: (樹中無環(huán),所以答案不是)B: C: D: E: 4.7設(shè):NN,N為自然數(shù)集，且則（0）=，.供選擇的答案A、B、C、D、E：無意義；1；1；0；0；N；1，3，5，；，1； 2，4，6，.解：（0）=0，A=；=0，B=；=1，C=；無意義；=N，E=.4.8 設(shè)R、Z、N分別表示實數(shù)、整數(shù)和自然數(shù)集，下面定義函數(shù)f1、f2、f3、f4。試確定它們的性質(zhì)。f1: RR，f(x)=2x,f2: ZN，f(x)=|x|.f3: NN，f(x)=(x)mod3,x除以3的余數(shù)，f4: NNN，f(n)=<n,n+1>。則f1是A，f2是B，f3是C，f4是D，f4（5）=E。供選擇的答案A、B、C、D：、滿射不單射；、單射不滿射；、雙射；、不單射也不滿射；、以上性質(zhì)都不對。E：、6；、5；、<5,6>、<5,6>、以上答案都不對。解：f1是、單射不滿射；f2是、滿射不單射；f3是、不單射也不滿射；f4是、單射不滿射；f4（5）=、<5,6>。4.9 設(shè)f :RR，f(x)= x ， x3, -2 , x<3; g:RR，g(x)=x+2, 則 fg(x)=A,gf(x)=B, gf: RR是 C,f-1是 D,g-1是E. 供選答案:AB: (x+2) , x3, x+2 ， x3, -2 , x<3; -2 , x<3; (x+2) , x1, x+2 ， x3, -2 , x<1; 0 , x<3; C: 單射不滿射； 滿射不單射； 不單射也不滿射； 雙射。D、E： 不是反函數(shù); 是反函數(shù)。 解：A= B= C= D= E= 4.10 （1）設(shè)S=a,b,c,則集合T=a,b的特征函數(shù)是（A），屬于 （S上S）的函數(shù)是（B）。 （2）在S上定義等價關(guān)系R=Is< a,b >,< b, a>,那么該等價關(guān)系對應(yīng)的劃分中有(C)個劃分.作自然映射g:SS/R,那么g的表達(dá)式是(D). g(b)=(E).供選擇的答案A、B、D： <a,a>,<b,b>,<c,c> <a,b> ; <a,1>,<b,1>,<c,0> <a,a>,<b,b>,<c,c> <a,a,b>,<b,a,b>,<c,c>.C: 1; 2; 3.E: a,b; b.答案： A: B: C: D: E: 4.11 設(shè)S=1，2，6，下面各式定義的R都是在S上的關(guān)系，分別列出R的元素。R = <x , y>|x, y s x | y. 解：由題意可知R是整除關(guān)系， 所以答案如下： R=<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,3>,<3,6> ,<4,4>,<5,5>,<6,6>. ( 2 ) R = < x , y > | x , y S x是y的倍數(shù). 解: 由題意可知： R=<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,3>,<4,1>,<4,2>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<6,1>,<6,2>,<6,3>,<6,6> . ( 3 ) R = < x, y> | x , y S ( x - y )= S . 解: 由題意可知：R=<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,3>,<2,4>,<3,1>,<3,2>,<3,4>,<3,5>,<4,2>,<4,3>,<4,5>,<4,6>,<5,3>,<5,4>,<5,6>,<6,4>,<6,5>. ( 4 ) R = < x , y > | x , y S x / y是素數(shù) 解：由題意可知：R=<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,3>,<4,2>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<6,1>,<6,2>,<6,3>,<6,6>.4.13 S=a，b，c，d，R1、R2為S上的關(guān)系， R1=<a，a>，<a，b>，<b，d> R2=<a，d>，<b，c>，<b，d>，<c，b> 求R1。R2、R2。R1、R12和R23. 解:設(shè)R1的關(guān)系矩陣為M1，R2的關(guān)系矩陣為M2， 則此題答案正確，只是寫法不對，應(yīng)改為：414R的關(guān)系圖如圖4-14所示，試給出r（R）、s（R）、t（R）的關(guān)系圖。 A B C D E 圖4-14解：r（R）： a b c d e s（R）： a b c d e t（R）： a b c d e4.16 畫出下列集合關(guān)于整除關(guān)系的哈斯圖。（1）1，2，3，4，6，8，12，24。（2）1，2，9 并指出它的極小元、最小元、極大元、最大元。解：（1） 24 8124623 1極小元、最小元：1極大元、最大元：24（2）8462 5 9 7 31 極小元、最小元：1 極大元：5，6，7，8，9 最大元：無4.19設(shè) f , g , hN , 且有 0 n為偶數(shù)f (n)=n+1 ， g(n)=2n ，h(n)=1 n為奇數(shù)求 fof , gof ,fog , hog , goh , 和 fogoh 。解 由題意可知所求的復(fù)合函數(shù)都是從N到N的函數(shù)，且滿足 fof(n)=f(f(n)= f(n+1)= (n+1)+1=n+2 gof(n)=g(f(n)= g(n+1)= 2(n+1)=2n+2fog(n)=f(g(n)= f(2n)=2n+1hog(n)=h(g(n)= h(2n)=0 goh(n)=g(h(n)= 0 n為偶數(shù) 2 n為奇數(shù)1 n為偶數(shù)fogoh=f(g(h(n)= 3 n為奇數(shù) 4.20 設(shè)f ： RRRR , f (<x,y>)=< x+y , x-y >, 求f 的反函數(shù)。 解：設(shè):則而 所以 解得 所以4.21設(shè)f,gNN,N為自然數(shù)集，且 x+1, x=0,1,2,3 x/2, x為偶數(shù)，f(x)= 0, x=4, g(x)= x, x5, 3， x為奇數(shù).求gf并討論它的性質(zhì)（是否為單射或滿射）。設(shè)A=0，1，2，求gf（A）。解：（1） （x+1）/2,x=1,3,gf(x)= 0, x=4, x/2, x為偶數(shù)且x6, 3, x=0,2及大于等于5的奇數(shù)。gf不是單射，因為gf（6）= gf（5）=3.gf是滿射，因為gf能取到自然數(shù)集的任何數(shù)。 （2）gf（0）=g（1）=3.gf（1）=g（2）=1.gf (2)=g(3)=3.所以gf（A）=3,14.22設(shè)A=0，1，2，B=0，1，求P（A）和BA構(gòu)造一個從P（A）到BA的雙射函數(shù)。解：(1)P（A）=F，0，1，2，0，1，0，2，1，2，0，1，2BA=f1,f2,f8其中 f1=<0,0>,<1,0>,<2,0>f2=<0,0>,<1,0>,<2,1>f3=<0,0>,<1,1><2,0>f4=<0,0>,<1,1>,<2,1>f5=<0.1>,<1,0>,<2,0>f6=<0,1>,<1,0>,<2,1>f7=<0,1>,<1,1>,<2,0>f8=<0,1>,<1,1>,<2,1>(2)設(shè)該雙射函數(shù)為FF=<F, f1>,<0, f2>,<1, f3>,<2, f4>,<0，1, f5>,<0，2, f6>,<1，2，f7>,<0，1，2, f8>做的不錯，只是題目抄錯了。正確答案是4.22設(shè)A=a，b，B=0，1，求P（A）和BA構(gòu)造一個從P（A）到BA的雙射函數(shù)。解：(1)P（A）=F，a，b，a，bBA=f1,f2,f4其中 f1=<a,0>,<b,0>f2=<a,0>,<b,1>f3=<a,1>,<b,0>f4=<a,1>,<b,1> (2)設(shè)該雙射函數(shù)為FF=<F, f1>,<a, f2>,<b, f3>,<a,b, f4>N/R1=x|xN , N/R2=所有的奇數(shù),所有的偶數(shù), N/R3=0,1,2(0=x|x=3kkN,1=x|x=3k+1kN,2=x|x=3k+2kN,)4.25對下列函數(shù)f、g及集合A、B，計算f g、f g（A）和f g(B)，并說明f g是否為單射或滿射(1) f : RR，f(x)=- g: NN, g(x)= A=2,4,6,8,10,B=0,1. (2) f : ZR，f(x)= g:ZZ, g(x)= A=N,B=2K|kN.解： （1）f g(x)f(g(x)= f()= =-x dom(f g)=N由于f(g(0)=0, f(g(1)=0 ,所以f g不是單射.顯然對實數(shù)2.5,不存在自然數(shù)x,使得f(g(x)=2.5,所以f g也不是滿射。f g（A）=2,12,30,56,90 f g（B）=0 (2) f g(x)= f(g(x)= dom(f g)=Z由于f(g(-1)=0, f(g(1)=e ,所以f g不是單射.顯然對實數(shù),不存在自然數(shù)x,使得f(g(x)= ,所以f g也不是滿射。f g（A）=| f g（B）=|