精編國家開放大學(xué)電大本科《常微分方程》《管理案例分析》網(wǎng)絡(luò)課形考網(wǎng)考試題及答案(合集)

國家開放大學(xué)電大本科常微分方程管理案例分析網(wǎng)絡(luò)課形考網(wǎng)考試題及答案(合集) 國家開放大學(xué)電大本科常微分方程管理案例分析網(wǎng)絡(luò)課形考網(wǎng)考試題及答案(合集) 常微分方程網(wǎng)絡(luò)課形考答案 形考任務(wù)1 題目1 本課程的教學(xué)內(nèi)容共有五章，其中第三章的名稱是（ ） 選擇一項(xiàng)：A. 一階線性微分方程組 B. 定性和穩(wěn)定性理論簡介 C. 初等積分法 D. 基本定理 題目2 本課程安排了6次形成性考核任務(wù)，第2次形成性考核作業(yè)的名稱是（ ） 選擇一項(xiàng)：A. 第一章至第四章的單項(xiàng)選擇題 B. 第二章基本定理的形成性考核書面作業(yè) C. 初等積分法中的方程可積類型的判斷 D. 第一章初等積分法的形成性考核書面作業(yè) 題目3 網(wǎng)絡(luò)課程主頁的左側(cè)第3個(gè)欄目名稱是：（ ） 選擇一項(xiàng)：A. 課程公告 B. 自主學(xué)習(xí) C. 課程信息 D. 系統(tǒng)學(xué)習(xí) 題目4 網(wǎng)絡(luò)課程的“系統(tǒng)學(xué)習(xí)”欄目中第一章初等積分法的第4個(gè)知識(shí)點(diǎn)的名稱是（ ） 選擇一項(xiàng)：A. 一階隱式微分方程 B. 分離變量法 C. 全微分方程與積分因子 D. 常數(shù)變易法 題目5 網(wǎng)絡(luò)課程的“視頻課堂”欄目中老師講課的電視課共有（ ）講 選擇一項(xiàng)：A. 18 B. 20 C. 19 D. 17 題目6 網(wǎng)絡(luò)課程主頁的左側(cè)“考試復(fù)習(xí)”版塊中第二個(gè)欄目名稱是：（ ） 選擇一項(xiàng)：A. 考核說明 B. 復(fù)習(xí)指導(dǎo) C. 模擬測試 D. 各章練習(xí)匯總 題目7 請(qǐng)您按照課程的學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)要求和學(xué)習(xí)方法設(shè)計(jì)自己的學(xué)習(xí)計(jì)劃，并在下列文本框中提交，字?jǐn)?shù)要求在1001000字 答：常微分方程是研究自然現(xiàn)象，物理工程和工程技術(shù)的強(qiáng)有力工具，熟練掌握常微分方程的一些基本解法是學(xué)習(xí)常微分方程的主要任務(wù)，凡包含自變量，未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程。滿足微分方程的函數(shù)叫做微分方程的解，含有獨(dú)立的任意常數(shù)的解稱為微分方程的通解。確定通解中任意常數(shù)后所得的解稱為該方程的特解。 一階微分方程的初等解法中把微分方程的求解問題化為了積分問題，這類初等解法是，與我們生活中的實(shí)際問題密切相關(guān)的值得我們好好探討。 在高階微分方程中我們學(xué)習(xí)的線性微分方程，作為研究線性微分方程的基礎(chǔ)，它在物理力學(xué)和工程技術(shù)， 自然科學(xué)中時(shí)存在廣泛運(yùn)用的，對(duì)于一般的線性微分方程，我們又學(xué)習(xí)了常系數(shù)線性微分 變量的方程，其中涉及到復(fù)值與復(fù)值函數(shù)問題，相對(duì)來說是比較復(fù)雜難懂的。 至于后面的非線性微分方程，其中包含的穩(wěn)定性，定性基本理論和分支，混沌問題及哈密頓方程，非線性方程絕大部分的不可解不可積現(xiàn)象導(dǎo)致了我們只能通過從方程的結(jié)構(gòu)來判斷其解的性態(tài)問題，在這一章節(jié)中，出現(xiàn)的許多概念和方法是我們從未涉及的，章節(jié)與章節(jié)中環(huán)環(huán)相扣，步步深入，由簡單到復(fù)雜，其難易程度可見一斑。 由此，常微分方程整體就是由求通解引出以后的知識(shí)點(diǎn)，以求解為基礎(chǔ)不斷拓展，我們所要學(xué)習(xí)的就是基礎(chǔ)題解技巧，培養(yǎng)自己機(jī)制與靈活性，多反面思考問題的能力，敏銳的判斷力也是不可缺少的。 形考任務(wù)2 初等積分法中的方程可積類型的判斷（1）題目1 答：（一階線性非齊次微分）方程. 題目2 答：（可降階的高階）方程 題目3 答：（克萊洛）方程 題目4 答：（伯努利）方程 題目5 答：（一階線性非齊次微分）方程 題目6 答：（恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)）方程 題目7 答：（變量可分離）方程 題目8 答：（一階隱式微分）方程 題目9 答：（全微分）方程 題目10 答：（齊次微分）方程 形考任務(wù)3 常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)3 第一章 初等積分法的綜合練習(xí) 本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭取盡快掌握 要求：首先請(qǐng)同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫，文檔填寫完成后請(qǐng)?jiān)诒敬巫鳂I(yè)頁面中點(diǎn)擊“去完成”按鈕進(jìn)入相應(yīng)網(wǎng)頁界面完成任務(wù)，然后請(qǐng)將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會(huì)在課程中進(jìn)行評(píng)分。 一、填空題 1微分方程是 二 階微分方程 2初值問題的解所滿足的積分方程是 3微分方程是 一階線性非齊次微分方程 （就方程可積類型而言）4微分方程是 全微分方程 （就方程可積類型而言）5微分方程是 恰當(dāng)?shù)箶?shù)方程 （就方程可積類型而言）6微分方程的所有常數(shù)解是 7微分方程的常數(shù)解是 8微分方程的通解為 9微分方程的通解是. 10一階微分方程的一個(gè)特解的圖像是二 維空間上的一條曲線 二、計(jì)算題 1指出下列方程的階數(shù)，是否是線性方程：（1） 答：一階，非線性 （2） 答：四階，線性 （3） 答：三階，非線性 2用分離變量法求解下列方程：（1） （2） （3） 2（1）解 通積分為 （2）解 當(dāng)時(shí)，分離變量，兩端取積分得 即 通積分為 另外，是常數(shù)解， 注: 在方程求解時(shí)，求出顯式通解或隱式通解（通積分）即可，常數(shù)解可以不求。 （3）解 當(dāng)時(shí), 方程可變?yōu)?， 通積分為 或 , 上式代入初值條件. 得. 于是初值問題解為 . 3解下列齊次線性微分方程 （1） （2） （1）解 顯然是方程的解. 當(dāng)時(shí), 原方程可化為 . 令, 則原方程可化為 , 即 易于看出, 是上面方程的解, 從而 是原方程的解. 當(dāng)時(shí), 分離變量得, . 兩端積分得(C) 將換成, 便得到原方程的解 , (C). 故原方程的通解為（為任意常數(shù)）及 . （2）解 顯然是方程的解. 當(dāng)時(shí), 原方程可化為 . 令, 則原方程可化為 , 即 易于看出, 是上式的解, 從而是原方程的解. 當(dāng)時(shí), 分離變量得, . 兩端積分得 (C). 將換成, 便得到原方程的解 (C). 故原方程的通解為 . 4解下列一階線性微分方程：（1） （2） （1）解 先解齊次方程 . 其通解為 . 用常數(shù)變易法, 令非齊次方程通解為 . 代入原方程, 化簡后可得. 積分得到 . 代回后即得原方程通解為 . （2）解 先解齊次方程 . 其通解為 . 用常數(shù)變易法, 令非齊次方程通解為 . 代入原方程, 化簡后可得 . 積分得到 . 代回后即得原方程通解為 . 5解下列伯努利方程 （1） （2） （1）解 顯然是方程解. 當(dāng)時(shí), 兩端同除, 得 . 令, 代入有 它的解為 于是原方程的解為，及 （2）解 顯然是方程解. 當(dāng)時(shí), 兩端同除, 得 . 令, 代入有 它的解為 ， 于是原方程的解， 及 6解下列全微分方程：（1） （2）（1）解 因?yàn)?, 所以這方程是全微分方程, 及 在整個(gè)平面都連續(xù)可微, 不妨選取. 故方程的通積分為 , 即 . （2）解 因?yàn)?, 所以這方程是全微分方程, 及 在整個(gè)平面都連續(xù)可微, 不妨選取. 故方程的通積分為 , 即 . 7求下列方程的積分因子和積分：（1） （2） （1）解 因?yàn)?, 與y無關(guān), 故原方程存在只含x的積分因子. 由公式（1. 58）得積分因子，即 于是方程 為全微分方程.取 . 于是方程的通積分為. 即 . （2）解 因?yàn)?, 與y無關(guān), 故原方程存在只含x的積分因子. 解方程 由公式（1. 58）得積分因子，即 于是方程 為全微分方程. 取 . 于是通積分為. 即. 8求解下列一階隱式微分方程 （1） （2） （1）解 將方程改寫為 即或 解得通積分為：, 又是常數(shù)解. （2）解 顯然是方程的解. 當(dāng)時(shí), 方程可變?yōu)?, 令, 則上面的式子可變?yōu)?. 解出u得, . 即 . 對(duì)上式兩端積分得到方程的通解為 9求解下列方程 （1） （2） （1）解 令 , 則. 代入原式得. 解出得 . 這是克萊洛方程，通解為 . 即 . 解之得 （為任意常數(shù)）. （2）解 化簡得 ， 即 求積分得 . . 三、證明題 1設(shè)函數(shù)，在上連續(xù)，且， （a, b為常數(shù)）求證：方程 的一切解在上有界 2設(shè)在上連續(xù)，且，求證：方程 的一切解，均有 1證明 設(shè)y=y(x)是方程任一解，且滿足y(x0)=y0, 則 由于，所以對(duì)任意0,存在x0,使得x時(shí) 有 令，則 于是得到 又在x0，x1上y(x)有界設(shè)為M2，現(xiàn)取 ， 則 2證明 設(shè)是方程任一解，滿足，該解的表達(dá)式為 取極限 = 四、應(yīng)用題 1按牛頓冷卻定律：物體在空氣中冷卻的速度與物體溫度和空氣溫度之差成正比, 已知空氣溫度為, 而物體在15分鐘內(nèi)由 冷卻到 , 求物體冷卻到所需的時(shí)間. 2重為100kg的物體，在與水平面成30的斜面上由靜止?fàn)顟B(tài)下滑，如果不計(jì)磨擦，試求：（1）物體運(yùn)動(dòng)的微分方程；（2）求5 s后物體下滑的距離，以及此時(shí)的速度和加速度 1 解 設(shè)物體在時(shí)刻t的溫度為，由題意滿足初值問題 其中為常數(shù) 解得 設(shè)物體冷卻到40所需時(shí)間為，于是由得 解得 52分鐘. 2解 取初始下滑點(diǎn)為原點(diǎn)，軸正向垂直向下，設(shè) 時(shí)刻速度為 , 距離為, 由題意滿足初值問題 解得 再由解得 于是得到5秒后， ， , 形考任務(wù)4 常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)4 第二章 基本定理的綜合練習(xí) 本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭取盡快掌握 要求：首先請(qǐng)同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫，文檔填寫完成后請(qǐng)?jiān)诒敬巫鳂I(yè)頁面中點(diǎn)擊“去完成”按鈕進(jìn)入相應(yīng)網(wǎng)頁界面完成任務(wù)，然后請(qǐng)將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會(huì)在課程中進(jìn)行評(píng)分。 一、填空題 1. 方程的任一非零解 不能 與x軸相交 2李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的充分 條件 3. 方程+ ysinx = ex的任一解的存在區(qū)間必是(-,+) 4一階顯式方程解的最大存在區(qū)間一定是 開區(qū)間 5方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是XOY平面 6方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是XOY平面 7方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是XOY平面 8方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是-，（或不含x 軸的上半平面） 9方程滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是全平面 10一個(gè)不可延展解的存在在區(qū)間一定 開 區(qū)間 二、計(jì)算題 1判斷下列方程在怎樣的區(qū)域上保證初值解存在且惟一？ （1） （2）1解 （1) 因?yàn)榧霸谡麄€(gè)平面上連續(xù), 且滿足存在唯一性定理?xiàng)l件, 所以在整個(gè)平面上, 初值解存在且唯一. （2) 因?yàn)榧霸谡麄€(gè)平面上連續(xù), 且滿足存在唯一性定理?xiàng)l件, 所以在整個(gè)平面上, 初值解存在且唯一. 2 討論方程在怎樣的區(qū)域中滿足定理2.2的條件并求通過的一切解 2.解 因?yàn)榉匠淘谡麄€(gè)平面上連續(xù), 除軸外, 在整個(gè)平面上有界, 所以除軸外在整個(gè)平面上都滿足定理2.1的條件. 而后分離變量并積分可求出方程的通解為 其中 另外容易驗(yàn)證是方程的特解. 因此通過的解有無窮多個(gè), 分別是: 3判斷下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解 （1） （2）3解 （1) 因?yàn)樵诎肫矫嫔线B續(xù), 當(dāng)時(shí)無界, 所以如果存在奇解只能是, 但不是方程的解, 故方程無奇解. （2) 因?yàn)樵诘膮^(qū)域上連續(xù), 當(dāng)時(shí)無界, 所以如果方程有奇解, 則奇解只能是 顯然是方程的解, 是否為奇解還需要進(jìn)一步討論. 為此先求出方程的通解 由此可見對(duì)于軸上點(diǎn) 存在通過該點(diǎn)的兩個(gè)解: 及 故是奇解. 三、證明題 1試證明：對(duì)于任意的及滿足條件的，方程的解在上存在 2設(shè)在整個(gè)平面上連續(xù)有界，對(duì)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證明方程的任一解在區(qū)間上有定義 3設(shè)在區(qū)間上連續(xù)試證明方程 的所有解的存在區(qū)間必為 4在方程中，已知，在上連續(xù)，且求證：對(duì)任意和，滿足初值條件的解的存在區(qū)間必為 5假設(shè)方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件，且，是定義在區(qū)間I上的兩個(gè)解求證：若<，則在區(qū)間I上必有 <成立 6設(shè)是方程 的非零解，其中在上連續(xù)求證：當(dāng)時(shí)，必有 7設(shè)在上連續(xù)可微，求證：對(duì)任意的，方程 滿足初值條件的解必在上存在 8證明：一階微分方程 的任一解的存在區(qū)間必是 1證明 首先和是方程在的解. 易知方程的右端函數(shù)滿足解的延展定理以及存在唯一性定理的條件. 現(xiàn)在考慮過初值 ()的解, 根據(jù)唯一性, 該解不能穿過直線和. 因此只有可能向左右兩側(cè)延展, 從而該初值解應(yīng)在上存在. 2證明 不妨設(shè)過點(diǎn)分別作直線 和 . 設(shè)過點(diǎn)的初值解為. 因?yàn)? 故在的某一右鄰域內(nèi),積分曲線位于之下, 之上. 下證曲線不能與直線相交. 若不然, 使得且, 但由拉格郎日中值定理, , 使得. 矛盾. 此矛盾證明曲線不能與直線相交. 同理可證, 當(dāng)時(shí), 它也不能與相交. 故當(dāng) 時(shí)解曲線位于直線, 之間. 同理可證, 當(dāng)時(shí), 解曲線也位于直線, 之間. 由延展定理, 的存在區(qū)間為。 3證明 由已知條件，該方程在整個(gè) 平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理?xiàng)l件 顯然 是方程的兩個(gè)常數(shù)解 任取初值，其中,記過該點(diǎn)的解為，由上面分析可知，一方面可以向平面無窮遠(yuǎn)處無限延展；另一方面又上方不能穿過，下方不能穿過，否則與惟一性矛盾故該解的存在區(qū)間必為 4證明 由已知條件可知，該方程在整個(gè) 平面上滿足解的存在惟一及延展定理?xiàng)l件，又存在常數(shù)解 對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)，若，則過該點(diǎn)的解是，顯然是在上有定義 若,則,記過該點(diǎn)的解為，那么一方面解可以向平面的無窮遠(yuǎn)無限延展；另一方面在條形區(qū)域 內(nèi)不能上、下穿過解和，否則與解的惟一性矛盾因此解的存在區(qū)間必為 5證明 僅證方向，（反之亦然） 假設(shè)存在，使得>（=不可能出現(xiàn)，否則與解惟一矛盾） 令=-，那么 =-< 0， =-> 0 由連續(xù)函數(shù)介值定理，存在，使得 =-= 0 即 = 這與解惟一矛盾 6證明 由已知條件知方程存在零解該方程滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件 設(shè)是方程的一個(gè)非零解，假如它滿足 ， 由于零解也滿足上述條件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有，這與是非零解矛盾 7證明 該方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理及解的延展定理 又 是該方程的兩個(gè)常數(shù)解 現(xiàn)取，記過點(diǎn)的解為一方面該解可向平面的無窮遠(yuǎn)無限延展，另一方面又不能上下穿越，否則將破壞解的惟一性因此，該解只能在區(qū)域內(nèi)沿x軸兩側(cè)無限延展，顯然其定義區(qū)間必是 8證明 方程在全平面上滿足解的存在唯一性定理的條件，又是方程的常數(shù)解 對(duì)平面上任取的 若則對(duì)應(yīng)的是常數(shù)解其存在區(qū)間顯然是 若)則過該點(diǎn)的解可以向平面無窮遠(yuǎn)無限延展，但是上下又不能穿越和，于是解的存在區(qū)間必是 四、應(yīng)用題 1求一曲線，具有如下性質(zhì)：曲線上任一點(diǎn)的切線，在軸上的截距之和為1 2求一曲線，此曲線的任一切線在兩個(gè)坐標(biāo)軸間的線段長等于常數(shù) 1解 首先, 由解析幾何知識(shí)可知, 滿足 的直線 都是所求曲線. 設(shè) (x, y) 為所求曲線上的點(diǎn)，(X, Y)為其切線上的點(diǎn), 則過 (x, y) 的切線方程為 . 顯然有 此處 a 與 b 分別為切線在Ox 軸與Oy 軸上的截距. 故 . 解出y, 得到克萊洛方程 , 通解為 所以 , 即 為所求曲線方程. 2解 設(shè) (x, y) 為所求曲線上的點(diǎn), (X, Y)為其切線上的點(diǎn), 則過 (x, y) 的切線方程為 . 顯然有 此處 a 與 b 分別為切線在Ox 軸與Oy 軸上的截距. 故 , 即. 解出得 故曲線的方程為 消去即的曲線方程為 . 形考任務(wù)5 題目1 方程過點(diǎn)（0, 0）的積分曲線（ ） 選擇一項(xiàng)：A. 有無窮多條 B. 有惟一一條 C. 不存在 D. 只有二條 題目2 方程在xoy平面上任一點(diǎn)的解都（ ） 選擇一項(xiàng)：A. 與x軸相交 B. 是惟一的 C. 與x軸相切 D. 不是惟一的 題目3 方程的所有常數(shù)解是（ ） 選擇一項(xiàng)： 題目4 方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是( ). 選擇一項(xiàng)：A. y0的上半平面 B. 全平面 C. 除去x軸的全平面 D. y0的下半平面 題目5 方程過點(diǎn)(0, 0)的解為，此解的存在區(qū)間是( ). 選擇一項(xiàng)： 題目6 若A(x), F(x)0在(-,+)上連續(xù)，那么線性非齊次方程組, 的任一非零解 ( ) 選擇一項(xiàng)：A. 不可以與x軸相交 B. 構(gòu)成一個(gè)n維線性空間 C. 構(gòu)成一個(gè)n +1維線性空間 D. 可以與x軸相交 題目7 n維方程組的任一解的圖像是n+1維空間中的（ ） 選擇一項(xiàng)：A. n條曲線 B. 一條曲線 C. n個(gè)曲面 D. 一個(gè)曲面 題目8 方程的任一非零解在平面上（ ）零點(diǎn) 選擇一項(xiàng)：A. 只有一個(gè) B. 只有兩個(gè) C. 無 D. 有無窮多個(gè) 題目9 三階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè)（ ）線性空間 選擇一項(xiàng)：A. 3維 B. 2維 C. 4維 D. 1維 題目10 用待定系數(shù)法求方程的非齊次特解時(shí)，應(yīng)設(shè)為（ ） 選擇一項(xiàng)： 形考任務(wù)6 常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)6 第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程的綜合練習(xí) 本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭取盡快掌握 要求：首先請(qǐng)同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫，文檔填寫完成后請(qǐng)?jiān)诒敬巫鳂I(yè)頁面中點(diǎn)擊“去完成”按鈕進(jìn)入相應(yīng)網(wǎng)頁界面完成任務(wù)，然后請(qǐng)將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會(huì)在課程中進(jìn)行評(píng)分。 一、填空題 1若A(x)在(-,+)上連續(xù)，那么線性齊次方程組，的任一非零解在空間 不能 與x軸相交 2方程組的任何一個(gè)解的圖象是n + 1維空間中的一條積分曲線 3向量函數(shù)組Y1(x), Y2(x),Yn(x)線性相關(guān)的 必要 條件是它們的朗斯期行列式W(x)=0 4線性齊次微分方程組，的一個(gè)基本解組的個(gè)數(shù)不能多于n + 1 個(gè) 5若函數(shù)組在區(qū)間上線性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式在區(qū)間上恒等于零 6函數(shù)組的朗斯基行列式是 7二階方程的等價(jià)方程組是 8若和是二階線性齊次方程的基本解組，則它們 沒有 共同零點(diǎn) 9二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解,成為其基本解組的充要條件是 線性無關(guān)（或：它們的朗斯基行列式不等于零） 10階線性齊次微分方程線性無關(guān)解的個(gè)數(shù)最多為N個(gè) 11在方程y+ p(x)y+q(x)y = 0中，p(x), q(x)在(-,+)上連續(xù)，則它的任一非零解在xOy平面上可以與x軸橫截相交 12二階線性方程的基本解組是 13線性方程的基本解組是 14方程的所有解構(gòu)成一個(gè) 2 維線性空間 15n階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè) n 維線性空間 二、計(jì)算題 1將下列方程式化為一階方程組 （1） （2）1（1）解 ， （2）解 2求解下列方程組：（1） （2） （1）解 方程組的系數(shù)陣為 特征方程為：det(A-E)= =， 其特征根為 . 當(dāng)時(shí),， 其中a, b滿足 (A-E)= = 0, 則有a + b = 0 取a = 1, b =1, 則得一特解 同理,當(dāng)時(shí)， 所以方程組的解為 （2）解 方程組的系數(shù)陣為 . 特征方程為: det(A-E)= = 特征根為 . 當(dāng)時(shí), 其中a, b滿足 (A-E)= =0, 故有 即 . 取，于是方程組對(duì)應(yīng)于 = 故特征根所對(duì)應(yīng)的實(shí)解為 =,= 所以方程組的解為 = 3求解下列方程組： （1） （2） （1）解 方程組的系數(shù)陣為 . 特征方程為: det(A-E)= = 特征根為 當(dāng)時(shí), 其中a, b滿足( = 0, 即 第一個(gè)方程有 令，則 于是由 解得通解 = . （2）解 系數(shù)陣為 特征方程為: det(A-E)=. 特征根為 . 通解解為 . 4求解下列方程組：（1） （2） 4解 方程組的系數(shù)陣為 ，其特征方程為：det(A-E)= =. 特征根為 , 方程組有如下形式的解: 代入原方程組有 消去得 令 , 則 令 , 則 所以方程組的解為 （2）解 首先求出相應(yīng)齊次線性方程組的通解. 對(duì)應(yīng)齊次方程的系數(shù)陣為 . 其特征方程為：det(A-E)= =. 特征根為 當(dāng)時(shí)，其中a, b滿足(A-E)= =0, 則有ab = 0 取a = b =1, 則得一特解 同理,當(dāng)時(shí)， 所以對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通解為 然后運(yùn)用常數(shù)變易法計(jì)算原方程組的一個(gè)特解. 將代入原方程組，得 解得 . 原方程組的特解為 所以原方程組的通解為 5 已知方程的一個(gè)解，求其通解 5解 由通解公式， 6試求下列n階常系數(shù)線性齊次方程的通解 （1） （2）6（1）解 特征方程為: 特征根為:。它們對(duì)應(yīng)的解為: 方程通解為:. （2）解 特征方程為: 特征根為: 它們對(duì)應(yīng)的解為: 方程通解為: . 7試求下述各方程滿足給定的初始條件的解：（1）， （2）， 7（1）解 特征方程為:. 特征根為:，方程通解為: 由初始條件有:,解得. 所以方程的初值解為:. （2）解 特征方程為:. 特征根為: ，方程通解為: 由初始條件有:,解得. 所以方程的初值解為:. 8求下列n階常系數(shù)線性非齊次方程的通解：（1） （2）8（1）解 由于 ， 故齊次方程的通解為 . 由于不是特征根，故已知方程有形如 的特解. 將它代入原方程，得, ， 所求通解為. （2）解 由于， . 因?yàn)椴皇翘卣鞲?，故已知方程有形?的特解將上式代入原方程，可得 ， 所求通解為 . 三、證明題 1設(shè)矩陣函數(shù)，在（a, b）上連續(xù)，試證明，若方程組 與有相同的基本解組，則 2設(shè)在方程中，在區(qū)間上連續(xù)且恒不為零，試證它的任意兩個(gè)線性無關(guān)解的朗斯基行列式是在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)函數(shù) 3試證明：二階線性齊次方程的任意兩個(gè)線性無關(guān)解組的朗斯基行列式之比是一個(gè)不為零的常數(shù) 1證明 設(shè)為基本解矩陣, 因?yàn)榛窘饩仃囀强赡娴? 故有 于是. 2證明 設(shè)w(x)是方程的任意兩個(gè)線性無關(guān)解的朗斯基行列式，則且有，.又因?yàn)樵趨^(qū)間上連續(xù)且恒不為零,從而對(duì),或,所以,在上恒正或恒負(fù),即w(x)為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù). 3證明 設(shè)兩個(gè)線性的解組的朗斯基行列式分別為 ，且， 所以有. 四、應(yīng)用題 1一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)由靜止開始沉入液體中，當(dāng)下沉?xí)r，液體的反作用與下沉的速度成正比，求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 解 設(shè)液體的反作用與質(zhì)點(diǎn)速度的比例系數(shù)為 則指點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)滿足方程：即 則(*)所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為： 又是齊次方程的特征根,故特解形式為： 代入(*)式得： 所以 由得 故 管理案例分析網(wǎng)絡(luò)課形考答案 形考任務(wù)1：客觀測驗(yàn)題（10分）判斷正誤（每小題1分，共10分）題目1 管理案例寫作計(jì)劃的主要內(nèi)容就是安排案例撰寫的時(shí)間。（ ）選擇一項(xiàng)：對(duì) 錯(cuò) 題目2 在案例學(xué)習(xí)的過程中，我們只需要把握住4個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，即分析形勢、提出方案、預(yù)測結(jié)果和做出決策。（ ）選擇一項(xiàng)：對(duì) 錯(cuò) 題目3 案例的結(jié)構(gòu)安排通?？梢宰裱瓋煞N順序：一是時(shí)間順序，二是內(nèi)容順序。（ ）選擇一項(xiàng)：對(duì) 錯(cuò) 題目4 案例寫作原則的中立原則要求案例作者在對(duì)案例進(jìn)行描述時(shí)，盡量使用中立性的語言，不進(jìn)行評(píng)論或者使用帶有傾向性的觀點(diǎn)。（ ）選擇一項(xiàng)：對(duì) 錯(cuò) 題目5 案例有其特定的文體和書寫規(guī)范，是為特殊的教學(xué)目的服務(wù)的；而實(shí)例以寫實(shí)為主，一般是對(duì)所發(fā)生的客觀事實(shí)的介紹和描述，沒有固定的格式和書寫規(guī)范。（ ）選擇一項(xiàng)：對(duì) 錯(cuò) 題目6 案例寫作原則中的前瞻原則是指案例作者根據(jù)企業(yè)實(shí)際發(fā)生的事件，推斷未來可能產(chǎn)生的后果，啟發(fā)人們思考。（ ）選擇一項(xiàng)：對(duì) 錯(cuò) 題目7 案例寫作原則中的仿真原則是指案例作者根據(jù)企業(yè)實(shí)際自己杜撰案例中的人物和內(nèi)容，設(shè)計(jì)案例作者關(guān)心的問題。（ ）選擇一項(xiàng)：對(duì) 錯(cuò) 題目8 在案例學(xué)習(xí)中，談判法是指定學(xué)生分別扮演談判各方，設(shè)立談判規(guī)則，陳述須要交涉的內(nèi)容，確定談判的結(jié)果。（ ）選擇一項(xiàng)：對(duì) 錯(cuò) 題目9 管理案例就是圍繞著一定的管理問題而對(duì)某一真實(shí)的管理情景所作的文字描述。不包括聲像等其他媒介采編撰寫方式。（ ）選擇一項(xiàng)：對(duì) 錯(cuò) 題目10 案例內(nèi)容的表述涉及很多方面，第一個(gè)就是寫好案例的開頭和結(jié)尾，即指案例的開頭必須要和結(jié)尾相呼應(yīng)。（ ）選擇一項(xiàng)：對(duì) 錯(cuò) 形考任務(wù)2：案例補(bǔ)充（20分）請(qǐng)自選（或由本課程輔導(dǎo)教師指定）文字教材中案例篇第五章-第十三章中的任意一章的【示范案例】中的案例，對(duì)案例正文進(jìn)行資料補(bǔ)充。 答：所謂平臺(tái)型組織，是一種由用戶需求“拉動(dòng)”的組織，企業(yè)的動(dòng)力是接觸用戶的前臺(tái)項(xiàng)目。從狀態(tài)上講，應(yīng)該是“創(chuàng)客聽用戶的”。而科層制組織，是一種由領(lǐng)導(dǎo)者“推動(dòng)”的組織，企業(yè)的動(dòng)力是在不接觸用戶的后臺(tái)職能部門。從狀態(tài)上講，應(yīng)該是“員工聽領(lǐng)導(dǎo)的”。 在平臺(tái)型組織里，前臺(tái)是最接近用戶的 ，它們負(fù)責(zé)交互用戶并理解用戶的剛需；而后組織企業(yè)內(nèi)部的資源，形成對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品、服務(wù)或解決方案。后臺(tái)是提供資源和機(jī)制保障的，要確保平臺(tái)具備“資源洼地”和“共享機(jī)制”，即要有質(zhì)優(yōu)價(jià)廉的資源和公平分配的政策，能夠吸引創(chuàng)客過來。說簡單點(diǎn)，人家到你的平臺(tái)上來創(chuàng)業(yè)，一是圖你這里資源好，自己更容易成功；二是圖你這里政策好，自己更容易致富。當(dāng)然，后臺(tái)也需要對(duì)整個(gè)平臺(tái)進(jìn)行“兜底” ，設(shè)置一些產(chǎn)品品質(zhì)、法律風(fēng)險(xiǎn)、內(nèi)控風(fēng)險(xiǎn)的底線，并進(jìn)行監(jiān)督。畢竟，項(xiàng)目由于追求短期收益，長期看有可能帶來一些對(duì)于平臺(tái)的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。 按理說，前臺(tái)因?yàn)榻咏脩舳軌蚨床焓袌鲂枨?，后臺(tái)又能提供相應(yīng)的資源和政策支持，應(yīng)該會(huì)不斷有創(chuàng)客前赴后繼地充當(dāng)項(xiàng)目負(fù)責(zé)人，讓一個(gè)又一個(gè)的項(xiàng)目“冒出來”。但事實(shí)上，這只是一種天真的想象，后臺(tái)的資源只是在理論上可以做到隨需調(diào)用，但現(xiàn)實(shí)中還需要中臺(tái)作為連接器。 中臺(tái)，既是后臺(tái)的代言人，又是前臺(tái)的業(yè)務(wù)伙伴，其本身的利益也應(yīng)該與前臺(tái)綁定在一起（相當(dāng)于項(xiàng)目“強(qiáng)制跟投”）負(fù)責(zé)甄選出好的項(xiàng)目注入資源，并對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行投后管理。 形考任務(wù)3：案例分析（30分）請(qǐng)分析產(chǎn)品品質(zhì)問題對(duì)SH精工公司發(fā)展的影響。 請(qǐng)結(jié)合案例，提煉該企業(yè)產(chǎn)品出現(xiàn)品質(zhì)問題的具體原因。 如果你是該公司的品保部經(jīng)理，你會(huì)怎樣做？ 答：請(qǐng)分析產(chǎn)品品質(zhì)問題對(duì)SH精工公司發(fā)展的影響。 1、造成許多客戶撤單 2、丟失許多客戶 3、造成巨大金額損失 4、對(duì)公司產(chǎn)品質(zhì)量問題增加了黑點(diǎn) 請(qǐng)結(jié)合案例，提煉該企業(yè)產(chǎn)品出現(xiàn)品質(zhì)問題的具體原因：1、員工產(chǎn)品質(zhì)量意識(shí)放松 2、項(xiàng)目部沒有給予重視 3、生產(chǎn)部培訓(xùn)考核過于放松 4、品保部工作過于放松。 如果你是該公司的品保部經(jīng)理，你會(huì)怎樣做：1、調(diào)整員工工作心態(tài) 2、增加員工培訓(xùn)和考核 形考任務(wù)4：案例撰寫（40分）海爾洗衣機(jī)創(chuàng)立于1984年的海爾集團(tuán)，經(jīng)過19年的持續(xù)發(fā)展，現(xiàn)已成為享譽(yù)海內(nèi)外的大型國際化企業(yè)集團(tuán)。1984年海爾只生產(chǎn)單一的電冰箱，而目前它擁有白色家電、黑色家電、米色家電在內(nèi)的96大門類15100多個(gè)規(guī)格的產(chǎn)品群。海爾的產(chǎn)品出口到世界160多個(gè)國家和地區(qū)。2003年，海爾全球營業(yè)額實(shí)現(xiàn)806億元。2003年，海爾蟬聯(lián)中國最有價(jià)值品牌第一名。2004年1月31日，世界五大品牌價(jià)值評(píng)估機(jī)構(gòu)之一的世界品牌實(shí)驗(yàn)室編制的世界最具影響力的100個(gè)品牌報(bào)告揭曉，海爾排在第95位，是唯一入選的中國企業(yè)。2003年12月，全球著名戰(zhàn)略調(diào)查公司Euromonitor公布了2002年全球白色家電制造商排序，海爾以3.79%的市場分額躍升至全球第二大白色家電品牌。2004年8月號(hào)財(cái)富中文版評(píng)出最新“中國最受贊賞的公司”，海爾集團(tuán)緊隨IBM中國有限公司之后，排名第二位。 冰箱、空調(diào)、洗衣機(jī)等產(chǎn)品屬于白色家電。作為在白色家電領(lǐng)域最具核心競爭力的企業(yè)之一，海爾有許多令人感慨和感動(dòng)的營銷故事。 1996年，一位四川成都的一位農(nóng)民投訴海爾洗衣機(jī)排水管老是被堵，服務(wù)人員上門維修時(shí)發(fā)現(xiàn)，這位農(nóng)民用洗衣機(jī)洗地瓜（南方又稱紅薯），泥土大，當(dāng)然容易堵塞。服務(wù)人員并不推卸自己的責(zé)任，而是幫顧客加粗了排水管。顧客感激之余，埋怨自己給海爾人添了麻煩，還說如果能有洗紅薯的洗衣機(jī)，就不用煩勞海爾人了。農(nóng)民兄弟的一句話，被海爾人記在了心上。海爾營銷人員調(diào)查四川農(nóng)民使用洗衣機(jī)的狀況時(shí)發(fā)現(xiàn)，在盛產(chǎn)紅薯的成都平原，每當(dāng)紅薯大豐收的時(shí)節(jié)，許多農(nóng)民除了賣掉一部分新鮮紅薯，還要將大量的紅薯洗凈后加工成薯?xiàng)l。但紅薯上沾帶的泥土洗起來費(fèi)時(shí)費(fèi)力，于是農(nóng)民就動(dòng)用了洗衣機(jī)。更深一步的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在四川農(nóng)村有不少洗衣機(jī)用過一段時(shí)間后，電機(jī)轉(zhuǎn)速減弱、電機(jī)殼體發(fā)燙。向農(nóng)民一打聽，才知道他們冬天用洗衣機(jī)洗紅薯，夏天用它來洗衣服。這令張瑞敏萌生一個(gè)大膽的想法：發(fā)明一種洗紅薯的洗衣機(jī)。1997年海爾為該洗衣機(jī)立項(xiàng)，成立以工程師李崇正為組長的4人課題組，1998年4月投入批量生產(chǎn)。洗衣機(jī)型號(hào)為XPB40-DS，不僅具有一般雙桶洗衣機(jī)的全部功能，還可以洗地瓜、水果甚至蛤蜊，價(jià)格僅為848元。首次生產(chǎn)了1萬臺(tái)投放農(nóng)村，立刻被一搶而空。 一般來講，每年的6至8月是洗衣機(jī)銷售的淡季。每到這段時(shí)間，很多廠家就把促銷員從商場里撤回去了。張瑞敏納悶兒：難道天氣越熱，出汗越多，老百姓越不洗衣裳？調(diào)查發(fā)現(xiàn)，不是老百姓不洗衣裳，而是夏天里5公斤的洗衣機(jī)不實(shí)用，既浪費(fèi)水又浪費(fèi)電。于是，海爾的科研人員很快設(shè)計(jì)出一種洗衣量只有1.5公斤的洗衣機(jī)小小神童。小小神童投產(chǎn)后先在上海試銷，因?yàn)閺埲鹈粽J(rèn)為上海人消費(fèi)水平高又愛挑剔。結(jié)果，上海人馬上認(rèn)可了這種世界上最小的洗衣機(jī)。該產(chǎn)品在上海熱銷之后，很快又風(fēng)靡全國。在不到兩年的時(shí)間里，海爾的小小神童在全國賣了100多萬臺(tái)，并出口到日本和韓國。張瑞敏告誡員工說：“只有淡季的思想，沒有淡季的市場?！痹谖鞑兀栂匆聶C(jī)甚至可以合格地打酥油。2000年7月，海爾集團(tuán)研制開發(fā)的一種既可洗衣又可打酥油的高原型“小小神童”洗衣機(jī)在西藏市場一上市，便受到消費(fèi)者歡迎，從而開辟出自己獨(dú)有的市場。這種洗衣機(jī)3個(gè)小時(shí)打制的酥油，相當(dāng)于一名藏族婦女三天的工作量。藏族同胞購買這種洗衣機(jī)后，從此可以告別手工打酥油的繁重家務(wù)勞動(dòng)。 在2002年舉辦的第一屆合肥“龍蝦節(jié)”上，海爾推出的一款“洗蝦機(jī)”引發(fā)了難得一見的搶購熱潮，上百臺(tái)“洗蝦機(jī)”不到一天就被當(dāng)?shù)叵M(fèi)者搶購一空，更有許多龍蝦店經(jīng)營者紛紛交定金預(yù)約購買。這款海爾“洗蝦機(jī)”因其巨大的市場潛力被安徽衛(wèi)視評(píng)為“市場前景獎(jiǎng)”。5月的安徽，是當(dāng)?shù)靥禺a(chǎn)龍蝦上市的季節(jié)，龍蝦是許多消費(fèi)者喜愛的美味。每到這個(gè)季節(jié)，各龍蝦店大小排擋生意異常火爆，僅合肥大小龍蝦店就有上千家，每天要消費(fèi)龍蝦近5萬斤。但龍蝦好吃清洗難的問題一直困繞著當(dāng)?shù)佚埼r店的經(jīng)營者。因?yàn)辇埼r生長在泥灣里，捕撈時(shí)渾身是泥，清洗異常麻煩，一般的龍蝦店一天要用2-3人專門手工刷洗龍蝦，但常常一天洗的蝦，不及幾個(gè)小時(shí)賣的多，并且，人工洗刷費(fèi)時(shí)又費(fèi)力，還增加了人工成本。針對(duì)這一潛在的市場需求，海爾洗衣機(jī)事業(yè)部利用自己擁有的“大地瓜洗衣機(jī)”技術(shù)，迅速推出了一款采用全塑一體桶、寬電壓設(shè)計(jì)的可以洗龍蝦的“洗蝦機(jī)”，不但省時(shí)省力、洗滌效果非常好，而且價(jià)格定位也較合理，極大地滿足了當(dāng)?shù)叵M(fèi)者的需求。過去洗2公斤龍蝦一個(gè)人需要10-15分鐘，現(xiàn)在用“龍蝦機(jī)”只需三分鐘就可以搞掂。 “聽說你們的洗衣機(jī)能為牧民打酥油，還給合肥的飯店洗過龍蝦，真是神了！能洗蕎麥皮嗎？”2003年的一天，一個(gè)來自北方某枕頭廠的電話打進(jìn)了海爾總部。海爾洗衣機(jī)公司在接到用戶需求后，僅用了24小時(shí)，就在已有的洗衣機(jī)模塊技術(shù)上，創(chuàng)新地推出了一款可洗蕎麥皮枕頭的洗衣機(jī)，受到用戶的極力稱贊，更成為繼海爾洗地瓜機(jī)、打酥油機(jī)、洗龍蝦機(jī)之后，在滿足市場個(gè)性化需求上的又一經(jīng)典之作。明代醫(yī)學(xué)家李時(shí)珍在本草綱目中有一則“明目枕”的記載：“蕎麥皮、綠豆皮菊花同作枕，至老明目。”在我國，人們歷來把蕎麥皮枕芯視為枕中上品。蕎麥皮屬生谷類，具有油性，而且硬度較高，如果不常洗或者曬不干又容易滋生細(xì)菌，但蕎麥皮的清洗與干燥特別費(fèi)勁，因?yàn)椤笆w麥皮”自身體積微小，重量極輕，很難晾曬，如果在戶外晾曬更容易被風(fēng)刮走?！笆w麥皮”的清洗和晾曬問題就成了“蕎麥皮”枕頭廠家及消費(fèi)者的一大難題。海爾開發(fā)的這款既可以家庭洗衣，又可以用來洗蕎麥皮枕頭的“爽神童”洗衣機(jī)，除了洗滌、脫水等基本功能外，還獨(dú)有高效的PTC轉(zhuǎn)動(dòng)烘干、自然風(fēng)晾干兩種干燥技術(shù)，同時(shí)專門設(shè)計(jì)了蕎麥皮包裝洗滌袋，加上海爾獨(dú)有的“抗菌”技術(shù)，非常圓滿地解決了蕎麥皮枕頭的清洗、干燥難題。 專家指出，目前洗衣機(jī)市場已進(jìn)入更新?lián)Q代、需求快速增長期。始終靠技術(shù)創(chuàng)新領(lǐng)先市場的海爾，通過多年以來的技術(shù)儲(chǔ)備和市場優(yōu)勢的積累，在快速啟動(dòng)的洗衣機(jī)市場上占盡先機(jī)。世界第四種洗衣機(jī)海爾“雙動(dòng)力”是海爾根據(jù)用戶需求，為解決用戶對(duì)波輪式、滾筒式、攪拌式洗衣機(jī)的抱怨而創(chuàng)新推出的一款全新的洗衣機(jī)，由于集合了洗得凈、磨損低、不纏繞、15分鐘洗好大件衣物、“省水省時(shí)各一半”等優(yōu)點(diǎn)于一身，迎合了人們新的洗衣需求，產(chǎn)品上市一個(gè)月就創(chuàng)造了國內(nèi)高端洗衣機(jī)銷量、零售額第一名的非常業(yè)績，成為國內(nèi)市場上升最快的洗衣機(jī)新品，在日前剛剛結(jié)束的第95屆法國列賓國際發(fā)明展覽會(huì)上一舉奪得了世界家電行業(yè)唯一發(fā)明金獎(jiǎng)。 賽諾市場研究公司2004年4月份統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，海爾洗衣機(jī)市場份額繼續(xù)高居全國第一，尤其在我國華北、東北、華東、西北、中南、西南6大地區(qū)市場上分別穩(wěn)居第一，且與競爭對(duì)手的距離進(jìn)一步拉大。在西北地區(qū)，海爾洗衣機(jī)的市場份額已接近40%，超出第二名近3倍；在其他5大地區(qū)，海爾洗衣機(jī)的市場份額也都有明顯上升，均超出了第二名近兩倍。