高中數(shù)學(xué)競賽平面幾何基本定理.doc

（高中）平面幾何基礎(chǔ)知識（基本定理、基本性質(zhì)）1 勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）（廣義勾股定理）(1)銳角對邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍(2)鈍角對邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍2 射影定理（歐幾里得定理）3 中線定理（巴布斯定理）設(shè)ABC的邊BC的中點(diǎn)為P，則有；中線長：4 垂線定理：高線長：5 角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例如ABC中，AD平分BAC，則；（外角平分線定理）角平分線長：（其中為周長一半）6 正弦定理：，（其中為三角形外接圓半徑）7 余弦定理：8 張角定理：9 斯特瓦爾特(Stewart)定理：設(shè)已知ABC及其底邊上B、C兩點(diǎn)間的一點(diǎn)D，則有AB2·DC+AC2·BDAD2·BCBC·DC·BD10 圓周角定理：同弧所對的圓周角相等，等于圓心角的一半（圓外角如何轉(zhuǎn)化？）11 弦切角定理：弦切角等于夾弧所對的圓周角12 圓冪定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定理）：切線長定理：）13 布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，ACBD，自對角線的交點(diǎn)P向一邊作垂線，其延長線必平分對邊14 點(diǎn)到圓的冪：設(shè)P為O所在平面上任意一點(diǎn)，PO=d，O的半徑為r，則d2r2就是點(diǎn)P對于O的冪過P任作一直線與O交于點(diǎn)A、B，則PA·PB= |d2r2|“到兩圓等冪的點(diǎn)的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個結(jié)論這條直線稱為兩圓的“根軸”三個圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱為三圓的“根心”三個圓的根心對于三個圓等冪當(dāng)三個圓兩兩相交時，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點(diǎn)15 托勒密（Ptolemy）定理：圓內(nèi)接四邊形對角線之積等于兩組對邊乘積之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命題成立) （廣義托勒密定理）AB·CD+AD·BCAC·BD16 蝴蝶定理：AB是O的弦，M是其中點(diǎn)，弦CD、EF經(jīng)過點(diǎn)M，CF、DE交AB于P、Q，求證：MP=QM 17 費(fèi)馬點(diǎn)：定理1等邊三角形外接圓上一點(diǎn)，到該三角形較近兩頂點(diǎn)距離之和等于到另一頂點(diǎn)的距離；不在等邊三角形外接圓上的點(diǎn)，到該三角形兩頂點(diǎn)距離之和大于到另一點(diǎn)的距離定理2 三角形每一內(nèi)角都小于120°時，在三角形內(nèi)必存在一點(diǎn)，它對三條邊所張的角都是120°，該點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離和達(dá)到最小，稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”，當(dāng)三角形有一內(nèi)角不小于120°時，此角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)18 拿破侖三角形：在任意ABC的外側(cè)，分別作等邊ABD、BCE、CAF，則AE、AB、CD三線共點(diǎn)，并且AEBFCD，這個命題稱為拿破侖定理 以ABC的三條邊分別向外作等邊ABD、BCE、CAF，它們的外接圓C1 、A1 、B1的圓心構(gòu)成的外拿破侖的三角形，C1 、A1 、B1三圓共點(diǎn)，外拿破侖三角形是一個等邊三角形；ABC的三條邊分別向ABC的內(nèi)側(cè)作等邊ABD、BCE、CAF，它們的外接圓C2 、A2 、B2的圓心構(gòu)成的內(nèi)拿破侖三角形，C2 、A2 、B2三圓共點(diǎn)，內(nèi)拿破侖三角形也是一個等邊三角形這兩個拿破侖三角形還具有相同的中心 19 九點(diǎn)圓（Nine point round或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫圓）：三角形中，三邊中點(diǎn)，從各頂點(diǎn)向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，這九個點(diǎn)在同一個圓上，九點(diǎn)圓具有許多有趣的性質(zhì),例如: （1）三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半; （2）九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與內(nèi)心連線的中點(diǎn); （3）三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓,三個旁切圓均相切費(fèi)爾巴哈定理20 歐拉（Euler）線：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上21 歐拉（Euler）公式：設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R22Rr22 銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和23 重心：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，并且各中線被這個點(diǎn)分成2：1的兩部分；重心性質(zhì)：（1）設(shè)G為ABC的重心，連結(jié)AG并延長交BC于D，則D為BC的中點(diǎn)，則；（2）設(shè)G為ABC的重心，則；（3）設(shè)G為ABC的重心，過G作DEBC交AB于D，交AC于E，過G作PFAC交AB于P，交BC于F，過G作HKAB交AC于K，交BC于H，則；（4）設(shè)G為ABC的重心，則；（P為ABC內(nèi)任意一點(diǎn)）；到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)是重心，即最??； 三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)是重心；反之亦然（即滿足上述條件之一，則G為ABC的重心）24 垂心：三角形的三條高線的交點(diǎn)；垂心性質(zhì)：（1）三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍；（2）垂心H關(guān)于ABC的三邊的對稱點(diǎn)，均在ABC的外接圓上；（3）ABC的垂心為H，則ABC，ABH，BCH，ACH的外接圓是等圓；（4）設(shè)O，H分別為ABC的外心和垂心，則25 內(nèi)心：三角形的三條角分線的交點(diǎn)內(nèi)接圓圓心，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等； 內(nèi)心性質(zhì)：（1）設(shè)I為ABC的內(nèi)心，則I到ABC三邊的距離相等，反之亦然；（2）設(shè)I為ABC的內(nèi)心，則；（3）三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點(diǎn)到另兩頂點(diǎn)的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若平分線交ABC外接圓于點(diǎn)K，I為線段AK上的點(diǎn)且滿足KI=KB，則I為ABC的內(nèi)心；（4）設(shè)I為ABC的內(nèi)心， 平分線交BC于D，交ABC外接圓于點(diǎn)K，則；（5）設(shè)I為ABC的內(nèi)心，I在上的射影分別為，內(nèi)切圓半徑為，令，則；26 外心：三角形的三條中垂線的交點(diǎn)外接圓圓心，即外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等；外心性質(zhì)：（1）外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等；（2）設(shè)O為ABC的外心，則或；（3）；（4）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和27 旁心：一內(nèi)角平分線與兩外角平分線交點(diǎn)旁切圓圓心；設(shè)ABC的三邊令，分別與外側(cè)相切的旁切圓圓心記為，其半徑分別記為旁心性質(zhì)：（1）（對于頂角B，C也有類似的式子）；（2）；（3）設(shè)的連線交ABC的外接圓于D，則（對于有同樣的結(jié)論）；（4）ABC是IAIBIC的垂足三角形，且IAIBIC的外接圓半徑等于ABC的直徑為2R28 三角形面積公式：，其中表示邊上的高，為外接圓半徑，為內(nèi)切圓半徑，29 三角形中內(nèi)切圓，旁切圓和外接圓半徑的相互關(guān)系： 30 梅涅勞斯（Menelaus）定理：設(shè)ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c(diǎn)的直線的交點(diǎn)分別為P、Q、R則有 （逆定理也成立）31 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1：設(shè)ABC的A的外角平分線交邊CA于Q，C的平分線交邊AB于R，B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點(diǎn)共線32 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2：過任意ABC的三個頂點(diǎn)A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于點(diǎn)P、Q、R，則P、Q、R三點(diǎn)共線33 塞瓦(Ceva)定理：設(shè)X、Y、Z分別為ABC的邊BC、CA、AB上的一點(diǎn)，則AX、BY、CZ所在直線交于一點(diǎn)的充要條件是··=134 塞瓦定理的應(yīng)用定理：設(shè)平行于ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點(diǎn)分別是D、E，又設(shè)BE和CD交于S，則AS一定過邊BC的中點(diǎn)M35 塞瓦定理的逆定理：（略）36 塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，三角形的三條高線交于一點(diǎn)，三角形的三條角分線交于一點(diǎn)37 塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2：設(shè)ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)R、S、T，則AR、BS、CT交于一點(diǎn)38 西摩松（Simson）定理：從ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，（這條直線叫西摩松線Simson line）39 西摩松定理的逆定理：（略）40 關(guān)于西摩松線的定理1：ABC的外接圓的兩個端點(diǎn)P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上41 關(guān)于西摩松線的定理2（安寧定理）：在一個圓周上有4點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，再作其余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點(diǎn)42 史坦納定理：設(shè)ABC的垂心為H，其外接圓的任意點(diǎn)P，這時關(guān)于ABC的點(diǎn)P的西摩松線通過線段PH的中心43 史坦納定理的應(yīng)用定理：ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對稱點(diǎn)和ABC的垂心H同在一條（與西摩松線平行的）直線上這條直線被叫做點(diǎn)P關(guān)于ABC的鏡象線44 牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)和兩條對角線的中點(diǎn)，三點(diǎn)共線這條直線叫做這個四邊形的牛頓線 45 牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線46 笛沙格定理1：平面上有兩個三角形ABC、DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點(diǎn)，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點(diǎn)共線47 笛沙格定理2：相異平面上有兩個三角形ABC、DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點(diǎn)，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點(diǎn)共線48 波朗杰、騰下定理：設(shè)ABC的外接圓上的三點(diǎn)為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于ABC交于一點(diǎn)的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2) 49 波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為ABC的外接圓上的三點(diǎn)，若P、Q、R關(guān)于ABC的西摩松線交于一點(diǎn)，則A、B、C三點(diǎn)關(guān)于PQR的的西摩松線交于與前相同的一點(diǎn)50 波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點(diǎn)是A、B、C、P、Q、R六點(diǎn)任取三點(diǎn)所作的三角形的垂心和其余三點(diǎn)所作的三角形的垂心的連線段的中點(diǎn)51 波朗杰、騰下定理推論3：考查ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于ABC的西摩松線，如設(shè)QR為垂直于這條西摩松線該外接圓的弦，則三點(diǎn)P、Q、R的關(guān)于ABC的西摩松線交于一點(diǎn)52 波朗杰、騰下定理推論4：從ABC的頂點(diǎn)向邊BC、CA、AB引垂線，設(shè)垂足分別是D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點(diǎn)分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點(diǎn)在同一個圓上，這時L、M、N點(diǎn)關(guān)于關(guān)于ABC的西摩松線交于一點(diǎn)53 卡諾定理：通過ABC的外接圓的一點(diǎn)P，引與ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線54 奧倍爾定理：通過ABC的三個頂點(diǎn)引互相平行的三條直線，設(shè)它們與ABC的外接圓的交點(diǎn)分別是L、M、N，在ABC的外接圓上取一點(diǎn)P，則PL、PM、PN與ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線55 清宮定理：設(shè)P、Q為ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點(diǎn)分別是U、V、W，這時，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線56 他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于ABC的外接圓的一對反點(diǎn)，點(diǎn)P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點(diǎn)分別是U、V、W，這時，如果QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線（反點(diǎn)：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點(diǎn)，如果OC2=OQ×OP 則稱P、Q兩點(diǎn)關(guān)于圓O互為反點(diǎn)）57 朗古來定理：在同一圓周上有A1、B1、C1、D1四點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，在圓周取一點(diǎn)P，作P點(diǎn)的關(guān)于這4個三角形的西摩松線，再從P向這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上 58 從三角形各邊的中點(diǎn)，向這條邊所對的頂點(diǎn)處的外接圓的切線引垂線，這些垂線交于該三角形的九點(diǎn)圓的圓心59 一個圓周上有n個點(diǎn)，從其中任意n1個點(diǎn)的重心，向該圓周的在其余一點(diǎn)處的切線所引的垂線都交于一點(diǎn)60 康托爾定理1：一個圓周上有n個點(diǎn)，從其中任意n2個點(diǎn)的重心向余下兩點(diǎn)的連線所引的垂線共點(diǎn)61 康托爾定理2：一個圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N兩點(diǎn)，則M和N點(diǎn)關(guān)于四個三角形BCD、CDA、DAB、ABC中的每一個的兩條西摩松線的交點(diǎn)在同一直線上這條直線叫做M、N兩點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線62 康托爾定理3：一個圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線交于一點(diǎn)這個點(diǎn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點(diǎn)63 康托爾定理4：一個圓周上有A、B、C、D、E五點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個康托爾點(diǎn)在一條直線上這條直線叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線64 費(fèi)爾巴赫定理：三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切 65 莫利定理：將三角形的三個內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點(diǎn)，則這樣的三個交點(diǎn)可以構(gòu)成一個正三角形這個三角形常被稱作莫利正三角形66 布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對的頂點(diǎn)A和D、B和E、C和F，則這三線共點(diǎn)67 帕斯卡（Paskal）定理：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延長線的）交點(diǎn)共線68 阿波羅尼斯（Apollonius）定理：到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為定比m：n（值不為1）的點(diǎn)P，位于將線段AB分成m：n的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D為直徑兩端點(diǎn)的定圓周上這個圓稱為阿波羅尼斯圓69 庫立奇*大上定理：（圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓）圓周上有四點(diǎn)，過其中任三點(diǎn)作三角形，這四個三角形的九點(diǎn)圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點(diǎn)圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓70 密格爾（Miquel）點(diǎn)： 若AE、AF、ED、FB四條直線相交于A、B、C、D、E、F六點(diǎn)，構(gòu)成四個三角形，它們是ABF、AED、BCE、DCF，則這四個三角形的外接圓共點(diǎn)，這個點(diǎn)稱為密格爾點(diǎn)71 葛爾剛（Gergonne）點(diǎn)：ABC的內(nèi)切圓分別切邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F，則AE、BF、CD三線共點(diǎn)，這個點(diǎn)稱為葛爾剛點(diǎn) 72 歐拉關(guān)于垂足三角形的面積公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一點(diǎn)，過M向三邊作垂線，三個垂足形成的三角形的面積，其公式： 斯特瓦爾特定理斯特瓦爾特(stewart)定理設(shè)已知ABC及其底邊上B、C兩點(diǎn)間的一點(diǎn)D，則有AB2·DC+AC2·BD-AD2·BCBC·DC·BD。證明：在圖26中，作AHBC于H。為了明確起見，設(shè)H和C在點(diǎn)D的同側(cè)，那么由廣勾股定理有AC2=AD2DC2-2DC·DH，（1）AB2=AD2+BD2+2BD·DH。 （2）用BD乘(1)式兩邊得AC2·BD=AD2·BD+DC2·BD-2DC·DH·BD，（1）用DC乘(2)式兩邊得AB2·DC=AD2·DCBD2·DC2BD·DH·DC。（2）由（1）+（2）得到AC2·BD+AB2·DC=AD2(BDDC)+DC2·BDBD2·DC=AD2·BC+BD·DC·BC。AB2·DCAC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD?；蛘吒鶕?jù)余弦定理得AB2=PB2+PA2-2PB·PA·cos角APCAC2=PA2+PC2-2PA·PC·cos角APC兩邊同時除以PB·PA·PC得AC2·PB+AB2·PC=(PB2+PA2)PC+(PA2+PA2)PB化簡即可（注：圖中2-7A點(diǎn)為P點(diǎn)，BDC點(diǎn)依次為ABC)托勒密定理一些圓定理.doc定理圖定理的內(nèi)容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。 原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于 一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。 從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì) 定理的提出一般幾何教科書中的“托勒密定理”，實出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書中摘出。證明一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。） 在任意四邊形ABCD中，作ABE使BAE=CAD ABE= ACD 因為ABEACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 而BAC=DAE，ACB=ADE 所以ABCAED相似. BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因為BE+EDBD （僅在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”） 所以命題得證 復(fù)數(shù)證明 用a、b、c、d分別表示四邊形頂點(diǎn)A、B、C、D的復(fù)數(shù)，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到復(fù)數(shù)恒等式： (a b)(c d) + (a d)(b c) = (a c)(b d) ，兩邊取模，運(yùn)用三角不等式得。 等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價。 四點(diǎn)不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。 在弦BC上，圓周角BAC = BDC，而在AB上，ADB = ACB。 在AC上取一點(diǎn)K，使得ABK = CBD； 因為ABK + CBK = ABC = CBD + ABD，所以CBK = ABD。 因此ABK與DBC相似，同理也有ABD KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； 兩式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。證畢。 三、 托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD，求證：AC·BDAB·CDAD·BC 證明：如圖1，過C作CP交BD于P，使1=2，又3=4，ACDBCP得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC 。又ACB=DCP，5=6，ACBDCP得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD 。得 AC(BPDP)=AB·CDAD·BC即AC·BD=AB·CDAD·BC 推論1.任意凸四邊形ABCD，必有AC·BDAB·CD+AD·BC，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時取等號。 2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內(nèi)接于一圓、 推廣托勒密不等式：四邊形的任兩組對邊乘積不小于另外一組對邊的乘積，取等號當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線。 簡單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模， 得不等式AC·BD|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 注意： 1.等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價。 2.四點(diǎn)不限于同一平面。 歐拉定理：在一條線段上AD上，順次標(biāo)有B、C兩點(diǎn)，則AD·BC+AB·CD=AC·BD塞瓦定理簡介 塞瓦（Giovanni Ceva，16481734）意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家。塞瓦定理載于塞瓦于1678年發(fā)表的直線論一書，也有書中說塞瓦定理是塞瓦重新發(fā)現(xiàn)。 具體內(nèi)容塞瓦定理 在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O， 直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 證法簡介 （）本題可利用梅涅勞斯定理證明： ADC被直線BOE所截， (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 而由ABD被直線COF所截， (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 ÷:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （）也可以利用面積關(guān)系證明 BD/DC=SABD/SACD=SBOD/SCOD=(SABD-SBOD)/(SACD-SCOD)=SAOB/SAOC 同理 CE/EA=SBOC/ SAOB AF/FB=SAOC/SBOC ××得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點(diǎn): 設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F， 根據(jù)塞瓦定理逆定理，因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA）/(CD*ctgB）*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(BF*ctgA)=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。 可用塞瓦定理證明的其他定理; 三角形三條中線交于一點(diǎn)（重心）:如圖5 D , E分別為BC , AC 中點(diǎn) 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1 且因為AF=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三條中線交于一點(diǎn) 此外，可用定比分點(diǎn)來定義塞瓦定理： 在ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點(diǎn)的充要條件是=1。（注意與梅涅勞斯定理相區(qū)分，那里是=-1） 塞瓦定理推論1.設(shè)E是ABD內(nèi)任意一點(diǎn)，AE、BE、DE分別交對邊于C、G、F，則(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 因為(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K為未知參數(shù)）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K為未知參數(shù)）又由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 2.塞瓦定理角元形式 AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是： (sinBAD/sinDAC)*(sinACF/sinFCB)*(sinCBE/sinEBA)=1 由正弦定理及三角形面積公式易證 3.如圖，對于圓周上順次6點(diǎn)A,B,C,D,E,F，直線AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是： (AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長與所對圓周角關(guān)系易證。 4.還能利用塞瓦定理證三角形三條高交于一點(diǎn) 設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定 理，因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA）/(CD*ctgB）*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(AE*ctgB)=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。梅涅勞斯定理 梅涅勞斯定理證明梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡稱梅氏定理）是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點(diǎn)，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 或：設(shè)X、Y、Z分別在ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)= 證明一：過點(diǎn)A作AGBC交DF的延長線于G, 則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1 證明二：過點(diǎn)C作CPDF交AB于P，則BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在ABC的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。利用這個逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。 梅涅勞斯(Menelaus)定理證明三：過ABC三點(diǎn)向三邊引垂線AA'BB'CC'， 所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA' 所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 證明四：連接BF。 （AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA) =（SADF：SBDF）·（SBEF：SCEF）·（SBCF：SBAF） =（SADF：SBDF）·（SBDF：SCDF）·（SCDF：SADF） =1 此外，用定比分點(diǎn)定義該定理可使其容易理解和記憶： 在ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是L、M、N三點(diǎn)共線的充要條件是=1。 第一角元形式的梅涅勞斯定理 如圖：若E，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，則 (sinACF/sinFCB)(sinBAD/sinDAC)(sinCBA/sinABE)=1 即圖中的藍(lán)角正弦值之積等于紅角正弦值之積 該形式的梅涅勞斯定理也很實用 第二角元形式的梅涅勞斯定理 在平面上任取一點(diǎn)O，且EDF共線，則（sinAOF/sinFOB)(sinBOD/sinDOC)(sinCOA/sinAOE)=1。(O不與點(diǎn)A、B、C重合) 記憶ABC為三個頂點(diǎn)，DEF為三個分點(diǎn) (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 （頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）=1 空間感好的人可以這么記：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1 實際應(yīng)用為了說明問題，并給大家一個深刻印象，我們假定圖中的A、B、C、D、E、F是六個旅游景點(diǎn)，各景點(diǎn)之間有公路相連。我們乘直升機(jī)飛到這些景點(diǎn)的上空，然后選擇其中的任意一個景點(diǎn)降落。我們換乘汽車沿公路去每一個景點(diǎn)游玩，最后回到出發(fā)點(diǎn)，直升機(jī)就停在那里等待我們回去。 我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷”了所有的景點(diǎn)。只“路過”而不停留觀賞的景點(diǎn)，不能算是“游歷”。 例如直升機(jī)降落在A點(diǎn)，我們從A點(diǎn)出發(fā)，“游歷”了其它五個字母所代表的景點(diǎn)后，最終還要回到出發(fā)點(diǎn)A。 另外還有一個要求，就是同一直線上的三個景點(diǎn)，必須連續(xù)游過之后，才能變更到其它直線上的景點(diǎn)。 從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案共有四種，下面逐一說明： 方案 從A經(jīng)過B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后經(jīng)過B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后從E經(jīng)過C（不停留）回到出發(fā)點(diǎn)A。 按照這個方案，可以寫出關(guān)系式： （AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。 現(xiàn)在，您知道應(yīng)該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧。 從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案還有： 方案 可以簡記為：ABFDECA，由此可寫出以下公式： （AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。從A出發(fā)還可以向“C”方向走，于是有： 方案 ACEDFBA，由此可寫出公式： （AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 從A出發(fā)還有最后一個方案： 方案 AECDBFA，由此寫出公式： （AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。 我們的直升機(jī)還可以選擇在B、C、D、E、F任一點(diǎn)降落，因此就有了圖中的另外一些公式。 值得注意的是，有些公式中包含了四項因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項。當(dāng)直升機(jī)降落在B點(diǎn)時，就會有四項因式。而在C點(diǎn)和F點(diǎn)，既會有三項的公式，也會有四項的公式。公式為四項時，有的景點(diǎn)會游覽了兩次。 不知道梅涅勞斯當(dāng)年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個典型的公式給我們看看。 還可以從逆時針來看，從第一個頂點(diǎn)到逆時針的第一個交點(diǎn)比上到下一個頂點(diǎn)的距離，以此類推，可得到三個比例，它們的乘積為1. 現(xiàn)在是否可以說，我們對梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。那些復(fù)雜的相除相乘的關(guān)系式，不會再寫錯或是記不住吧。西姆松定理 西姆松定理圖示西姆松定理是一個幾何定理。表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。 西姆松定理說明相關(guān)的結(jié)果有： （1）稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點(diǎn)為線段PH的中點(diǎn)，且這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。 （2）兩點(diǎn)的西姆松線的交角等于該兩點(diǎn)的圓周角。 （3）若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點(diǎn)P對應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關(guān)。 （4）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。 證明證明一： ABC外接圓上有點(diǎn)P，且PEAC于E，PFAB于F，PDBC于D，分別連DE、DF. 易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是FDP=ACP ，（都是ABP的補(bǔ)角） 且PDE=PCE 而ACP+PCE=180° FDP+PDE=180° 即F、D、E共線. 反之，當(dāng)F、D、E共線時，由可見A、B、P、C共圓. 證明二： 如圖，若L、M、N三點(diǎn)共線，連結(jié)BP，CP，則因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和 M、P、L、C分別四點(diǎn)共圓，有 PBN = PLN = PLM = PCM. 故A、B、P、C四點(diǎn)共圓。 若A、B、P、C四點(diǎn)共圓，則PBN = PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點(diǎn)共圓，有 PBN =PLN =PCM=PLM. 故L、M、N三點(diǎn)共線。 相關(guān)性質(zhì)的證明連AH延長線交圓于G, 連PG交西姆松線與R,BC于Q 如圖連其他相關(guān)線段 AHBC,PFBC=>AG/PF=>1=2 A.G.C.P共圓=>2=3 PEAC,PFBC=>P.E.F.C共圓=>3=4 =>1=4 PFBC =>PR=RQ BHAC,AHBC=>5=6 A.B.G.C共圓=>6=7 =>5=7 AGBC=>BC垂直平分GH =>8=2=4 8+9=90,10+4=90=>9=10 =>HQ/DF =>PM=MH 第二個問，平分點(diǎn)在九點(diǎn)圓上，如圖：設(shè)O,G,H 分別為三角形ABC的外心，重心和垂心。 則O是,確定九點(diǎn)圓的中點(diǎn)三角形XYZ的垂心，而G還是它的重心。 那么三角形XYZ的外心 O1， 也在同一直線上，并且 HG/GO=GO/GO1=2，所以O(shè)1是OH的中點(diǎn)。 三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它們的外接圓也位似。兩個圓的圓心都在OH上，并且兩圓半徑比為1:2 所以G是三角形ABC外接圓和三角形XYZ外接圓(九點(diǎn)圓)的"反"位似中心(相似點(diǎn)在位似中心的兩邊),H 是"正"位似中心(相似點(diǎn)在位似中心的同一邊). 所以H到三角形ABC的外接圓上的連線中點(diǎn)必在三角形DEF的外接圓上. 圓冪定理 圓冪定理圓冪定理是對相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結(jié)果。 1. 問題1 2. 問題2 3. 問題3 4. 問題4 定義圓冪=PO2-R2| 所以圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù)，圓上的點(diǎn)的冪為零。 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項。 割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PA·PB=PC·PD。 統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線L1、L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PA·PB=PC·PD。 進(jìn)一步升華（推論）過任意在圓O外的一點(diǎn)P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。則PA·PB=PC·PD。若圓半徑為r，則PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO2-r2=|PO2-r2| （要加絕對值，原因見下）為定值。這個值稱為點(diǎn)P到圓O的冪。（事實上所有的過P點(diǎn)與圓相交的直線都滿足這個值） 若點(diǎn)P在圓內(nèi)，類似可得定值為r2-PO2=|PO2-r2| 故平面上任意一點(diǎn)對于圓的冪為這個點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過這一點(diǎn)引任意直線交圓于A、B，那么PA·PB等于圓冪的絕對值。（這就是“圓冪”的由來） 證明圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統(tǒng)一歸納為圓冪定理） 問題1相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長的乘積相等。 證明：連結(jié)AC，BD，由圓周角定理的推論，得A=D，C=B。 PACPDB，PA:PD=PC:PB，PA·PB=PC·PD 問題2割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有 PA·PB=PC·PD，當(dāng)PA=PB，即直線AB重合，即PA切線時得到切線定理PA2=PC·PD 證明：（令A(yù)在P、B之間，C在P、D之間）因為ABCD為圓內(nèi)接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項 幾何語言：PT切O于點(diǎn)T，PBA是O的割線 PT2=PA·PB（切割線定理） 推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等 幾何語言：PBA、PDC是O的割線 PD·PC=PA·PB（切割線定理推論） 問題3過點(diǎn)P任作直線交定圓于兩點(diǎn)A、B，證明PA·PB為定值（圓冪定理）。 證：以P為原點(diǎn)，設(shè)圓的方程為 (x-xO)2+(y-yO)2=a 過P的直線為 x=k1t y=k2t 則A、B的橫坐標(biāo)是方程 (k1t-xO)2+(k2t-yO)2=r2 即 (k12+k22)t2-2(k1xO+k2yO)t+xO2+yO2-r2=0 的兩個根t1、t2。由韋達(dá)定理 t1t2=(xO2+yO2-2)/(k12+k22) 于是 PA·PB=(k1t1)2+(k2t1)2)(k1t2)2+(k2t2)2) =(k12+k22)2|t1|t2| =k12+k22|(xO2+yO2-r2)/(k12+k22)| =|(xO2+yO2-r2)| 為定值，證畢。 圓也可以寫成 x2+y2-2xOx-2yOy+xO2+yO2-a=0 其中a為圓的半徑的平方。所說的定值也就是（原點(diǎn)）與圓心O的距離的平方減去半徑的平方。當(dāng)P在圓外時，這就是自P向圓所引切線（長）的平方。 這定值稱為點(diǎn)P到這圓的冪。 在上面證明的過程中，我們以P為原點(diǎn)，這樣可以使問題簡化。 如果給定點(diǎn)O，未必是原點(diǎn)，要求出P關(guān)于圓的冪（即OP2-r2），我們可以設(shè)直線AB的方程為 是 的傾斜角， 表示直線上的點(diǎn)與 的距離 將代入得 即 ， 是它的兩個根，所以由韋達(dá)定理 是定值 是 關(guān)于的冪（當(dāng) 是原點(diǎn)時，這個值就是 ）它也可以寫成 即 與圓心 距離的平方減去半徑的平方 當(dāng)P在圓內(nèi)時，冪值是負(fù)值；P在圓上時，冪為0；P在圓外時，冪為正值，這時冪就是自P向圓所引切線長的平方。 以上是圓冪定理的證明，下面看一看它的應(yīng)用 問題4自圓外一點(diǎn) 向圓引割線交圓于 、 兩點(diǎn)，又作切線 、 ， 、 為切點(diǎn)， 與 相交于 ，如圖求證 、 、 成調(diào)和數(shù)列，即 證：設(shè)圓的方程為 點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， 的參數(shù)方程為 其中 是 的傾斜角， 表示直線上的點(diǎn) 與 的距離 代入得 即 、 是它的兩個根，由韋達(dá)定理 另一方面，直線 是圓的切點(diǎn)弦，利用前邊的結(jié)論， 的方程為 代入得 因此，這個方程的根 滿足 綜合，結(jié)論成立。 可以證明，當(dāng) 在圓內(nèi)時，上述推導(dǎo)及結(jié)論仍然成立。 說明：問題4的解決借用了問題3的方法，同時我們也看到了問題4與問題1、問題2的內(nèi)在聯(lián)系。四點(diǎn)共圓 四點(diǎn)共圓-圖釋如果同一平面內(nèi)的四個點(diǎn)在同一個圓上，則稱這四個點(diǎn)共圓，一般簡稱為“四點(diǎn)共圓”。四點(diǎn)共圓有三個性質(zhì)： （1）同弧所對的圓周角相等 （2）圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ) （3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角 以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對弧的度數(shù)的一半進(jìn)行證明。 四點(diǎn)共圓證明四點(diǎn)共圓的基本方法證明四點(diǎn)共圓有下述一些基本方法： 方法1從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓 方法2把被證共圓的四個點(diǎn)連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓 （若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。） 方法3把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點(diǎn)共圓 方法4把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓(根據(jù)托勒密定理的逆定理) 方法5證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓 上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點(diǎn)共圓的一種原因，因此當(dāng)要求證四點(diǎn)共圓的問題時，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點(diǎn)，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明 判定與性質(zhì)： 圓內(nèi)接四邊形的對角和為,并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角。 如四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，延長AB和DC交至E，過點(diǎn)E作圓O的切線EF，AC、BD交于P，則A+C=，B+D=， 角DBC=角DAC（同弧所對的圓周角相等）。 角CBE=角ADE（外角等于內(nèi)對角） ABPDCP（三個內(nèi)角對應(yīng)相等） AP*CP=BP*DP（相交弦定理） 四點(diǎn)共圓的圖片EB*EA=EC*ED（割線定理） EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割線定理） （切割線定理，割線定理，相交弦定理統(tǒng)稱圓冪定理） AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy） 證明四點(diǎn)共圓的原理四點(diǎn)共圓 證明四點(diǎn)共圓基本方法： 方法1把被證共圓的四個點(diǎn)連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓 方法2把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點(diǎn)共圓 四點(diǎn)共圓的判定是以四點(diǎn)共圓的性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行證明的。 四點(diǎn)共圓的定理：四點(diǎn)共圓的判定定理：方法1 把被證共圓的四個點(diǎn)連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓 （可以說成：若線段同側(cè)二點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線夾角相等，那末這二點(diǎn)和線段二端點(diǎn)四點(diǎn)共圓） 方法2 把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點(diǎn)共圓 （可以說成：若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對角互補(bǔ)或一個外角等于其內(nèi)對角。那么這四點(diǎn)共圓） 反證法證明現(xiàn)就“若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對角互補(bǔ)。那末這四點(diǎn)共圓”證明如下（其它畫個證明圖如后） 已知：四邊形ABCD中，A+C= 求證：四邊形ABCD內(nèi)接于一個圓（A，B，C，D四點(diǎn)共圓） 證明：用反證法 過A，B，D作圓O，假設(shè)C不在圓O上，剛C在圓外或圓內(nèi)， 若C在圓外，設(shè)BC交圓O于C，連結(jié)DC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得A+DCB=， A+C= DCB=C 這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外。類似地可證C不可能在圓內(nèi)。 C在圓O上，也即A，B，C，D四點(diǎn)共圓。