高數(shù)D13一元函數(shù)積分學

,二、典型例題分析與解答,第四、五、六章,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一元函數(shù)積分學(40),一、知識點與考點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一、知識點與考點,(一)不定積分,若,1.原函數(shù)與不定積分的定義:,有,則稱F(x)為f (x)在區(qū)間 I 上的一個原,設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間 I 內(nèi)有定義,函數(shù).,稱為 f (x),在區(qū)間 I 上的不定積分,記為,f (x)在區(qū)間I 上的全體原函數(shù) F (x) + c ,2. 不定積分的性質(zhì):,(1),(2),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(1).,4.基本積分公式,(2),(互逆運算),(1),3.不定積分與微分的關(guān)系,(2).,(3).,(4).,(5).,(6).,(7).,(8).,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(9).,(10).,(11).,(12).,(13).,(14).,(15).,(16).,(17).,(18).,(19).,(20).,(21).,(22).,5.基本積分法:,(1).直接積分法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(2)換元積分法,第一類換元積分法(湊微分法),常用湊微分公式:,第二類換元積分法(變量代換法),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(正弦代換),(正切代換),(正割代換),(根式代換),三角代換,令,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,萬能代換:,積分步驟:,湊微分選 u , v ;,(3) 分部積分法,代公式;,算微分 ;,求積分.,例1.,則有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(4) 有理函數(shù)的積分,有理函數(shù):,時,為真分式;,時,為假分式 .,利用多項式綜合除法,總可以將一個假分式化為一個多,項式與一個真分 式之和的形式 . 例如:,_,_,任何有理真分式通過部分分式均可化為下列四種,類型:,(2),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,其中,有理真分式的積分,(1),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(3),(不作要求),(4),注:,但計算相當復雜,解題時應,盡量尋求更為簡便的方法,如湊微分法倒代換法等,有理函數(shù)雖然一定可積,避免使命一般方法.,例2. 將下列真分式分解為部分分式 :,解:,(1) 用拼湊法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(2) 用賦值法,故,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,去分母,得恒等式,令,得,再令,得,(3) 用比較系數(shù)法,去分母,得恒等式,或,比較恒等式兩邊 x 同次冪的系數(shù)得,(4) 綜合法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,原式 =,去分母,得恒等式,令,得,得,再令,得,比較,項的系數(shù), 得,1.定積分的定義:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(二) 定積分,(七條性質(zhì)二條推論),2.定積分的幾何意義:,3.定積分的性質(zhì):,曲邊梯形面積的代數(shù)和.,(1),(2),(3),則有,(4),則有,(5),則有,推論1.,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(6) (定積分估值定理),若 M 和 m 分別是 f (x) 在a ,b上的最大值和最小值,則有,(7).(定積分中值定理),若f (x) 是a ,b上的連續(xù)函數(shù),則在a ,b上至少存在,一點 ,使等式,推論2.,成立.,補充規(guī)定:,(1),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,4. 定積分計算法,(1)牛頓-萊布尼茲公式,(2) 當a = b 時,(2) 定積分換元積分法,(3),(3).定積分分部積分法,5.重要公式,(1),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(2),若f (x)為a ,a上的奇函數(shù),則,若f (x)為a ,a上的偶函數(shù),則,(3),n為奇數(shù),n為偶數(shù),注意:余弦函數(shù)無此性質(zhì)!,(4) 若f (x)是周期為T的周期函數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,a為任意實數(shù),(三) 廣義(反常)積分,1.無窮區(qū)間的廣義積分,則有:,2.無界函數(shù)的廣義積分(略),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2.定積分在幾何上的應用:,(1). 平面圖形的面積, 直角坐標,1.定積分微元法,若整體量U在區(qū)間a ,b上具有可加性,即有,而局部量 U du = f (x) dx,則,(四)定積分的應用,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,起點x = a 對應參數(shù) t = ,按順時針方向決定起點與終點.,終點x = b 對應參數(shù) t = ,參數(shù)方程,(2)旋轉(zhuǎn)體的體積,令,已知,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、典型例題分析與解答,且 f (1) = 0 ,則 f (x) = _.,解:,則,代入,由 f (1) = 0 ,得c = 0 .,故,應填,注釋:,的理解和分部積分法.,解決此類問題的方法是先作變量代換求出,本題考查對于導函數(shù),然后,積分就可求得,例3.,例4.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解法1:,被積函數(shù)是兩類函數(shù)相乘,應使用分部積分法.,原式=,計算不定積分,原式=,又,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解法2:,則,令,本題考查不定積分的換元積分法與分部積分法.,注釋:,解法1:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5.,求不定積分,解法2:,令,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注釋:,本題考查不定積分的分部積分法和換元積分法.,例6.,求不定積分,原式=,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解法1:,解法2:,由半角公式得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解法3:,用萬能代換,令,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注釋:,本題考查三角函數(shù)有理式的不定積分.,例7.,求定積分,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,原式=,注釋:,本題考查定積分的分部積分法.,例8. 填空題,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注釋:,應填,解:,本題考查定積分的分部積分法.,例9.,設(shè),解:,求,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,令,則,原式=,且 x = 1時, t = 1,注釋:,本題考查定積分的換元積分法.,x = 3時, t = 1.,例10. 填空題,注釋:,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1,本題考查廣義積分的計算.,應填 1.,例11.選擇題,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè),則當x0 時,因為,因此應選(B).,(A) 等價無窮小;,(B) 同階但非等價無窮小;,(C) 高階無窮小;,(D) 低階無窮小.,B,注釋:,本題考查變上限積分的求導及無窮小的比較.,f (x) 是 g (x)的( ).,故當x0時,f (x)是g (x)的同階但,非等價的無窮小.,例12.,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè),則有( ).,所以有 P < M < N .,分析:,題中三個積分的積分區(qū)間都關(guān)于原點對稱,因此,(A) N < P < M ;,(B) M < P < N ;,(C) N < M < P ;,(D) P < M < N .,首先應考慮被積函數(shù)的奇偶性.,由被積函數(shù)的奇偶性可知:,M = 0 .,選項(D)正確.,D,令,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例13.,解:,由題設(shè)條件對 f (x) 的圖形進行分析,則有( ) .,設(shè)在區(qū)間a ,b上f (x) 0 ,易知曲線 f (x),在 x 軸上方,單調(diào)下降且為凹弧,并依題意畫示意圖.,表示曲邊梯形ABCD的面積,表示矩形ABCE的,表示梯形ABCD的面積,顯然有,故選項(B)正確.,B,面積,例14.,在點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(1)求D的面積A ;,解:,過坐標原點作曲線y =lnx 的切線,(2) 求D繞直線 x = e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.,依題意畫圖如下.,所求圖形面積為,(1)設(shè)切點橫坐標為,該切線與曲線y =lnx 及x軸圍成平面圖形D.,則曲線lnx,的切線方程為,由于該切線過原點,所以有,即有,該切線方程為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,體積微元為,圖中陰影部分窄條繞直線x = e旋轉(zhuǎn)所得,(2) 用微元法.,旋轉(zhuǎn)體體積為,注釋:,本題考查平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體體積的計算.,解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握定積分的微元法.,例15.,面圖形面積,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間a ,b上連續(xù),的3倍.,依題意畫示意圖如下:,在(a , b)內(nèi)存在唯一的 ,y = f (x)與兩直線 y = f ( ) , x = a 所圍平面圖形的面,積,是曲線 y = f (x) 與兩直線 y = f ( ) , x = b 所圍平,證明:,且在(a , b)內(nèi),使曲線,分析:,先用變上限積分表示,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,構(gòu)造輔助函數(shù),然后由題設(shè),使問題轉(zhuǎn)化為證明函數(shù),F (x) 在(a ,b) 內(nèi)有唯一零點 的問題.,證:,令,其中,顯然 F (x) 在a ,b 上連續(xù).,又有,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,于是,即,由連續(xù)函數(shù)的介值定理知,使F ( ) = 0 ,至少存在一點,即,使, 的唯一性可由F (x) 的單調(diào)性得到.,所以F (x)在a ,b上單調(diào)增加,故在(a ,b) 內(nèi)只有一個 ,證畢.,