高等數(shù)學(xué)備課資料：第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 03 第三節(jié) 泰勒公式

第三節(jié) 泰勒公式對于一些比較復(fù)雜的函數(shù),為了便于研究,往往希望用一些簡單的函數(shù)來近似表達. 多項式函數(shù)是最為簡單的一類函數(shù),它只要對自變量進行有限次的加、減、乘三種算術(shù)運算,就能求出其函數(shù)值,因此,多項式經(jīng)常被用于近似地表達函數(shù),這種近似表達在數(shù)學(xué)上常稱為逼近. 英國數(shù)學(xué)家泰勒（Taylor. Brook, 1685-1731）在這方面作出了不朽的貢獻. 其研究結(jié)果表明: 具有直到階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)在一個點的鄰域內(nèi)的值可以用函數(shù)在該點的函數(shù)值及各階導(dǎo)數(shù)值組成的次多項式近似表達. 本節(jié)我們將介紹泰勒公式及其簡單應(yīng)用.分布圖示 引言 多項式逼近 泰勒中值定理 例1 例2 例3 常用函數(shù)的麥克勞林公式 例4 例5 例6 例7 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題3-3 返回內(nèi)容要點一、問題：設(shè)函數(shù)在含有的開區(qū)間(a, b)內(nèi)具有直到階導(dǎo)數(shù), 問是否存在一個n次多項式函數(shù) (3.1)使得 , (3.2)且誤差是比高階的無窮小,并給出誤差估計的具體表達式. 二、泰勒中值公式 (3.6)拉格朗日型余項 (3.7)皮亞諾形式余項 (3.9)帶有皮亞諾型余項的麥克勞林公式 (3.12)從公式(3.11)或 (3.12)可得近似公式 (3.13)誤差估計式(3.8)相應(yīng)變成 (3.14)例題選講直接展開法例1 (E01) 寫出函數(shù)在處的四階泰勒公式.解 于是其中在1與之間.例2 (E02) 求的n階麥克勞林公式.解 注意到代入泰勒公式，得 由公式可知其誤差取得 其誤差 例3 (E03) 求的n階麥克勞林公式.解 由此得的各階導(dǎo)數(shù)依序循環(huán)地取四個數(shù)令則其中 取的近似函數(shù)與原函數(shù)圖像比較.常用初等函數(shù)的麥克勞林公式：簡介展開法在實際應(yīng)用中, 上述已知初等函數(shù)的麥克勞林公式常用于間接地展開一些更復(fù)雜的函數(shù)的麥克勞林公式, 以及求某些函數(shù)的極限等.例4 (E05) 求 在的泰勒展開式.解 例5 (E04) 求函數(shù) 的階麥克勞林公式.解法一 利用求積的高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式，得于是余項 因此，的階麥克勞林公式為或具有皮亞諾余項的階麥克勞林公式為解法二 利用的階麥克勞林公式，可間接得到函數(shù)的階麥克勞林公式例6 求的到麥克勞林展開式.解 因為所以而及故 例7 (E06) 計算 .解 從而課堂練習(xí)1. 利用泰勒公式求極限.泰勒（Taylor, Brook，16851731）簡介：泰勒(Taylor,Brook)英國數(shù)學(xué)家。1685年8月18日生于英格蘭德爾塞克斯郡的埃德蒙頓市；1731年12月29日卒于倫敦。泰勒出生于英格蘭一個富有的且有點貴族血統(tǒng)的家庭。父親約翰來自肯特郡的比夫隆家庭。泰勒是長子。進大學(xué)之前，泰勒一直在家里讀書。泰勒全家尤其是他的父親，都喜歡音樂和藝術(shù)，經(jīng)常在家里招待藝術(shù)家。這時泰勒一生的工作造成的極大的影響，這從他的兩個主要科學(xué)研究課題：弦振動問題及透視畫法，就可以看出來 。1701年，泰勒進劍橋大學(xué)的圣約翰學(xué)院學(xué)習(xí)。1709年，他獲得法學(xué)學(xué)士學(xué)位。1714年獲法學(xué)博士學(xué)位。1712年，他被選為英國皇家學(xué)會會員，同年進入促裁牛頓和萊布尼茲發(fā)明微積分優(yōu)先權(quán)爭論的委員會。從1714年起擔(dān)任皇家學(xué)會第一秘書，1718年以健康為由辭去這一職務(wù)。泰勒后期的家庭生活是不幸的。1721年，因和一位據(jù)說是出身名門但沒有財才的女人結(jié)婚，遭到父親的嚴厲反對，只好離開家庭。兩年后，妻子在生產(chǎn)中死去，才又回到家里，1725年，在征得父親同意后，他第二次結(jié)婚，并于1729年繼承了父親在肯特郡的財才。1730年，第二個妻子也在生產(chǎn)中死去，不過這一次留下了一個女兒。妻子的死深深地刺激了他，第二年他也去了，安葬在倫敦圣.安教堂墓地。由于工作及健康上的原因，泰勒曾幾次訪問法國并和法國數(shù)學(xué)家蒙莫爾多次通信討論級數(shù)問題和概率論的問題。1708年，23歲的泰勒得到了“振動中心問題”的解，引起了人們的注意，在這個工作中他用了牛頓的瞬的記號。從1714年到1719年，是泰勒在數(shù)學(xué)牛頓產(chǎn)的時期。他的兩本著作：正和反的增量法及直線透視都出版于1715年，它們的第二版分別出于1717和1719年。從1712到1724年，他在哲學(xué)會報上共發(fā)表了13篇文章，其中有些是通信和評論。文章中還包含毛細管現(xiàn)象、磁學(xué)及溫度計的實驗記錄。在生命的后期，泰勒轉(zhuǎn)向宗教和哲學(xué)的寫作，他的第三本著作哲學(xué)的沉思在他死后由外孫W.楊于1793年出版。泰勒以微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)的定理著稱于世。這條定理大致可以敘述為：函數(shù)在一個點的鄰域內(nèi)的值可以用函數(shù)在該點的值及各階導(dǎo)數(shù)值組成的無窮級數(shù)表示出來。然而，在半個世紀里，數(shù)學(xué)家們并沒有認識到泰勒定理的重大價值。這一重大價值是后來由拉格朗日發(fā)現(xiàn)的，他把這一定理刻畫為微積分的基本定理。泰勒定理的嚴格證明是在定理誕生一個世紀之后，由柯西給出的。麥克勞林（Maclaurin, Colin，16891746）簡介：麥克勞林（Maclaurin,Colin）是英國數(shù)學(xué)家。1689年2月生于蘇格蘭的基爾莫登；1746年1月卒于愛丁堡。麥克勞林是一位牧師的兒子，半歲喪父，9歲喪母。由其叔父撫養(yǎng)成人。叔父也是一位牧師。麥克勞林是一個“神童”，為了當(dāng)牧師，他11歲考入格拉斯哥大學(xué)學(xué)習(xí)神學(xué)，但入校不久卻對數(shù)學(xué)發(fā)生了濃厚的興趣，一年后轉(zhuǎn)攻數(shù)學(xué)。17歲取得了碩士學(xué)位并為自己關(guān)于重力作功的論文作了精彩的公開答辯；19歲擔(dān)任阿伯丁大學(xué)的數(shù)學(xué)教授并主持該校馬里歇爾學(xué)院數(shù)學(xué)第工作；兩年后被選為英國皇家學(xué)會會員；1722-1726年在巴黎從事研究工作，并在1724年因?qū)懥宋矬w碰撞的杰出論文而榮獲法國科學(xué)院資金，回車后任愛丁堡大學(xué)教授。1719年，麥克勞林在訪問倫敦時見到了牛頓，從此便成為牛頓的門生。1724年，由于牛頓的大力推薦，他繼續(xù)獲得教授席位。麥克勞林21歲時發(fā)表了第一本重要著作構(gòu)造幾何，在這本書中描述了作圓錐曲線的一些新的巧妙方法，精辟地討論了圓錐曲線及高次平面曲線的種種性質(zhì)。1742年撰寫的流數(shù)論以泰勒級數(shù)作為基本工具，是對牛頓的流數(shù)法作出符合邏輯的、系統(tǒng)解釋的第一本書。此書之意是為牛頓流數(shù)法提供一個幾何框架的，以答復(fù)貝克來大主教等人對牛頓的微積分學(xué)原理的攻擊。麥克勞林也是一位實驗科學(xué)家，設(shè)計了很多精巧的機械裝置。他不但學(xué)術(shù)成就斐然，而且關(guān)于政治，1745年參加了愛丁堡保衛(wèi)戰(zhàn)。麥克勞林終生不忘牛頓對他的栽培，并為繼承、捍衛(wèi)、發(fā)展牛頓的學(xué)說而奮斗。他曾打算寫一本關(guān)于伊薩克.牛頓爵士的發(fā)現(xiàn)說明，但未能完成便去世了。死后在他的墓碑上刻有“曾蒙牛頓推薦”，以表達他對牛頓的感激之情。皮亞諾簡介：皮亞諾，G. （Peano, Giuseppe） 1858年8月27日生于意大利庫內(nèi)奧（Cuneo）附近的斯皮內(nèi)塔（Spinetta）村；1932年4月20日卒于都靈（Turin）. 數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)。皮亞諾的父母巴爾托洛梅奧（Bartolomeo）和C. 羅斯亞（Rosa）有4男1女，皮亞諾是第二個孩子。他們家以耕作為生，雖處在文盲充斥的農(nóng)村，但皮亞諾的父母有見識且很開朗，讓子女都接受教育。他家住在離省城庫內(nèi)奧3英里的地方，每天皮亞諾和其兄米切勒（Michele）必須步行去省城念書。為了方便孩子們上學(xué)，他父母把家搬到城內(nèi)，直到他最小的妹妹小學(xué)畢業(yè)，才又搬回農(nóng)場。他的舅舅M. 卡瓦羅（Cavallo）是一位牧師和律師，住在都靈。由于皮亞諾勤學(xué)好問，成績優(yōu)異，舅舅接他去都靈讀書。開始時他接受私人教育（包括舅舅的教育）和自學(xué)，使他能于1873年通過卡沃烏爾（Cavour）學(xué)校的初中升學(xué)考試而入了學(xué)。1876年高中畢業(yè)，因成績優(yōu)異獲得獎學(xué)金，進入都靈大學(xué)讀書。他先讀工程學(xué)，在修完兩年物理與數(shù)學(xué)之后，決定專攻純數(shù)學(xué)。在校5年，他學(xué)習(xí)的科目十分廣泛。1880年7月他以高分拿到大學(xué)畢業(yè)證書，并留校當(dāng)E。奧維迪奧（Dovidio）的助教，一年后又轉(zhuǎn)為分析學(xué)家A。杰諾其（Genocchi）教授的助教。1882年春杰諾其摔壞了膝蓋骨，皮亞諾便接替他講授分析課。1884年任都靈大學(xué)微積分學(xué)講師。1890年12月經(jīng)過正規(guī)競爭，皮亞諾成為都靈大學(xué)的臨時性教授，1895年成為正教授，他一直在都靈大學(xué)教書，直到去世。1887年皮亞諾與卡羅拉·克羅西亞（Crosio·Carola）·結(jié)婚，她是一位畫家的女兒。他們沒有孩子。皮亞諾是許多科學(xué)協(xié)會的會員，也是意大利皇家學(xué)會會員。他在分析方面的研究頗有成績，是符號邏輯的奠基人，又是國際語的創(chuàng)立者。皮亞諾于1932年4月20日夜里因心絞痛逝世。按照他的意愿，葬禮非常簡樸，他被葬在都靈公墓。1963年，他的遺骸被遷往老家斯皮內(nèi)塔的家族墓地。皮亞諾作為符號邏輯的先驅(qū)和公理化方法的推行人而著名。他的工作是獨立于J.W.R.戴德金（Dedekind）而做出的。雖然戴德金也曾發(fā)表過一篇自然數(shù)方面的文章，觀點與皮亞諾的基本相同，但表達得不如皮亞諾明晰，沒有引人們注意。皮亞諾以簡明的符號及公理體系為數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究開創(chuàng)了新局面。他在邏輯方面的第一篇文章出現(xiàn)在他1888年出版的幾何演算基于格拉斯曼的“擴張研究”(Calcolo geometrico secondo 1Ausdehnungslehre di H. Grassmann)一書中。該文獨立成章共20頁，是關(guān)于“演繹邏輯的運算”（Operations of deductivelogic）的。皮亞諾不同意B.A.W.羅素（Russell）的觀點，而是G。布爾（Boole）、F.W.K.E. 施勒德（Schroder）、C.S.皮爾斯（Peirce）和H. 麥科爾（Mccoll）等人工作的綜合和發(fā)展。1889年皮亞諾的名著算術(shù)原理新方法（Arithmetices principia, nova methodo exposita）出版，在這本小冊子中他完成了對整數(shù)的公理化處理，在邏輯符號上有許多創(chuàng)新，從而使推理更加簡潔。書中他給出了舉世聞名的自然數(shù)公理，成為經(jīng)典之作。1891年皮亞諾創(chuàng)建了數(shù)學(xué)雜志（Rivista di Matematica），并在這個雜志上用數(shù)理邏輯符號寫下了這組自然數(shù)公理，且證明了它們的獨立性。皮亞諾用兩個不定義的概念“1”和“后繼者”及四個公理來定義自然數(shù)，說所謂自然數(shù)是指滿足以下性質(zhì)的集合N中的元素：（1）1是N的一個元，它不是N中任何元的后繼者，若a的后繼者用表示，則對于N中任何a, （2）對于N中任意元a, 存在而且僅存在一個后繼者；（3）對于N中任何, 若則（4）（歸納公理）N的一個子集合M，若具有以下性質(zhì)：當(dāng)時，有則19世紀90年代他繼續(xù)研究邏輯，并向第一屆國際數(shù)學(xué)家大會投了稿。1990年在巴黎的哲學(xué)大會上，皮亞諾和他的合作者C. 布拉利-福爾蒂（Burali-Forti）、A. 帕多阿（Padoa）及M. 皮耶里（Pieri）主持了討論。羅素后來寫道：“這次大會是我學(xué)術(shù)生涯的轉(zhuǎn)折點，因為在這次大會上我遇到了皮亞諾?！?皮亞諾對20世紀中期的邏輯發(fā)展起了很大作用，對數(shù)學(xué)做出了卓越的貢獻。皮亞諾在數(shù)學(xué)雜志上公布他和他的追隨者的邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面的結(jié)果。他還在上面公布了他的數(shù)學(xué)公式（Formulario）的龐大計劃，并且在這項工作上花費了26年的時間。他期望能將他的數(shù)理邏輯記號的若干基本公理出發(fā)建立整個數(shù)學(xué)體系。他使數(shù)學(xué)家的觀點發(fā)生了深刻變化，對布爾巴基學(xué)派產(chǎn)生了很大影響。皮亞諾的數(shù)學(xué)公式匯編（Formulario mathematico）共有5卷，18951908年出版，僅第5卷就含有4200條公式和定理，有許多還給出了證明，書中有豐富的歷史與文獻信息，有人稱它為“無盡的數(shù)學(xué)礦藏?！彼皇前堰壿嬜鳛檠芯康哪繕?biāo)，他只關(guān)注邏輯在數(shù)學(xué)中的發(fā)展，稱自己的系統(tǒng)為數(shù)學(xué)的邏輯。皮亞諾在其他領(lǐng)域中也使用了公理化方法，特別是對幾何。從1889年開始，他對初等幾何采用公理化的處理方法，給出了幾套公理系統(tǒng)。1894年他將這種方法加以延伸，在M.帕施（Pasch）工作的基礎(chǔ)上將幾何中不可定義的項消減為三個（點、線段和運動），后來M. 皮耶里（Pieri）在1899年又把幾何中不可定義的項消減為二個（點和運動）。他的許多論文都是對已有的定義和定理給出更加清晰和嚴格的描述及應(yīng)用，例如1882年H. A. 施瓦茲（Schwarz）引入了曲面的表面積這個概念，但沒有說清楚，一年后皮亞諾獨立地將曲面表面積的概念清晰化。皮亞諾引入并推廣了“測度”的概念。1888年開始他將H. G.格拉斯曼（Grassmann）的向量方法推廣應(yīng)用于幾何，他的表述比格拉斯曼清晰得多，對意大利的向量分析研究作了很大的推動。1890年，皮亞諾發(fā)現(xiàn)一種奇怪的曲線，只要恰當(dāng)選擇函數(shù)和由定義的一條連續(xù)的參數(shù)曲線，當(dāng)參數(shù)t在0，1區(qū)間取值時，曲線將遍歷單位正方形中所有的點，得到一條充滿空間的曲線。稍后D。希爾伯特（Hilbert）和皮亞諾還找到另外一些這樣的曲線。皮亞諾認為自己最重要的工作在分析方面。的確，他在分析方面的工作是非常新穎的，有不少是開創(chuàng)性的。1883年他給出了定積分的一個新定義，將黎曼積分定義為黎曼和當(dāng)其最小上界等于最大下界時所取的公共值。這是設(shè)法使積分定義擺脫極限概念所作的努力。1886年他率先證出一階微分方程可解的唯一條件是f的連續(xù)性，并給出稍欠嚴格的證明。1890年他又用另一種證法把這一結(jié)果推廣到一般的微分方程組，并給出選擇公理的直接明晰的描述。這比E。F。F。策梅羅(Zermelo)早14年。但皮亞諾拒絕使用選擇公理，因為它超出數(shù)學(xué)證明所用的普通邏輯之外。1887年他發(fā)現(xiàn)了解線性微分方程的逐次逼近法，但人們把功勞歸于比他晚一年給出此法的E。皮卡（Picard）. 皮亞諾還給出了積分方程的誤差項，并發(fā)展成“漸近算子”的理論，它是解決數(shù)學(xué)方程的一個新方法。19011906年之間他就保險數(shù)學(xué)投過稿。作為國家委員會的一員，他曾被請為估計退休金的金額。1895-1896年他寫過理論力學(xué)方面的文章，其中有幾篇是關(guān)于地球自轉(zhuǎn)軸的運動。他的工作還涉及特殊的行列式、泰勒公式及求積分公式的推廣等等。1893年，皮亞諾發(fā)表了無窮小分析教程（Lezioni di analisi infinitesimale），書中的清晰而嚴格的表述令人嘆服。它與皮亞諾編輯的杰諾其的著作微分學(xué)與積分學(xué)原理（Calcolo differenziale e Principii di calcolointegrale）被德國的數(shù)學(xué)百科全書列在“自L. 歐拉（Euler）和A. L. 柯西（Cauchy）時代以來最重要的19本微積分教科書”之中。皮亞諾撰寫的數(shù)學(xué)百科全書（Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften）有很多引人注目的地方。例如對微分中值定理的推廣；多變量函數(shù)一致連續(xù)性的判定定理；隱函數(shù)存在定理以及其可微性定理的證明；部分可微但整體不可微的函數(shù)的例子；多變元函數(shù)泰勒展開的條件；當(dāng)時流行的極小理論的反例等。1900年皮亞諾對國際輔助語發(fā)生了興趣，因為他的語言能力很強，他曾用英語、意大利語、德語和波蘭語寫各種書評。1903年他在數(shù)學(xué)雜志上發(fā)表了對國際語的見解。他想構(gòu)造一種對學(xué)者特別是科學(xué)家通用的國際語言。他認為已經(jīng)存在著大量源于拉丁語的科學(xué)詞匯，試圖將選擇每個詞的合式形式。他把拉丁語的詞干加到德語或英語的字中，使學(xué)者們能很快識別出來。他認為最好的語法是無語法，主張取消復(fù)雜的詞尾變化。1908年皮亞諾當(dāng)選為國際語協(xié)會的主席，直到去世。他領(lǐng)導(dǎo)這個協(xié)會自由討論，于1919年出版了拉丁語意大利語-法語-英語-德語公共詞匯(Vocabulario Commune ad Latino-italiano-francais-englishdeutsch), 其中含有14000個詞條，皮亞諾把自己后期的精力絕大部分用在這項工作上。他被譽為國際語的創(chuàng)立者。皮亞諾的教學(xué)工作也很出色，因此曾被軍事學(xué)院和理工學(xué)院聘去兼課。他對教育有濃厚的興趣，并做出一些貢獻。他堅決反對向?qū)W生施加過重的壓力，1912年他針對小學(xué)曾發(fā)表過“反對考試”的短文，他說：“用考試來折磨可憐的學(xué)生，要他們掌握一般受過教育的成人都不知道的東西，真是對人性的犯罪。同樣的原則也適應(yīng)于中學(xué)和大學(xué)?！彼荜P(guān)心教學(xué)內(nèi)容的嚴謹性，他認為定義一定要準確清晰，證明必須正確無誤，可以省去那些困難的內(nèi)容。他在中學(xué)數(shù)學(xué)教師中間組織了一系列的討論，試圖促進數(shù)學(xué)教育向清晰、精確和簡單化方向發(fā)展。皮亞諾還注意研究數(shù)學(xué)史，他曾給出關(guān)于數(shù)學(xué)術(shù)語出處的精辟論述。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，他常介紹數(shù)學(xué)史知識，挖掘G。W。萊布尼茨（Leibniz）、I。牛頓（Newton）等人的數(shù)學(xué)思想，對同時代的人影響很大。皮亞諾還和他的數(shù)學(xué)公式的合作者們一趕，創(chuàng)辦了一所學(xué)校。他的學(xué)識和對學(xué)生的寬容，使他吸引了一批在數(shù)學(xué)和哲學(xué)上興趣相投的人，形成他的學(xué)派，該學(xué)派對數(shù)理邏輯與向量分析在意大利的發(fā)展起過重大作用。