分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理 [分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理.排列]

分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理 分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理.排列 高考導(dǎo)航分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理又稱加法原理和乘法原理, 它不僅是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算公式的依據(jù)，而且是最基本的思想方法，這種思想方法貫穿在解決本章應(yīng)用問題的始終. 在高考中，運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列組合知識(shí)解決排列組合相關(guān)的應(yīng)用題，通常不單獨(dú)命題.學(xué)法點(diǎn)撥對兩個(gè)原理的掌握和運(yùn)用，是學(xué)好本單元知識(shí)的一個(gè)關(guān)鍵.從思想角度看，分類計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用是將一個(gè)問題進(jìn)行分類的思考，分步計(jì)數(shù)原理是將問題進(jìn)行分步的思考，從而達(dá)到分析問題、解決問題的目的.從集合的角度看，兩個(gè)基本原理的意義及區(qū)別就顯得更加清楚了. 完成一件事有A 、B 兩類辦法，即集合A 、B 互不相交，在A 類辦法中有m1種方法，B 類辦法中有m2種方法，即card(A)=m1，card(B)=m2，那么完成這件事的不同方法的種數(shù)是card(AB)=m1+m2.這就是n=2時(shí)的分類計(jì)數(shù)原理. 若完成一件事需要分成A 、B 兩個(gè)步驟，在實(shí)行A 步驟時(shí)有m1種方法，在實(shí)行B 步驟時(shí)有m2種方法，即card(A)=m1;card(B)=m2，那么完成這件事的不同方法的種數(shù)是card(AB)=card(A)card(B)=m1m2.這就是n=2時(shí)的分步計(jì)數(shù)原理.兩個(gè)原理都是涉及完成一件事的不同方法的種數(shù). 它們的區(qū)別在于：分類計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以完成這件事; 分步計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成. 初學(xué)時(shí)，應(yīng)結(jié)合實(shí)例，弄清兩個(gè)原理的區(qū)別，學(xué)會(huì)使用兩個(gè)原理.基礎(chǔ)知識(shí)必備一、必記知識(shí)精選1. 分類計(jì)數(shù)原理：做一件事，有n 類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，在第n 類辦法中有mn 種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+mn種不同的方法.2. 分步計(jì)數(shù)原理：完成一件事，需要分成n 個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n 步有mn 種不同的方法, 那么完成這件事共有N=m1m2mn種不同的方法.二、重點(diǎn)難點(diǎn)突破本節(jié)重點(diǎn)是準(zhǔn)確理解和靈活運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理.難點(diǎn)是兩個(gè)原理的恰當(dāng)運(yùn)用.兩個(gè)原理的區(qū)別在于分類與分步，完成一件事的方法種數(shù)若需分類思考，則這n 類辦法是相互獨(dú)立的，且無論哪一類辦法中的哪一個(gè)方法都能單獨(dú)完成這件事，則用加法計(jì)數(shù). 若完成這件事需分為n 個(gè)步驟，這n 個(gè)步驟相互依存. 具有連續(xù)性，當(dāng)且僅當(dāng)這n 個(gè)步驟依次全都完成后，這件事才完成，那么完成這件事的方法總數(shù)用乘法計(jì)算.處理具體問題時(shí), 首先要弄清是分類還是分步, 簡單地說是分類互斥、分步互依, 因此在解題時(shí), 要搞清題目的條件與結(jié)論, 且還要注意分類時(shí), 要不重不漏, 分步時(shí)合理設(shè)計(jì)步驟、順序, 使各步互不干擾. 對于一些較復(fù)雜的題目, 往往既要分類又要分步, 也就是說既要應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理.三、易錯(cuò)點(diǎn)和易忽略點(diǎn)導(dǎo)析由于對兩個(gè)原理理解不清, 解題時(shí), 易發(fā)生分類不全和分類時(shí)各類有疊加現(xiàn)象的錯(cuò)誤, 即遺漏或者重復(fù).例1 有紅、黃、藍(lán)旗各3面, 每次升一面、二面、三面在某一旗桿上縱向排列，表示不同的信號(hào)，順序不同則表示不同的信號(hào)，共可以組成多少種不同的信號(hào)?錯(cuò)解：可組成333=27種不同的信號(hào).正確解法：每次升1面旗可組成3種不同的信號(hào); 每次用2面旗可組成33=9種不同的信號(hào); 每次升3面旗可組成333=27種不同的信號(hào). 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得共可組成3+9+27=39種不同的信號(hào).錯(cuò)解分析：錯(cuò)解忽略了信號(hào)可分為使用的旗數(shù)分別可以為1面、2面、3面這3類. 本題綜合應(yīng)用了乘法原理和加法原理.例2 在3000到8000之間有多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)?錯(cuò)解：分三步完成，首先排首位有5種方法，再排個(gè)位有5種方法，最后排中間兩位有87種方法，所以共有5587=1400個(gè).正確解法：分兩類; 一類是以3、5、7為首位的四位奇數(shù)，可分三步完成：先排首位有3種方法，再排個(gè)位有4種方法，最后排中間兩個(gè)數(shù)位有87種方法，所以共有3487=672個(gè).另一類是首位是4或6的四位奇數(shù)，也可以3步完成，共有2587=560個(gè).由分類計(jì)數(shù)原理得共有672+560=1232個(gè).錯(cuò)解分析：由題意，3、5、7這三個(gè)數(shù)既可以排在首位，也可以排在個(gè)位，因此，首位是用3、5、7去填. 還是用4、6去填，影響到第二步，即填個(gè)位的方法數(shù)，遇到此類情形, 則要分類處理. 錯(cuò)解中有重復(fù)排上同一個(gè)奇數(shù)的四位數(shù)而產(chǎn)生錯(cuò)誤.例3 編號(hào)為125的25個(gè)球擺成五行五列的方陣，現(xiàn)從中任選3個(gè)球，要求3個(gè)球中任意兩個(gè)都不在同一行也不在同一列，有多少種不同的選法?錯(cuò)解：分以下三步完成：(1)選取第一個(gè)球，可在25個(gè)球中任意選取，有25種選法;(2)選取第二個(gè)球，為了保證兩球不在同一行也不在同一列，將第一個(gè)球所在的行和列劃掉，在剩余的16個(gè)球中任取一個(gè)，有16種選法;(3)選取第三個(gè)球，應(yīng)從去掉第一、二個(gè)球所在的行和列后所剩余的9個(gè)球中選取有9種選法.根據(jù)乘法原理，有25169=3600種方法.正確解法：分以下三個(gè)步驟：(1)先從5行5列中選出3行有10種選法;(2)從一行的5個(gè)球中選出3個(gè)球, 有10種選法;(3)最后從所選出的3個(gè)球中按照它所在列放在第(1)步選出3行的每一行上有6種方法.根據(jù)乘法原理有10106=600種選法.錯(cuò)解分析：錯(cuò)解中先選一球, 假定此球?yàn)? 第二步去掉球所在的行和列，在剩余的16個(gè)球中任選一個(gè)球，假定選取了球(25),第三步在去掉球與(25)所在的兩行、兩列16個(gè)球，在剩余的9個(gè)球中任選一球，假定為球(13),則此選法為(25)(13)，若第一步選(13)，第二步選, 第三步選(25)，顯然這兩種選法是相同結(jié)果. 這說明上述解法中有許多重復(fù)之處. 所以, 解法是錯(cuò)誤的, 每一不同取法在錯(cuò)解中都被重復(fù)了6次.綜合應(yīng)用創(chuàng)新思維點(diǎn)撥一、學(xué)科內(nèi)綜合思維點(diǎn)撥例1 三邊長均為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形共有( )A.25個(gè) B.26個(gè) C.36個(gè) D.37個(gè)思維入門指導(dǎo)：設(shè)另兩邊長分別為x,y ，且不妨設(shè)1xy. 由三角形的特性，必須滿足x+y12，以下可以分類考慮.解：當(dāng)y 取11時(shí)，x=1，2，3，11，可有11個(gè)三角形.當(dāng)y 取10時(shí)，x=2，3，10，可有9個(gè)三角形.當(dāng)y 取6時(shí)，x=6可有1個(gè)三角形.因此，所求三角形的個(gè)數(shù)為11+9+7+5+3+1=36個(gè)，故應(yīng)選C.點(diǎn)撥：本題應(yīng)用了窮舉法，這也是解決排列組合應(yīng)用題的一個(gè)基本方法.二、學(xué)科間綜合思維點(diǎn)撥例2 DNA分子多樣性表現(xiàn)在堿基的排列順序的千變?nèi)f化上. 若一個(gè)DNA 分子有8000個(gè)堿基，則由此組成的DNA 的堿基對的排列方式共有( ) 種.A.2100 B.24000 C.48000 D.44000解：選D.點(diǎn)撥：每個(gè)堿基可互配對及自配對.三、應(yīng)用思維點(diǎn)撥例3 (1)有5名同學(xué)報(bào)名參加4個(gè)課外活動(dòng)小組，若每人限報(bào)1個(gè)，共有多少種不同的報(bào)名方法?(2)5名同學(xué)爭奪4項(xiàng)競賽冠軍，冠軍獲得者共有多少種可能?思維入門指導(dǎo)：(1)每名同學(xué)確定參報(bào)課外活動(dòng)小組項(xiàng)目可依次讓每個(gè)同學(xué)去報(bào). 因此，可劃分為五個(gè)步驟.(2)可依次為四項(xiàng)冠軍確定人選，這樣，可分4步完成.解：(1)每名同學(xué)在四個(gè)項(xiàng)目中可任報(bào)一項(xiàng)，即每一步有4種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的報(bào)名方法共有：N=44444=45=1024種.(2)為每一個(gè)冠軍尋找人選均有5種可能, 因此, 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理, 冠軍獲得者共有：N=5555=54=625種.四、創(chuàng)新思維點(diǎn)撥例4 (1)有面值為五分、一角、二角、五角、一元、二元、五十元、一百元人民幣各一張, 共可組成多少種不同的幣值?(2)有一角、二角、五角人民幣各一張, 一元人民幣3張, 五元人民幣2張, 一百元人民幣2張, 由這些人民幣可組成多少種不同的幣值?思維入門指導(dǎo)：(1)中的8張人民幣的面值各不相同, 并且這8張人民幣中任意幾張的面值之和各不相同. 因此，8張人民幣所組成的不同幣值的數(shù)種就是人民幣所有可能取法的數(shù)種.對每一張人民幣而言，都有取與不取兩種可能. 因此，可按這樣的程序：(2)中這10張人民幣一元的有3張，五元的有2張，一百元的有2張. 因此取人民幣的程序應(yīng)該是：解：(1)每張人民幣均有取與不取兩種可能，所以有22222222=28.而其中每一張都不取，不組成幣值，所以不同的幣值數(shù)為;N=28-1=255(種).(2)第一、二、三步都只有取與不取這兩種情況，第四步取一元的3張中，可分不取、取一張、取二張、取三張這四種情況，第五步與第六步都有3種情況，且每步都不取不構(gòu)成幣值. 所以不同的幣值數(shù)：N=222433-1=287種.點(diǎn)撥：此題若分類思考，特別是第(2)問，則較麻煩. 此法為間接法.五、高考思維點(diǎn)撥例5 (2003，河南) 將3種作物種植在如圖10-1-1所示的5塊試驗(yàn)田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一作物，不同的種植方法共有_ 種(以數(shù)字作答).解：設(shè)從左到右五塊田中要種a 、b 、c 三種作物，不妨先設(shè)第一塊種a, 則第2塊可種b 或c ，有兩種選法. 同理，如果第二塊種b ，則第三塊可種a 和c ，也有兩種選法，由乘法原理共有：12222=16.其中要去掉ababa 和acaca 兩種方法，故a 種作物種在第1塊田時(shí)有16-2=14種方法. 同樣b 和c 也可種在第1塊田中，故共有：143=42種.點(diǎn)撥：本小題主要考查運(yùn)用乘法原理分析解決問題的能力.六、經(jīng)典類型題思維點(diǎn)撥例6如圖10-1-2所示，從A 地到B 地有3條不同的道路, 從B 地到C 地有4條不同的道路，從A 地不經(jīng)B 地直接到C 地有2條不同的道路.(1)從A 地到C 地共有多少種不同的走法?(2)從A 地到C 地再回到A 地有多少種不同的走法?(3)從A 地到C 地再回到A 地，但回來時(shí)要走與去時(shí)不同的道路，有多少種走法?(4)從A 地到C 地再回到A 地，但回來時(shí)要走與去時(shí)完全不同的道路，有多少種走法?思維入門指導(dǎo)：要綜合應(yīng)用兩個(gè)原理.解：(1)從A 到C 地的走法分為兩類：第一類經(jīng)過B ，第二類不經(jīng)過B. 在第一類中分兩步完成，第一步從A 到B ，第二步從B 到C ，所以從A 地到C 地的不同走法總數(shù)是34+2=14種.(2)該事件發(fā)生的過程可以分為兩大步，第一步去，第二步回. 由(1)可知這兩步的走法都是14種，所以去后又回來的走法總數(shù)是1414=196種.(3)該事件的過程與(2)一樣可分為兩大步，但不同的是第二步即回來時(shí)的走法比去時(shí)的走法少1種，所以，走法總數(shù)是1413=182種.(4)該事件同樣分去與回兩大步，但須對去時(shí)的各類走法分別討論：若去時(shí)用第一類走法，則回來時(shí)，用第二類方法或用第一類中的部分走法，即第一類中的兩步各去掉1種走法中的走法，這樣的走法數(shù)是：34(2+32)=96種;若去時(shí)用第2類走法，則回來時(shí)可用第一類走法或用第二類中的另一種走法. 這樣的走法數(shù)是：2(43+1)=26種.所以，走法總數(shù)為96+26=122種.點(diǎn)撥：正確區(qū)分不同與完全不相同兩種含義是解題的另一個(gè)關(guān)鍵，前者的含義是回來時(shí)不能原路返回，但允許有部分是原路，后者的含義是去時(shí)走過的路，回來時(shí)都不能走，前者包含后者.七、探究性學(xué)習(xí)點(diǎn)撥允許元素重復(fù)出現(xiàn)的排列，叫做有重復(fù)的排列.在m 個(gè)不同的元素中，每次取出n 個(gè)元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排, 那么第一，第二，第n 位上選取元素的方法都是m 個(gè)，所以從m 個(gè)不同的元素中, 每次取出n 個(gè)元素的可重復(fù)的排列數(shù)為=mn.例7 有數(shù)學(xué)、物理、文學(xué)3個(gè)課外活動(dòng)小組,6個(gè)同學(xué)報(bào)名, 每人限報(bào)一組, 一共有多少種報(bào)名的方法?解：這就是有重復(fù)的排列. 第一個(gè)同學(xué)有3種報(bào)名的方法, 無論他報(bào)了哪一個(gè)組, 第二個(gè)同學(xué)還是有3種報(bào)名的方法, 其余類推. 所以, 一共有36=729種報(bào)名的方法.思考題：用0,1,2,9共10個(gè)數(shù)字中的4個(gè)數(shù)字組成電話號(hào)碼, 但0000不能作號(hào)碼, 問可編成多少個(gè)號(hào)碼?強(qiáng)化練習(xí)題A 卷：教材跟蹤練習(xí)題 (100分 45分鐘)一、選擇題(每題5分，共50分)1. 把10個(gè)蘋果分成三堆，每堆至少1個(gè)，至多5個(gè)，則不同的分堆方法共有( )A.4種 B.5種 C.6種 D.7種2. 現(xiàn)有四種不同款式的上衣與三件不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的選法數(shù)為( )A.7 B.64 C.12 D.813. 有4位教師在同一年級(jí)的4個(gè)班中各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)考試時(shí)，要求每位教師均不在本班監(jiān)考，則安排監(jiān)考的方法總數(shù)是( )A.8 B.9 C.10 D.114. 某體育彩票規(guī)定：從01至36個(gè)號(hào)中抽出7個(gè)號(hào)為一注，每注2元，某人想從01至10中選3個(gè)連續(xù)的號(hào)，從11至20中選2個(gè)連續(xù)的號(hào)，從21至30中選1個(gè)號(hào)，從31至36中選1個(gè)號(hào)組成1注，則這人把這種特殊要求的號(hào)買全，至少要花( )A.3360元 B.6720元 C.4320元 D.8640元5. 如圖10-1-3，在兒童公園中有四個(gè)圓圈組成的連環(huán)道路，從甲走到乙，不同路線的走法有( )A.2種 B.8種 C.12種 D.16種6. 將4個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，其中每個(gè)盒子都不空的放法共有( )A.34種 B.43種 C.18種 D.36種7. 設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子，現(xiàn)將這五個(gè)球投入這五個(gè)盒內(nèi)，要求每個(gè)盒內(nèi)投放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，則這樣的投放方法的總數(shù)為( )A.20 B.30 C.60 D.1208. 已知集合A=1,-2,3，B=-4,5,6,-7，從兩集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中第一、第二象限內(nèi)不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)有( )A.18 B.16 C.10 D.149. 北京某中學(xué)要把9臺(tái)型號(hào)相同的電腦送給西部地區(qū)的三所希望小學(xué)，每所小學(xué)至少得到兩臺(tái)，不同送法的種數(shù)共有( )A.10種 B.9種 C.8種 D.6種10. 某大學(xué)的信息中心A 與大學(xué)各部門、各院系B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 之間擬建立信息聯(lián)網(wǎng)工程，實(shí)際測算的費(fèi)用如圖10-1-4所示(單位：萬元) ，若不建立部分網(wǎng)線也能使中心與各部門、各院系都能相通(直接或中轉(zhuǎn)) ，則最小的建網(wǎng)費(fèi)用(萬元) 是( )A.12 B.13 C.14 D.16二、填空題(每題5分，共10分)11. 已知集合A=a，b ，c ，d ，e，B=-1，0，1，則從集合A 到集合B 的不同映射有_個(gè).12.72的正約數(shù)(包括1與72) 有_個(gè).三、解答題(每題20分，共40分)13.(1)由數(shù)字1，2，3可組成多少個(gè)三位數(shù)?(2)由0，1，2，9可組成多少個(gè)不同的四位數(shù)碼?(數(shù)字可重復(fù)使用)(3)由0，1，2，9可組成多少個(gè)不同的四位數(shù)碼?(數(shù)字不可重復(fù)使用)14. 用n 種不同顏色為下列兩廣告牌著色(如圖10-1-5) ，要求個(gè)區(qū)域中相鄰(有公共邊界) 的區(qū)域不用同一種顏色.(1)n=6時(shí)，為甲著色時(shí)，共有多少種不同方法?(2)若為乙著色時(shí)，共有120種不同方法，求n 的值.B 卷：綜合應(yīng)用創(chuàng)新練習(xí)題 (100分 60分鐘)一、學(xué)科內(nèi)綜合題(每題8分，共16分)1. 從-3，-2，-1，0，1，2，3中任取3個(gè)不同的數(shù)作為拋物線方程y=ax2+bx+c(a0)的系數(shù)，如果拋物線過原點(diǎn)且頂點(diǎn)在第一象限, 則這樣的拋物線共有多少條?2. 正方體ABCD 一A1B1C1D1中，與對角線AC1異面的棱有( )A.3條 B.12條 C.6條 D.9條二、學(xué)科間綜合題(6分)3. 如圖10-1-6為一電路圖，從A 到B 共有_條不同的單線路可通電.4. 用1克砝碼1個(gè),2克碼1個(gè)，5克碼5個(gè)，50克碼4個(gè)，共可稱量多少種不同重量(按天平使用規(guī)則，砝碼只能放在右邊)?四、創(chuàng)新題(54分)(一) 教材變型題(12分)5.(P85例1變型) 設(shè)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的油彩畫.(1)從中任選一幅布置房間，有多少種不同的選法?(2)從這些畫中，各選一種不同類的三幅畫布置房間，有幾種不同的選法?(3)從這些畫中，選出兩種不同類的各一幅畫布置房間，有多少種不同的選法?(二) 一題多解(8分)6. 甲、乙、丙、丁4人各寫一張賀年卡，放在一起，再各取一張不是自己的賀年卡，共有多少種不同取法?(三) 一題多變(9分)7. 某組有3名男生，4名女生.(1)從中選男生、女生各一名去開會(huì)，有多少種不同選法?(2)從中選一人去領(lǐng)獎(jiǎng)，有多少種選法?(3)從中選正副組長各一人，男女不限，有多少種不同的選法?(四) 新解法題(9分)8. 如圖10-1-7，在某個(gè)城市中，M 、N 兩地之間有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中路線前進(jìn)，則從M 到N 不同的走法總數(shù)有多少種?(五) 新情境題(每題8分，共16分)9. 用10元，5元,1元來支付20元，不同支付方法共有多少種?10. 如圖10-1-8，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)，連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量. 現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A 向結(jié)點(diǎn)B 傳遞信息，信息可以沿不同路線同時(shí)傳遞，則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為( )A.26 B.24 C.20 D.19五、高考題(每題8分，共16分)11.(2003，北京) 某班試用電子系統(tǒng)選舉班干部候選人, 全班k 名同學(xué)都有選舉權(quán)和被選舉權(quán); 他們的編號(hào)分別為1，2,3，k, 規(guī)定：同意按1, 不同意(舍棄權(quán)) 按0，令aij=其中i=1，2，k,j=1，2，k ，則同時(shí)同意第1、2號(hào)同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)為( )A.a11+a12+a1k+a21+a22+a2kB.a11+a21+ak1+a12+a22+ak2C.a11a12+a21a22+ak1ak2D.a11a21+a12a22+a1ka2k12.(1997，上海) 從集合0，1，2，3，5，7，11中任選3個(gè)元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A 、B 、C ，所得的經(jīng)過原點(diǎn)的直線有_ 條(結(jié)果用數(shù)值表示).課堂內(nèi)外費(fèi)馬大定理1637年左右,17世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一費(fèi)馬，在閱讀古希臘人丟番圖的巨著算術(shù)中第二卷的第八個(gè)問題將一個(gè)平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù)時(shí)，在問題旁邊的空白處，寫道然而此外，一個(gè)立方數(shù)不能分拆成兩個(gè)立方數(shù)，一個(gè)四次方數(shù)不能分拆成兩個(gè)四次方數(shù)，一般地說，任何次數(shù)大于二的高次方數(shù)都不可分拆成兩個(gè)冪次相同的數(shù). 我已經(jīng)找到這一定理的絕妙證明，可惜這里空白太狹小，寫不下用現(xiàn)代數(shù)學(xué)術(shù)語描述就是xn+yn=zn，當(dāng)n2時(shí)，無整數(shù)解. 這一段看似平淡的注解就是著名的費(fèi)馬大定理.自1665年費(fèi)馬大定理發(fā)表后，多少數(shù)學(xué)家為之花費(fèi)了大量時(shí)間乃至畢生精力，他們的研究或是失敗或是將定理向前推進(jìn)，但一直未徹底解決，直到有了高速計(jì)算機(jī)后，費(fèi)馬大定理的證明才有了突破性進(jìn)展.1955年前后，三位日本數(shù)學(xué)家曾猜想：有理數(shù)域上所有橢圓曲線都是模曲線. 到了80年代中期，德國數(shù)學(xué)家費(fèi)雷證明了若干猜想成立, 則可以推出費(fèi)馬大定理.1994年普林頓大學(xué)的數(shù)學(xué)教授維爾斯成功地證明了此猜想，從而證明了這一千古難題.參考答案A 卷一、1.A 點(diǎn)撥：按每堆蘋果的數(shù)量可分為4類，即1，4，5;2，3，5;3，3，4;2，4，4，且每類中只有一種分法，故選A.2.C 點(diǎn)撥：因?yàn)樵谒募弦轮腥稳∫患?種不同的方法，再在三件長褲中任取一件有3種不同的取法，要完成配套，由分步計(jì)數(shù)原理可得有43=12種不同的方法.3.B 點(diǎn)撥：由分步計(jì)數(shù)原理可得33=9種. 此題也可以用窮舉法把情況一一列舉出來.4.D 點(diǎn)撥：這種特殊要求的號(hào)共有89106=4320注，因此至少需花錢43202=8640元.5.D 點(diǎn)撥：在每圓圈兩側(cè)均各有一條路可供選擇，因此從甲地到乙地共有2222=16種不同的路線.6.D 點(diǎn)撥：將4個(gè)不同的小球放入3個(gè)盒子中，每個(gè)盒子至少放1個(gè)，則必有一個(gè)盒子放兩個(gè)球，另兩個(gè)盒子各放入1個(gè)球. 因此可先將4個(gè)球分為2，1，1的三堆，設(shè)四個(gè)小球?yàn)锳 ，B ，C ，D ，則可分為：AB ，C ，D;AC ，B ，D;AD ，B ，C;BC ，A ，D;BD ，A ，C;CD ，A ，B 共6種. 又將它們裝入三個(gè)不同的盒子中，選一種情況放入編號(hào)盒中，1，2，3，AB ，C ，D;AB ，D ，C;C ，AB ，D;C ，D ，AB;D ，AB ，C;D ，C ，AB 共6種放法. 故共有66=36種放法.7.A 點(diǎn)撥：先從5個(gè)球中選出2個(gè)球放入與它們編號(hào)相同的盒子中，有10種方法，再把余下的三個(gè)球放入與它們編號(hào)不相同的3個(gè)盒子中，有2種放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有210=20種放法.8.D 點(diǎn)撥：第一、第二象限點(diǎn)須y0，這些點(diǎn)可分為xA ，yB 與xB ，yA 的兩類. 前者有32=6種，后者有24=8種，所以共有6+8=14種.9.A 點(diǎn)撥：每所學(xué)?？傻秒娨暸_(tái)數(shù)有3類情形：5，2，2臺(tái)，有3種送法; 4，3，2臺(tái)，有6種送法; 3，3，3臺(tái)，有1種送法. 所以一共有3+6+1=10種不同的送法.10.B 點(diǎn)撥：最小費(fèi)用時(shí)信息聯(lián)網(wǎng)工程如答圖10-1-1，還有其他情形未畫出.二、11.243 解：由映射定義，A 中每一個(gè)元素在B 中的象都有3個(gè)可能，所以可建立不同映射個(gè)數(shù)為35=243.12.12 解：72=2232，72的正因數(shù)具有形式為2a3b 的數(shù)，其中a0，1，2，3，b0，1，2，因此，共有正因數(shù)43=12個(gè).三、13. 解：(1)利用填框圖的方法，分三步完成填得一個(gè)三位數(shù)，百位數(shù)，十位數(shù)，個(gè)位數(shù)每一個(gè)數(shù)位均有3個(gè)填法，依分步計(jì)數(shù)原理，共有33=27個(gè)三位數(shù).(2)可組成104=10000個(gè)四位數(shù)碼.(3)因數(shù)字不可重復(fù)使用，故可組成10987=5040個(gè)四位數(shù)碼.14. 解：(1)完成著色這件事共分四個(gè)步驟：為著色有6種，為著色有5種，為著色有4種，為著色也有4種，故共有著色方法6544=480種.(2)與(1)不同在于有三塊相鄰的區(qū)域了，則不同的著色是n(n-1)(n-2)(n-3).由題設(shè)，n(n-1)(n-2)(n-3)=120，(n2-3n)(n2-3n+2)=120.令n2-3n=t，則t2+2t-1210=0，t=10.n2-3n=10.n=5.(n=-2舍去)B 卷一、1. 解：拋物線y=ax2+bx+c過原點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第一象限，a 、b 、c 應(yīng)滿足所以分三步，a=-3，-2，-1，b=1，2，3，c=0.所以，拋物線的條數(shù)為331=9.2.C 解：在底面有BC ，CD ，B1C1，C1D1，在側(cè)面有BB1，DD1與對角線AC1異面.二、3. 解：從A 到B 共有3+1+22=8條不同的單線路可通電.三、4. 解：每一重量只能由砝碼的一種組合構(gòu)成，因不同的重量數(shù)僅僅與所選用的不同砝碼的個(gè)數(shù)有關(guān)，不同的砝碼數(shù)構(gòu)成不同的重量數(shù)，同一重量數(shù)不會(huì)有多種稱法. 這樣本題可轉(zhuǎn)化為怎樣選取這些砝碼. 對1克的砝碼有取與不取兩種方法，對2克砝碼也有2種，對5克砝碼有6種取法，50克砝碼有5種取法，但均不取是無法稱重的，所以. 可稱重的不同質(zhì)量數(shù)為2265-1=119種.四、(一)5. 解：(1)做完這件事有三類方法：選國畫、油畫或選水彩畫，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，一共有5+2+7=14種方法.(2)完成選三幅不同的畫布置房間有三個(gè)步驟：第一步選國畫，第二步選油畫，第三步選水彩畫. 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有527=70種方法.(3)一共有52+57+27=59種方法.(二)6. 解：如下表：人甲乙丙丁卡乙甲丙丁丁丁甲丙甲丙思路1：排出所有的分配方案，用窮舉法得本題解.思路2：甲取乙卡分配方案如表所示，此時(shí)乙有甲、丙、丁3種取法，若乙取甲，則丙取丁，丁取丙，故有3種分配方案.由分類計(jì)數(shù)原理，共有3+3+3=9種.思路3：分步法：第一步甲取1張不是自己的卡，有3種取法，第2步由甲取出的那張賀卡的供卡人取，也有3種取法，第三步由剩余兩人中任一人去取，此時(shí)，只有一種取法，第四步最后一人取也只有一種取法，所以共有3311=9種.點(diǎn)撥：這類問題一般情況是：n 個(gè)編號(hào)為1，2，n 的小球放入編號(hào)為1，2，n 的盒子中，而限制第i(i=1，2，n) 個(gè)球不放入第i 個(gè)盒子里，問共有多少種放法?一般結(jié)論是A-A+A-+(-1)nA.(此點(diǎn)用到下節(jié)排列的知識(shí))(三)7. 解：(1)34=12種.(2)3+4=7種.(3)76=42種.(四)8. 解：如答圖10-1-2，從M 到A1，A2，A3，A4，A5的走法分別有1，2，3，4，5種，然后從Ai(i=1，2，3，4，5) 到N 的走法都只有一種，所以，由兩個(gè)原理得從M 到N 的走法共有11+21+31+41+51=15種.點(diǎn)撥：本題求解的關(guān)鍵是把M 到N 分成兩步走.(五)9. 解：支付方法可分為三類：第一類為只使用10元或只使用5元或只用1元來支付，有3種方法; 第二類是使用其中的兩樣，使用10元和5元的支付與使用10元和1元的支付，都各有1種方法，使用5元和1元的支付有3種方法，若使用10元、5元，1元三樣支付，則只有1個(gè)方法，所以共有3+5+1=9種支付方法.10.D 點(diǎn)撥：該題是規(guī)劃問題，對于我們是一個(gè)陌生情境，其實(shí)只要把傳遞的最大信息量類比成水流量的瓶頸問題，即一條水管所流過的水量等于水管中最窄地方流過的水量問題，而A 到B 所傳遞信息等于每條路線所傳遞的信息量之和，故從A 到B 傳遞的最大信息為3+4+6+6=19.五、11.C 點(diǎn)撥：由題意，ak1，ak2分別表示第k 號(hào)同學(xué)選舉第1號(hào)，第2號(hào)同學(xué)的情況. 由于所求的是同時(shí)同意第1、2號(hào)同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)，而ak1ak2即可表示第k 號(hào)同學(xué)是否同意第1、2號(hào)同學(xué)當(dāng)選，若同時(shí)同意，則ak1ak2=1，若不同時(shí)同意，則ak1ak2=0，故所求人數(shù)為. 本題難點(diǎn)在于理解題意，題意一旦讀懂，選項(xiàng)則一目了然了.12.30 點(diǎn)撥：因直線過原點(diǎn)，所以C=0，從0，1，2，3，5，7，11這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)作為A ，B 兩數(shù)，且順序不同，表示直線不同，所以直線的條數(shù)為65=30.