《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》習(xí)題及答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一部份習(xí)題第一章概率論基本概念一、 填空題1、設(shè)A，B，C為3事件，則這3事件中恰有2個事件發(fā)生可表示為 。2、設(shè)，且A與B互不相容，則 。3、口袋中有4只白球，2只紅球，從中隨機抽取3只，則取得2只白球，1只紅球的概率 為 。4、某人射擊的命中率為0.7，現(xiàn)獨立地重復(fù)射擊5次，則恰有2次命中的概率為 。5、某市有50%的住戶訂晚報，有60%的住戶訂日報，有80%的住戶訂這兩種報紙中的一種，則同時訂這兩種報紙的百分比為 。6、設(shè)A，B為兩事件，則 。7、同時拋擲3枚均勻硬幣，恰有1個正面的概率為 。8、設(shè)A，B為兩事件，則 。9、10個球中只有1個為紅球，不放回地取球，每次1個，則第5次才取得紅球的概率 為 。10、將一骰子獨立地拋擲2次，以X和Y分別表示先后擲出的點數(shù)， ，則 。11、設(shè)是兩事件，則的差事件為。12、設(shè)構(gòu)成一完備事件組，且則，。13、設(shè)與為互不相容的兩事件，則。14、設(shè)與為相互獨立的兩事件，且，則。15、設(shè)是兩事件，則。16、設(shè)是兩個相互獨立的事件，則。17、設(shè)是兩事件，如果，且，則。18、設(shè)，則。19、假設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%，30%，10%。從中隨機取一件，結(jié)果不是三等品，則為一等品的概率為20、將個球隨機地放入個盒子中，則至少有一個盒子空的概率為。二、選擇題1、設(shè)，則下列成立的是( ) A和B不相容 A和B獨立 2、設(shè)是三個兩兩不相容的事件，且，則 的最大值為 ( ) 1/2 1 1/3 1/43、設(shè)A和B為2個隨機事件，且有，則下列結(jié)論正確的是( ) 4、下列命題不成立的是 ( ) ( 5、設(shè)為兩個相互獨立的事件，則有（）06、設(shè)為兩個對立的事件，則不成立的是（）0017、設(shè)為事件，則有（） A和B不相容 A和B獨立A和B相互對立 8、設(shè)為兩個相互獨立的事件，則為（）9、設(shè)為兩事件，且，則當(dāng)下面條件（）成立時，有與獨立與互不相容與對立不包含10、設(shè)為兩事件，則表示（）必然事件不可能事件與恰有一個發(fā)生與不同時發(fā)生11、每次試驗失敗的概率為，則在3次重復(fù)試驗中至少成功一次的概率為（）12、10個球中有3個紅球7個綠球，隨機地分給10個小朋友，每人一球，則最后三個分到球的小朋友中恰有一個得到紅球的概率為（）13、設(shè)，則下列結(jié)論成立的是（） 與獨立與互不相容14、設(shè)為三事件，正確的是（） 15、擲2顆骰子，記點數(shù)之和為3的概率為，則為（） 1/2 1/4 1/18 1/3616、已知兩事件的概率都是1/2, 則下列結(jié)論成立的是（） 17、為相互獨立事件，則下列4對事件中不相互獨立的是（） 與與與與18、對于兩事件，與不等價的是（） 19、對于概率不為零且互不相容的兩事件，則下列結(jié)論正確的是（） 與互不相容與相容三、計算題1、某工廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品共有100個，其中有5個次品。從中取30個進行檢查，求次品數(shù)不多于1個的概率。2、某人有5把形狀近似的鑰匙，其中有2把可以打開房門，每次抽取1把試開房門，求第三次才打開房門的概率。3、某種燈泡使用1000小時以上的概率為0.2，求3個燈泡在使用1000小時以后至多有1個壞的概率。4、甲、乙、丙3臺機床加工同一種零件，零件由各機床加工的百分比分別為45%，35%，20%。各機床加工的優(yōu)質(zhì)品率依次為85%，90%，88%，將加工的零件混在一起，從中隨機抽取一件，求取得優(yōu)質(zhì)品的概率。若從中取1個進行檢查，發(fā)現(xiàn)是優(yōu)質(zhì)品，問是由哪臺機床加工的可能性最大。6、某人買了三種不同的獎券各一張，已知各種獎券中獎的概率分別為；并且各種獎券中獎是相互獨立的。如果只要有一種獎券中獎則此人一定賺錢，求此人賺錢的概率。7、教師在出考題時，平時練習(xí)過的題目占60%，學(xué)生答卷時，平時練習(xí)過的題目在考試時答對的概率為95%，平時沒有練習(xí)過的題目在考試時答對的概率為30%。求答對而平時沒有練習(xí)過的概率8、有兩張電影票，3人依次抽簽得票。求每個人抽到電影票的概率。9、有兩張電影票，3人依次抽簽得票，如果第1個人抽的結(jié)果尚未公開，由第2個人抽的結(jié)果去猜測第1個人抽的結(jié)果。問：如果第2個人抽到電影票，問第1個人抽到電影票的概率。10、一批產(chǎn)品的次品率為0.1，現(xiàn)任取3個產(chǎn)品，問3個產(chǎn)品中有幾個次品的概率的可能性最大。11、有5個除顏色外完全相同的球，其中三個白色，兩個紅色。從中任取兩個，（1）求這兩個球顏色相同的概率；（2）兩球中至少有一紅球的概率。12、設(shè)是兩個事件，用文字表示下列事件：。13、從1100這100個自然數(shù)中任取1個，求（1）取到奇數(shù)的概率；（2）取到的數(shù)能被3整除的概率；（3）取到的數(shù)能被6整除的偶數(shù)。14、對次品率為5%的某箱燈泡進行檢查，檢查時，從中任取一個，如果是次品，就認為這箱燈泡不合格而拒絕接受，如果是合格品就再取一個進行檢查，檢查過的產(chǎn)品不放回，如此進行五次。如果5個燈泡都是合格品，則認為這箱燈泡合格而接受，已知每箱燈泡有100個，求這箱燈泡被接受的概率。15、某人有5把形狀近似的鑰匙，其中只有1把能打開他辦公室的門，如果他一把一把地用鑰匙試著開門，試過的鑰匙放在一邊，求（1）他試了3次才能打開他辦公室的門的概率；（2）他試了5次才能打開他辦公室的門的概率16、10個塑料球中有3個黑色，7個白色，今從中任取2個，求已知其中一個是黑色的條件下，另一個也是黑色的概率。17、裝有10個白球，5個黑球的罐中丟失一球，但不知是什么顏色。為了猜測丟失的球是什么顏色，隨機地從罐中摸出兩個球，結(jié)果都是白色球，問丟失的球是黑色球的概率。18、設(shè)有三只外形完全相同的盒子，號盒中裝有14個黑球，6個白球；號盒中裝有5個黑球,25個白球；號盒中裝有8個黑球，42個白球?，F(xiàn)從三個盒子中任取一盒，再從中任取一球，求（1）取到的球為黑色球的概率；（2）如果取到的球為黑色球，求它是取自號盒的概率。19、三種型號的圓珠筆桿放在一起，其中型的有4支，型的有5支，型的有6支；這三種型號的圓珠筆帽也放在一起，其中型的有5個，型的有7個，型的有8個?，F(xiàn)在任意取一個筆桿和一個筆帽，求恰好能配套的概率。20、有兩張電影票，3人依次抽簽得票，如果第1個人抽的結(jié)果尚未公開，由第2個人抽的結(jié)果去猜測第1個人抽的結(jié)果。問：如果第2個人抽到電影票，問第1個人抽到電影票的概率。21、甲、乙、丙、丁4人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別為0.2 , 0.3 , 0.4 , 0.7, 求此密碼能譯出的概率是多少。22、袋中10個白球，5個黃球，10個紅球，從中取1個，已知不是白球，求是黃球的概率。23、設(shè)每次試驗事件發(fā)生的概率相同，已知3次試驗中至少出現(xiàn)一次的概率為19/27，求事件在一次試驗中出現(xiàn)的概率。24、甲、乙、丙3臺機床獨立工作，由1個人看管，某段時間甲、乙、丙3臺機床不需看管的概率分別為0.9，0.8，0.85，求在這段時間內(nèi)機床因無人看管而停工的概率。25、一批產(chǎn)品共有100件，對其進行檢查，整批產(chǎn)品不合格的條件是：在被檢查的4件產(chǎn)品中至少有1件廢品。如果在該批產(chǎn)品中有5%是廢品，問該批產(chǎn)品被拒收的概率是多少。26、將3個球隨機地放入4個杯子中，求杯子中球的個數(shù)的最大值為2的概率。27、甲、乙2班共有70名同學(xué)，其中女同學(xué)40名，設(shè)甲班有30名同學(xué)，而女同學(xué)15名，求碰到甲班同學(xué)時，正好碰到女同學(xué)的概率。28、一幢10層的樓房中的一架電梯，在底層登上7位乘客。電梯在每一層都停，乘客在第二層起離開電梯。假設(shè)每位乘客在哪一層離開是等可能的，求沒有2位及2位以上乘客在同一層離開的概率。29、某種動物由出生到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，問現(xiàn)在20歲的動物活到25歲的概率為多少？30、每門高射炮（每射一發(fā)）擊中目標(biāo)的概率為0.6，現(xiàn)有若干門高射炮同時發(fā)射（每炮射一發(fā)），欲以99%以上的概率擊中目標(biāo)，問至少需要配置幾門高射炮？31、電路由電池A與2個并聯(lián)的電池B和C串聯(lián)而成，設(shè)電池A，B，C損壞的概率分別為0.2 ，0.3，0.3，求電路發(fā)生間斷的概率。32、袋中10個白球，5個黃球，從中不放回地取3次，試求取出的球為同顏色的球的概率。33、假設(shè)目標(biāo)在射程之內(nèi)的概率為0.7，這時射擊的命中率為0.6，試求兩次獨立射擊至少有一次擊中的概率。34、假設(shè)某地區(qū)位于甲乙二河流的匯合處，當(dāng)任一河流泛濫時，該地區(qū)即遭受水災(zāi)。設(shè)某段時期內(nèi)甲河流泛濫的概率為0.1，乙河流泛濫的概率為0.2，當(dāng)甲河流泛濫時乙河流泛濫的概率為0.3，求（1）該時期內(nèi)這地區(qū)遭受水災(zāi)的概率；（2）當(dāng)乙河流泛濫時甲河流泛濫的概率。35、甲、乙、丙3人同向飛機射擊。擊中飛機的概率分別為0.4，0.5，0.7。如果有1人擊中，則飛機被擊落的概率為0.2，如果有2人擊中，則飛機被擊落的概率為0.6，如果有3人擊中，則飛機一定被擊落。求飛機被擊落的概率。36、一射手命中10環(huán)的概率為0.7，命中9環(huán)的概率為0.3，求該射手3發(fā)子彈得到不小于29環(huán)的概率。38、甲、乙2名乒乓球運動員進行單打比賽，如果每賽局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率0.4，比賽既可采用三局兩勝制，也可采用五局三勝制，問采用哪種比賽制度對甲更有利。39、有2500人參加人壽保險，每年初每人向保險公司交付保險費12元。若在一年內(nèi)死亡，則其家屬可以從保險公司領(lǐng)取2000元。假設(shè)每人在一年內(nèi)死亡的概率都是0.002，求保險公司獲利不少于10000元的概率。40、在12名學(xué)生中有8名優(yōu)等生，從中任取9名，求有5名優(yōu)等生的概率。41、特色醫(yī)院接待患者的比例為K型50%，L型30%，M型20%，對應(yīng)治愈率為0.7，0.8，0.9，一患者已治愈，問他屬于L型的概率？42、某人從甲地到乙地，乘火車、輪船、飛機的概率分別為0.2，0.4，0.4，乘火車遲到的概率為0.5、乘輪船遲到的概率為0.2、乘飛機不會遲到。問這個人遲到的概率；又如果他遲到，問他乘輪船的概率是多少？43、一對骰子拋擲25次，問出現(xiàn)雙6和不出現(xiàn)雙6的概率哪個大？44、一副撲克（52張），從中任取13張，求至少有一張“A”的概率？45、據(jù)以往資料表明，某三口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律。孩子得病的概率為0.6，孩子得病下母親得病的概率為0.5，母親及孩子得病下父親得病的概率為0.4，求母親及孩子得病但父親未得病的概率。46、某人忘記了電話號碼的最后一位數(shù)字，因而他隨機地撥號。求他撥號不超過3次的概率；若已知最后一位數(shù)字為奇數(shù)，此概率是多少？47、某場戰(zhàn)斗準(zhǔn)備調(diào)甲、乙兩部隊參加，每支部隊能按時趕到的概率為，若只有一支部隊參加戰(zhàn)斗，則取勝的概率為0.4；若兩部隊參加戰(zhàn)斗，則必勝；若兩部隊未能按時趕到則必敗。欲達0.9以上的概率取勝，求的最低值。48、工人看管三臺設(shè)備，在1小時內(nèi)每臺設(shè)備不需要看管的概率均為0.8，求（1）三臺設(shè)備均不需要看管的概率；（2）至少有一臺設(shè)備需要看管的概率；（3）三臺設(shè)備均需要看管的概率。四、證明題1、 假設(shè)我們擲兩次骰子，并定義事件“第一次擲得偶數(shù)點”，“第二次擲得奇數(shù)點”，“兩次都擲奇數(shù)點或偶數(shù)點”，證明A，B，C兩兩獨立，但A，B，C不相互獨立。2、 設(shè)每次試驗發(fā)生的概率，“次獨立重復(fù)試驗中至少出現(xiàn)一次”證明3、設(shè)，證明4、證明，如果，則5、當(dāng)時，證明：6、證明：，則7、設(shè)三事件相互獨立，則與相互獨立。8、設(shè)，則9、已知同時發(fā)生，則發(fā)生，證明10、10個考簽中有4個難簽，3人依次抽簽參加考試，證明3人抽到難簽的概率相等。11、設(shè)A，B為兩事件，證明12、證明如果與獨立，則與獨立、與獨立、與獨立13、如果，證明與獨立的充分必要條件是第二章隨機變量及其分布一、填空題1、設(shè)隨機變量X的分布律為，則 。2、設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1/3的01分布，則X的分布函數(shù)為= 。 3、設(shè)隨機變量，則 。4、設(shè)隨機變量X的分布律為，則 。 5、設(shè)隨機變量X服從(0,1)區(qū)間上的均勻分布，則隨機變量的密度函數(shù)為 。 6、隨機變量X的密度函數(shù)為 ，則 。7、隨機變量X的密度函數(shù)為則 。8、若，則 。9、設(shè)離散型隨機變量的分布函數(shù)為且，則，。10、設(shè)連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為則，。11、設(shè)5個晶體管中有2個次品，3個正品，如果每次從中任取1個進行測試，測試后的產(chǎn)品不放回，直到把2個次品都找到為止，設(shè)為需要進行測試的次數(shù)，則。12、設(shè)為離散型隨機變量的分布函數(shù)為，若，則。13、一顆均勻骰子重復(fù)擲10次，設(shè)表示點3出現(xiàn)的次數(shù)，則的分布律。14、設(shè)為連續(xù)型隨機變量，且，且，則。15、設(shè)隨機變量服從POISSON分布，且，則。16、連續(xù)型隨機變量為，則。17、設(shè)為分布函數(shù)，為分布函數(shù)，則。18、若連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)，則。19、設(shè)隨機變量的概率密度，則的分布函數(shù)為。20、若隨機變量，則的密度函數(shù)。二、選擇題1、若函數(shù)是一隨機變量的密度函數(shù)，則（）的定義域為0,1值域為0,1非負在連續(xù)2、如果是（），則一定不可以為某一隨機變量的分布函數(shù)。非負函數(shù)連續(xù)函數(shù)有界函數(shù)單調(diào)減少函數(shù)3、下面的數(shù)列中，能成為一隨機變量的分布律的是（）4、下面的函數(shù)中，能成為一連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)的是（）5、設(shè)隨機變量，為其分布函數(shù)，則（）。 6、設(shè)離散型隨機變量的分布律為，則（）。的實數(shù)7、設(shè)隨機變量，則增大時，是（）單調(diào)增大單調(diào)減少保持不變增減不定8、設(shè)隨機變量的分布密度，分布函數(shù)，為關(guān)于軸對稱，則有（）9、設(shè)為分布函數(shù)，為分布函數(shù)，則下列成立的是（）10、要使是密度函數(shù)，則為（）11、設(shè)隨機變量的分布密度為則的密度函數(shù)為（）12、設(shè)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為，密度，則（）13、設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為，則（） 0.75 0.875 14、設(shè)隨機變量，分布函數(shù)為，密度，則有（）三、計算題1、10 個燈泡中有2個是壞的，從中任取3個，用隨機變量描述這一試驗結(jié)果，并寫出這個隨機變量的分布律和分布函數(shù)及所取的三個燈泡中至少有兩個好燈泡的概率。2、罐中有5 個紅球，3個白球，有放回地每次任取一球，直到取得紅球為止。用X表示抽取的次數(shù)，求X的分布律，并計算。3、設(shè)隨機變量的分布律為，試求的值。4、 已知離散型隨機變量的分布律為(1) 求；210121/5 1/6 1/5 1/15 11/30（2）求的分布律；（3）求的分布函數(shù)。5、已知離散型隨機變量的分布律為，且求。6、對某一目標(biāo)射擊，直到擊中時為止。如果每次射擊的命中率為，求射擊次數(shù)的分布律。7、已知離散型隨機變量的分布律為，其中，求的分布律。8、設(shè)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為：求：(1)常數(shù) (2)的概率密度。9、已知隨機變量的密度函數(shù)為求（1）系數(shù)；（2）落入的概率；（3）的分布函數(shù)。10、某車間有20部同型號機床，每部機床開動的概率為0.8，若假定各機床是否開動是獨立的，每部機床開動時所消耗的電能為15個單位，求這個車間消耗的電能不少于270個單位的概率。11、 設(shè)隨機變量，求的分布。12、設(shè)測量誤差的密度函數(shù)為，求（1） 測量誤差的絕對值不超過30的概率；（2） 測量3次，每次測量獨立，求至少有1次測量誤差的絕對值不超過30的概率。13、在下列兩種情形下，求方程有實根的概率。（1）等可能取1,2，3,4，5,6；（2）14、設(shè)球的直徑（單位：mm），求球的體積的概率密度。15、已知離散型隨機變量只取-1，0，1，相應(yīng)的概率為，求的值并計算16、設(shè)某種電子管的壽命的密度函數(shù)（1） 若1個電子管在使用150小時后仍完好，那么該電子管使用時間少于200小時的概率是多少？（2） 若1個電子系統(tǒng)中裝有3個獨立工件的這種電子管，在使用150小時后恰有1個損壞的概率是多少。17、設(shè)鉆頭的壽命(即鉆頭直到磨損為止所鉆的地層厚度，以米為單位)服從指數(shù)分布，鉆頭平均壽命為1000米，現(xiàn)要打一口深度為2000米的井，求 (1)只需一根鉆頭的概率； (2)恰好用兩根鉆頭的概率。18、某公共汽車站從上午7時起第15分鐘發(fā)一班車，如果乘客到達此汽車站的時間是7時至7時30分的均勻分布，試求乘客在車站等候（1）不超過15分鐘的概率；（2）超過10分鐘的概率。19、自動生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為0.1，生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時重新進行調(diào)整，問在兩次調(diào)整之間能以0.6的概率保證生產(chǎn)的合格品數(shù)不少于多少？20、設(shè)在一段時間內(nèi)進入某一商店的顧客人數(shù)服從POSSION分布，每個顧客購買某種物品的概率為，并且各個顧客是否購買該物品是相互獨立的，求進入商店的顧客購買該種物品人數(shù)的分布律。21、設(shè)每頁書上的印刷錯誤個數(shù)服從泊松分布，現(xiàn)從一本有500個印刷錯誤的500頁的書上隨機地取5頁，求這5頁各頁上的錯誤都不超過2個的概率。22、已知每天到某煉油廠的油船數(shù)X服從參數(shù)為2的泊松分布，而港口的設(shè)備一天只能為三只油船服務(wù)，如果一天中到達的油船超過三只，超出的油船必須轉(zhuǎn)到另一港口。求：（1）這一天必須有油船轉(zhuǎn)走的概率；（2）設(shè)備增加到多少，才能使每天到達港口的油船有90%可以得到服務(wù)。（3）每天到達港口油船的最可能只數(shù)。23、某實驗室有12臺電腦，各臺電腦開機與關(guān)機是相互獨立的，如果每臺電腦開機占總工作時間的3/4，試求在工作時間任一時刻關(guān)機的電腦臺數(shù)超過兩臺的概率以及最有可能有幾臺電腦同時開機。24、設(shè)有各耗電7.5KW的車床10臺，每臺車床使用情況是相互獨立的，且每臺車床每小時平均開車12分鐘，為這10臺車床配電設(shè)備的容量是55KW，試求該配電設(shè)備超載的概率。25、一臺電子設(shè)備內(nèi)裝有5個某種類型的電子管，已知這種電子管的壽命（單位：小時）服從指數(shù)分布，且平均壽命為1000小時。如果有一個電子管損壞，設(shè)備仍能正常工作的概率為95%，兩個電子管損壞，設(shè)備仍能正常工作的概率為70%，若兩個以上電子管損壞，則設(shè)備不能正常工作。求這臺電子設(shè)備在正常工作1000小時后仍能正常工作的概率(各電子管工作相互獨立)。26、某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮壓，以mmHg計）服從。在該地區(qū)任選一18歲的女青年，測量她的血壓X。（1）求，；（2）確定最小的x,使。27、將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)。調(diào)節(jié)器整定在d,液體的溫度X是一個隨機變量，且 (1)若d=90,求X小于89的概率。（2）若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于0.99，問d至少為多少？28、設(shè)隨機變量的分布函數(shù)（1）確定的值；（2）29、設(shè)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為 求(1)常數(shù)A，B的值；(2)30、有一個半徑為2米的圓盤形靶子，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)均能中靶，如以表示擊中點與靶心的距離，求的分布函數(shù)和密度函數(shù)。31、設(shè)隨機變量的密度函數(shù)，求的密度函數(shù)。32、設(shè)隨機變量的分布律為0.2 0.1 0.7求隨機變量的分布函數(shù)。33、已知10個元件中有7個合格品和3個次品，每次隨機地抽取1個測試，測試后不放回，直至將3個次品找到為止，求需測試次數(shù)的分布律。34、已知的分布函數(shù)為，求的分布函數(shù)。35、設(shè)某產(chǎn)品的壽命服從的正態(tài)分布，若要求壽命低于120小時的概率不超過0.1，試問應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)，并問壽命超過210小時的概率在什么范圍內(nèi)？36、某廠決定在工人中增發(fā)高產(chǎn)獎，并決定對每月生產(chǎn)額最高的5%的工人發(fā)放高產(chǎn)獎，已知每人每月生產(chǎn)額，試問高產(chǎn)獎發(fā)放標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)把月生產(chǎn)額定為多少？37、在長為1的線段隨機地選取一點，短的一段與長的一段之比小于1/4的概率是多少？38、設(shè)的分布密度為求的密度函數(shù)。39、設(shè)的分布密度為求（1）（3）的概率密度。四、證明題1、設(shè)為隨機變量的分布函數(shù)，證明：當(dāng)時，有2、證明：若服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則3、證明：服從上均勻分布，則也服從均勻分布。4、設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為嚴格單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則服從均勻分布。5、設(shè)隨機變量的分布密度，分布函數(shù)，為關(guān)于軸對稱，證明：對于任意正數(shù)有6、設(shè)隨機變量的分布密度，分布函數(shù)，為關(guān)于軸對稱，證明：對于任意正數(shù)有7、設(shè)是兩個隨機變量的密度函數(shù)，證明：對于任意正數(shù)，有是某一隨機變量的密度函數(shù)。第三章多維隨機變量及其分布一、填空題1、因為二元函數(shù)不滿足，所以不是某一個二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)。2、設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合分布律為 XY 1 2 3 1 2 1/16 3/8 1/16 1/12 1/6 1/4則 。3、設(shè)X和Y是獨立的隨機變量，其分布密度函數(shù)為 ， 則的聯(lián)合分布密度函數(shù)為 。 4、設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合分布律為 XY 1 2 3 1 2 1/6 1/9 1/18 1/3 a b 若X和Y獨立，則a= ,b= 。 5、設(shè)，且三個隨機變量相互獨立，則 。6、若隨機變量，且，則。7、設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為 則 。8、設(shè)區(qū)域D上服從均勻分布，其中D是由軸，軸及直線所圍成的區(qū)域，則。9、設(shè)和是兩個隨機變量，且，則。10、設(shè)相互獨立的和具有同一分布律，且，則隨機變量的分布律為 。11、設(shè)相互獨立的和具有同一分布律，且，則隨機變量的分布律為。12、設(shè)平面區(qū)域D由曲線及直線，區(qū)域D上服從均勻分布，則關(guān)于的邊緣密度在處的值為。13、設(shè)相互獨立的和具有同一分布，且，則。二、選擇題1、設(shè)隨機變量相互獨立，分布函數(shù)為，則的分布函數(shù)為( ) 2、設(shè)隨機變量相互獨立，且，則下列各式成立的是( ) 3、設(shè)隨機變量，相互獨立，則的密度函數(shù)為（）4、設(shè)隨機變量相互獨立且同分布，則下列結(jié)論正確的是 ( ) 5、設(shè)隨機變量相互獨立，且，則為( ) 6、設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為則與為（）獨立同分布獨立不同分布不獨立同分布不獨立也不同分布7、設(shè)隨機變量相互獨立，且均服從（0,1）均勻分布，則下列中服從均勻分布的是（）8、隨機變量相互獨立同分布，則和（）不獨立獨立不相關(guān)相關(guān)9、設(shè)的聯(lián)合分布律為Y01011/4 1/4已知事件與事件相互獨立，則值為（）三、計算題1、設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X，Y)的聯(lián)合概率密度為求：(1)系數(shù)A； (2) P(X，Y)D，其中D為由直線y=x ,x=1，及x軸圍成的三角形區(qū)域。2、設(shè)隨機變量X，Y相互獨立，且X，Y的分布律如下表：X321Y123P1/41/42/4P2/51/51/5求：(1) (X，Y)的聯(lián)合分布律；(2) Z2XY的分布律；(3) UXY的分布律。3、甲、乙兩人約定晚上在某處見面，但沒有說好具體時間，已知甲、乙到達該處的時間分別為隨機變量X和Y，且甲到達的時間均勻分布在6時至8時之間；而乙到達的時間均勻分布在7時至10時之間。已知(X，Y)的聯(lián)合概率密度為： 求先到一人等候?qū)Ψ讲怀^10分鐘的概率。4、設(shè)隨機變量和相互獨立，且，求方程有兩個不相等的實根的概率。方程：5、一口袋中有4個球，標(biāo)有1，2，3，4。從中任取1個，不放回，再從袋中任取1個球，以和表示第一、二次取得的球的數(shù)字，求、的聯(lián)合分布。6、設(shè)隨機變量和相互獨立，求的分布。7、隨機變量和的聯(lián)合分布函數(shù)為求邊緣分布函數(shù)和邊緣密度函數(shù)。8、設(shè)二維隨機變量和的聯(lián)合密度函數(shù)為求（1）聯(lián)合分布函數(shù)；（2）邊緣密度函數(shù)；（3）9、甲、乙兩人獨立地進行兩次射擊，假設(shè)甲的命中率為0.2，乙的命中率為0.5，以和表示甲和乙的命中次數(shù)，求和的聯(lián)合分布。10、已知隨機變量和的分布律為且求（1）和的聯(lián)合分布；（2）和是否獨立。11、一電子儀器由兩部件構(gòu)成，以和表示兩部件的壽命，已知和的聯(lián)合分布函數(shù)為（1）和是否獨立；（2）求兩部件的壽命都超過100小時的概率。12、設(shè)隨機變量和獨立，其概率密度分別為求的分布密度。13、設(shè)隨機變量和獨立聯(lián)合密度為求14、設(shè)和獨立聯(lián)合密度為求邊緣密度。15、設(shè)和獨立聯(lián)合密度為求（1）（2）邊緣密度。（3）條件分布16、設(shè)和獨立，且服從，求的概率密度。17、設(shè)和獨立，求的概率密度18、設(shè)和獨立，求的概率密度。19、設(shè)和獨立，求的概率密度。20、設(shè)和獨立聯(lián)合密度為求聯(lián)合分布函數(shù)。四、證明題1、證明：若，且兩隨機變量獨立，則2、證明：若，且兩隨機變量獨立，則3、證明：若隨機變量以概率1取常數(shù)，則它與任何隨機變量相互獨立。第四章隨機變量的數(shù)字特征第五章極限定理一、填空題1、設(shè)隨機變量的數(shù)學(xué)期望為，均方差為，則當(dāng)，時，2、設(shè)與獨立，且，則。3、設(shè)連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為且，則，。4、一顆均勻骰子重復(fù)擲10次，則10次中點數(shù)3平均出現(xiàn)的次數(shù)為，最可能出現(xiàn)點數(shù)3的次數(shù)為。5、設(shè)隨機變量服從一區(qū)間上的均勻分布，且，則的密度函數(shù)為。6、設(shè)隨機變量則，。7、設(shè)隨機變量服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，服從參數(shù)為4的指數(shù)分布，則。8、從廢品率為5%的一大批產(chǎn)品每次取一個產(chǎn)品，直到取到廢品為止，平均要取個產(chǎn)品。9、設(shè)隨機變量X和Y獨立，且，則 。10、設(shè)相互獨立，且 則 。11、已知隨機變量X的密度函數(shù)為，則。12、設(shè)，則 。13、設(shè)隨機變量X和Y獨立，則= 14、設(shè)隨機變量，則隨機變量，則。15、若隨機變量的分布律為，且，則，。16、設(shè)表示10次獨立重復(fù)射擊命中次數(shù)，每次命中的概率為0.4，則。二、選擇題1、設(shè)，則為 ( ) 3/2 1 5/3 3/42、已知隨機變量，的方差存在，且，則下列一定成立的是（）與一定獨立與一定不相關(guān)3、設(shè)的分布律為，如果（ ），則不一定存在。收斂收斂收斂4、設(shè)隨機變量的方差存在，為常數(shù)，則（）5、設(shè)為隨機變量，則（）1101006、已知隨機變量，相互獨立，且都服從POISSON分布，又知，則（）511025307、設(shè)隨機變量，則（）8、設(shè)隨機變量，則（）1249、設(shè)隨機變量服從指數(shù)分布，且，則的密度函數(shù)為（）10、設(shè)隨機變量X 的概率密度為 則錯誤的是( ) 分布函數(shù)11、設(shè)隨機變量滿足，則正面正確的是 ( ) 相互獨立 不相關(guān) 12、設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為 則( ) 13、有一群人受某種疾病感染的占20%，現(xiàn)從他們中隨機抽取50人，則其中患病人數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差是 ( ) 25和8 10和 2.8 25和 64 10和 814、設(shè)隨機變量均服從區(qū)間 ( 0 ，2 ) 上的均勻分布，則= 1 3 4 1215、設(shè)為獨立同分布的隨機變量序列，若（）時，則服從切貝曉夫大數(shù)定律。的分布律的是的分布律的是的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為16、設(shè)獨立同分布，且服從參數(shù)為1/的指數(shù)分布，則下列結(jié)論正確的是( ) 17、設(shè)為獨立同分布的隨機變量序列，且，則下列中不正確的是（）三、計算題1、設(shè)隨機變量和相互獨立且均服從，求的數(shù)學(xué)期望。2、設(shè)球的直徑（單位：mm），求球的體積的數(shù)學(xué)期望。3、已知，設(shè)，求的數(shù)學(xué)期望和方差及與的相關(guān)系數(shù)。4、某保險公司多年的統(tǒng)計資料表明，在索賠戶中，被盜索賠戶占20%，今隨機抽查100個索賠戶，求其中被盜索賠戶不少于14戶但也不多于30戶的概率。5、甲乙兩隊比賽，若有一隊先勝四場，則比賽結(jié)束，假設(shè)每次比賽甲隊獲勝的概率為0.6，求比賽場數(shù)的數(shù)學(xué)期望。6、某城市的市民在一年內(nèi)遭受交通事故的概率為千分之一。為此，一家保險公司決定在這個城市新開一種交通事故險，每個投保人每年交付保險費18元，一旦發(fā)生事故，將得到1萬元的賠償。經(jīng)調(diào)查，預(yù)計有10萬人購買這種險種。假設(shè)其他成本共40萬元求（1）保險公司虧本的概率是多少？（2）平均利潤為多少？7、設(shè)隨機變量X有有限期望EX及方差，試用切貝謝夫不等式估計的值。8、設(shè)隨機變量X的方差為2.5，試用切貝謝夫不等式估計概率的值。9、某計算機系統(tǒng)有120個終端，各終端使用與否相互獨立，如果每個終端有20%的時間在使用，求使用終端個數(shù)在30個至50個之間的概率。10、一系統(tǒng)由100個相互獨立的部件組成，在系統(tǒng)運行期間部件損壞的概率為0.05，而系統(tǒng)只有在損壞的部件不多于10個時才能正常運行，求系統(tǒng)的可靠度。11、某電站供應(yīng)一萬戶用電，假設(shè)用電高峰時，每戶用電的概率為0.9，利用中心極限定理計算：(1) 同時用電戶數(shù)在9030戶以上的概率；(2) 若每戶用電200瓦，問電站至少應(yīng)具有多大的發(fā)電量，才能以95%的概率保證供電12、對次品率為0.05的一批產(chǎn)品進行抽樣檢查，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個，則認為這批產(chǎn)品不合格，那么應(yīng)檢查多少個產(chǎn)品，才能使這批產(chǎn)品被認為是不合格的概率(可信度)達到90%。13、據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布?，F(xiàn)隨機地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨立的，求這16只元件的壽命的和大于1920小時的概率。14、某廠產(chǎn)品的壽命服從指數(shù)分布，其概率密度為，工廠規(guī)定，售出的產(chǎn)品若在一年內(nèi)損壞可以調(diào)換。若工廠售出1個產(chǎn)品，能獲利120元；調(diào)換1個產(chǎn)品，工廠要花費350元，試求工廠出售1個產(chǎn)品的平均獲利。15、一商店經(jīng)銷某種商品，每周進貨的數(shù)量與商品的需求量相互獨立，且均服從均勻分布。商店每售出一單位商品可得利潤1000元，若需求量超過進貨量，商店可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，這時每單位商品可得利潤500元，試計算此商店經(jīng)營該各商品每周平均獲利。16、在一家保險公司有10000人參加保險，每人每年付12元保險費，一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.006,其家屬可獲得1000元賠償費，求（1）保險公司沒有利潤的概率；（2）保險公司一年的利潤不少于60000元的概率。三、證明題1、設(shè)在單位圓內(nèi)服從均勻分布，試證與Y不相關(guān)，但不相互獨立。2、設(shè)，則與不相關(guān)，但不相互獨立3、設(shè)與Y都是01分布，試證與Y不相關(guān)的充分必要條件是與Y獨立。4、證明：取值于區(qū)間上的隨機變量，必有5、設(shè)是兩事件， 證明與Y獨立的充分必要條件是獨立。數(shù)理統(tǒng)計一、填空題1、設(shè)為總體X的一個樣本，如果 ， 則稱為統(tǒng)計量。2、設(shè)總體已知，則在求均值的區(qū)間估計時，使用的隨機變量為 3、設(shè)總體X服從方差為1的正態(tài)分布，根據(jù)來自總體的容量為100的樣本，測得樣本均值為5，則X的數(shù)學(xué)期望的置信水平為95%的置信區(qū)間為 。4、假設(shè)檢驗的統(tǒng)計思想是 。小概率事件在一次試驗中不會發(fā)生5、某產(chǎn)品以往廢品率不高于5%，今抽取一個樣本檢驗這批產(chǎn)品廢品率是否高于5%， 此問題的原假設(shè)為 。6、某地區(qū)的年降雨量，現(xiàn)對其年降雨量連續(xù)進行5次觀察，得數(shù)據(jù)為： (單位：mm) 587 672 701 640 650 ，則的矩估計值為 。7、設(shè)兩個相互獨立的樣本與分別取自正態(tài)總體與，分別是兩個樣本的方差，令，已知，則。8、假設(shè)隨機變量，則服從分布。9、假設(shè)隨機變量已知，則。10、設(shè)樣本來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布總體，為樣本均值，而，則11、假設(shè)樣本來自正態(tài)總體，令，則的分布12、設(shè)樣本來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布總體，與分別是樣本均值和樣本方差，令，若已知，則。13、如果都是總體未知參數(shù)的估計量，稱比有效，則滿足。14、假設(shè)樣本來自正態(tài)總體，是的一個無偏估計量，則。15、假設(shè)樣本來自正態(tài)總體，測得樣本均值，則的置信度是的置信區(qū)間為。16、假設(shè)樣本來自正態(tài)總體，與未知，測得樣本均值，樣本方差，則的置信度是的置信區(qū)間為。17、假設(shè)樣本來自正態(tài)總體，與未知，則原假設(shè)：的檢驗選用的統(tǒng)計量為。二、選擇題1、下列結(jié)論不正確的是 ( ) 設(shè)隨機變量都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，且相互獨立，則 獨立， 來自總體的樣本，是樣本均值，則 與均來自總體的樣本，并且相互獨立，分別為樣本均值，則2、設(shè)是參數(shù)的兩個估計量，正面正確的是 ( ) ，則稱為比有效的估計量 ，則稱為比有效的估計量 是參數(shù)的兩個無偏估計量，則稱為比有效的估計量 是參數(shù)的兩個無偏估計量，則稱為比有效的估計量3、設(shè)是參數(shù)的估計量，且，則有（） 不是的無偏估計 是的無偏估計 不一定是的無偏估計 不是的估計量4、下面不正確的是（） 5、總體均值的區(qū)間估計中，正確的是（） 置信度一定時，樣本容量增加，則置信區(qū)間長度變長； 置信度一定時，樣本容量增加，則置信區(qū)間長度變短； 置信度增大，則置信區(qū)間長度變短； 置信度減少，則置信區(qū)間長度變短。6、對于給定的正數(shù)，設(shè)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)，則有（） 7、某工廠所生產(chǎn)的某種細紗支數(shù)服從正態(tài)分布為已知，現(xiàn)從某日生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機抽取16縷進行支數(shù)測量，求得樣本均值和樣本方差，要檢驗細紗支數(shù)的均勻度是否變劣，則應(yīng)提出假設(shè)（） ： ： ： ：8、設(shè)樣本抽自總體，來自總體，則的分布為 9、設(shè)為來自的樣本觀察值，未知，則的極大似然估計值為（） 10、樣本來自總體，則下列結(jié)論正確的是（） 11、假設(shè)隨機變量是來自的樣本，為樣本均值。已知，則下列成立的是（）12、設(shè)樣本來自正態(tài)總體，與分別是樣本均值和樣本方差，則下面結(jié)論不成立的是（）與相互獨立與相互獨立與相互獨立與相互獨立13、樣本取自正態(tài)總體，已知，未知。則下列隨機變量中不能作為統(tǒng)計量的是（）14、設(shè)樣本來自正態(tài)總體，與分別是樣本均值和樣本方差，則下面結(jié)論成立的是（）15、設(shè)樣本來自總體，則下列估計量中不是總體均值的無偏估計量的是（）。16、假設(shè)樣本來自正態(tài)總體?？傮w數(shù)學(xué)期望已知，則下列估計量中是總體方差的無偏估計是（）17、假設(shè)總體的數(shù)學(xué)期望的置信度是，置信區(qū)間上下限分別為樣本函數(shù)與，則該區(qū)間的意義是（）18、假設(shè)總體服從區(qū)間上的均勻分布，樣本來自總體。則未知參數(shù)的極大似然估計量為（）不存在19、在假設(shè)檢驗中，記為原假設(shè)，則犯第一類錯誤的概率是（）成立而接受成立而拒絕不成立而接受不成立而拒絕20、假設(shè)樣本來自正態(tài)總體，為樣本均值，記則服從自由度為的分布的隨機變量是（）三、計算題1、設(shè)總體，抽取容量為5的樣本，求（1） 樣本均值大于13的概率；（2） 樣本的最小值小于10的概率；（3） 樣本最大值大于15的概率。2、假設(shè)總體，是來自的一個樣本，是樣本均值，求。3、總體，是來自的樣本，是樣本均值，若，試確定的值。4、設(shè)來自正態(tài)總體，是樣本均值，滿足，試確定樣本容量的大小。5、假設(shè)總體服從正態(tài)總體，樣本來自總體,計算6、假設(shè)新生兒體重，現(xiàn)測得10名新生兒的體重，得數(shù)據(jù)如下：3100348025203700252032002800380030203260（1）求參數(shù)和的矩估計；（2）求參數(shù)的一個無偏估計。7、設(shè)隨機變量的概率密度函數(shù)為，設(shè)來自總體的一個樣本，求的矩估計和極大似然估計。8、在測量反應(yīng)時間中，一位心理學(xué)家估計的標(biāo)準(zhǔn)差是秒，為了以的置信度使平均反應(yīng)時間的估計誤差不超過秒，那么測量的樣本容量最小應(yīng)取多少9、設(shè)隨機變量，是來自的10個觀察值，要在的水平下檢驗：，：取拒絕域（1）（2）若已知是否可以據(jù)此推斷成立？（3）如果以檢驗：的拒絕域，試求該檢驗的檢驗水平。10、假設(shè)按某種工藝生產(chǎn)的金屬纖維的長度（單位mm）服從正態(tài)分布，現(xiàn)在隨機抽出15根纖維，測得它們的平均長度，如果估計方差沒有變化，可否認為現(xiàn)在生產(chǎn)的金屬纖維的長度仍為11、某地九月份氣溫，觀察九天，得，求（1）此地九月份平均氣溫的置信區(qū)間；（置信度95%）（2）能否據(jù)此樣本認為該地區(qū)九月份平均氣溫為（檢驗水平（3）從（1）與（2）可以得到什么結(jié)論？12、正常成年人的脈搏平均為72次/分，今對某種疾病患者10人，測得脈搏為54686577706469726271，假設(shè)人的脈搏次數(shù)，試就檢驗水平下檢驗患者脈搏與正常成年人的脈搏有無顯著差異？13、設(shè)隨機變量均未知，與相互獨立?，F(xiàn)有5個的觀察值，樣本均值，樣本方差為，有4個的觀察值，樣本均值，樣本方差為，（1）檢驗與的方差是否相等？（3） 在（1）的基礎(chǔ)上檢驗與的均值是否相等。（）14、假設(shè)某廠生產(chǎn)的纜繩，其抗拉強度X服從正態(tài)分布，現(xiàn)在從改進工藝后生產(chǎn)的纜繩中隨機抽取10根，測量其抗拉強度，樣本方差。當(dāng)顯著水平為時，能否據(jù)此認為新工藝生產(chǎn)的纜繩的抗拉強度的穩(wěn)定性是否有變化？15、某種導(dǎo)線的電阻，現(xiàn)從新生產(chǎn)的一批導(dǎo)線中抽取9根，得。（1）對于，能否據(jù)此認為新生產(chǎn)的一批導(dǎo)線的穩(wěn)定性無變化？（2）求總體方差的95%的置信區(qū)間16、某廠用自動包裝機包裝糖，每包糖的重量，某日開工后，測得9包糖的重量如下：99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 102.1 100.5 99.5 (單位：千克)試求總體均值的置信區(qū)間，給定置信水平為。17、設(shè)有甲、乙兩種安眠藥，現(xiàn)在比較它們的治療效果，表示失眠患者服用甲藥后睡眠時間的延長時數(shù)，表示失眠患者服用乙藥后睡眠時間的延長時數(shù)，隨機地選取20人，10人服用甲藥，10人服用乙藥，經(jīng)計算得，設(shè)；求的置信度為95%的置信區(qū)間。18、研究由機器A和B生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑，隨機地抽取機器A生產(chǎn)的管子18根，測得樣本方差，抽取機器B生產(chǎn)的管子13根，測得樣本方差，設(shè)兩樣本獨立，且由機器A和B生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑服從正態(tài)分布，試求總體方差比的置信度為90%的置信區(qū)間。19、設(shè)某種材料的強度，未知，現(xiàn)從中抽取20件進行強度測試，以kg/cm為強度單位，由20件樣本得樣本方差，求和的置信度為90%的置信區(qū)間。20、設(shè)自一大批產(chǎn)品中隨機抽取100個樣品，得一級品50個，求這批產(chǎn)品的一級中率的置信度為95%的置信區(qū)間。21、一家廣告公司想估計某類商店去年所花的平均廣告費有多少。經(jīng)驗表明，總體方差約為1800000，如果置信度為95%，并要使估計值處在總體均值附近500元的范圍內(nèi)，這家廣告公司應(yīng)取多大的樣本？22、設(shè)電視機的首次故障時間服從指數(shù)分布，試導(dǎo)出的極大似然估計量和矩估計。23、為了比較兩位銀行職員為新顧客辦理個人結(jié)算賬目的平均時間長度，分別給兩位銀行職員隨機地安排了10個顧客，并記錄下為每位顧客辦理賬單所需的時間（單位：分鐘）相應(yīng)的樣本均值和方差為：。假設(shè)每位職員為顧客辦理賬單所需的時間服從正態(tài)分布，且方差相等，求總體平均值差的置信度為95%的區(qū)間估計。24、某飲料公司對其所做的報紙廣告在兩個城市的效果進行了比較，他們從兩個城市中分別隨機地調(diào)查了1000個成年人，其中看過該廣告的比例分別為0.18和0.14，試求兩個城市成年人中看過該廣告的比例之差的置信度為95%的置信區(qū)間。25、電視機顯像管批量生產(chǎn)的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)為平均壽命1200小時，標(biāo)準(zhǔn)差為300小時。某電視機廠宣稱其生產(chǎn)的顯像管質(zhì)量大大超過規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)。為了進行驗證，隨機抽取100件為樣本，測得其平均壽命為1245小時。能否據(jù)此認為該廠的顯像管質(zhì)量大大高于規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)？26、某機器制造出的肥皂厚度為，今欲了解機器性能是否良好，隨機抽取10塊為樣本，測得其平均厚度為，標(biāo)準(zhǔn)差為，試分別以0.05和0.01的顯著水平檢驗機器性能是否良好？（假設(shè)肥皂厚度服從正態(tài)分布）27、有兩種方法可用于制造某種以抗拉強度為重要特征的產(chǎn)品。根據(jù)以往的資料得知，第一種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品的抗拉強度的標(biāo)準(zhǔn)差為8kg，第二種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品的抗拉強度的標(biāo)準(zhǔn)差為10kg。從兩種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品各抽取一個樣本，樣本容量分別為32和40，測得。問這兩種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均抗拉強度是否有顯著差別28、一個車間研究用兩種不同的工藝組裝產(chǎn)品所用的