金融數(shù)學(xué)均值方差分析與資本資產(chǎn)定價模型ppt課件

數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,1,在2013-2014年度我承擔(dān)的教學(xué)任務(wù)是應(yīng)用時間序列分析和概率統(tǒng)計公共課。在進(jìn)一步總結(jié)上一年經(jīng)驗教訓(xùn)的基礎(chǔ)上，在這一學(xué)年的教學(xué)中，我更加盡心盡力，并注意細(xì)節(jié)和改革。 這一年下來，說實話感覺很累。應(yīng)用時間序列分析這門課上學(xué)的時候?qū)W過，但當(dāng)時的教材是北大編的研究生教材，理論性很強，又缺乏實際的操作。于是我從圖書館借了所有的時間序列教材，經(jīng)過精心挑選，比較，最終選擇了中國人民大學(xué)出版社出版的經(jīng)典教材。之所以選擇它，是因為這本書能夠很好的融合理論與實踐。,2,應(yīng)用時間序列分析是一門理論性和應(yīng)用性都很強的課程，不能把理論和應(yīng)用割裂開來，而要注重二者的結(jié)合。只講理論，則失去了應(yīng)用價值；只講應(yīng)用，學(xué)生會缺乏基本的理論素養(yǎng)和科研創(chuàng)新基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)專業(yè)要避免只重視定性分析的理論推導(dǎo)而忽視進(jìn)行定量分析的實際操作，因此，選擇一套適合專業(yè)需求的教材，靈活把握好理論和實踐的“度”，恰當(dāng)?shù)靥幚砗没A(chǔ)知識和應(yīng)用的銜接與搭配，是做好時間序列分析課教學(xué)改革的關(guān)鍵所在。,3,從定下這本書開始，到最終講課，看了足有10遍。 對這門課的準(zhǔn)備還得從蔣翠霞老師在說起，那時就準(zhǔn)備接手這門課，所以已經(jīng)把這本書的第一版利用寒暑假看了兩三遍，課后題也做了一遍。后來在準(zhǔn)備考試時，又看了一本金融計量學(xué)-時間序列分析視角。所以后來張學(xué)清主任找我講這門課的時候我很爽快的答應(yīng)了。并且利用暑假時間看了課件。但當(dāng)我真正開始上課，我感覺后悔了。這門專業(yè)課要想給同學(xué)們講好，要求對內(nèi)容的熟悉與貫通遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是能夠看懂這么簡單。一周只有兩次課，但除了上課的時間，基本上就是在備課，很耗心血，有時晚上孩子說想讓媽媽陪睡覺，但課還沒背完，也沒辦法，有時想來真的是不易。,4,從教學(xué)計劃，實驗計劃，實驗大綱，實驗指導(dǎo)書的制定，到最終多媒體教學(xué)的完成，每一步都傾注了大量的心血，學(xué)生的實驗報告一次就70份，每次都要評閱。除了實驗報告，還有純數(shù)學(xué)的理論推導(dǎo)和計算題作業(yè)需要批改，任務(wù)量很大。除了上課，同學(xué)們在完成實驗或論文時也總會遇到問題，所以課下也經(jīng)常與同學(xué)們用短信，qq，email等多種方式溝通討論。,5,總體感覺，老師教的累，學(xué)生學(xué)得累，原因就是任務(wù)量大，但付出總會有回報，期末考試，同學(xué)們理論基礎(chǔ)扎實熟練，平均分80分以上，并且動手實踐能力強，熟練掌握EVIEWS軟件，所寫論文水平高，有些同學(xué)的論文經(jīng)過修改已經(jīng)能夠發(fā)表。同學(xué)們也對我的工作給予了肯定，單這門課的評教成績給出了94.93分，并且在各級領(lǐng)導(dǎo)的支持下我還成功獲批教改項目一項。下面我將課程設(shè)計和改革方面做簡單的介紹。,6,1. 注重教學(xué)理念的創(chuàng)新和教學(xué)方法的多樣化.,時間序列分析課兼具理論性、實用性和可操作性，單一的教學(xué)模式根本無法體現(xiàn)該課程的多重特點，所以在講授過程中我會根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，靈活采取多種教學(xué)手段和教學(xué)方式。 比如，在講解AR模型的方差時，必須要給出AR模型的傳遞形式，而對于Green函數(shù)的推導(dǎo)過程，僅通過學(xué)生自己看書推導(dǎo)是很難完成的，我就會通過多媒體給出主要思路，盡可能采取啟發(fā)式，大家共同討論給出詳細(xì)推導(dǎo)過程，然后在黑板上寫出來。,7,像這樣的大篇幅的理論推導(dǎo)在時間序列分析這門課中并不少，它的理論類似于隨機(jī)過程，但討論的是時間序列。而對于模型的創(chuàng)建和預(yù)測，可以結(jié)合案例，通過講解，再讓學(xué)生在實驗室通過上機(jī)操作研究和處理。通過自主探究和團(tuán)隊合作綜合解決問題。,8,2.以實驗室建設(shè)為依托，大力發(fā)展統(tǒng)計軟件的學(xué)習(xí)和使用，增強時間序列分析課的實用性.,時間序列分析的應(yīng)用離不開統(tǒng)計軟件，要想有效地分析數(shù)據(jù)、解決實踐問題，必須掌握一兩門統(tǒng)計軟件。對數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，主要掌握eviews以及spss軟件，不僅是因為它是目前最權(quán)威的計量分析領(lǐng)域的國際標(biāo)準(zhǔn)軟件， 而且具有操作簡單，輸出結(jié)果清晰容易理解，軟件所占空間小等優(yōu)勢。,9,我給同學(xué)們建了公共郵箱，每次實驗的數(shù)據(jù)，包括例題和習(xí)題，都整理好發(fā)到公共郵箱里，并自編了實驗指導(dǎo)書，作為每次實驗的參考。為了給同學(xué)們實踐的機(jī)會，還特意布置了課程論文，光是課程論文的題目我就準(zhǔn)備了2個星期，要選擇同學(xué)們通過努力能完成的，又要選擇能夠找到數(shù)據(jù)的，在寫論文之前又要講解論文的寫作發(fā)法，不過最終同學(xué)們都很努力，一共11小組，都順利的提交了論文，而且完成的都很出色。,10,3.精心選擇有實際意義的案例研究，融入時間序列分析課堂教學(xué).,根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要，精心選擇有代表性、有針對性和客觀性強的數(shù)據(jù)資料作為案例，在講授這門課時我手里的參考書就10多本，然后對案例進(jìn)行細(xì)致的剖析和廣泛的討論，一方面致力于解決實際問題，同時也讓學(xué)生直接體會到理論知識在現(xiàn)實中的應(yīng)用，這種教學(xué)方式能夠極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性。 以平穩(wěn)時間序列模型為例：,設(shè)計一個問題情景：選擇合適的ARMA模型擬合18801985年全球氣表平均溫度改變值差分序列。,11,面對這樣的問題，學(xué)生先小組討論。然后是給出序列自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖；最后選擇模型，進(jìn)行模型估計，模型檢驗。,12,每個小組根據(jù)小組討論的結(jié)果，根據(jù)AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則給出最終的優(yōu)化模型。 教師針對每個小組給出的解決方案，給予點評，并進(jìn)一步總結(jié)平穩(wěn)序列建模的方法。,13,4.轉(zhuǎn)變考核方式，從橫、縱兩個方向拓寬時間序列分析課程考核方式，提升學(xué)生的綜合實踐能力。,結(jié)合這門課的特點，考核方式做了很大變動，體現(xiàn)了過程性評價的內(nèi)容：包括學(xué)生的課堂表現(xiàn)、實驗報告、課外作業(yè)、課程論文設(shè)計以及期末考試等,1、課堂表現(xiàn)考核評價（10%）：包括出勤率、小組合作、小組過程設(shè)計、回答問題等以及課堂參與的積極性，以及每名同學(xué)的上課表現(xiàn)。 2、作業(yè)情況考核評價（10%）：包括課后作業(yè)的完成數(shù)量和質(zhì)量。,14,3 實驗報告考核（20%）：每次實驗的例題習(xí)題的完成情況，以及所采用的方法和命令是否正確，以及格式步驟是否得當(dāng)。 4 課程論文(項目)考核（20%）：綜合考核學(xué)生的實踐能力，以及分析問題解決問題的能力，以及小組合作情況。,5、考試考核評價（40%）：對學(xué)生期末考試等大型檢測的成績，主要考核學(xué)生對理論知識的掌握情況。,15,對公共課的教學(xué)，我仍然堅持，提綱挈領(lǐng)， 融會貫通， 化繁為簡 ，輕松掌握的原則。 用最通俗易懂的語言，言簡意賅的去表達(dá)，用生活中的例子做類比，讓同學(xué)們能輕松的理解與掌握要學(xué)的知識點，并且不容易忘記。每堂課復(fù)習(xí)上節(jié)所學(xué)知識點，進(jìn)而引出要學(xué)的新知識，做到溫故知新。對知識點的理解是：概念-例題-習(xí)題-概念的過程來完成，通過習(xí)題理解定義，掌握方法，探討數(shù)學(xué)中的哲理，從書本中來，到生活中去，再體會書中知識。力求學(xué)以致用。,16,17,18,19,20,第2章 均值方差分析,21,第2章 均值方差分析,1.兩種證券投資組合的均值-方差,2.均值-方差分析及兩基金分離定理,本章內(nèi)容概覽,3.具有無風(fēng)險資產(chǎn)的均值-方差分析,0.證券投資組合理論概述,22,投資組合理論形成 馬柯維茲(Harry Markowitz)1952年在 Journal of Finance發(fā)表了論文資產(chǎn)組合的選擇，標(biāo)志著現(xiàn)代投資理論發(fā)展的開端。,第0節(jié)證券投資組合理論概述,23,馬科維茨1927年8月出生，在芝加哥大學(xué)讀經(jīng)濟(jì)系。在研究生期間參加了計量經(jīng)濟(jì)學(xué)會的證券市場研究工作。 馬科維茨認(rèn)為投資者并不簡單地選內(nèi)在價值最大的股票，而不僅要考慮收益，還擔(dān)心風(fēng)險，分散投資是為了分散風(fēng)險。當(dāng)時主流意見是集中投資。,24,馬克維茨運用線性規(guī)劃來處理收益與風(fēng)險的權(quán)衡問題，給出了選擇最佳資產(chǎn)組合的方法，完成了論文，1959年出版了專著，不僅分析了分散投資的重要性，還給出了如何進(jìn)行正確的分散方法。 馬的貢獻(xiàn)是開創(chuàng)了在不確定性條件下理性投資者進(jìn)行資產(chǎn)組合投資的理論和方法，第一次采用定量的方法證明了分散投資的優(yōu)點。他用數(shù)學(xué)中的均值方差，使人們按照自己的偏好，精確地選擇一個確定風(fēng)險下能提供最大收益的資產(chǎn)組合。獲1990年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。,25,投資過程,投資過程的兩個重要任務(wù)： 進(jìn)行證券分析和市場分析：評估所有可能投資工具的風(fēng)險和期望回報率特性 在對證券市場進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，投資者確定最優(yōu)的證券組合：從可行的投資組合中確定最優(yōu)的風(fēng)險-回報機(jī)會，然后決定最優(yōu)的證券組合最優(yōu)投資組合理論 選擇的目標(biāo)：使得均值-標(biāo)準(zhǔn)差平面上無差異曲線的效用盡可能的大 選擇的對象：均值 -標(biāo)準(zhǔn)差平面上的可行集,26,投資組合理論的假設(shè)條件 投資者遵循效用最大化原則； 投資期為1期； 投資者是風(fēng)險回避者； 投資者根據(jù)均值、方差及協(xié)方差來選擇最佳投資組合； 市場是完善的；,27,投資組合的過程,資本配置 整個資產(chǎn)中無風(fēng)險資產(chǎn)和風(fēng)險資產(chǎn)之間的配置比例 資產(chǎn)配置 風(fēng)險資產(chǎn)組合的投資決策，兩種和更多風(fēng)險資產(chǎn)如何組合 找到證券組合的有效前沿，與投資者效用函數(shù)相切獲得最優(yōu)投資組合,28,投資組合理論的基本思想,投資組合是一個風(fēng)險與收益的 權(quán)衡問題，此外投資組合通過分散化的投資來對沖掉一部分風(fēng)險。 “nothing ventured, nothing gained” “for a given level of return to minimize the risk, and for a given level of risk level to maximize the return“ “Dont put all eggs into one basket”,29,實現(xiàn)方法,收益證券組合的期望報酬 風(fēng)險證券組合的方差 風(fēng)險和收益的權(quán)衡求解二次規(guī)劃,30,第1節(jié) 兩種證券投資組合的均值-方差,1.1 投資組合,設(shè)有兩種風(fēng)險資產(chǎn)證券，,記為A和B，,31,注：權(quán)重為正數(shù)，意味著投資者買入該資產(chǎn)。 如果是賣空，投資于資產(chǎn)的權(quán)重是負(fù)數(shù)。,例如：假設(shè)你借100股某公司的股票，市場價格為10元， 那么將股票賣出，可獲得1000元現(xiàn)金。一段時間 之后，該股票的價格5元，你在市場上購買100股， 支付現(xiàn)金500，兩者之間的差額為500元，你可以獲利。,32,舉例說明,1.如果你有資金1000元，投資于證券的金額為400元，投資于證券的金額為600元，,則有,33,舉例說明,2.假設(shè)你有資金1000元，賣空證券獲現(xiàn)金600元，共有1600元，投資于證券，于是,對于資產(chǎn),則有,34,投資組合的期望收益與方差,設(shè)證券A的收益率為RA，證券B的收益率RB是隨機(jī)變量，,假設(shè)我們已知RA和RB的概率分布，,稱,35,投資組合的期望收益與方差,則期望收益,36,投資組合的期望收益與方差,37,例2.1,38,例2.1（續(xù)）,39,例2.2,40,例2.2（續(xù)）,41,例2.3,42,1.2 聯(lián)合線,假設(shè),由式（1）,（1）假設(shè),和,不相關(guān)，,由式（2）,43,設(shè)自有資金1000元，,賣空證券收入為500元，,將這兩種資金(共1500元)投資于證券，,計算得,代入式（3）和式（4）得,44,表2.1 不同投資組合的期望收益和收益標(biāo)準(zhǔn)差,利用上述表格中的數(shù)據(jù)在,的坐標(biāo)系之下畫出一條曲線,稱為證券A和證券B的聯(lián)合線（結(jié)合線）。,45,聯(lián)合線,圖2.1 證券A和B的收益率完全不相關(guān)時的聯(lián)合線,賣空B投資于A,同時投資于A和B,賣空A投資于B,46,假設(shè)相關(guān)系數(shù)不為零，,（2） 假設(shè)RA和RB完全正相關(guān),在（RA，RB）坐標(biāo)系內(nèi)，,是一條斜率為正的一條直線，即,如果,47,圖2.2 證券A和證券B收益率完全正相關(guān)時的示意圖,48,當(dāng)RA和RB完全正相關(guān)時，相關(guān)系數(shù),由式(3.1.2)，,49,表2.2 不同wA值的期望收益率和收益率標(biāo)準(zhǔn)差,50,正相關(guān)時的聯(lián)合線,51,（3） 假設(shè)RA和RB完全負(fù)相關(guān),在（RB，RA）坐標(biāo)系內(nèi)，,是一條斜率為負(fù)的一條直線，即,得,解得,52,于是得此直線的方程為,圖2.3 證券A和證券B收益率完全負(fù)相關(guān)情況下的示意圖,53,當(dāng)RA和RB完全負(fù)相關(guān)時， 相關(guān)系數(shù)為-1，,此時,表2.3 不同wA值的收益率期望和標(biāo)準(zhǔn)差,54,完全負(fù)相關(guān)的情況,55,圖2.4 3種不同情況下的聯(lián)合線,56,1.3 兩種投資組合均值-方差分析,設(shè)有兩種證券A和B，,證券A的期望收益記為,證券B的期望收益記為,設(shè),設(shè)投資于證券A的資金權(quán)重為,投資于證券B的權(quán)重記為,滿足,投資組合,的期望收益記為,則有,投資組合的收益率,的方差,57,由式(9)和式(10)解得,代入式(10)，得,整理后，可得,58,1.3 兩種投資組合均值-方差分析,若RA和RB不完全相關(guān)，,則,于是式(12) 的右端作為,的二次函數(shù)恒大于零，,可以寫成,的形式。,代入式（12），得,易見方程(13)在,平面上的圖形是雙曲線，,由于,它只有開口向右的一支。,59,1.3 兩種投資組合均值-方差分析,（1）若RA和RB完全正相關(guān)，,可見方程(14)的圖形是從,出發(fā)的兩條射線，,其中的一條是,60,1.3 兩種投資組合均值-方差分析,另一條是,（2）如果RA和RB完全負(fù)相關(guān)，,此時,也是兩條射線，,這兩條射線從,出發(fā)指向右方，,61,1.3 兩種投資組合均值-方差分析,其中一條通過點,其方程為,另一條通過點,其方程為,62,1.3 兩種投資組合均值-方差分析,（3）如果RA和RB無關(guān)，,此時,方程(12)變?yōu)?方程(20)是一條經(jīng)過,和,的雙曲線 ，,其頂點為,對應(yīng)于此頂點的投資組合，方差最小，,其方差,而其期望收益介于A和B之間。,63,圖2.5 不同情況下投資組合均值與方差的關(guān)系,64,可行區(qū)域 可行區(qū)域也稱資產(chǎn)組合的機(jī)會集合。它表示在收益和風(fēng)險平面上，由多種資產(chǎn)所形成的所有期望收益率和方差的組合的集合。 可行區(qū)域包括了現(xiàn)實生活中所有可能的組合，即所有可能的證券投資組合將位于可行集的內(nèi)部或邊界上。,65,66,第二節(jié) 均值方差分析及兩基金分離定理,67,2.1投資組合的期望收益和方差,設(shè)市場只有n種風(fēng)險資產(chǎn)，,僅有兩個時刻，,時刻0代表今天，時刻1代表明天，,其單期收益為,記,為收益率向量。,設(shè),稱w為投資組合，,其中wi是在第i種資產(chǎn)Xi上的投資比例，,滿足,這里沒有,的限制，,說明市場有做空機(jī)制。,68,以,表示第i種資產(chǎn)收益的期望值，,為期望收益向量。,若w為投資組合，,滿足,投資組合的收益率,也是隨機(jī)變量，,其期望值,稱為投資組合的期望收益。,69,設(shè),是n維向量，,記,稱n階矩陣,為收益率的方差協(xié)方差陣。,如果,為可逆、正定的，,投資組合,的收益率,的方差為,用矩陣表示,70,2.1投資組合的期望收益和方差,有效投資組合 的假設(shè)條件,(1) 僅存在無風(fēng)險利率Rf,可以無限制借貸，,(2) 假設(shè)市場上的投資者的效用函數(shù)都是均值方差效用函數(shù)，,(3) 假定市場無摩擦，即無任何交易成本，無稅收，資產(chǎn)數(shù)量 單位無限可分,(4) 假定市場的參與者都有相同的預(yù)期。,71,2.2 有效投資組合,定義2.1,如果一個投資組合對確定的方差具有最大的期望收益， 或者對于確定的期望收益，有最小的方差， 這樣的投資組合稱為“均值方差”有效的投資組合。,定義2.2,如果一個投資組合對確定的期望收益有最小的方差， 那么稱該投資組合為最小方差投資組合。,72,可行資產(chǎn)組合,均方有效前沿,最小方差資產(chǎn)組合集,注：陰影部分代表資產(chǎn)組合的可行區(qū)域，AB弧表示的邊界為有效資產(chǎn)組合集， 它也稱為資產(chǎn)組合的有效前沿“，而可行區(qū)域的整個邊界（AB弧和AC?。?即為最小方差資產(chǎn)組合集。,結(jié)論：均方有效的資產(chǎn)組合也是最小方差資產(chǎn)組合，但其逆不對。,全局最小方差 資產(chǎn)組合,MVP,可行區(qū)域,73,2.3求最小方差投資組合的 數(shù)學(xué)模型及其求解,求最小方差投資組合可歸結(jié)為如下最優(yōu)模型,的求解問題。,74,2.3求最小方差投資組合的 數(shù)學(xué)模型及其求解,模型（2.4）是具有等式約束的二次規(guī)劃問題，可以用Lagrange乘數(shù)法求解，令,最優(yōu)解的一階條件為,75,2.3求最小方差投資組合的 數(shù)學(xué)模型及其求解,假設(shè),可逆，,由方程（2.5a）得到最優(yōu)解:,將式（2.6）代入式（2.5c），得,將式（2.6）代入式（2.5c）得,76,其中,(2.8a),因為,可逆，,又,所以,由（2.7a）及（2.7b）得,（2.8b),代入（2.6）式，得,(2.9a),77,例2.4,78,例2.4（續(xù)）,79,2.4 均值方差分析,對一般n種資產(chǎn)的情形,收益水平,的最小方差投資組合的方差為,再將,和,代入得,80,2.4 均值方差分析,0,在最小方差組合的方差均值空間是拋物線，,其頂點是,圖2.6 最小方差組合的收益均值與方差的關(guān)系,81,2.4 均值方差分析,討論最小方差投資組合的期望收益和其標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系,將方程（2.9b）改寫為,由（2.10）可見，在標(biāo)準(zhǔn)差均值空間種的圖形是雙曲線，,82,2.4 均值方差分析,0,圖2.7 最小方差組合的期望收益與標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系,全局最小方差資產(chǎn)組合,83,2.5 兩基金分離定理,討論全體最小方差組合構(gòu)成的集合的性質(zhì)：,任何一個最小方差投資組合都可以用兩個特殊的 最小方差投資組合的凸組合表示。,這條性質(zhì)稱為兩基金分離定理。,由式（2.6）得,84,2.5 兩基金分離定理,其中，,假設(shè),顯然，,而且由式（2.8b）得,85,2.5 兩基金分離定理,令,則,所以,具有如下性質(zhì)：,因為,所以對于權(quán)系數(shù),相應(yīng)的資產(chǎn)組合的收益率,86,2.5 兩基金分離定理,由（2.9a）知，,是全局最小方差投資組合,稱wd為分散化資產(chǎn)組合，,對應(yīng)的期望收益率為,將,代入式（2.9a）得,由圖2.6可見，,相應(yīng)于期望收益率,的最小方差投資組合是所有有效投資組合,中方差最小的一個，,稱它為全局最小方差投資組合。,87,2.5 兩基金分離定理,同樣，,將,代入式（2.9a）可得,因此,是相應(yīng)于期望收益率,的最小方差投資組合。,定理2.1 （兩基金分離定理）：,任意最小方差投資組合都可以唯一的表示為全局最小方差投資組合,和可分散化資產(chǎn)組合,的組合，即,88,2.5 兩基金分離定理,這里,從定理2.1可見 ，,對于任意的,相應(yīng)的最小方差資產(chǎn)組合可以表示成相應(yīng)于,和,的最小方差投資組合,和,的組合 。,稱,和,為共同基金。,89,2.5 兩基金分離定理,兩資產(chǎn)組合,和,期望收益之差,因為,所以,與,之差的符號取決于A的符號。,（1）如果全局最小方差的資產(chǎn)組合的收益率為正，則,在相應(yīng)的雙曲線的上半葉上。,（2）如果,則相反，在允許賣空的情況下，這種情況也可能出現(xiàn)。,90,2.5 兩基金分離定理,注1,對于任意兩個不同期望收益水平的最小方差資產(chǎn)組合,和,他們與,和,有相同的分離作用，,即,可表示為,和,的組合。,91,注1證明：,由兩基金分離定理，,和,可由,和,表示如下,由式（2.18a）和式（2.18b），,將,和,解出，得,92,注1證明：,由,將（2.19）和（2.10）代入，得,顯然,這說明,可用,和,的組合來表示。,93,2.5 兩基金分離定理,注2,對任意的投資組合w,有,設(shè),和,是兩個最小方差組合，,則,94,注2 證明,95,注2 證明,96,2.5 兩基金分離定理,若,是一個最小方差資產(chǎn)組合，,其方差不是全局最小值，,則存在最小方差資產(chǎn)組合,使,稱,和,為零,相關(guān)（即協(xié)方差為零）的有效投資組合。,97,第三節(jié) 具有無風(fēng)險資產(chǎn)的均值-方差分析,98,3.1 具有無風(fēng)險資產(chǎn)的有效投資組合,假定市場存在n種風(fēng)險資產(chǎn),及無風(fēng)險資產(chǎn),無風(fēng)險資產(chǎn)的收益率是一常數(shù)，,設(shè)為,以w表示風(fēng)險資產(chǎn)組合的權(quán)系數(shù)，,是投資于無風(fēng)險資產(chǎn)的權(quán)系數(shù)，,表示投資于n+1種資產(chǎn)的投資組合的期望收益，,則,即,99,3.1 具有無風(fēng)險資產(chǎn)的有效投資組合,當(dāng)投資者在市場上可以獲得無風(fēng)險資產(chǎn)時， 資產(chǎn)組合問題在兩方面發(fā)生了變化。,（1）與只有風(fēng)險資產(chǎn)的預(yù)算約束不同的是，若投資者 在無風(fēng)險資產(chǎn)的投資權(quán)重為 正時，表示儲蓄；若權(quán) 重為負(fù)，則表示為購買風(fēng)險資產(chǎn)而籌集資金，即借貸。,（2）與只有風(fēng)險資產(chǎn)的預(yù)算約束不同的是，平均收益率 的限制必須表達(dá)成超額收益率形式。,100,3.1 具有無風(fēng)險資產(chǎn)的有效投資組合,最小方差資產(chǎn)組合問題可表示為如下的優(yōu)化問題,利用拉格朗日乘數(shù)法，求解此二次規(guī)劃問題，令,101,3.1 具有無風(fēng)險資產(chǎn)的有效投資組合,最優(yōu)解的一階條件為,解得最優(yōu)解,102,3.1 具有無風(fēng)險資產(chǎn)的有效投資組合,則,103,3.2 具有無風(fēng)險資產(chǎn)的均值方差分析,104,3.2 具有無風(fēng)險資產(chǎn)的均值方差分析,（1）在均值方差坐標(biāo)系下，最小方差資產(chǎn)組合的圖形是拋物線，,（2）在均值和標(biāo)準(zhǔn)差坐標(biāo)系下，圖形是從點出發(fā)的兩條射線，,斜率分別為,105,3.3 兩基金分離定理,106,3.3 無風(fēng)險資產(chǎn)情況下的兩基金分離定理,所有最小方差資產(chǎn)組合可表示成兩個不同的資產(chǎn)組合的 資產(chǎn)組合，在這種情況下，有一種自然的基金選擇,即無風(fēng)險資產(chǎn)和不含無風(fēng)險資產(chǎn)的組合，即所謂切點資產(chǎn)組合，,其中,這一性質(zhì)稱為無風(fēng)險資產(chǎn)存在情況下的“兩基金分離定理”或“貨幣分離定理”。,107,3.4 切點組合的含義,108,3.4 切點組合的含義,切點資產(chǎn)組合,全局最小方差組合,109,3.4 切點組合的含義,證明,110,3.4 切點組合的含義,切線方程為,111,3.5 具有無風(fēng)險資產(chǎn)情況下的超額收益率,于是,112,113,114,例3.5,115,例3.5（續(xù)）,116,例3.5（續(xù)）,117,例3.5（續(xù)）,118,3.5 具有無風(fēng)險資產(chǎn)情況下的超額收益率,由式(3.10)得,由式（3.11）得,所以,119,3.3.5 具有無風(fēng)險資產(chǎn)情況下的超額收益率,定義3.3：,定理3.2:,當(dāng)市場存在無風(fēng)險資產(chǎn)時,任意資產(chǎn)收益率,的超額收益率可以用如下公式表示,120,3.6 市場僅存在風(fēng)險資產(chǎn)情況下的超額收益率,由式(3.3.13)和式(3.3.14)，得,121,3.3.6 市場僅存在風(fēng)險資產(chǎn)情況下的超額收益率,對雙曲線上其他的最小方差資產(chǎn)組合，可通過使用全局方差最小資產(chǎn)組合 和可分散化資產(chǎn)組合的資產(chǎn)組合來表示其收益率。由兩基金分離定理,有,利用式(3.3.11)和式(3.3.13)，得,122,3.3.6 市場僅存在風(fēng)險資產(chǎn)情況下的超額收益率,由式(3.3.17)和式(3.3.18)解出,此時,代入式(3.19)得,123,3.6 市場僅存在風(fēng)險資產(chǎn)情況下的超額收益率,結(jié)論：上半葉上最小方差資產(chǎn)組合的零beta資產(chǎn)組合 必在雙曲線的下半葉，反之也成立。,124,3.6 市場僅存在風(fēng)險資產(chǎn)情況下的超額收益率,定理3.3：,假設(shè)市場上不存在無風(fēng)險資產(chǎn)，,125,3.7系統(tǒng)風(fēng)險和非系統(tǒng)風(fēng)險,126,3.7系統(tǒng)風(fēng)險和非系統(tǒng)風(fēng)險,由式(3.20a),127,128,系統(tǒng)性風(fēng)險與非系統(tǒng)性風(fēng)險,可分散化的風(fēng)險 非系統(tǒng)性風(fēng)險 殘留風(fēng)險,業(yè)務(wù)風(fēng)險,財務(wù)風(fēng)險,對于有效的投資組合，這種 風(fēng)險并不存在，已經(jīng)被分散化。,不可分散的風(fēng)險 系統(tǒng)性風(fēng)險 市場投資者組合風(fēng)險,市場風(fēng)險,購買力風(fēng)險,利率風(fēng)險,對于有效的投資組合，這是唯一的風(fēng)險源， 是不可分散的。,總風(fēng)險=系統(tǒng)性風(fēng)險+非系統(tǒng)性風(fēng)險 =市場風(fēng)險+非市場風(fēng)險 =不可分散化風(fēng)險+可分散化風(fēng)險,129,系統(tǒng)性風(fēng)險與非系統(tǒng)性風(fēng)險,0 10 20 30 40 50 60,不可分散的（系統(tǒng)性）風(fēng)險,總風(fēng)險,可分散的（非系統(tǒng)性）風(fēng)險,投資組合的風(fēng)險,投資組合中股票的數(shù)量,130,第四節(jié) 資本資產(chǎn)定價模型,131,3.4.1 資本資產(chǎn)定價模型的基本假設(shè),1投資者具有均值方差效用函數(shù)，投資行為依據(jù)資產(chǎn)收益率和方差，在期望收益相同的條件下，選擇風(fēng)險（方差）較小的資產(chǎn)組合，在風(fēng)險相同下，選擇期望收益較大的資產(chǎn)組合； 2對所有投資者信息充分且暢通無阻，對資產(chǎn)收益概率分布模式一致認(rèn)同，因此市場有效前沿曲線只有一條；,132,3.4.1 資本資產(chǎn)定價模型的基本假設(shè),3. 所有投資者都有相同投資日期和固定的投資期 限； 4. 資產(chǎn)是無限可分的，而投資者可以以任意金額投資于各種資產(chǎn)，市場上的資產(chǎn)數(shù)量是固定的； 5. 市場沒有賣空限制；,133,3.4.1 資本資產(chǎn)定價模型的基本假設(shè),6. 市場存在無風(fēng)險資產(chǎn)，投資者能以固定無風(fēng)險利 率借入任意數(shù)量的這種資產(chǎn)； 7. 資本市場沒有稅收，交易成本，資產(chǎn)沒有紅利分配； 8.沒有通貨膨脹和利率變化； 9.市場上的任何投資者均不能通過其投資行為影響資產(chǎn)價格。,134,3.4.2 市場投資組合,135,3.4.2 市場投資組合,136,3.4.3 市場達(dá)到均衡的必要條件,證明,137,3.4.3 市場達(dá)到均衡的必要條件,極值的必要條件為,138,3.4.3 市場達(dá)到均衡的必要條件,139,3.4.3 市場達(dá)到均衡的必要條件,140,3.4.4 市場投資組合和切點組合,定理3.4,證明,141,3.4.4 市場投資組合和切點組合,142,3.4.5 存在無風(fēng)險資產(chǎn)情況下的 資本資產(chǎn)定價模型,定理3.5 （Sharpe-Lintner CAPM）假設(shè)市場存在無風(fēng)險資產(chǎn)時， 當(dāng)市場達(dá)到均衡時，任意風(fēng)險資產(chǎn)的超額收益率與風(fēng)險資產(chǎn)組合 超額收益率成正比，即有關(guān)系式,143,3.4.5 存在無風(fēng)險資產(chǎn)情況下的 資本資產(chǎn)定價模型,證明 由定理3.4，當(dāng)市場達(dá)到均衡時,代入（3.3.12a）,得,寫成分量形式，得,144,3.4.6 市場不存在無風(fēng)險資產(chǎn)情況下 的資本資產(chǎn)定價模型,定理3.6 （Black CAPM） 假設(shè)市場上不存在無風(fēng)險資產(chǎn)時，當(dāng) 市場達(dá)到均衡時，任何風(fēng)險資產(chǎn)的收益率可以表示為,證明 當(dāng)市場上不存在無風(fēng)險資產(chǎn)時，相應(yīng)的優(yōu)化問題為,145,3.4.6 市場不存在無風(fēng)險資產(chǎn)情況下 的資本資產(chǎn)定價模型,一階必要條件為,最優(yōu)投資組合是,146,3.4.6 市場不存在無風(fēng)險資產(chǎn)情況下 的資本資產(chǎn)定價模型,147,3.4.6 市場不存在無風(fēng)險資產(chǎn)情況下 的資本資產(chǎn)定價模型,148,3.4.7 證券市場線,若市場存在無風(fēng)險資產(chǎn)，,當(dāng)市場達(dá)到均衡時，由（3.4.6a）可得到,149,3.4.7 證券市場線,150,3.4.8 資本市場線,在市場達(dá)到均衡時，所有的最小方差資產(chǎn)組合,可表示為,最小方差資產(chǎn)組合的方差為,151,3.4.8 資本市場線,對式（3.4.12）兩邊取數(shù)學(xué)期望得,將式（3.4.14）解代入式（3.4.15）得,152,3.4.8 資本市場線,153,3.4.8 資本市場線,資本市場線是證券市場線的特例，事實上在證券市場線中,154,3.4.9 利用CAPM定價,CAPM給出了任意風(fēng)險資產(chǎn)的超額收益率和市場組合超額收益率之間的關(guān)系，如果市場組合為已知，相應(yīng)的系數(shù)為已知，就可求出風(fēng)險資產(chǎn)的超額收益率，而無風(fēng)險資產(chǎn)的收益率為已知的常數(shù)，就可確定風(fēng)險資產(chǎn)的收益率，如果我們可以估計出投資期結(jié)束時的風(fēng)險資產(chǎn)的價格，那么我們就可確定當(dāng)前風(fēng)險資產(chǎn)的價格，這可是資本資產(chǎn)定價問題所要解決的問題，所以CAPM可以用于未來收益率為已知的風(fēng)險資產(chǎn)在當(dāng)前的價格。,155,3.4.9 利用CAPM定價,由（3.4.6a）,我們得到,156,3.4.9 利用CAPM定價,157,例3.6,158,3.5 單指數(shù)模型,159,單指數(shù)模型的定義,160,單指數(shù)模型的假定,161,有關(guān)單指數(shù)模型的公式,證明：,而,162,有關(guān)單指數(shù)模型的公式,類似可證,于是得到,163,有關(guān)單指數(shù)模型的公式,證明,根據(jù)方差和協(xié)方差的性質(zhì)以及假設(shè)（1），（2），（3），得出：,164,有關(guān)單指數(shù)模型的公式,所以,165,證券組合收益率方差的單指數(shù)模型,其中,證明,166,證券組合收益率方差的單指數(shù)模型,令,167,證券組合收益率方差的單指數(shù)模型,168,證券組合收益率方差的單指數(shù)模型,169,市場組合收益率方差的單指數(shù)模型,證明,假如我們選擇的投資組合就是市場組合，那么該組合的,170,市場組合收益率方差的單指數(shù)模型,這個結(jié)果說明市場組合的系數(shù)為1，根據(jù)上面的結(jié)果得證。,171,3.6標(biāo)準(zhǔn)的均值方差資產(chǎn)選擇模型,172,3.6標(biāo)準(zhǔn)的均值方差資產(chǎn)選擇模型,也是隨機(jī)變量，因此我們考慮投資組合的期望收益率,173,3.6標(biāo)準(zhǔn)的均值方差資產(chǎn)選擇模型,并設(shè)資產(chǎn)組合的方差為,174,3.6標(biāo)準(zhǔn)的均值方差資產(chǎn)選擇模型,定義3.4,175,3.6標(biāo)準(zhǔn)的均值方差資產(chǎn)選擇模型,用矩陣表求，我們假定,則,176,3.6標(biāo)準(zhǔn)的均值方差資產(chǎn)選擇模型,定義3.5 如果存在另一個較大均值和不變方差的可行組合EV或存在較小方差，不變均值的可行EV組合，那么這個可行EV組合是無效的， 否則稱該組合為有效的EV組合，或者有效的E組合，EV有效組合實際上是在某一確定的收益水平之下，風(fēng)險最小的組合或者是在某一風(fēng)險水平上，收益最大的投資組合。,177,3.6標(biāo)準(zhǔn)的均值方差資產(chǎn)選擇模型,由有效組合構(gòu)成的集合，稱為資產(chǎn)組合的有效集。 標(biāo)準(zhǔn)的均值方差資產(chǎn)選擇模型可歸結(jié)為如下模型,178,3.6標(biāo)準(zhǔn)的均值方差資產(chǎn)選擇模型,179,第3章結(jié)束,180,