信號與系統(tǒng)-第六章離散系統(tǒng)的Z域分析.ppt

第六章 離散系統(tǒng)的Z域分析,概論： 與連續(xù)系統(tǒng)相似，線形離散系統(tǒng)也可用變換法分析，其中傅立葉分析將在有關數(shù)字信號處理等課程中討論，本書只討論Z變換分析法。在LTI離散系統(tǒng)分析中，Z變換的作用類似于連續(xù)系統(tǒng)分析中的拉普拉斯變換，他將描述系統(tǒng)的差分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程，而且代數(shù)方程中包含了系統(tǒng)的初始狀態(tài)，從而可求得系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應以及全響應。這里用于分析系統(tǒng)的獨立狀態(tài)變量是復變量Z,故稱為Z域分析。,本章共包含四部分內容,第一節(jié) Z變換 第二節(jié) Z變換的性質 第三節(jié) 逆Z變換 第四節(jié) Z域分析 總結,第一節(jié) Z變換,、從拉普拉斯變換到Z變換 連續(xù)時間信號進行均勻抽樣可得到離散時間信號，設抽樣脈沖為 ，則： f(t)= = 對該式進行雙邊拉氏變換得：F(S)= = = (t-KT)= 令Z= 即將變量變?yōu)閆,則上式為：F(Z)= 該式稱為f(KT)的雙邊 Z變換.由以上分析可得雙邊變換和拉氏變換的關系：,為了方便，取周期T=1，即f(KT)=f(K),二、Z變換： 對離散序列f(k),k=0, 1, 2則： ,稱為雙邊Z變換。 對因果信號，單邊與Z雙邊變換相等，重點研究雙邊Z變換。 三、收斂域 Z變換存在的條件： 即：上式絕對可和，它為f(k)的Z 變換存在的充要條件。 例1、求有限長序列Z的變換 (1)f(k)=(k) 解：F(Z)= 收斂域：全平面收斂 (2)f(k)= 1 2 3 2 1 解： 收斂域：0z,k=0,例2、求因果序列 的Z變換，其中a為常數(shù)。 解： 即： 例3、求反因果序列 的Z變換，其中b 為常數(shù)。 解：,Zb 即： 其中： Z<b 例4：求雙邊序列 的Z變換 解： 收斂域為： a<Z<b 由以上分析可得以下結論： 有限長序列的收斂域：0<Z（全左邊） 0Z<（全右邊） 0< Z< ( 雙邊 ） 左邊序列（反因果序列）的收斂域為：Z<b,右邊序列（因果序列）的收斂域為：Za 雙邊序列的收斂域為：a<Z<b 下面列出常用序列的Z變換:,第二節(jié) Z變換的性質,本節(jié)討論Z變換的一些基本性質和定理，這對于熟悉和掌握Z變換的方法，用以分析離散系統(tǒng)等都是很重要的。下面一些性質無特殊說明，既適應于Z單邊變換，也適應于雙邊Z變換。 主要有以下幾條： 一、線性 若： 則: 其收斂域為公共部分。 例1：已知： 求： Z的變換 解：有已知得：,二者的Z變換為： 則： 例2：求單邊余弦cos(k)(k)和單邊正弦sin (k)(k)的Z變換 解： = 同理： 二、移位特性 這個性質比較重要，類似于S域變換中的微分特性和積分特性。對于Z單邊和雙邊Z變換結果不同。,（1）雙邊變換的移位特性 若： 則： 其中：m為 整數(shù) 例3:已知長為M的矩形序列 = 1 -MkM 求其雙邊Z變換 0 其他 解： 由移微特性得： 所以：,（2）單邊Z變換的移位特性： 設： 其中m 為整數(shù)； 則： 收斂域不變：Za 例4：已知 (a為實數(shù)）的單邊Z變換為,求： 的單邊Z變換 解： 例5：求周期為N的有始周期性單位序列 的Z變換. 解： 根據(jù)移位特性得： 即： 由此可知：有限長序列結合為無限長序列其收斂域發(fā)生變化 三 、序列乘 （Z域尺度變換）,若： 其中a為常數(shù)且不為0 則： 例6：求指數(shù)衰減正弦函數(shù) 的Z變換 解： 四：卷積定理 若： 則：,例7：求單邊序列(k+1)(k)和 的Z變換 解：因為： = 當a=b=1時，則 又因為： 又（k+1）（k)左移一位為：k(k-1),由移位特性得： 而因k=0,k(k-1)=0得： k(k-1)= k(k） 則：,例8：求雙邊三角序列f(k)的Z變換 解： 即： 因為： 所以： 五：序列乘k(Z域微分） 注意：f(k)為離散的，而Z域為連續(xù)的; 若： 則：,例9：求序列 的Z變換 解：（1） （2）利用左移特性： 因為k=-1時（k+1)=0 則（k+1)(k+1)=(k+1)(k) 由此可推出： （3） 利用線性： 六：序列除（k+m)（Z域積分）,若： m為整數(shù)，且 k+m0 則： 若：m=0,k0 則： 例10：求序列 的Z變換 解： 七：K域反轉 若： 則： 例11：已知 求 的Z變換 解： 以(-k)代k得:,左移一個單位，即以(k+1)代k得: 利用線性并且K域和Z域同乘a得： 八：部分和 若： 則： 例12：求序列 的Z變換，其中a為實數(shù) 解：由題意得： 九：初值定理和終值定理 1、初值定理：當1<k<m時，f(k)=0,且 則：,2、終值定理：當1<k<m時，f(k)=0且 則： 例13、某因果序列的Z變換為 求f(0)、f(1)和 f()的值 解： = 1 a=1 0 其他 例14、已知因果序列 求序列的無限長和 解：,第三節(jié) 逆Z變換,本節(jié)研究求F(Z)的逆變換，既由象函數(shù)F(Z)求原序列f(k)的問題。求逆變換的方法有三種：冪級數(shù)展開法、部分分式展開法和反演積分（留數(shù)法）等，本節(jié)重點討論最常用的部分分式展開法。 一般而言，雙邊序列法f(k)可分為因果序列 和反因果序列 兩部分，當已知象函數(shù)F(Z)時，根據(jù)給定的收斂域分別求得 和 并分別求得它們的原序列，然后利用線性將二者相加就得到F(Z)對應的原序列f(k)。因此本節(jié)重點研究因果序列象函數(shù) 的逆變換，顯然那它是單邊的變換 。 具體做法如下所示：,即： 雙邊序列： 因果序列： 反因果序列： 注：已知象函數(shù)求出原函數(shù)不僅要注意F(Z)的形式還要注意其收 斂域。 一、冪級數(shù)展開法 ： 步驟為：先由F(Z)的收斂域確定原序列的形式（因果反因果或雙 邊），然后再利用長除法將F(Z)展為冪級數(shù)，取其系數(shù)即可得到 f(k). 例1：已知 求收斂域為 的Z 變換。 解:(1)F(Z)的收斂域為z2時,該序列為因果序列，利用長除 法展為 的冪級數(shù)時F(Z)為降冪級數(shù)。,具體作法如下： 即得如下結果： 則： k=0 (2)F(Z)的收斂域為Z<1時，序列為反因果序列，利用長除法 展為 的冪級數(shù)時為時冪級數(shù)。 具體做法如下： 即得如下結果： 則： (3) F(Z)的收斂域為 1<Z<2 時，序列為雙邊序列，不同收 斂域對應不同原序列。 具體作法如下：,將F(Z)進行分解可得: 為因果序列，展開為： 為反因果序列展開為： k=0 注意：這種方法一般不寫出f(k)的閉合形式，另外也可利用其他冪 級數(shù) 的展開式求。（如下例所示） 例2：已知： 求原序列f(k) 解：因為序列的收斂域為Z0, 所以該序列為因果序列,因為： ，令 則： 所以： 二、部分分式展開法 設F(Z)為有理式,令 ， 式中：mn；對上式兩邊同除Z得： 不為真分式，先用除法得出常數(shù)項； 為真分式，直接將其展開； 1、 有單極點時：,式中各系數(shù)為： 兩邊同時乘以Z得： 利用常用序列的Z變換： 可以求出F(Z)的逆變換f(k) 例3： ，在 時的原序列 解：由題意得： 其中：,則： 當：Z2時， 當：Z<1時， 當：1<Z<2時， 例4：已知 求其逆Z變換 解： 求出 所以： 由此可得：,2、 有共軛極點時： 設 則 ： 其中 為單極點部分，處理 方法同上； 為共軛極點對應部分，處理方法如下： 令：,例5：求 的逆Z變換 解：由已知得：極點為 所以：,3、F(Z)有重極點時： 設F(Z)在Z=a處有r重極點，則 可展開為 其中系數(shù)： 為單極點部分，處理方法同上。 其中： 例6：求 的逆Z變換,解： 所以： 例7：求 的逆Z變換 解：,所以： 三：反演積分法 基本思想是根據(jù)復變函數(shù)留數(shù)定理來研究F(Z)的逆變換。 令： 其中 對應因果序列 對應反 因果序列。 則 = 0 k<0; 0 k0; 其中C為收斂域內的環(huán)繞原點的逆時針的閉合曲線。,第四節(jié) Z域分析,Z變換是分析線性離散離散系統(tǒng)的有力工具，它將描述系統(tǒng)的的序域差分方程變換為Z域的代數(shù)方程，便于運算和求解；同時單邊Z變換將系統(tǒng)的初始狀態(tài)自然的包含于象函數(shù)方程中，即可分別求得零輸入相應，零狀態(tài)相應，也可依據(jù)求得系統(tǒng)的全響應。 一、差分方程的變換解： 已知n階系統(tǒng)： 均為實數(shù)， f(k)是在k=0時刻接入的，系統(tǒng)的初始條件為：y(-1)、y(-2) y(-n); 令Zy(k)=Y(Z),Zf(k)=F(Z),利用單邊Z變換的移位特性得：,其中： 求Y(Z)的逆變換可得系統(tǒng)的響應y(k)以及 和 例1：已知y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)+2f(k-2),其初始條件為：y(-1)=2 ,且f(k)=(k); 求： 解：對方程進行變換得： 將其代入得：,y(k)的逆變換為： 由此可推出： 所以：,例2：已知y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)+2f(k-2)，起初始條件為： y(0）=2，y(1)=7且f(k)=(k); 求： y(-1),y(-2) 解：利用Z變換求解時所需的初始條件為：y(-1),y(-2),在利用Z域 求解 原方程可變?yōu)椋?例3：已知6y(k)-5y(k-1)+y(k-2)=f(k),初始條件為：y(-1)=6,y(-2)= -20 且 求：y(k),解：對方程進行變換得： 所以 二、系統(tǒng)函數(shù)： 已知 n階系統(tǒng)的差分方程 設f(k)是在k=0時接入的, 則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應的象函數(shù)為：,由此可得出： 叫做系統(tǒng)函數(shù)，他是由系統(tǒng)本身 所決定的。它與單位序列響應的關系： 例4：已知 ,求系統(tǒng)的單位序列 響應。 解：對方程進行Z變換得： 所以： 例5：某離散系統(tǒng)輸入為 ，其零狀態(tài)響應為： ，求系統(tǒng)的單位響應 h(k)和描述系統(tǒng)的差分方程,解：由題意得： 所以： 由系統(tǒng)函數(shù)表達式可得描述系統(tǒng)的差分方程為： 也可寫作：,三、系統(tǒng)的Z域框圖： 數(shù)乘： 加法： 延時：一般 f(k-1) 零狀態(tài) f(k-1) 注：若時域框圖比較麻煩時，就利用Z域框圖，寫出其代數(shù)方程 然后求逆變換即可。 例6：如圖所示：輸入f(k)=(k） 求：（1）系統(tǒng)的單位序列響應h(t)和零狀態(tài)響應 (2)若 y(-1)=0, 求零輸入相應,D,D,由Z域框圖，設中間變量為：Z(Z)(如圖所示） 則： （2）因為：,對零輸入f(k)=0的響應有： 零輸入時： 代入上式可得： 四：S域和Z域的關系 拉普拉斯變換： 對f(t)以T進行抽樣，有 Z 變換：,即有： （其中T為抽樣周期） 令： 其中： 具體對應關系為： S平面的左半平面（0)對應 Z平面的單位圓外部（1) S平面的虛軸jw (=0）對應Z平面的單位圓上（=1) S平面上的w由 Z平面上的 Z平面隱含周期性 S平面位多值對應,即：,五、系統(tǒng)的頻率響應 與連續(xù)系統(tǒng)相似，離散系統(tǒng)也有頻率響應。 若： ，其中復數(shù) （A為信號幅度,為幅角） 對f(t)以 進行抽樣得： 令： ，叫數(shù)字頻率。 設f(k)通過 單位序列響應為h(k)的系統(tǒng)得到的響應為y(k), 則： 其中： ，叫系統(tǒng)的頻率響應。 幅頻特性： 為偶函數(shù) 相頻特性： 為奇函數(shù) 注： 以2為周期。,例8：如圖為雷達系統(tǒng)中的一階動目標顯示濾波器，用來消除雜 波，求系統(tǒng)的頻率響應。 解：設中間變量為：Z(Z) 則： 在單位圓上收斂。,-1,-,頻率響應： 例9：如圖系統(tǒng)為橫向數(shù)字濾波器。 求：(1)濾波器的頻率響應 (2)輸入為 抽樣為f(k),其中信號 , 取樣頻率為,1,2,2,1,+,Y(Z),F(Z),解：(1) 求系統(tǒng)函數(shù) 因為：Z0,在單位圓上收斂，令 ，得頻率響應 由此可推出：,(2) 所包含的頻率：直流： 基頻： 兩倍頻 ： 由此可推出： 所以：輸出的穩(wěn)態(tài)響應為： = 經(jīng)過濾波器后濾掉了二次諧波。,總結,本章共包含四部分內容，下面對其主要內容進行概括： 一、Z 變換 表達式 雙邊Z變換 單邊Z變換 Z反變換表達式 有限長序列： 收斂域 左邊序列： 右邊序列： 雙邊序列：,二、Z變換的性質 線性： 雙邊Z變換： 移位特性 單邊Z變換： 序列乘 卷積定理： 序列乘 序列除(k+m)： k域反轉：,部分和： 三、逆Z變換 右邊序列 升冪排列 冪級數(shù)：展開為 左邊序列 降冪排列 雙邊序列 分開處理 單極點 部分分式展開 重極點 共軛極點 左邊序列(因果)形式 反演積分(留數(shù)定理） 右邊序列(反因果)形式 四、Z域分析,對方程作單邊Z變換，然后求解代數(shù)方程和逆變換 差分形式求解 在y(0),y(-1)初始條件時，利用迭代法求出 y(-1), y(-2)等初始條件處理 系統(tǒng)函數(shù) h(Z)與差分方程間的相互變換 系統(tǒng)Z域框圖：三種基本運算符號；時域圖 Z域圖 列方程求解 S域和Z域的關系 數(shù)字頻率 模擬頻率,系統(tǒng)頻率響應,