有限元基礎(chǔ)及應(yīng)用

有限元基礎(chǔ)及應(yīng)用,主講：姚林泉 電話:13915587868 E-mail:,課程介紹,一、課程內(nèi)容： 1、有限元法理論基礎(chǔ)； 2、應(yīng)用ANSYS有限元軟件對(duì)汽車/機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。 二、學(xué)習(xí)方法： 理論與實(shí)踐相結(jié)合，即通過應(yīng)用有限元分析實(shí)際問題來掌握有限元理論。 三、學(xué)時(shí)數(shù)：54學(xué)時(shí)（36學(xué)時(shí)理論+18學(xué)時(shí)實(shí)驗(yàn)） 四、考核方式：平時(shí)成績(jī)+上機(jī)考試+筆試成績(jī),第一章 緒論,1.1 有限元法概述 有限元法誕生于20世紀(jì)中葉（1943年），隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和計(jì)算方法的發(fā)展，已成為計(jì)算力學(xué)和計(jì)算工程科學(xué)領(lǐng)域里最為有效的方法，它幾乎適用于求解所有連續(xù)介質(zhì)和場(chǎng)的問題。,一、什么是有限元法？,有限元法是將連續(xù)體理想化為有限個(gè)單元集合而成，這些單元僅在有限個(gè)節(jié)點(diǎn)上相連接，即用有限個(gè)單元的集合來代替原來具有無限個(gè)自由度的連續(xù)體。,二、有限元法的基本思想,有限元法的基本思想是：“分與合”。 “分”是為了劃分單元，進(jìn)行單元分析； “合”則是為了集合單元，對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行綜合分析。 結(jié)構(gòu)離散-單元分析-整體求解,三、有限元法的基本步驟,無論對(duì)于什么樣的結(jié)構(gòu)，有限元分析過程都是類似的。其基本步驟為： （1）研究分析結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，包括結(jié)構(gòu)形狀與邊界、載荷工況等； （2）將連續(xù)體劃分成有限單元，形成計(jì)算模型，包括確定單元類型與邊界條件、材料特性等；,（3）以單元節(jié)點(diǎn)位移作為未知量，選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)來表示單元中的位移，再用位移函數(shù)求單元中的應(yīng)變，根據(jù)材料的物理關(guān)系，把單元中的應(yīng)力也用位移函數(shù)表示出來，最后將作用在單元上的載荷轉(zhuǎn)化成作用在單元上的等效節(jié)點(diǎn)力，建立單元等效節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系。這一過程就是單元特性分析。,（4）利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個(gè)單元按原來的結(jié)構(gòu)重新連接起來，集合成整體的有限元方程，求解出節(jié)點(diǎn)位移。 重點(diǎn)：對(duì)于不同的結(jié)構(gòu)，要采用不同的單元，但各種單元的分析方法又是一致的。,四、有限元法的學(xué)習(xí)路線,從最簡(jiǎn)單的桿、梁及平面結(jié)構(gòu)入手，由淺入深，介紹有限元理論以及應(yīng)用。利用ANSYS軟件分析問題。,五、有限元法的發(fā)展與應(yīng)用,有限元法不僅能應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析，還能解決歸結(jié)為場(chǎng)問題的工程問題，從二十世紀(jì)六十年代中期以來，有限元法得到了巨大的發(fā)展，為工程設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了有力的工具。,（一）算法與有限元軟件,從二十世紀(jì)60年代中期以來，進(jìn)行了大量的理論研究，不但拓展了有限元法的應(yīng)用領(lǐng)域，還開發(fā)了許多通用或?qū)Ｓ玫挠邢拊治鲕浖?理論研究的一個(gè)重要領(lǐng)域是計(jì)算方法的研究，主要有： 大型線性方程組的解法； 非線性問題的解法； 動(dòng)力問題計(jì)算方法。,目前應(yīng)用較多的通用有限元軟件如下表：,另外還有許多針對(duì)某類問題的專用有限元軟件，例如金屬成形分析軟件Deform、Autoform，焊接與熱處理分析軟件SysWeld等。,（二）應(yīng)用實(shí)例,有限元法已經(jīng)成功地應(yīng)用在以下一些領(lǐng)域： 固體力學(xué)：包括強(qiáng)度、穩(wěn)定性、振動(dòng)和瞬態(tài)問題的分析； 傳熱學(xué)； 電磁場(chǎng)； 流體力學(xué) ； 。,轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)支架的強(qiáng)度分析,基于ANSYS的齒輪嚙合仿真,1.2 有限元法在汽車工程中的應(yīng)用,隨著大型有限元通用程序的推廣和普及以及計(jì)算機(jī)硬件技術(shù)的飛速發(fā)展，有限元已成為汽車設(shè)計(jì)中的重要環(huán)節(jié)，無論在車型改造，還是在新車開發(fā)階段，就產(chǎn)品中的強(qiáng)度、疲勞、振動(dòng)、噪聲等問題進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算分析，可提高設(shè)計(jì)質(zhì)量，縮短開發(fā)周期，節(jié)省開發(fā)費(fèi)用，從而真正形成自主的產(chǎn)品開發(fā)能力。,車輛結(jié)構(gòu)由不同的材料組成，其結(jié)構(gòu)也非常復(fù)雜，包括板、梁、軸、塊等通過鉚接或焊接而成。 車輛結(jié)構(gòu)承受的載荷也十分復(fù)雜，其中包括自重，路面激勵(lì)、慣性力及構(gòu)件之間的約束力。,各種汽車結(jié)構(gòu)件都可以應(yīng)用有限元進(jìn)行靜態(tài)分析、模態(tài)分析和動(dòng)態(tài)分析?，F(xiàn)代汽車設(shè)計(jì)中，已從早期的靜態(tài)分析為主轉(zhuǎn)化為以模態(tài)分析和動(dòng)態(tài)分析為主。 汽車結(jié)構(gòu)有限元分析的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾方面： 1.整車及零部件強(qiáng)度和疲勞壽命分析 2.整車及零部件剛度分析 3.整車及零部件模態(tài)及動(dòng)態(tài)分析 4.汽車NVH（噪聲、振動(dòng)、聲振粗糙度）分析 5.整車碰撞安全性分析 6.設(shè)計(jì)優(yōu)化分析 7.氣動(dòng)或流場(chǎng)分析 8.熱結(jié)構(gòu)耦合分析,有限元應(yīng)用實(shí)例 接觸問題,有限元應(yīng)用實(shí)例 沖壓成型,有限元應(yīng)用實(shí)例 汽車安全氣囊計(jì)算,有限元應(yīng)用實(shí)例 汽車碰撞1,有限元應(yīng)用實(shí)例 汽車碰撞2,有限元應(yīng)用實(shí)例 超彈性,總之，在工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計(jì)開發(fā)的各個(gè)階段，有限元的引入對(duì)降低開發(fā)成本，縮短研制周期，實(shí)施優(yōu)化設(shè)計(jì)等都非常關(guān)鍵且效果顯著。,設(shè)計(jì),計(jì)算,判斷（強(qiáng)度，剛度，穩(wěn)定性等）,結(jié)束,不合理,合理,學(xué)習(xí)有限元需要的基礎(chǔ)知識(shí),線性代數(shù) 數(shù)值計(jì)算：數(shù)值代數(shù)、數(shù)值逼近、數(shù)值積分等 彈性力學(xué) 變分原理,第 2章 有限元分析過程的概要,2.1 有限元分析的目的和概念,描述可承力構(gòu)件的力學(xué)信息一般有三類： (1)位移：構(gòu)件因承載在任意位置上所引起的移動(dòng)； (2)應(yīng)變：構(gòu)件因承載在任意位置上所引起的變形狀態(tài)； (3)應(yīng)力：構(gòu)件因承載在任意位置上所引起的受力狀態(tài)。,為什么采用有限元方法就可以針對(duì)具有任意復(fù)雜幾何形狀的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，并能夠得到準(zhǔn)確的結(jié)果呢？,有限元方法是基于“離散逼近”的基本策略，可以采用較多數(shù)量的簡(jiǎn)單函數(shù)的組合來“近似”代替非常復(fù)雜的原函數(shù)。 一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)，可以通過一系列的基函數(shù)的組合來“近似” ，也就是函數(shù)逼近，其中有兩種典型的方法： (1)基于全域的展開(如采用傅立葉級(jí)數(shù)展開)； (2)基于子域的分段函數(shù)組合(如采用分段線性函數(shù)的連接),例：一個(gè)一維函數(shù)的兩種展開方式的比較,兩種方法特點(diǎn),第一種方法（經(jīng)典瑞利-里茲方法(Rayleigh-Ritz )的思想）： 所采用的基本函數(shù)非常復(fù)雜，而且是在全域上定義的，但它是高次連續(xù)函數(shù)，一般情況下，僅采用幾個(gè)基底函數(shù)就可以得到較高的逼近精度；,第二種方式（有限元方法的思想）： 所采用的基本函數(shù)非常簡(jiǎn)單，而且是在子域上定義的，它通過各個(gè)子域組合出全域 ，但它是線性函數(shù)，函數(shù)的連續(xù)性階次較低，因此需要使用較多的分段才能得到較好的逼近效果，則計(jì)算工作量較大。,基于分段的函數(shù)描述具有非常明顯的優(yōu)勢(shì)：,(1)可以將原函數(shù)的復(fù)雜性“化繁為簡(jiǎn)” ，使得描述和求解成為可能 (2)所采用的簡(jiǎn)單函數(shù)可以人工選取，因此，可取最簡(jiǎn)單的線性函數(shù)，或取從低階到高階的多項(xiàng)式函數(shù) (3)可以將原始的微分求解變?yōu)榫€性代數(shù)方程。 但分段的做法可能會(huì)帶來的問題有： (1) 因采用了“化繁為簡(jiǎn)”，所采用簡(jiǎn)單函數(shù)的描述的能力和效率都較低， (2) 由于簡(jiǎn)單函數(shù)的描述能力較低，必然使用數(shù)量眾多的分段來進(jìn)行彌補(bǔ)，因此帶來較多的工作量。,2.2 一維階梯桿結(jié)構(gòu)問題的求解,以 1D階梯桿結(jié)構(gòu)為例，詳細(xì)給出各種方法求解的過程，直觀地引入有限元分析的基本思路，以此逐步介紹有限元分析的過程。,方法一：材料力學(xué)求解,（1）求內(nèi)力,（2）求應(yīng)力,（3）求應(yīng)變,（4）求伸長(zhǎng)量,（5）求位移,計(jì)算結(jié)果圖示,討論：,（1）求解的基本力學(xué)變量是力（或應(yīng)力），由于以上問題非常簡(jiǎn)單，而且是靜定問題，所以可以直接求出； （2）對(duì)于靜不定問題，則需要變形協(xié)調(diào)方程，才能求解出應(yīng)力變量，在構(gòu)建問題的變形協(xié)調(diào)方程時(shí)，則需要一定的技巧； （3）若采用位移作為首先求解的基本變量，則可以使問題的求解變得更規(guī)范一些，下面就基于 A、B、C 三個(gè)點(diǎn)的位移 來進(jìn)行以上問題的求解。,方法二：節(jié)點(diǎn)位移求解及平衡關(guān)系,要求分別針對(duì)每個(gè)連接節(jié)點(diǎn)，基于節(jié)點(diǎn)的位移來構(gòu)建相應(yīng)的平衡關(guān)系，然后再進(jìn)行求解。,首先分析桿內(nèi)部的受力及變形狀況,節(jié)點(diǎn) A、B、C的受力狀況，分別建立它們各自的平衡關(guān)系,寫成矩陣形式,代入已知數(shù)值,求解得：,已知,回代求出應(yīng)變和應(yīng)力,討論：,物理含義就是內(nèi)力與外力的平衡關(guān)系。內(nèi)力表現(xiàn)為各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的內(nèi)力，并且可以通過節(jié)點(diǎn)位移來獲取。,方法三：基于位移求解的通用形式,此方程的左端就是桿件的內(nèi)力表達(dá)和桿件的內(nèi)力表達(dá)之和，這樣就將原來的基于節(jié)點(diǎn)的平衡關(guān)系，變?yōu)橥ㄟ^每一個(gè)桿件的平衡關(guān)系來進(jìn)行疊加。,標(biāo)準(zhǔn)化過程,單元節(jié)點(diǎn)位移,單元節(jié)點(diǎn)外力,單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)力,單元節(jié)點(diǎn)的內(nèi)力與外力平衡：,即：,或,其中,為單元的剛度矩陣,例：三連桿結(jié)構(gòu)的有限元分析過程,(1)節(jié)點(diǎn)編號(hào)和單元?jiǎng)澐?(2)計(jì)算各單元的單元?jiǎng)偠确匠?(3)組裝各單元?jiǎng)偠确匠?(4)處理邊界條件并求解,(5)求支反力,由方程組的最后一行方程，可求出支反力為,(6)求各個(gè)單元的其它力學(xué)量（應(yīng)變、應(yīng)力）,有限元分析的基本流程,總結(jié)：（1）有限元分析的最主要內(nèi)容，就是研究單元，即首先給出單元的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力；（2）然后，基于單元節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力的相互關(guān)系可以直接獲得相應(yīng)的剛度系數(shù)，進(jìn)而得到單元的剛度方程；（3）再針對(duì)實(shí)際的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，根據(jù)實(shí)際的連接關(guān)系，將單元組裝為整體剛度方程，這實(shí)際上也是得到整體結(jié)構(gòu)的基于節(jié)點(diǎn)位移的整體平衡方程。（4）因此，有限元方法的主要任務(wù)就是對(duì)常用的各種單元（包括 1D、2D、3D問題的單元）構(gòu)造出相應(yīng)的單元?jiǎng)偠染仃?；?）當(dāng)然，如果采用直接法來進(jìn)行構(gòu)造，會(huì)非常煩瑣，而采用能量原理（如：虛功原理或最小勢(shì)能原理）來建立相應(yīng)的平衡關(guān)系則比較簡(jiǎn)單，這種方法可以針對(duì)任何類型的單元進(jìn)行構(gòu)建，以得到相應(yīng)的剛度矩陣，推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃嚨姆椒ǖ牧W(xué)基礎(chǔ)在后面介紹。,第3章 桿梁結(jié)構(gòu)分析的有限元方法,一、桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例,1 桿件分析的基本力學(xué)原理 連接它的兩端一般都是鉸接接頭，因此，它主要是承受沿軸線的軸向力，它不傳遞和承受彎矩。,平衡方程,幾何方程,物理方程,位移邊界條件,力邊界條件,（1）1D問題的基本變量,（2）1D問題的基本方程,（3） 虛功原理及虛功方程,圖（a）所示一平衡的杠桿，對(duì)C點(diǎn)寫力矩平衡方程： 圖（b）表示杠桿繞支點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的剛體位移圖： 綜合可得： 即： 上式是以功的形式表述的。表明：圖a的平衡力系在圖b的位移上作功時(shí)，功的總和必須等于零。這就叫做虛功原理。,進(jìn)一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時(shí)， 和 這兩個(gè)位移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾斜，一定滿足上式的關(guān)系。 將這個(gè)客觀存在的關(guān)系抽象成一個(gè)普遍的原理，去指導(dǎo)分析和計(jì)算結(jié)構(gòu)。 對(duì)于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，(由于是假想，故稱為虛位移)，那么，物體上所有的力在這個(gè)虛位移上的總功必定等于零。這就叫做虛位移原理，也稱虛功原理。在圖中的 和 所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)a)的位移上，(因?yàn)樗旧硎瞧胶獾?，不存在位?，而是在狀態(tài)(b)的位移上作的功?？梢姡@個(gè)位移對(duì)于狀態(tài)(a)來說就是虛位移，亦即是狀態(tài)(a)假象的位移。,虛功原理,必須指出，虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，它所涉及到的兩個(gè)方面，力和位移并不是隨意的。對(duì)于力來講，它必須是在位移過程中處于平衡的力系；對(duì)于位移來講，雖然是虛位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移。 還要注意，當(dāng)位移是在某個(gè)約束條件下發(fā)生時(shí)，則在該約束力方向的位移應(yīng)為零，因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零。這時(shí)該約束力叫做被動(dòng)力。(如圖中的反力 ，由于支點(diǎn)C沒有位移，故 所作的虛功對(duì)于零)。反之，如圖的 和 是在位移過程中作功的力，稱為主動(dòng)力。因此，在平衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動(dòng)力，哪些是被動(dòng)力，而在寫虛功方程時(shí)，只有主動(dòng)力作虛功，而被動(dòng)力是不作虛功的。,虛功原理,虛功原理與虛功方程,虛功原理表述如下： 在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當(dāng)發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時(shí)，體系上所有的主動(dòng)力在位移上所作的總功(各力所作的功的代數(shù)和)恒對(duì)于零。 虛功原理用公式表示為： 這就是虛功方程，其中P和 相應(yīng)的代表力和虛位移。,虛功原理-用于彈性體的情況,虛功方程是按剛體的情況得出的，即假設(shè)圖中的杠桿是絕對(duì)剛性，沒有任何的變形，因而在方程中沒有內(nèi)功項(xiàng)出現(xiàn)，而只有外功項(xiàng)。 將虛功原理用于彈性變形時(shí)，總虛功要包括外力虛功(W)和內(nèi)力虛功(U)兩部分，即： W - U ；內(nèi)力虛功(- U)前面有一負(fù)號(hào)，是由于彈性體在變形過程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負(fù)值。 根據(jù)虛功原理，總功等于零得： W - U = 0 外力虛功 （W） = 內(nèi)力虛功 （U） 彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功(外力功)等于整個(gè)彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功(內(nèi)力功)。注意這里的虛位移是指僅滿足位移邊界條件 BC(u)的許可位移。,（4）1D問題的虛功原理求解,試函數(shù)（滿位移足邊界條件）：,由虛功原理：,（5）1D問題的最小勢(shì)能原理求解,設(shè)有滿足位移邊界條件 BC(u)的許可位移場(chǎng),計(jì)算該系統(tǒng)的勢(shì)能(potential energy)為,對(duì)于包含有待定系數(shù)的試函數(shù)而言，真實(shí)的位移函數(shù)應(yīng)使得該系統(tǒng)的勢(shì)能取極小值，即,由上面的計(jì)算可以看出，基于試函數(shù)的方法，包括虛功原理以及最小勢(shì)能原理，僅計(jì)算系統(tǒng)的能量，實(shí)際上就是計(jì)算積分，然后轉(zhuǎn)化為求解線性方程，不需求解微分方程，這樣就大大地降低了求解難度。同時(shí)，也可以看出，試函數(shù)的方法的關(guān)鍵就是如何構(gòu)造出適合于所求問題的位移試函數(shù)，并且該構(gòu)造方法還應(yīng)具有規(guī)范性以及標(biāo)準(zhǔn)化，基于“單元”的構(gòu)造方法就可以完全滿足這些要求。,2. 局部坐標(biāo)系中的桿單元描述,1）桿單元的描述,(1) 單元的幾何及節(jié)點(diǎn)描述,2. 局部坐標(biāo)系中的桿單元描述,1）桿單元的描述,(2) 單元位移場(chǎng)的表達(dá),該函數(shù)將由兩個(gè)端節(jié)點(diǎn)的位移 ， 確定，故?。?單元節(jié)點(diǎn)條件為,將其代回位移試函數(shù)表達(dá)式得：,形狀函數(shù)矩陣,(3) 單元應(yīng)變場(chǎng)的表達(dá),幾何矩陣,(4) 單元應(yīng)力場(chǎng)的表達(dá),應(yīng)力矩陣,(5) 單元?jiǎng)菽艿谋磉_(dá),單元?jiǎng)偠染仃?節(jié)點(diǎn)力列陣,(6) 單元的剛度方程,利用最小勢(shì)能原理，取極小值，可以得到單元的剛度方程,2. 局部坐標(biāo)系中的桿單元描述,2）變截面桿單元的推導(dǎo),標(biāo)準(zhǔn)化過程：,1) 平面桿單元的坐標(biāo)變換,3. 桿單元的坐標(biāo)變換,局部坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)位移為,整體坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)位移為,1) 平面桿單元的坐標(biāo)變換,3. 桿單元的坐標(biāo)變換,等價(jià)變換關(guān)系,寫成矩陣形式,坐標(biāo)變換矩陣,整體坐標(biāo)系下剛度方程的推導(dǎo),整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?整體坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)力列陣,由最小勢(shì)能原理可得到整體坐標(biāo)系中的剛度方程,2） 空間桿單元的坐標(biāo)變換,局部坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)位移為,整體坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)位移為,桿單元軸線在整體坐標(biāo)系中的方向余弦為,2） 空間桿單元的坐標(biāo)變換,剛度矩陣和節(jié)點(diǎn)力的變換與平面情形相同，但,2） 空間桿單元的坐標(biāo)變換,3.桿結(jié)構(gòu)分析的算例,各桿的彈性模量和橫截面積都為 ，試求解該結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移、單元應(yīng)力以及支反力。,（1） 結(jié)構(gòu)的離散化與編號(hào),（1） 結(jié)構(gòu)的離散化與編號(hào),（2）各個(gè)單元的矩陣描述,（2）各個(gè)單元的矩陣描述,（3） 建立整體剛度方程,剛度矩陣：,節(jié)點(diǎn)位移：,節(jié)點(diǎn)力：,整體剛度方程為,（3） 建立整體剛度方程,(4) 邊界條件的處理及剛度方程求解,邊界條件 BC(u)為：,(5) 各單元應(yīng)力的計(jì)算,同理，可求出其它單元的應(yīng)力。,(6) 支反力的計(jì)算,將節(jié)點(diǎn)位移的結(jié)果代入整體剛度方程中，可求出,訓(xùn)練題,1. P.91習(xí)題3,4. 等效載荷。 2. 總剛度矩陣組裝方法。,二、 梁件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例,1 梁件分析的基本力學(xué)原理,圖. 受分布載荷作用的簡(jiǎn)支梁,圖. 梁?jiǎn)栴}的dx“微段”及受力平衡,梁特征：（1）梁為細(xì)長(zhǎng)梁 ，可只用 x 坐標(biāo)來刻畫， （2）主要變形為垂直于 x 的撓度，可只用撓度來描述位移場(chǎng)。 針對(duì)這兩個(gè)特征，可以對(duì)梁沿高度方向的變形做出以下設(shè)定：(1)變形后的直線假定；(2)小變形假定。,應(yīng)變： (采用 ，沿高度方向滿足直線假定),應(yīng)力： (采用 ，其它應(yīng)力分量很小，不考慮)，該變量對(duì)應(yīng)于梁截面上的彎矩 M。,【基本變量】 平面梁的基本變量,位移：,（中性層的撓度）,【基本方程】 平面梁的基本方程,（1） 平衡方程,（2） 幾何方程,（3） 物理方程,（4） 邊界條件,或：,對(duì)以上方程進(jìn)行整理, 有描述平面梁彎曲問題的基本方程：,為梁截面的慣性矩,(y方向的平衡）,(x方向的平衡）,(物理方程）,(幾何方程）,其中：,【求解原理】 （1）簡(jiǎn)支梁的微分方程解,這是一個(gè)常微分方程，其解的形式為,由四個(gè)邊界條件求出待定參數(shù)，最后有結(jié)果,【求解原理】 （2）簡(jiǎn)支梁的虛功原理求解,假設(shè)有一個(gè)只滿足位移邊界條件 BC(u)的位移場(chǎng)為,該簡(jiǎn)支梁的虛應(yīng)變能為：,由幾何方程：,該簡(jiǎn)支梁的外力虛功為,由虛功原理,，則,【求解原理】 （3) 簡(jiǎn)支梁的最小勢(shì)能原理求解,為提高計(jì)算精度，可以選取多項(xiàng)函數(shù)的組合，這里取滿足位移邊界條件 BC(u)的許可位移場(chǎng)為,計(jì)算應(yīng)變能U 為,則為使總勢(shì)能( ) 取極小值，則有,相應(yīng)的外力功W 為,解出 和 后得,注：該方法得到的第一項(xiàng)與前面虛功原理求解出來的結(jié)果相同，與精確解相比，該結(jié)果比前面由虛功原理得到的結(jié)果更為精確，這時(shí)因?yàn)檫x取兩項(xiàng)函數(shù)作為試函數(shù)，這也是提高計(jì)算精度的重要途徑。以上求解過程所用的試函數(shù)為許可基底函數(shù)的線性組合，因此，上述求解方法也是瑞利-里茲方法。 以上的【求解原理】（2）和（3）都是基于試函數(shù)的能量方法(也稱為泛函極值方法)，基本要點(diǎn)是不需求解原微分方程，但需要假設(shè)一個(gè)滿足位移邊界條件 BC(u)的許可位移場(chǎng)。因此，如何尋找或構(gòu)建滿足所需要求的許可位移場(chǎng)是一個(gè)關(guān)鍵，并且，還期望這種構(gòu)建許可位移場(chǎng)的方法還應(yīng)具有標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范性。下面的重點(diǎn)將討論通過基于“單元”的位移函數(shù)的構(gòu)建就可以滿足這些要求。,【局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧?】,【單元構(gòu)造】平面純彎梁?jiǎn)卧拿枋?(1) 單元的幾何及節(jié)點(diǎn)描述,節(jié)點(diǎn)力列陣為,節(jié)點(diǎn)位移列陣為,(2) 單元位移場(chǎng)的表達(dá),由該單元的節(jié)點(diǎn)位移條件,其中：,叫做單元的形狀函數(shù)矩陣,(3) 單元應(yīng)變場(chǎng)的表達(dá),由純彎梁的幾何方程，有梁的應(yīng)變表達(dá)式,叫做單元的幾何矩陣，即,(4) 單元應(yīng)力場(chǎng)的表達(dá),由梁的物理方程,叫做單元的應(yīng)力矩陣,其中： E 為彈性模量，,(5) 單元?jiǎng)菽艿谋磉_(dá),該單元的勢(shì)能為,外力功為：,其中：,(6) 單元的剛度方程,由最小勢(shì)能原理，將式 中的,對(duì),取極小值，有單元?jiǎng)偠确匠?【單元構(gòu)造】 一般平面梁?jiǎn)卧拿枋?為推導(dǎo)局部坐標(biāo)系中的一般平面梁?jiǎn)卧?，在純彎梁的基礎(chǔ)上疊加進(jìn)軸向位移(由于為線彈性問題，滿足疊加原理)，這時(shí)的節(jié)點(diǎn)位移自由度(DOF)共有 6 個(gè)。,平面梁?jiǎn)卧獔D,平面梁?jiǎn)卧墓?jié)點(diǎn)位移列陣：,平面梁?jiǎn)卧墓?jié)點(diǎn)力列陣：,對(duì)應(yīng)于圖中的節(jié)點(diǎn)位移和式中節(jié)點(diǎn)位移列陣的排列次序，將桿單元?jiǎng)偠染仃嚺c純彎梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃囘M(jìn)行組合，可得到單元?jiǎng)偠染仃?，?【典型例題】 受均布載荷平面梁?jiǎn)卧牡刃Ч?jié)點(diǎn)載荷,解答：,討論 1：若憑一種直覺，直接按照靜力等效的方式來進(jìn)行計(jì)算，即，每個(gè)節(jié)點(diǎn)各分一半進(jìn)行靜力等效，則計(jì)算出的節(jié)點(diǎn)等效力為,顯然這樣計(jì)算出的 M1和M2都是錯(cuò)誤的！,討論 2：該等效節(jié)點(diǎn)載荷是按照外力功進(jìn)行計(jì)算的，是通用的均布載荷的節(jié)點(diǎn)等效載荷，與節(jié)點(diǎn)的實(shí)際約束狀態(tài)沒有關(guān)系。也就是說，圖 （a）中的幾種情況的節(jié)點(diǎn)等效載荷都用式（*）。,(*),【典型例題】 懸臂-簡(jiǎn)支平面連續(xù)梁的有限元分析,試確定節(jié)點(diǎn) 3 的豎向位移、節(jié)點(diǎn) 2 和節(jié)點(diǎn) 3 的轉(zhuǎn)角。同時(shí)計(jì)算節(jié)點(diǎn) 1 和節(jié)點(diǎn) 2 的反力。,解答：由于該梁在其中的一個(gè)位置有一個(gè)支撐，因此采用兩個(gè)梁?jiǎn)卧t該結(jié)構(gòu)的整體節(jié)點(diǎn)位移列陣,該結(jié)構(gòu)的整體剛度方程為,考慮位移邊界條件：,然后，根據(jù)下述關(guān)系求解得各節(jié)點(diǎn)反力和彎矩,注意：轉(zhuǎn)角 在兩個(gè)坐標(biāo)系中是相同的,平面梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換,設(shè)局部坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)位移列陣為,整體坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)位移列陣為,按照兩個(gè)坐標(biāo)系中的位移向量相等效的原則，可推導(dǎo)出以下變換關(guān)系。,與平面桿單元的坐標(biāo)變換類似，梁?jiǎn)卧谡w坐標(biāo)系中的剛度方程為,其中：,空間梁?jiǎn)卧白鴺?biāo)變換,1. 空間梁?jiǎn)卧?(1) 對(duì)應(yīng)于圖 中的節(jié)點(diǎn)位移,有對(duì)應(yīng)于桿單元的剛度矩陣為,(2) 對(duì)應(yīng)于圖 中的節(jié)點(diǎn)位移,有對(duì)應(yīng)于軸單元的剛度矩陣為,(3) 對(duì)應(yīng)于圖 中 Oxy 平面內(nèi)的節(jié)點(diǎn)位移,(4) 對(duì)應(yīng)于圖中 Oxz 平面內(nèi)的節(jié)點(diǎn)位移,這是梁在 Oxz 平面內(nèi)的純彎曲情形，可得到與上式類似的剛度矩陣，但所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移是不同的。,(6) 將各分剛度矩陣進(jìn)行組合以形成完整的單元?jiǎng)偠染仃?2. 空間梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換,局部坐標(biāo)系中空間梁?jiǎn)卧墓?jié)點(diǎn)位移列陣為,整體坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)位移列陣為,有了坐標(biāo)變換矩陣，就很容易寫出整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣和剛度方程。,梁?jiǎn)卧某Ｓ玫刃Ч?jié)點(diǎn)載荷,表 3-4 列出了常用的梁?jiǎn)卧诔惺芊枪?jié)點(diǎn)載荷下的節(jié)點(diǎn)載荷等效值，該等效值是根據(jù)外力功的計(jì)算公式得到的，因此，它與梁?jiǎn)卧倪吔鐥l件沒有關(guān)系(表 3-4 中的圖示雖為固支，這些節(jié)點(diǎn)載荷等效值也可以用在其它邊界情況)。,【典型例題】 三梁平面框架結(jié)構(gòu)的有限元分析,解答：對(duì)該問題進(jìn)行有限元分析的過程如下。,（1） 結(jié)構(gòu)的離散化與編號(hào),節(jié)點(diǎn)位移列陣為,節(jié)點(diǎn)外載列陣為,支反力列陣為,總的節(jié)點(diǎn)載荷列陣為,（2） 各個(gè)單元的描述,單元的局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)是一致的，則可以直接得到,單元和單元的情況相同，只是節(jié)點(diǎn)編號(hào)不同而已，其局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚍?這兩個(gè)單元軸線的方向余弦為,則可以計(jì)算出整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚕▎卧蛦卧?注意這兩個(gè)單元所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移列陣分別為,對(duì)于單元：,對(duì)于單元：,（3） 建立整體剛度方程,組裝整體剛度矩陣并形成整體剛度方程,其中剛度矩陣的組裝關(guān)系為,（4） 邊界條件的處理及剛度方程求解,該問題的位移邊界條件為,處理該邊界條件后的剛度方程為,求解后的結(jié)果為,第2章 彈性力學(xué)基本方程及平面問題的有限元法,2.1 彈性力學(xué)簡(jiǎn)介,本課程中的有限單元法理論要用到彈性力學(xué)的某些基本概念和基本方程。將簡(jiǎn)單介紹這些概念和方程，作為彈性力學(xué)有限單元法的預(yù)備知識(shí)。,彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué),1、研究的內(nèi)容：基本上沒有什么區(qū)別。 彈性力學(xué)也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運(yùn)動(dòng)，以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形。 2、研究的對(duì)象：有相同也有區(qū)別。 材料力學(xué)基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構(gòu)件，即長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于寬度和厚度的構(gòu)件。彈性力學(xué)雖然也研究桿狀構(gòu)件，但還研究材料力學(xué)無法研究的板與殼及其它實(shí)體結(jié)構(gòu)，即兩個(gè)尺寸遠(yuǎn)大于第三個(gè)尺寸，或三個(gè)尺寸相當(dāng)?shù)臉?gòu)件。,彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué),3、研究的方法：有較大的區(qū)別。 雖然都從靜力學(xué)、幾何學(xué)與物理學(xué)三方面進(jìn)行研究，但是在建立這三方面條件時(shí)，采用了不同的分析方法。材料力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的整個(gè)截面來建立這些條件的，因而要常常引用一些截面的變形狀況或應(yīng)力情況的假設(shè)。這樣雖然大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)推演，但是得出的結(jié)果往往是近似的，而不是精確的。而彈性力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的無限小單元體來建立這些條件的，因而無須引用那些假設(shè)，分析的方法比較嚴(yán)密，得出的結(jié)論也比較精確。所以，我們可以用彈性力學(xué)的解答來估計(jì)材料力學(xué)解答的精確程度，并確定它們的適用范圍。,彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué),例如，材料力學(xué)在研究有孔的拉伸構(gòu)件通常就假定拉應(yīng)力在凈截?cái)嗝婢鶆蚍植肌?彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué),總之，彈性力學(xué)與材料力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都同屬于固體力學(xué)領(lǐng)域，但彈性力學(xué)比材料力學(xué)，研究的對(duì)象更普遍，分析的方法更嚴(yán)密，研究的結(jié)果更精確，因而應(yīng)用的范圍更廣泛。 但是，彈性力學(xué)也有其固有的弱點(diǎn)。由于研究對(duì)象的變形狀態(tài)較復(fù)雜，處理的方法又較嚴(yán)謹(jǐn)，因而解算問題時(shí)，往往需要冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算。但為了簡(jiǎn)化計(jì)算，便于數(shù)學(xué)處理，它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定。,彈性力學(xué)基本方程,一 、彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念： 1、體力，是分布于物體體積內(nèi)的外力，如重力、磁力、慣性力等。單位體積內(nèi)的體力亦可分解為三個(gè)成分，用記號(hào)X、Y、Z表示。 2、面力，是分布于物體表面的力，如靜水壓力，一物體與另一物體之間的接觸壓力等。單位面積上的表面力通常分解為平行于座標(biāo)軸的三個(gè)成分，用記號(hào) 來表示。,3、 內(nèi)力、平均應(yīng)力和應(yīng)力 （1）內(nèi)力（Internal forces）：是物體本身不同部分之間相互作用的力； （2）平均應(yīng)力（ the average stress ）：設(shè)作用在包含P點(diǎn)某一個(gè)截面mn上的單元面積（ elementary area ）A 上的力為F ，則F/A 稱為A 上的平均應(yīng)力； （3）應(yīng)力：如果假設(shè)內(nèi)力分布連續(xù)，命 A無 限減小并趨向P點(diǎn), 則F/A 將趨向一個(gè)極限 p:這個(gè)極限P就叫做物體在截面mn上，在P點(diǎn)的應(yīng)力。,彈性體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力。,內(nèi)力、平均應(yīng)力和應(yīng)力的概念,4. 正應(yīng)力和切應(yīng)力的概念 正應(yīng)力：應(yīng)力在作用截面法線方向的分量；切應(yīng)力：應(yīng)力在作用截面切線方向的分量。 正平行六面體應(yīng)力：從物體中取出一個(gè)微小的正平行六面體，它的棱邊分別平行于三個(gè)坐標(biāo)軸，長(zhǎng)度分別為x, y, z.正平行六面體應(yīng)力如圖所示.,(1) 應(yīng)力的表示 正應(yīng)力用表示. 它的下表表示作用方向.如x 表示正應(yīng)力沿著 x 方向;剪應(yīng)力用 表示, 它有兩個(gè)下表, 例如xy 表示剪應(yīng)力作用在垂直 x軸的平面上, 但沿著 y方向. (2)應(yīng)力的符號(hào) 如果一個(gè)截面的外法線沿著坐標(biāo)軸的正方向，這個(gè)面就稱為正面，這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿著坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?；沿著坐?biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。,這個(gè)應(yīng)力符號(hào)的規(guī)定與材料力學(xué)的不同, 在材料力學(xué)中: 正應(yīng)力的符號(hào)為拉為正, 壓為負(fù); 而剪應(yīng)力為正面向下的為正; 負(fù)面向上為正. 或用右手法則確定:右手姆指沿面的外法線時(shí),其余四個(gè)手指反時(shí)針為正, 順時(shí)針為負(fù).,材料力學(xué)中正的剪應(yīng)力,彈性力學(xué)中正的剪應(yīng)力,剪應(yīng)力互等定律 作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力是互等的。(大小相等，正負(fù)號(hào)也相同)。因此剪應(yīng)力記號(hào)的兩個(gè)角碼可以對(duì)調(diào)。,可以證明:如果 這六個(gè)量在P點(diǎn)是已知的，就可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的任何面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，因此，這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，它們就稱為在該點(diǎn)的應(yīng)力分量。 一般說來，彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個(gè)應(yīng)力分量并不是常量，而是坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。 六個(gè)應(yīng)力分量的總體，可以用一個(gè)列矩陣 來表示：,5、形變和正應(yīng)變、剪應(yīng)變的概念 （1）形變: 形狀的改變，它包含長(zhǎng)度和角度的改變。 （2）正應(yīng)變： 各線段單位長(zhǎng)度的伸縮。以伸長(zhǎng)為正；縮短為負(fù)。 （3）剪應(yīng)變： 各線段之間的直角的改變。,6、位移 是指位置的移動(dòng). 它在 x, y 和 z 軸上的投影用 u, v 和 w, 來表示。它的符號(hào)是沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)向?yàn)樨?fù)。,二、彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的基本假定,(1) 連續(xù)性:假定物體是連續(xù). 即整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿, 不留任何空隙. 這樣,物體內(nèi)的物理量,例如應(yīng)力形變和應(yīng)變, 才可能是連續(xù)的, 才可以用連續(xù)函數(shù)來表示; (2) 完全彈性:假定物體是完全彈性的.所謂彈性, 是指物體在引起形變的外力被除去以后能恢復(fù)原形的性質(zhì). 而完全彈性是指物體能完全恢復(fù)原形而沒有任何剩余變形. (3) 均勻性:假定物體是均勻的, 整個(gè)物體由同一材料組成. (4) 各向同性:假定物體是各向同性的, 即物體的彈性性質(zhì)在所有各個(gè)方向都相同. 符合以上四個(gè)假定的物體, 稱為理想彈性體.,(5) 小變形假定:假定物體的位移和形變是微小的. 即物體的位移遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸, 而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1. 因此, 本課程所討論的問題, 都是理想彈性體的小變形問題.,三、彈性力學(xué)的研究方法,在彈性體內(nèi)部, 考慮靜力學(xué), 幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件, 分別建立三套基本方程. 此外, 在彈性體的邊界上, 建立邊界條件.,位移邊界條件,邊界條件,應(yīng)力邊界條件,彈性力學(xué)的基本變量,彈性力學(xué)的基本方程-平衡方程,由物體的受力平衡條件建立的方程：,彈性力學(xué)的基本方程-幾何方程,由物體的受力變形后，各應(yīng)變分量和位移分量的 關(guān)系建立的方程：,彈性力學(xué)的基本方程-物理方程,由物體材料本身的物理特性建立的方程， 其中E-彈性模量； -泊松比；G-剪切彈性模量。 且對(duì)各向同性材料，,在限元法中，物理方程可表示為：,彈性力學(xué)的基本方程-邊界條件,四、彈性力學(xué)問題的解法,空間彈性力學(xué)問題共有15個(gè)方程，3個(gè)平衡方程，6個(gè)幾何方程，6個(gè)物理方程。其中包括6個(gè)應(yīng)力分量 ，6個(gè)應(yīng)變分量 ，3個(gè)位移分量 ，共有15個(gè)未知函數(shù)，在給定邊界條件時(shí)，問題是可解的。 彈性力學(xué)問題的提法是，給定作用在物理全部邊界或內(nèi)部的作用，求解物理由此產(chǎn)生的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)。,按照三種不同的邊界條件，彈性力學(xué)問題可分為應(yīng)力邊界條件問題、位移邊界問題和混合邊界。 由于有限元模型是對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)的反映，對(duì)有限元模型施加合適的載荷條件和邊界條件，是正確求解有限元解的關(guān)鍵。,根據(jù)先求出的基本未知量的不同，彈性力學(xué)問題有三種方法：,（1）應(yīng)力法：以應(yīng)力分量作為基本未知量，此時(shí)將一切未知量和基本方程都轉(zhuǎn)換為用應(yīng)力表示。求得應(yīng)力分量后，由物理方程求應(yīng)變分量，再由幾何方程求出位移分量。 （2）位移法：以位移分量作為基本未知量，此時(shí)將一切未知量和基本方程都轉(zhuǎn)換為用位移表示。求得位移分量后，用幾何方程求應(yīng)變分量，再由物理方程求應(yīng)力分量。目前，有限元法中多采用位移法的思想。 （3）混合法：采用各點(diǎn)的一部分位移分量和一部分應(yīng)力分量作為基本未知量，混合求解。,五、 虛功原理及虛功方程,圖1-8a示一平衡的杠桿，對(duì)C點(diǎn)寫力矩平衡方程： 圖1-8b表示杠桿繞支點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的剛體位移圖： 綜合可得： 即： 上式是以功的形式表述的。表明：圖a的平衡力系在圖b的位移上作功時(shí)，功的總和必須等于零。這就叫做虛功原理。,虛功原理,進(jìn)一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時(shí)， 和 這兩個(gè)位移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾斜，一定滿足上式的關(guān)系。 將這個(gè)客觀存在的關(guān)系抽象成一個(gè)普遍的原理，去指導(dǎo)分析和計(jì)算結(jié)構(gòu)。 對(duì)于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，(由于是假想，故稱為虛位移)，那么，物體上所有的力在這個(gè)虛位移上的總功必定等于零。這就叫做虛位移原理，也稱虛功原理。在圖1-8a中的 和 所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)a)的位移上，(因?yàn)樗旧硎瞧胶獾模淮嬖谖灰?，而是在狀態(tài)(b)的位移上作的功?？梢?，這個(gè)位移對(duì)于狀態(tài)(a)來說就是虛位移，亦即是狀態(tài)(a)假象的位移。,虛功原理,必須指出，虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，它所涉及到的兩個(gè)方面，力和位移并不是隨意的。對(duì)于力來講，它必須是在位移過程中處于平衡的力系；對(duì)于位移來講，雖然是虛位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移。 還要注意，當(dāng)位移是在某個(gè)約束條件下發(fā)生時(shí)，則在該約束力方向的位移應(yīng)為零，因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零。這時(shí)該約束力叫做被動(dòng)力。(如圖1-8中的反力 ，由于支點(diǎn)C沒有位移，故 所作的虛功對(duì)于零)。反之，如圖1-8中的 和 是在位移過程中作功的力，稱為主動(dòng)力。因此，在平衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動(dòng)力，哪些是被動(dòng)力，而在寫虛功方程時(shí)，只有主動(dòng)力作虛功，而被動(dòng)力是不作虛功的。,虛功原理與虛功方程,虛功原理表述如下： 在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當(dāng)發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時(shí)，體系上所有的主動(dòng)力在位移上所作的總功(各力所作的功的代數(shù)和)恒對(duì)于零。 虛功原理用公式表示為： 這就是虛功方程，其中P和 相應(yīng)的代表力和虛位移。,虛功原理-用于彈性體的情況,虛功方程是按剛體的情況得出的，即假設(shè)圖1-8的杠桿是絕對(duì)剛性，沒有任何的變形，因而在方程中沒有內(nèi)功項(xiàng)出現(xiàn)，而只有外功項(xiàng)。 將虛功原理用于彈性變形時(shí)，總功W要包括外力功(T)和內(nèi)力功(U)兩部分，即： W = T - U ；內(nèi)力功(-U)前面有一負(fù)號(hào)，是由于彈性體在變形過程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負(fù)值。 根據(jù)虛功原理，總功等于零得： T - U = 0 外力虛功 T = 內(nèi)力虛功 U 彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功(外力功)等于整個(gè)彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功(內(nèi)力功)。,六、兩種平面問題,彈性力學(xué)可分為空間問題和平面問題，嚴(yán)格地說，任何一個(gè)彈性體都是空間物體，一般的外力都是空間力系，因而任何實(shí)際問題都是空間問題，都必須考慮所有的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。但是，如果所考慮的彈性體具有特殊的形狀，并且承受的是特殊外力，就有可能把空間問題簡(jiǎn)化為近似的平面問題，只考慮部分的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量即可。 平面應(yīng)力問題 平面應(yīng)變問題,平面應(yīng)力問題,厚度為t的很薄的均勻木板。只在邊緣上受到平行于板面且不沿厚度變化的面力，同時(shí)，體力也平行于板面且不沿厚度變化。 以薄板的中面為xy面，以垂直于中面的任一直線為Z軸。由于薄板兩表面上沒有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各點(diǎn)均有： 另外由于平板很薄，外力又不沿厚度變化，可認(rèn)為在整個(gè)薄板內(nèi)各點(diǎn)均有： 于是，在六個(gè)應(yīng)力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三個(gè)應(yīng)力分量，即 ，所以稱為平面應(yīng)力問題。,平面應(yīng)力問題,應(yīng)力矩陣(1-2),可以簡(jiǎn)化為：,物理方程(1-10)中后兩式可見，這時(shí)的剪應(yīng)變： 由物理方程(1-10)中的第三式可見： 一般 ， 并不一定等于零，但可由 及 求得，在分析問題時(shí)不必考慮。于是只需要考慮 三個(gè)應(yīng)變分量即可，于是應(yīng)變矩陣(1-3-2)簡(jiǎn)化為：,平面應(yīng)力問題,物理方程(1-10)簡(jiǎn)化為： 轉(zhuǎn)化成應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示的形式：,平面應(yīng)力問題,將(1-21)式用矩陣方程表示： 它仍然可以簡(jiǎn)寫為： 彈性矩陣D則簡(jiǎn)化為：,平面應(yīng)力問題,只有 三個(gè)應(yīng)變分量需要考慮，所以幾何方程(1-3) 簡(jiǎn)化為：,平面應(yīng)力問題,彈性體的虛功方程(1-17) 簡(jiǎn)化為,平面應(yīng)變問題,一縱向(即Z向)很長(zhǎng)，且沿橫截面不變的物體，受有平行于橫截面而且不沿長(zhǎng)度變化的面力和體力，如圖1-11所示。 由于物體的縱向很長(zhǎng)(在力學(xué)上可近似地作為無限長(zhǎng)考慮)，截面尺寸與外力又不沿長(zhǎng)度變化；當(dāng)以任一橫截面為xy面，任一縱線為Z軸時(shí)，則所有一切應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都不沿Z方向變化，它們都只是x和y的函數(shù)。此外，在這一情況下，由于對(duì)稱(任一橫截面都可以看作對(duì)稱面)，所有各點(diǎn)都只會(huì)有x和y方向的位移而不會(huì)有Z方向的位移，即 w = 0 因此，這種問題稱為平面位移問題，但習(xí)慣上常稱為平面應(yīng)變問題。,平面應(yīng)變問題,既然w = 0，而且u及v又只是x和y的函數(shù)，由幾何方程(1-3-1) 可見 。于是只剩下三個(gè)應(yīng)變分量 ， 幾何方程仍然簡(jiǎn)化為方程(1-24)。,平面應(yīng)變問題,因?yàn)?由物理方程(1-11)中后兩式可見 又由物理方程(1-11)中的第三式可見： 在平面應(yīng)變問題中，雖然 ， 但 一般并不等于零，不過它可以由 及 求得，在分析問題時(shí)不必考慮，于是也就只有三個(gè)應(yīng)力分量 需要考慮。,平面應(yīng)變問題,物理方程(1-11)簡(jiǎn)化為：,平面應(yīng)變問題,將(1-25)式用矩陣方程表示： 它仍然可以簡(jiǎn)寫為： 彈性矩陣D則為：,平面應(yīng)變問題,平面應(yīng)變問題，由于在Z方向沒有外力，應(yīng)力和應(yīng)變也不沿Z方向變化，所以虛功方程(1-25)仍然適用，其中的t可以取為任意數(shù)值，但 必須是這個(gè)t范圍內(nèi)的外力。 需要說明一下，工程中有許多問題很接近于平面應(yīng)變問題，如受內(nèi)壓力的圓管、滾柱軸承中的滾柱等等，但它們的沿Z向長(zhǎng)度都不是無限長(zhǎng)的。故在靠近兩端的部分，其應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)比較復(fù)雜，并不符合平面應(yīng)變問題的條件；因此將這類問題當(dāng)作平面應(yīng)變問題來考慮時(shí)，對(duì)于離開兩端有一定距離的地方，得出的結(jié)果還是相當(dāng)滿意的；但對(duì)靠近兩端的部位，卻有較大的出入，往往需要加以處理。,平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題,對(duì)于兩種平面問題，幾何方程都是(1-24)，虛功方程都是(1-25)，物理方程都是：,平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題,對(duì)于平面應(yīng)力情況下的彈性矩陣，應(yīng)該采用(1-23)式， 而對(duì)于平面應(yīng)變則采用(1-28)式， 還可注意，在(1-23)式中，若將E改換為 ，將 改換為 ， 就得出公式(1-28)。,平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題,在兩種平面問題中，如果 ，則和1-3中(1-4)式相似， 由幾何方程的積分得出： 其中 及 分別代表彈性體沿x及y方向的剛體移動(dòng)，而 代表彈性體繞Z軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。,2.2 平面問題的有限元法,有限單元法的基本思路： (1) 把物體分成有限大小的單元，單元間用節(jié)點(diǎn)相連接。 (2) 把單元節(jié)點(diǎn)的位移作為基本未知量，在單元內(nèi)的位移，設(shè)成線性函數(shù)(或其它函數(shù))，保證在單元內(nèi)和單元間位移連接。 (3) 將節(jié)點(diǎn)的位移與節(jié)點(diǎn)的力聯(lián)系起來。 (4) 列出節(jié)點(diǎn)的平衡方程，得出以節(jié)點(diǎn)位移表達(dá)的平衡方程組。 (5) 求解代數(shù)方程組，得出各節(jié)點(diǎn)的位移，根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出各單元中的應(yīng)力。 有限單元法的基本未知量是節(jié)點(diǎn)位移，用節(jié)點(diǎn)的平衡方程來求解。,車輛工程技術(shù)中心,彈性力學(xué)平面問題的有限單元法包括三個(gè)主要步驟： 1、離散化 2、單元分析 3、單元綜合,1、離散化 有限單元法的基礎(chǔ)是用所謂有限個(gè)單元的集合體來代替原來的連續(xù)體，因而必須將連續(xù)體簡(jiǎn)化為由有限個(gè)單元組成的離散體。對(duì)于平面問題，最簡(jiǎn)單，因而最常用的單元是三角形單元。這些單元在節(jié)點(diǎn)處用鉸相連，荷載也移置到節(jié)點(diǎn)上，成為節(jié)點(diǎn)荷載。在節(jié)點(diǎn)位移或其某一分量可以不計(jì)之處，就在節(jié)點(diǎn)上安置一個(gè)鉸支座或相應(yīng)的連桿支座。,2、單元分析 對(duì)三角形單元，建立節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系.,節(jié)點(diǎn)位移,節(jié)點(diǎn)力,2、單元分析-單元?jiǎng)偠染仃?取節(jié)點(diǎn)位移作基本未知量。由節(jié)點(diǎn)位移求節(jié)點(diǎn)力： 其中，轉(zhuǎn)換矩陣稱為單元?jiǎng)偠染仃?。單元分析的主要目的就是要求出單元?jiǎng)偠染仃嚒?單元分析的步驟可表示如下：,3、單元綜合 將離散化了的各個(gè)單元合成整體結(jié)構(gòu)，利用節(jié)點(diǎn)平衡方程求出節(jié)點(diǎn)位移。 在位移法中，主要的任務(wù)是求出基本未知量-節(jié)點(diǎn)位移。為此需要建立節(jié)點(diǎn)的平衡方程。,i點(diǎn)總的節(jié)點(diǎn)力應(yīng)為： 根據(jù)節(jié)點(diǎn)的平衡條件，得 單元e的節(jié)點(diǎn)力，可按式(2-2)用節(jié)點(diǎn)位移表示，代入得到用節(jié)點(diǎn)位移表示的平衡方程。 每個(gè)可動(dòng)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)未知位移，有兩個(gè)平衡方程，所以方程總數(shù)與未知位移總數(shù)相等，可以求出所有的節(jié)點(diǎn)位移。 單元綜合的目的就是要求出節(jié)點(diǎn)位移。節(jié)點(diǎn)位移求出后，可進(jìn)一步求出各單元的應(yīng)力。,2.2.1 平面問題的離散化,對(duì)任何工程平面構(gòu)件進(jìn)行有限元分析，首先都是從簡(jiǎn)化其幾何形狀，繪出其平面簡(jiǎn)圖入手。連續(xù)體的離散化就是單元網(wǎng)格劃分。平面問題中最常用的單元是三角形和矩形單元。 總之，通過單元?jiǎng)澐郑d荷移置以及約束簡(jiǎn)化，就形成了有限元模型。,在劃分單元時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： （1）單元類型的選擇，主要取決于結(jié)構(gòu)的幾何形狀、施加的載荷類型和要求的計(jì)算精度。 （2）單元的大?。淳W(wǎng)格的疏密），從有限元的理論上講，單元?jiǎng)澐衷郊?xì)，節(jié)點(diǎn)布置越多，計(jì)算結(jié)果精度越高。但相應(yīng)要求計(jì)算機(jī)容量也增大，計(jì)算時(shí)間也增加。 （3）單元有疏有密，對(duì)結(jié)構(gòu)的不同部位可采用不同大小的單元。 （4）不同厚度或不同材料處，應(yīng)取作為單元的邊界線，而且在該處附近的單元還應(yīng)劃分的小一些，以盡可能反映出邊線兩側(cè)應(yīng)力的突變情況。 （5）預(yù)留載荷位置，在分布載荷集度變化處和集中力作用處，應(yīng)布置節(jié)點(diǎn)，以利加載，并且其附近的單元也應(yīng)劃分的小些，以反映此處的應(yīng)力變化。,下面單元?jiǎng)澐质欠窈侠恚繛槭裁矗?2.2.2 單元位移函數(shù),如果彈性體的位移分量是坐標(biāo)的已知函數(shù)，則可用幾何方程求應(yīng)變分量，再從物理方程求應(yīng)力分量。但對(duì)一個(gè)連續(xù)體，內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化情況很難用一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)來描繪。 有限單元法的基本原理是分塊近似，即將彈性體劃分成若干細(xì)小網(wǎng)格，在每一個(gè)單元范圍內(nèi)，內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化情況可近似地用簡(jiǎn)單函數(shù)來描繪。對(duì)每個(gè)單元，可以假定一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，用它近似表示該單元的位移。這個(gè)函數(shù)稱為位移函數(shù)，或稱為位移模式、位移模型、位移場(chǎng)。 對(duì)于平面問題，單元位移函數(shù)可以用多項(xiàng)式表示， 多項(xiàng)式中包含的項(xiàng)數(shù)越多，就越接近實(shí)際的位移分布，越精確。但選取多少項(xiàng)數(shù)，要受單元型式的限制。,三節(jié)點(diǎn)三角形單元,六個(gè)節(jié)點(diǎn)位移只能確定六個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)，所以平面問題的3結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)如下， 所選用的這個(gè)位移函數(shù)，將單元內(nèi)部任一點(diǎn)的位移定為座標(biāo)的線性函數(shù)，位移模式很簡(jiǎn)單。,位移函數(shù)寫成矩陣形式為：,最終確定六個(gè)待定系數(shù),令 （下標(biāo)i，j，m輪換） 簡(jiǎn)寫為,I是單位矩陣， N稱為形態(tài)矩陣， Ni稱為位移的形態(tài)函數(shù),選擇單元位移函數(shù)時(shí)，應(yīng)當(dāng)保證有限元法解答的收斂性，即當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時(shí)，有限元法的解答應(yīng)當(dāng)收斂于問題的正確解答。因此，選用的位移模式應(yīng)當(dāng)滿足下列兩方面的條件： (1) 必須能反映單元的剛體位移和常量應(yīng)變。 6個(gè)參數(shù) 到 反映了三個(gè)剛體位移和三個(gè)常量應(yīng)變。 (2) 必須保證相鄰單元在公共邊界處的位移連續(xù)性。 (線性函數(shù)的特性),例題：圖示等腰三角形單元，求其形態(tài)矩陣N。,由三角形的面積,本節(jié)利用幾何方程、物理方程，實(shí)現(xiàn)用結(jié)點(diǎn)位移表示單元的應(yīng)變和單元的應(yīng)力。 用結(jié)點(diǎn)位移表示單元的應(yīng)變的表達(dá)式為 ，B矩陣稱為幾何矩陣。,2.2.3 單元應(yīng)變和應(yīng)力,對(duì)于平面應(yīng)力問題:,2.2.4 單元?jiǎng)偠染仃?單元節(jié)點(diǎn)力與單元位移的關(guān)系式，稱為單元?jiǎng)偠确匠探M。,單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)：,（1）單元?jiǎng)偠染仃囍忻總€(gè)元素有明確的物理意義； （2）剛度矩陣是對(duì)稱矩陣； （3）剛度矩陣是奇異矩陣；,另外，單元?jiǎng)偠染仃嚾Q于： （1）單元的位移函數(shù)； （2）單元的幾何參數(shù)； （3）單元的材料性質(zhì)。,2.2.5 單元等效節(jié)點(diǎn)載荷,連續(xù)彈性體離散為單元組合體時(shí)，為簡(jiǎn)化受力情況，需把彈性體承受的任意分布的載荷都向節(jié)點(diǎn)移置(分解)，而成為結(jié)點(diǎn)載荷。如果彈性體受承受的載荷全都是集中力，則將所有集中力的作用點(diǎn)取為節(jié)點(diǎn)，就不存在移置的問題，集中力就是節(jié)點(diǎn)載荷。但實(shí)際問題往往受有分布的面力和體力，都不可能只作用在節(jié)點(diǎn)上。因此，必須進(jìn)行載荷移置。如果集中力的作用點(diǎn)未被取為節(jié)點(diǎn)，該集中力也要向結(jié)節(jié)移置。 將載荷移置到節(jié)點(diǎn)上，必須遵循靜力等效的原則。靜力等效是指原載荷與節(jié)點(diǎn)載荷在任意虛位移上做的虛功相等。在一定的位移模式下，移置結(jié)果是唯一的，且總能符合靜力等效原則。,在線性位移模式下，對(duì)于常見的一些載荷，可以通過簡(jiǎn)單的虛功計(jì)算，得出所需的載荷列矩陣。,均質(zhì)等厚度的三角形單元所受的重力，把1/3的重力移到每個(gè)節(jié)點(diǎn),例：,總載荷的2/3移置到節(jié)點(diǎn)i，1/3移置到節(jié)點(diǎn)j，與原載荷同向,常用的等效節(jié)點(diǎn)外載列陣（3節(jié)點(diǎn)三角形單元）,載荷向節(jié)點(diǎn)的移置，可以用普遍公式來表示。 體力的移置 分布面力的移置 在線性位移模式下，用直接計(jì)算法簡(jiǎn)單；非線性模式下，要用普遍公式計(jì)算。,2.2.6 總剛度矩陣,K為總剛度矩陣，R為節(jié)點(diǎn)力分量矩陣。 為節(jié)點(diǎn)位移分量矩陣。 總剛度矩陣性質(zhì)： （1）總剛度矩陣也是對(duì)稱矩陣； （2）總剛度矩陣呈稀疏帶狀分布； （3）總剛度矩陣奇異矩陣。,2.2.7 邊界約束條件,有限元法中通常采用兩種方法: 劃行劃行法和乘大數(shù)法. 其中前者適用于簡(jiǎn)單的手算練習(xí),后者適合于實(shí)際問題的計(jì)算機(jī)處理.,2.2.8 解題步驟與算例,有限元法的一般分析步驟如下: (1)首先繪出結(jié)構(gòu)的幾何簡(jiǎn)圖,在此基礎(chǔ)上將結(jié)構(gòu)離散; (2)其次進(jìn)行單元分析; (3)組集總剛度矩陣; (4)最終求單元應(yīng)力和節(jié)點(diǎn)應(yīng)力.,【單元構(gòu)造】 平面問題的4節(jié)點(diǎn)矩形單元,(1) 單元的幾何和節(jié)點(diǎn)描述,若采用無量綱坐標(biāo),單元4個(gè)節(jié)點(diǎn)的幾何位置為,(2) 單元位移場(chǎng)的表達(dá),由節(jié)點(diǎn)條件:,其中形函數(shù)：,以無量綱坐標(biāo)系來表達(dá)：,寫成矩陣形式，有,其中，N(x,y)為該單元的形狀函數(shù)矩陣。,(3) 單元應(yīng)變場(chǎng)的表達(dá),由彈性力學(xué)平面問題的幾何方程，有單元應(yīng)變的表達(dá),(4) 單元應(yīng)力場(chǎng)的表達(dá),由彈性力學(xué)中平面問題的物理方程，可得到單元的應(yīng)力表達(dá)式,(5) 單元?jiǎng)菽艿谋磉_(dá),其中，,【單元特征】 4節(jié)點(diǎn)矩形單元的線性應(yīng)變和應(yīng)力,由單元的位移表達(dá)式可知，4節(jié)點(diǎn)矩形單元的位移在x，y方向呈線性變化，所以稱為雙線性位移模式，正因?yàn)樵趩卧倪吔鐇=a和y=b上，位移是按線性變化的，且相鄰單元公共節(jié)點(diǎn)上有共同的節(jié)點(diǎn)位移值，可保證兩個(gè)相鄰單元在其公共邊界上的位移是連續(xù)的，這種單元的位移模式是完備(completeness)和協(xié)調(diào)(compatibility)的，它的應(yīng)變和應(yīng)力為一次線性變化，因而比3節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元精度高。,例：三角形單元與矩形單元計(jì)算精度的比較,試在以下兩種建模情形下求該系統(tǒng)的位移場(chǎng)、應(yīng)變場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)、各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的支反力、系統(tǒng)的應(yīng)變能、外力功、總勢(shì)能。并比較這種建模方案的計(jì)算精度。,兩種建模方案：,整體的節(jié)點(diǎn)位移列陣為,(1) 建模方案1的有限元分析列式,總剛度矩陣為,該系統(tǒng)的剛度方程為,計(jì)算各個(gè)單元的位移場(chǎng)、應(yīng)變場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)：,位移場(chǎng)、應(yīng)變場(chǎng)及應(yīng)力場(chǎng)的分布圖：,該系統(tǒng)的應(yīng)變能：,外力功：,系統(tǒng)的總勢(shì)能：,(2) 建模方案2的有限元分析列式,可求出節(jié)點(diǎn)位移和支反力為,系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)位移列陣為,單元位移場(chǎng)為,應(yīng)變場(chǎng)為,應(yīng)力場(chǎng)為,位移場(chǎng)、應(yīng)變場(chǎng)及應(yīng)力場(chǎng)的分布圖,該系統(tǒng)的應(yīng)變能：,外力功：,系統(tǒng)的總勢(shì)能：,從以上計(jì)算可以看出，用三角形單元計(jì)算時(shí)，由于形函數(shù)是完全一次式，因而其應(yīng)變場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)在單元內(nèi)均為常數(shù)；而四邊形單元其形函數(shù)帶有二次式，計(jì)算得到的應(yīng)變場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)都是坐標(biāo)的一次函數(shù)，但不是完全的一次函數(shù)，對(duì)提高計(jì)算精度有一定作用；根據(jù)最小勢(shì)能原理，勢(shì)能越小，則整體計(jì)算精度越高，比較兩種單元計(jì)算得到的系統(tǒng)勢(shì)能，可以看出，在相同的節(jié)點(diǎn)自由度情況下，矩形單元的計(jì)算精度要比三角形單元高。,三角形單元與矩形單元的精細(xì)網(wǎng)格的計(jì)算比較,4.4 軸對(duì)稱問題有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征,4.4.1 軸對(duì)稱問題的基本變量及方程,反之：,三維,對(duì)于平面4節(jié)點(diǎn)等參元，上式剛度矩陣的元素可轉(zhuǎn)化為：,這個(gè)積分很難用解析的形式進(jìn)行積分，一般采用近似的數(shù)值積分方法。常用的是Gauss積分方法。它是一種高精度、高效益的積分方法。,如何確定：,3、應(yīng)用等參單元應(yīng)注意以下幾點(diǎn)問題,1）各向長(zhǎng)度的相對(duì)大?。?jiǎn)卧L(zhǎng)度之比不宜相差太大，接近正方形的單元誤差最小，長(zhǎng)寬比很大，誤差也很大。 2）棱邊的曲折：應(yīng)使單元邊上沒有折點(diǎn)，如邊上不可避免有折點(diǎn)，應(yīng)使棱邊只有凸出的折點(diǎn)。 3）棱邊的夾角：盡量接近90度。 4）棱邊上節(jié)點(diǎn)的間距：盡量均勻。,