一元函數(shù)積分學(xué)(不定積分的概念與性質(zhì)).ppt

中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組 3.1 不定積分 高等數(shù)學(xué) A 3.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念 3.1.2 不定積分的性質(zhì) 3.1.3 基本積分表 第 3章 一元函數(shù)積分學(xué) 3.1 不定積分 3.1.3 基本積分表 3.1.1 原函數(shù)的概念 不 定 積 分 的 概 念 與 性 質(zhì) 3.1.2 不定積分的性質(zhì) 求積分習(xí)例 2-14 3.1.2 不定積分的概念 思考題 -分段函數(shù)的不定積分 問題 原函數(shù)的定義 原函數(shù)的存在性 定義 不定積分的幾何意義 1. 問題 ).(),()1( tstv 求路程已知速度 ).(),)()( tstvts 求已知即 ).(),()2( xfyxk 求曲線切線斜率已知曲線上每一點處的 ).(),)( xfyxky 求已知即 一、原函數(shù)的概念 2. 原函數(shù)的定義 ,內(nèi)若在 I ,)()()()( dxxfxdFxfxF 或 .)()( 內(nèi)的一個原函數(shù)在為則稱 IxfxF ,co ss i n xx 如 xs in 是 xc o s 的原函數(shù) . ),0( 1ln xxx xln 是 x1 在區(qū)間 ),0( 內(nèi)的原函數(shù) . 3. 原函數(shù)的存在性 定理 1. 問題： (1) 原函數(shù)是否唯一？ (2) 若不唯一 ,它們之間有什么聯(lián)系？ 若函數(shù) f(x)在區(qū)間 I上連續(xù) , 則 f(x)在 I上存在 原函數(shù) F(x). xx c o ssi n xCx co ss i n （ 為任意常數(shù)） C 如 定理 2. 設(shè) F(x)是 f(x)在區(qū)間 I內(nèi)的一個原函數(shù) , 則 ;,)()( )1( 為任意常數(shù)其中的一個原函數(shù)也是 CxfCxF .)()(,)()( )2( CxFxxfx 則的一個原函數(shù)是若 證明 : ),()()( )1( xfxFCxF .)( )( 的一個原函數(shù)是 xfCxF )()()()( )2( xFxxFx 0)()( xfxf CxFx )()( CxFx )()( 即 ). ( 為任意常數(shù)C 注意 : (1) 初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都有原函數(shù) . (2) 初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù) . (3) 原函數(shù)不唯一 . .)c o s( s i n2c o s41,c o s21,s i n21 22 的原函數(shù)都是如 xxxxx (4) 如果 f(x)在 I上存在原函數(shù) ,則稱 f(x)在 I上可積 . 任 意 常 數(shù) 1. 定義 函數(shù) f(x)在區(qū)間 I上的原函數(shù)全體 , 稱為 f(x) 在 I上的不定積分 . 記為 dxxf )( 被 積 函 數(shù) CxFdxxf )()( 被 積 表 達 式 積 分 變 量 二、不定積分的概念 , )( , 的全部原函數(shù)的過程稱求已知函數(shù)習(xí)慣上 xf . )( 的不定積分為求函數(shù) xf .運算求不定積分是求導(dǎo)的逆 例如： ;d2 ,2)( 22 Cxxxxx ;si n dco s ,co s)( si n Cxxxxx .|lnd1 ,1)|( l n Cxxxxx 每一個求導(dǎo) 公式 , 反過 來就是一個 求原函數(shù)的 公式 , 加上 積分常數(shù) C 就成為一個 求不定積分 的公式 . 注意 : (1)盡管不定積分中各個部分都有其獨特的含義， 但在使用時須作為一個整體看待 . (2) 積分變量是指 d后面的那個量 . .,)( duudxuuduuf xx 與比較為積分變量中如 (3) 不定積分與原函數(shù)是兩個不同的概念，它們 是整體 與個體的關(guān)系，原函數(shù)是一個函數(shù)，不 定積分是一族函數(shù) . .)()(),()( )4( CxFdxxfxfxF 則若 2.不定積分的幾何意義 若 F(x)是 f(x)的一個原函數(shù) ,則稱 y=F(x)的圖形為 f(x)的 一條積分曲線 . . )()( 線族所有積分曲線組成的曲意地平行移動所得到的 縱軸方向任的某一條積分曲線沿著表示則 xfdxxf 如圖 . x o y 這些曲線在橫坐標(biāo) 相同處切線平行 . 例 1. 設(shè)曲線通過點（ 1， 2），且其上任一點處的 切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程 . 解 : 設(shè)曲線方程為 ),( xfy 根據(jù)題意知 ,2 xdxdy 即 )( xf 是 x2 的一個原函數(shù) . ,2 2 Cxx d x ,)( 2 Cxxf 由曲線通過點（ 1， 2） ,1 C 所求曲線方程為 .12 xy kCkxk d x ()1( 是常數(shù) ); );1(1)2( 1 Cxdxx 三、基本積分表 特別地 , 2 2 1 2 2 11 x x d x C d x x C x d x C xx ( 3) l n | | ;dx xCx dxx 21 1)4( ;ar c t an Cx dxx 21 1)5( ;arc s i n Cx xdxco s)6( ;s in Cx x d xs i n)7( ;c o s C xdx 2c o s)8( xdx2s ec ;t an Cx xdx 2s in)9( xdx2cs c ;c o t Cx x d xx t a ns ec)10( ;s e c Cx xdxx co tcs c)11( ;c s c Cx dxe x)12( ;Ce x dxa x)13( ;ln Caa x x d xs i n h)14( ;c o s h Cx x d xco s h)15( ;s i n h Cx .0 )16( Cdx ),()( )1( xfdxxfdxd ,)()( dxxfdxxfd 或 ,)()( )2( CxFdxxF .)()( CxFxdF或 dxxgxf )()( )3( ;)()( dxxgdxxf 證明 : dxxgdxxf )()( dxxgdxxf )()( ).()( xgxf 故結(jié)論正確 . 四、不定積分的性質(zhì) 不定積分的基本性質(zhì)： dxxkf )( )4( .)( dxxfk (k為任意常數(shù) ) .)()( )5( 11 dxxfkdxxfk in i i n i ii 性質(zhì) (1)(2)說明微分運算與求不定積分的運算 是 互逆 的 . 性質(zhì) (3)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況 . 五、求不定積分習(xí)例 -直接積分法 例 2. 計算 2( 5)x x d x 例 3. 計算 2( 1 0 3 3 s i n )xx x x d x 例 4. 計算 2 ( 2 3 )x x x x x dx x 例 5. 計算 2( 2 3 )xx dx 例 6. 計算 s e c ( s e c t a n )x x x d x 例 7. 計算 2 2 32() 1 1 dxx x 例 8. 計算 2 2 1 ( 1 ) xx dx xx 例 9. 計算 2 22 12 ( 1 ) x dx xx 例 10. 計算 4 2 1 . 1 x dx x 例 11. 計算 2c o t .x d x 例 12. 計算 22 c o s 2 c o s s i n x dx xx 例 13. 計算 22 1 sin c o s 22 dxxx 例 14. 計算 1 .1 c o s 2 dxx 2( 5 ) .x x dx 解 : dxxxdxxx )5()5( 21252 dxxdxx 2 1 2 5 5 2 3 2 7 3 10 7 2 xx + C 例 2. 計算 例 3. .)s i n3310( 2 dxxxxx 計算 解 : dxxxxx )si n3310( 2 dxxx d xdxx si n390 2 3 3 2c o s3 90ln 90 xxx C 例 4. .)32( 2 dxx xxxxx 計算 解 : dxx xxxxx 2 )32( dxxx )32( 2 1 xxx ln322 C 例 5. .)32( 2 dxxx 計算 解 : dxdx xxxxx )9624()32( 2 9ln 9 6ln 62 4ln 4 xxx C 例 6. .)t an( s e cs e c dxxxx 計算 解 : dxxxx dxxxx )t a ns e c( s e c )t a n( s e cs e c 2 xx s e cta n C 解 : .) 1 2 1 3( 22 dxxx dxxx )1 21 3( 22 dxxdxx 22 1 121 13 xa r c t a n3 xa r c s i n2 C 例 7. 計算 解 : . )1( 1 2 2 dx xx xx dxxx xx )1(1 2 2 dxxx xx )1( )1( 2 2 dxxx 11 1 2 dxxdxx 11 1 2 .lna rcta n Cxx 例 8. 計算 分式化成最簡真分式的 代數(shù)和 解 : . )1( 21 22 2 dx xx x dxxx x )1( 21 22 2 dxxx xx )1(1 22 22 dxxdxx 22 1 11 .ar c t an1 Cxx 例 9. 計算 分式化成最 簡真分式的 代數(shù)和 例 10. .11 2 4 dxxx 計算 解 : dxxx 112 4 dxx xxx 1 212 224 假分式 化成多項式 加真分式 dxxx )121( 22 .a r c t a n231 3 Cxxx 例 11. .c o t 2 dxx計算 解 : dxxdxx )1( cscco t 22 .c o t Cxx 以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行恒等 變形，才能使用基本積分表 . 說明： 例 12. .s i nc o s 2c o s 22 dxxx x計算 解 : dxxx xxdxxx x 22 22 22 s i nc o s s i nc o s s i nc o s 2c o s dxxx )sec( csc 22 .t a nc o t Cxx 例 13. . 2 c o s 2 s i n 1 22 dxxx計算 解 : dx x dxxx 2 22 s i n 4 2 c o s 2 s i n 1 xdx2csc4 .c o t4 Cx 解 : .2c o s1 1 dxx dxx2c o s1 1 dxx 1c o s21 1 2 dxx2c o s121 .t an21 Cx 說明 : 被積函數(shù)為三角函數(shù)時需要進行三 角恒等變形，才能使用基本積分表 . 例 14. 計算 思考題 -分段函數(shù)的不定積分的求法 1. 先求各分段部分在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的原函數(shù) 2. 考察在分界點處函數(shù)的連續(xù)性 1 1 ,2 ,1 )( x x x x xf設(shè) dxxfxF )()(, 求 例 15. . d | | xe x求例 16. 1 1 ,2 ,1 )( x x x x xf設(shè) dxxfxF )()(, 求 例 15. 2 1 11 , ( ) ( 1 ) 2x F x x dx x x C 時 處有定義且連續(xù)在知又函數(shù)可導(dǎo)必連續(xù) 1)(, xxF 解 : 2 21 , ( ) 2x F x x dx x C 時 CCCC CCCC FFF 2 1 , 2 1 11 2 1 : )1()01()01(, 21 2121 則令 即 從而有 1, 2 1 1, 2 1 )( 2 2 xCx xCxx xF 所以 . d | | xe x求例 16. 0 , x 當(dāng) 時 , dd 1 | | Cexexe xxx , 0 時當(dāng) x , dd 2| | Cexexe xxx , 故必是連續(xù)函數(shù)由于一個函數(shù)的原函數(shù) , )(lim)(lim 2010 CeCe xxxx , 2 21 從而即有 CC . 0 , , 0 , 2d| | xCe xCexe x x x .) ( 為積分常數(shù)C 解 :