高考數(shù)學(xué)壓軸大題--解析幾何.doc

高考數(shù)學(xué)壓軸大題-解析幾何1. 設(shè)雙曲線C：相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B.（I）求雙曲線C的離心率e的取值范圍：（II）設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，且求a的值.解：（I）由C與t相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0. 雙曲線的離心率（II）設(shè)由于x1+x2都是方程的根，且1a20，2. 已知為橢圓C的兩焦點(diǎn)，P為C上任意一點(diǎn)，且向量的夾角余弦的最小值為. ()求橢圓C的方程； ()過 的直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，求（O為原點(diǎn)）的面積的最大值及相應(yīng)的直線的方程.解：()設(shè)橢圓的長軸為2a, =又 即 橢圓方程為 () 由題意可知NM不可能過原點(diǎn),則可設(shè)直線NM的方程為:設(shè) = 即 . 由韋達(dá)定理得: = = 令 , 則 =. 又令, 易知在1,+）上是增函數(shù),所以當(dāng),即 時(shí)有最小值5. 有最大值 的面積有最大值.直線的方程為.3. 橢圓E的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率=，過點(diǎn)C(-1，0)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且滿足：= ()()若為常數(shù)，試用直線的斜率k(k0)表示三角形OAB的面積()若為常數(shù)，當(dāng)三角形OAB的面積取得最大值時(shí)，求橢圓E的方程()若變化，且= k21，試問：實(shí)數(shù)和直線的斜率分別為何值時(shí)，橢圓E的短半軸長取得最大值？并求出此時(shí)的橢圓方程解：設(shè)橢圓方程為(ab0)，由=及a2= b2+c2得a2=3 b2，故橢圓方程為x23y2= 3b2 ()直線：y = k(x1)交橢圓于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，并且= (2)，(x1+1，y1) =(-1-x2，-y2)，即 把y = k(x+1)代入橢圓方程，得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-3b2= 0，且 k2 (3b2-1)+b20 （*），x1+x2= -， x1x2=， =|y1-y2| =|+1|·| y2| =·| k |·| x2+1| 聯(lián)立、得x2+1=，=· (k0) ()=·=·· (2)當(dāng)且僅當(dāng)3| k | =，即k =時(shí)，取得最大值，此時(shí)x1+x2= -1又x1+1= -( x2+1)，x1=，x2= -，代入得3b2=此時(shí)3b25，的值符合(*)故此時(shí)橢圓的方程為x23y2=(2) ()由、聯(lián)立得：x1=-1， x2=-1，將x1，x2代入，得=+1由k2=-1得=+1=1易知，當(dāng)時(shí)，3b2是的減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，取得最大值3 所以，當(dāng)，k =±1(符合(*)時(shí)，橢圓短半軸長取得最大值，此時(shí)橢圓方程為x2 + 3y2 = 3 4. 已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共線. （I）求橢圓的離心率； （II）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值.解：（I）設(shè)橢圓方程為則直線AB的方程為.化簡得.令則 共線，得（II）證明：由（I）知，所以橢圓可化為.在橢圓上，即 由（I）知又又，代入得 故為定值，定值為1.5. 已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（I）求過點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線相切的圓的方程；（II）設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.解：（I）圓過點(diǎn)O、F，圓心M在直線上。設(shè)則圓半徑由得解得所求圓的方程為（II）設(shè)直線AB的方程為代入整理得直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F，方程有兩個(gè)不等實(shí)根。記中點(diǎn)則的垂直平分線NG的方程為令得點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為6. 已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為(I) 證明線段是圓的直徑;(II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時(shí)，求p的值。(I)證明1: 整理得: 設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則即整理得:故線段是圓的直徑證明2: 整理得: .(1)設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則即去分母得: 點(diǎn)滿足上方程,展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑證明3: 整理得: (1)以線段AB為直徑的圓的方程為展開并將(1)代入得: 故線段是圓的直徑(II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則 又因 所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則當(dāng)y=p時(shí),d有最小值,由題設(shè)得 .解法2: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則 又因 所以圓心的軌跡方程為設(shè)直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則因?yàn)閤-2y+2=0與無公共點(diǎn),所以當(dāng)x-2y-2=0與僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),該點(diǎn)到直線x-2y=0的距離最小值為將(2)代入(3)得 解法3: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則 又因 當(dāng)時(shí),d有最小值,由題設(shè)得.11、（如圖）設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn) DFByxAOE（1）若，求的值； （2）求四邊形面積的最大值11（）解：依題設(shè)得橢圓的方程為， 直線的方程分別為， 2分DFByxAOE 如圖，設(shè)，其中， 且滿足方程， 故 由知，得； 由在上知，得 所以， 化簡得， 解得或6分 （）解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和式知，點(diǎn)到的距離分別為 ， 9分 又，所以四邊形的面積為 ， 當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)所以的最大值為12分 解法二：由題設(shè)， 設(shè)，由得， 故四邊形的面積為 9分 ， 當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)所以的最大值為12分12、已知橢圓的離心率. 直線（）與曲線交于不同的兩點(diǎn),以線段為直徑作圓,圓心為 (1) 求橢圓的方程；(2) 若圓與軸相交于不同的兩點(diǎn)，求的面積的最大值.12、（1）解：橢圓的離心率, . 2分 解得. 橢圓的方程為 4分（2）解法1：依題意，圓心為 由 得. 圓的半徑為 6分 圓與軸相交于不同的兩點(diǎn)，且圓心到軸的距離， ，即 弦長 8分的面積 9分 . 12分 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立. 的面積的最大值為 14分解法2：依題意，圓心為 由 得. 圓的半徑為 6分 圓的方程為 圓與軸相交于不同的兩點(diǎn)，且圓心到軸的距離， ，即 在圓的方程中，令，得， 弦長 （資料來源：數(shù)學(xué)驛站 www.maths168.com） 8分的面積 9分 . 12分當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立. 的面積的最大值為15、已知橢圓：（）的上頂點(diǎn)為，過的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為若有一菱形的頂點(diǎn)、在橢圓上，該菱形對(duì)角線所在直線的斜率為求橢圓的方程；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（本問只作參考，不計(jì)入總分）當(dāng)時(shí)，求菱形面積的最大值15、解：依題意，1分，解2分，得3分，所以，4分，橢圓的方程為5分。直線：7分，設(shè)：8分，由方程組得9分，當(dāng)時(shí)10分，、的中點(diǎn)坐標(biāo)為，12分，是菱形，所以的中點(diǎn)在上，所以13分，解得，滿足，所以的方程為14分。（本小問不計(jì)入總分，僅供部分有余力的學(xué)生發(fā)揮和教學(xué)拓廣之用）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，且，所以，所以菱形的面積，由可得，因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，菱形的面積取得最大值，最大值為。12