線性離散系統(tǒng)的分析與校正

,自動(dòng)控制原理教學(xué)課件2009年淮南師范學(xué)院校級(jí)精品課程,電氣信息工程系自動(dòng)控制原理課程教學(xué)組,第7章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正,第7章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正,主要內(nèi)容: 7-1 離散系統(tǒng)的基本概念 7-2 信號(hào)的采樣與保持 7-3 z變換理論 7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 7-5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差 7-6 離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析 7-7 離散系統(tǒng)的數(shù)字校正 7-8 應(yīng)用MATLAB分析離散系統(tǒng),8-1 離散控制系統(tǒng)的基本概念 在控制系統(tǒng)中，如果所有信號(hào)都是時(shí)間變量的連續(xù)函數(shù)，換句話說，這些信號(hào)在全部時(shí)間上是已知的，則這樣的系統(tǒng)稱為連續(xù)系統(tǒng)；如果控制系統(tǒng)中有一處或幾處信號(hào)是一串脈沖或數(shù)碼，即這些信號(hào)僅定義在離散時(shí)間上，則這樣的系統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)。 一般來講，把系統(tǒng)中的離散信號(hào)是脈沖序列形式的離散系統(tǒng)，稱為采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)；當(dāng)離散量為數(shù)字序列形式時(shí)，則稱為數(shù)字控制系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。通常將采樣控制系統(tǒng)和數(shù)字控制系統(tǒng)，統(tǒng)稱離散系統(tǒng)。,1.采樣控制系統(tǒng) 一般來講，把系統(tǒng)中的離散信號(hào)是脈沖序列形式的離散系統(tǒng)，稱為采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)。 例: 圖8-1 工業(yè)爐溫采樣控制系統(tǒng),上圖該系統(tǒng)中工業(yè)爐是具有時(shí)滯特性的慣性環(huán)節(jié)。檢流計(jì)有電流流過，指針發(fā)生偏轉(zhuǎn)，設(shè)轉(zhuǎn)角為。設(shè)計(jì)一同步電機(jī)通過減速器驅(qū)動(dòng)凸輪旋轉(zhuǎn)，使指針周期性的上下運(yùn)動(dòng)，且每隔T秒與電位器接觸一次，每次接觸時(shí)間為。其中,T 稱為采樣周期, 稱為采樣持續(xù)時(shí)間。 當(dāng)爐溫連續(xù)變化時(shí)，則電位器的輸出是一串寬度為，周期為T的離散脈沖電壓信號(hào)，用 表示。經(jīng)過放大器、電動(dòng)機(jī)、減速器去控制爐門角的大小，爐溫的給定值，由給定電位器給出。,給定電位器與電橋輸出的誤差信號(hào)是連續(xù)變化的，但通過指針和旋轉(zhuǎn)凸輪的作用后，電位器的輸出卻為離散值，這實(shí)際上是該系統(tǒng)借助于指針、凸輪這些元部件對(duì)連續(xù)誤差信號(hào)進(jìn)行采樣，將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換成了脈沖序列，凸輪就成了采樣器（采樣開關(guān)）。,離散模擬信號(hào)時(shí)間上離散而幅值上連續(xù)的信號(hào)。 在采樣控制系統(tǒng)中，把連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖序列的過程稱為采樣。實(shí)現(xiàn)采樣的裝置稱為采樣器。用T表示采樣周期。在實(shí)際中，采樣開關(guān)多為電子開關(guān)，采樣持續(xù)時(shí)間遠(yuǎn)小于T，為此可認(rèn)為趨于零。 在采樣控制系統(tǒng)中，把脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號(hào)的過程稱為信號(hào)復(fù)現(xiàn)過程。實(shí)現(xiàn)復(fù)現(xiàn)過程的裝置稱為保持器。最簡(jiǎn)單的復(fù)現(xiàn)濾波器是由零階保持器實(shí)現(xiàn)的。,2.數(shù)字控制系統(tǒng) 數(shù)字控制系統(tǒng)就是一種以數(shù)字計(jì)算機(jī)或數(shù)字控制器去控制具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對(duì)象的閉環(huán)控制系統(tǒng)。因此數(shù)字控制系統(tǒng)包括工作于離散狀態(tài)下數(shù)字計(jì)算機(jī)和工作于連續(xù)狀態(tài)下被控對(duì)象兩大部分。 通常用計(jì)算機(jī)的內(nèi)部時(shí)鐘來設(shè)定采樣周期，整個(gè)系統(tǒng)的信號(hào)傳遞則要求能在一個(gè)采樣周期內(nèi)完成。,3. 離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn) 數(shù)字控制系統(tǒng)較相應(yīng)的連續(xù)控制系統(tǒng)具有一系列的特點(diǎn)： 控制規(guī)律易于通過軟件編程改變，控制功能強(qiáng)； 提高了系統(tǒng)的抗干擾能力以及信號(hào)傳遞和轉(zhuǎn)換精度； 允許采用高靈敏度的控制元件以提高系統(tǒng)的控制精度； 提高了設(shè)備的利用率，經(jīng)濟(jì)性好； 可以引入采樣的方式使之穩(wěn)定。,4. 離散控制系統(tǒng)的研究方法 拉氏變換，傳遞函數(shù)和頻率特性等不再適用，研究離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是z變換，通過z變換這個(gè)數(shù)學(xué)工具，可以把我們以前學(xué)習(xí)過的傳遞函數(shù)，頻率特性，根軌跡法等概念應(yīng)用于離散控制系統(tǒng)。因而z變換具有和拉氏變換同等的作用，是研究線性離散系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具。,8-2 信號(hào)的采樣與保持 把連續(xù)信號(hào)變換為脈沖信號(hào)，需要使用采樣器；另一方面，為了控制連續(xù)式元部件，又需要使用保持器將脈沖信號(hào)變換成連續(xù)信號(hào)。因此，為了定量研究離散系統(tǒng)，必須對(duì)信號(hào)的采樣過程和保持過程用數(shù)學(xué)的方法加以描述。在采樣的各種方式中，最簡(jiǎn)單而又最普通的是采樣間隔相等的周期采樣。,1. 采樣過程及其數(shù)學(xué)描述 把連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換成離散信號(hào)的過程，叫做采樣。實(shí)現(xiàn)采樣的裝置叫做采樣器或采樣開關(guān)。將連續(xù)信號(hào)加到采樣開關(guān)的輸入端，采樣開關(guān)以周期T秒閉合一次，閉合持續(xù)時(shí)間為 ，于是采樣開關(guān)輸出端得到周期為T、寬度為 的脈沖序列 如圖8-2所示。 圖8-2 實(shí)際采樣過程,在采樣開關(guān)的作用下，將采樣器的輸出近似為矩形脈沖，任意點(diǎn)的采樣值表示為 則采樣信號(hào)可表示為 如采樣持續(xù)時(shí)間非常小，就可以用理想單位脈沖函數(shù)來取代采樣點(diǎn)處的矩形脈沖，于是就得到連續(xù)時(shí)間信號(hào)的理想采樣表達(dá)式為,上式也可寫作: 式中 (稱為單位理想脈沖序列) 而 則為加權(quán)單位理想脈沖序列。,2. 采樣定理 香農(nóng)采樣定理： 要保證采樣后的離散信號(hào)不失真地恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)，或者說要保證信號(hào)經(jīng)采樣后不會(huì)導(dǎo)致任何信息丟失，必須滿足兩個(gè)條件： 信號(hào)必須是頻譜寬度受限的，即其頻譜所含頻率成分的最高頻率為 ； 采樣頻率必須至少是信號(hào)最高頻率的兩倍即 。,3. 信號(hào)的復(fù)現(xiàn)與零階保持器 (1)信號(hào)保持 如果不經(jīng)過濾波器將高頻分量濾掉，則相當(dāng)于給系統(tǒng)加入噪聲。因此在實(shí)際應(yīng)用中，采樣開關(guān)后面串聯(lián)一個(gè)信號(hào)復(fù)現(xiàn)濾波器，通過它使脈沖 復(fù)原成連續(xù)信號(hào)再加到系統(tǒng)中去。 通常在工程上采用接近理想濾波器性能的保持器來代替。,(2)零階保持器 由于理想低通濾波器實(shí)際是不存在的，工程上采用的將采樣信號(hào)恢復(fù)為連續(xù)時(shí)間信號(hào)的裝置稱為保持器。最常用、最簡(jiǎn)單的保持器是零階保持器。零階保持器可以將采樣點(diǎn)幅值保持至下一個(gè)采樣瞬時(shí)，采樣信號(hào)經(jīng)零階保持器后，變?yōu)殡A梯信號(hào) ，如圖8-3所示。 圖8-3 零階保持器,主要特點(diǎn)： 1、輸出信號(hào)是階梯波，含有高次諧波。 2、相位滯后。 零階保持器的單位脈沖響應(yīng)如下圖8-5所示： 圖8-5 零階保持器的單位脈沖響應(yīng),零階保持器的傳遞函數(shù)為： 零階保持器的幅頻與相頻特性如右下圖所示： 幅頻特性: 相頻特性:,零階保持器的近似實(shí)現(xiàn): 取前兩項(xiàng) 取前三項(xiàng),8-3 z變換理論 1. Z變換的定義 對(duì)其進(jìn)行拉氏變換：,稱為采樣函數(shù) 的Z變換。,2. z變換的方法 (1)級(jí)數(shù)求和法 級(jí)數(shù)求和法實(shí)際上是按z變換的定義將離散函數(shù)z變換展成無窮級(jí)數(shù)的形式，然后進(jìn)行級(jí)數(shù)求和運(yùn)算,也稱為直接法。,例8.1 試求單位階躍信號(hào) 的z變換。 解： 單位階躍函數(shù)在任何采樣時(shí)刻的值均為1，即 由z變換定義求得 這是公比為 的等比級(jí)數(shù)，在滿足收斂條件 時(shí)， 其收斂和為：,(2)部分分式法 連續(xù)時(shí)間函數(shù) 與其拉氏變換 之間是一一對(duì)應(yīng)的，若通過部分分式法將時(shí)間函數(shù)的拉氏變換式展開成一些簡(jiǎn)單的部分分式，使每一項(xiàng)部分分式對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)為最基本、最典型的形式，這些典型函數(shù)的z變換是已知的，于是即可方便地求出 對(duì)應(yīng)的z變換。,例8.2 求正弦信號(hào) 的 z 變換。 解：對(duì) 取拉氏變換，得： 將上式展開為部分分式： 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的z變換表達(dá)式，可以得到,(3)留數(shù)計(jì)算法 設(shè)連續(xù)函數(shù)的拉氏變換式及全部極點(diǎn)為已知，則可用留數(shù)計(jì)算法求其z變換 式中， 為 的極點(diǎn)， 為 在極點(diǎn) 時(shí)的留數(shù)。,當(dāng) 具有一階極點(diǎn) ，其留數(shù) 為 若 具有m階重極點(diǎn) ，其留數(shù) 為,例8.3 試求連續(xù)時(shí)間函數(shù) 的 z 變換。 解：首先寫出 拉氏變換 ，即 顯然， 以及 ，得,3. z變換性質(zhì) (1)線性定理 設(shè)連續(xù)函數(shù) 、 的 z 變換分別為 、 ， 且 、 為常數(shù)，則有,(2)實(shí)位移定理 如果連續(xù)函數(shù) 的 z 變換為 ，則 時(shí)序后移的z變換為（延遲定理） 而且， 時(shí)序前移的 z 變換為（超前定理） 式中k為正整數(shù)。,(3)復(fù)位移定理 設(shè)連續(xù)時(shí)間信號(hào) 的z變換為 ，則 (4)初值定理 如果 的z變換為 ，且極限 存在，則有 即離散序列的初值可由z域求得。,(5)終值定理 如果 的 z 變換為 ，且 在z平面的單位圓上沒有二重以上極點(diǎn)，在單位圓外無極點(diǎn)，則 即離散序列的終值可由z域求得。 (6)卷積定理 兩個(gè)采樣函數(shù) 、 的離散卷積，記為,4. z反變換 所謂 z 反變換，是已知z變換表達(dá)式 ，求得相應(yīng)離散時(shí)間序列 的過程。記作 部分分式法 冪級(jí)數(shù)展開法 留數(shù)計(jì)算法,1.部分分式法（因式分解法，查表法） 步驟：先將變換式寫成 ，展開成部分分式， 兩端乘以Z 查Z變換表,例8.4 已知 為 ,用部分分式法求z反變 換。 解: ,2.冪級(jí)數(shù)展開法 要點(diǎn)：將 用長(zhǎng)除法變化為降冪排列的展形式。 設(shè) 的有理分式表達(dá)式為 通常 ，用分母除分子，可得 上式的z反變換式為,3.留數(shù)計(jì)算法 式中 為 的極點(diǎn)， 為在極點(diǎn) 時(shí)的留數(shù)。上式表明， 等于 在其所有極點(diǎn)上的留數(shù)之和。 對(duì)于一階極點(diǎn)的留數(shù)R1為 對(duì)于m階重極點(diǎn)的留數(shù)為,例8.5 已知z域函數(shù)為 ,試用留數(shù)法求取z反 變換 。 解: 有兩個(gè)極點(diǎn) ， ；根據(jù)變換得,8-4 離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 1. 差分方程 對(duì)于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，在某一采樣時(shí)刻的輸出值 不僅與這一時(shí)刻的輸入值 有關(guān)，而且與過去時(shí)刻的輸入值 ， 有關(guān)，還與過去的輸出 ， 有關(guān)?？梢园堰@種關(guān)系描述如下： 或表示為 當(dāng)系數(shù)均為常數(shù)時(shí)，上式為線性定常差分方程。,2.線性常系數(shù)差分方程解法 線性常系數(shù)差分方程的求解方法有經(jīng)典法、迭代法和z變換法。與微分方程的經(jīng)典解法類似，差分方程的經(jīng)典解法也要求出相應(yīng)齊次方程的通解和非齊次方程的一個(gè)特解，非常不便。,例8.6 對(duì)于二階差分方程 其中輸入序列 ，初始條件為 ， ；試用迭代法求輸出序列 解 將系統(tǒng)差分方程寫成遞推形式 由初始條件及遞推關(guān)系，得 即為輸出序列每一項(xiàng)的值。迭代法非常適用于在計(jì)算機(jī) 上求解。,3. 脈沖傳遞函數(shù) 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示： 在零初始條件下，系統(tǒng)輸出采樣信號(hào)的z變換與輸入采樣信號(hào)的z變換之比，即,4.開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的一般計(jì)算步驟應(yīng)為： （1）已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù) ，求取系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函 數(shù) ； （2）對(duì) 作采樣，得采樣信號(hào)表達(dá)式 （3）由z變換定義式求脈沖傳遞函數(shù)實(shí)際上，利用z變換可省去從求的步驟。如將展開部分分式后，可直接求得。 實(shí)際上，利用z變換可省去從 求 的步驟。如將 展開部分分式后，可直接求得 。,例8.7 設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示，其中連續(xù)部分傳遞函數(shù) 試求該開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 。 解： 由于 所以,其z變換為 此例也可由 直接查z變換表得,3.串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù) 在連續(xù)系統(tǒng)中，串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之積。對(duì)于離散系統(tǒng)，串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的求法與連續(xù)系統(tǒng)不完全相同，要視環(huán)節(jié)之間有無采樣開關(guān)而異，必須區(qū)分不同情況來討論。,1）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān) 開環(huán)離散系統(tǒng)如上圖所示，在兩個(gè)串聯(lián)連續(xù)環(huán)節(jié) 和 之間有理想采樣開關(guān)隔開，,2）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān) 開環(huán)離散系統(tǒng)如上圖所示，在兩個(gè)串聯(lián)連續(xù)環(huán)節(jié) 和 之間沒有理想采樣開關(guān)隔開，則有,結(jié)論： 中間具有采樣器的環(huán)節(jié)，總的脈沖傳函等于各脈沖環(huán)節(jié)傳函之積，而串聯(lián)環(huán)節(jié)中間沒有采樣時(shí)，其總的傳函等于各環(huán)節(jié)相乘積后再取Z變換。,3）有零階保持器時(shí)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 上圖為有零階保持器的開環(huán)離散系統(tǒng)。 采樣后帶有零階保持器時(shí)的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為 引入零階保持器后，只改變 的分子，不影響離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。,4）閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 在連續(xù)系統(tǒng)中，閉環(huán)傳遞函數(shù)與相應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)之間有著確定的關(guān)系，所以可用一種典型的結(jié)構(gòu)圖來描述一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)。而在離散系統(tǒng)中，由于采樣開關(guān)在系統(tǒng)中所設(shè)置的位置不同，既有連續(xù)傳遞關(guān)系的結(jié)構(gòu),又有離散傳遞關(guān)系的結(jié)構(gòu)，所以沒有唯一的典型結(jié)構(gòu)圖，因此在討論離散控制系統(tǒng)時(shí)與連續(xù)系統(tǒng)不同，需要增加符合離散傳遞關(guān)系的分析。,典型誤差采樣的閉環(huán)離散系統(tǒng) 上圖是一種比較常見的誤差采樣閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。圖中虛線所表示的采樣開關(guān)是為了便于分析而虛設(shè)的，輸入采樣信號(hào) 和反饋采樣信號(hào) 。事實(shí)上并不存在。圖中所有理想采樣開關(guān)都同步工作，采樣周期為T。閉環(huán)系統(tǒng)的輸入 ，輸出 均為連續(xù)量，閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)應(yīng)是輸入、輸出采樣信號(hào)的 z 變換之比。,經(jīng)化簡(jiǎn) 通常稱 為誤差信號(hào)的z變換。根據(jù)上式，定義 為閉環(huán)離散系統(tǒng)對(duì)于輸入量的誤差脈沖傳遞函數(shù)。 定義 為上頁圖所示閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)于輸入量的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。,具有數(shù)字校正裝置的閉環(huán)離散系統(tǒng) 上圖為典型的具有數(shù)字校正裝置的閉環(huán)離散系統(tǒng)。在該系統(tǒng)的前向通道中，脈沖傳遞函數(shù) 代表數(shù)字校正裝置，其作用與連續(xù)系統(tǒng)的串聯(lián)校正環(huán)節(jié)相同，其校正作用可由計(jì)算機(jī)軟件來實(shí)現(xiàn)。,同理經(jīng)化簡(jiǎn) 通常稱 為誤差信號(hào)的z變換。根據(jù)上式，定義 為閉環(huán)離散系統(tǒng)對(duì)于輸入量的誤差脈沖傳遞函數(shù)。 定義 為上頁圖所示閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)于輸入量的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。,擾動(dòng)信號(hào)作用的閉環(huán)離散系統(tǒng) 離散系統(tǒng)除給定輸入信號(hào)外，在系統(tǒng)的連續(xù)信號(hào)部分尚有擾動(dòng)信號(hào)輸入如上圖左邊所示，擾動(dòng)對(duì)輸出量的影響是衡量系統(tǒng)性能的一個(gè)重要指標(biāo)。同分析連續(xù)系統(tǒng)一樣，為求出 同 之間關(guān)系，首先把上圖左邊變換成系統(tǒng)等效結(jié)構(gòu)如上圖右邊所示。,8.4.3 差分方程和脈沖傳遞函數(shù)的關(guān)系 差分方程和脈沖傳遞函數(shù)都是描述離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，它們之間的關(guān)系類似于連續(xù)系統(tǒng)中微分方程和傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，即通過z變換可以從差分方程得出脈沖傳遞函數(shù)，也可以從脈沖傳遞函數(shù)得出差分方程。 如果描述線性離散系統(tǒng)的差分方程為 在零初始條件下，對(duì)上式進(jìn)行z變換，并利用z變換的實(shí)位移定理，可得,例8.8 已知系統(tǒng)的差分方程為 求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 。 解：對(duì)上式兩端進(jìn)行z變換，并設(shè)所有初始條件為零，得,8.5 離散控制系統(tǒng)的分析 8.5.1 離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析是基于閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s平面中的位置，若系統(tǒng)特征根全部在虛軸左邊，則系統(tǒng)穩(wěn)定。若要在z平面上來研究離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，至關(guān)重要的是要弄清s平面與z平面的關(guān)系。,1.由s平面到z平面的映射 s平面中的虛軸，在z平面上映射成一個(gè)以原點(diǎn)為中心的單位圓；s左半平面與z平面上的單位圓內(nèi)部相對(duì)應(yīng)；s右半平面與z平面上的單位圓外部相對(duì)應(yīng)。下圖表示了上述關(guān)系。,2.離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定條件 如果離散控制系統(tǒng)閉環(huán)特征方程所有的特征根 全部位于z平面的單位圓內(nèi)部，即 則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定。,例8.9 二階離散控制系統(tǒng)的方框圖如下圖所示，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)采樣周期 ， 。 解： 先求出系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 式中,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 解出特征方程的根 特征方程的兩個(gè)根都在單位圓內(nèi)，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。,3.離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性代數(shù)判據(jù) 判斷連續(xù)系統(tǒng)是否穩(wěn)定的代數(shù)判據(jù)，實(shí)質(zhì)是判斷系統(tǒng)特征方程的根是否都在左半s平面。但在離散系統(tǒng)中需要判斷系統(tǒng)特征方程的根是否都在z平面上的單位圓內(nèi)。 變量變換： z平面上的單位圓正好對(duì)應(yīng)w平面上的虛軸； z平面上的單位圓內(nèi)的區(qū)域則對(duì)應(yīng)w平面的左半部分； z平面上的單位圓外的區(qū)域則對(duì)應(yīng)w平面的右半部分。,雙線性變換 將z平面的單位圓內(nèi)，映射為w平面的左半平面；相應(yīng)的將z平面的單位圓外，映射為w平面的右半平面。z平面和w平面的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系如下圖所示：,離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，由特征方程 所有根位于z平面上的單位圓內(nèi)，轉(zhuǎn)換為w平面上的特征方程 所有根位于w左半平面。 凡是適用于連續(xù)系統(tǒng)的判據(jù)，均可用來判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,例8.10 已知系統(tǒng)z域的閉環(huán)特征方程為 試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：由于系統(tǒng)階次為三階，直接求解特征方程的根比較困 難 ，故采用代數(shù)判據(jù)。 將 代入閉環(huán)特征方程，得到 整理化簡(jiǎn)的w域特征方程,列出勞斯表 由于勞斯表第一列元素全為正，所以該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,8.5.2 離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 單位反饋的離散系統(tǒng)如下圖所示，其誤差信號(hào)的z變換為 離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可由z變換的終值定理導(dǎo)出，因此,1.單位階躍輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 對(duì)于單位階躍輸入的z變換為 上式代表離散系統(tǒng)在采樣瞬時(shí)的穩(wěn)態(tài)位置誤差，式中 稱為系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)。,2.單位斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 由于單位斜坡輸入時(shí) ，所以 現(xiàn)定義靜態(tài)速度誤差系數(shù) 則有,3.單位加速度輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 穩(wěn)態(tài)誤差為： 稱為系統(tǒng)的靜態(tài)加速度誤差系數(shù),采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和連續(xù)系統(tǒng)一樣，都和輸入信號(hào)的類型有關(guān)，也和系統(tǒng)本身的特性有關(guān)。在分析時(shí)，利用Z變換的終值定理求出。,8.5.3 離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析 1. z變換分析法 在已知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)情況下，應(yīng)用z變換法分析離散控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能時(shí)，通常假定外作用輸入是單位階躍函數(shù) 。在這種情況下，系統(tǒng)輸出量的z變換為 式中 是閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)。,2.閉環(huán)極點(diǎn)與動(dòng)態(tài)響應(yīng)的關(guān)系 離散系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)在z平面不同位置時(shí)對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量下圖所示：,實(shí)軸上的6個(gè)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量形式分別是 （1）單調(diào)發(fā)散 （2）正向等幅 （3）單調(diào)收斂 （4）正、負(fù)雙向收斂 （5）正、負(fù)雙向等幅 （6）正、負(fù)雙向發(fā)散 z平面上三對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量形式分別是： 為發(fā)散振蕩； 為衰減振蕩； 為等幅振蕩。,閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)在z平面的位置決定相應(yīng)瞬態(tài)分量的性質(zhì)與特征。當(dāng)閉環(huán)極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)時(shí)，對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量是收斂的，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)閉環(huán)極點(diǎn)位于單位圓外時(shí)，對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量均不收斂，產(chǎn)生持續(xù)等幅脈沖或發(fā)散脈沖，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。極點(diǎn)距離z平面坐標(biāo)原點(diǎn)越近，則衰減速度越快。,8.6 離散控制系統(tǒng)的數(shù)字校正 線性離散系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法，主要有模擬化設(shè)計(jì)和離散化設(shè)計(jì)兩種。 模擬化設(shè)計(jì)方法：先進(jìn)行模擬化分析，求出數(shù)字部分的等效環(huán)節(jié)，再將理論設(shè)計(jì)的校正裝置數(shù)字化。 離散化設(shè)計(jì)方法：先進(jìn)行離散化分析，求出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，然后按理論設(shè)計(jì)數(shù)字控制器。,8.6.1 數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù) 在下圖所示的離散系統(tǒng)（數(shù)字計(jì)算機(jī)控制）中， 為數(shù)字控制器（數(shù)字校正裝置）的脈沖傳遞函數(shù)， 、 分別為保持器和被控對(duì)象的傳遞函數(shù)， 為反饋測(cè)量裝置的傳遞函數(shù)。,設(shè)計(jì)控制器的步驟如下： （1）由連續(xù)部分傳遞函數(shù) 求出脈沖傳遞函數(shù) ； （2）根據(jù)系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求和其它約束條件，確定所 需的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) ； （3）確定數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù) 。,8.6.2 最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì) 在離散系統(tǒng)中，瞬變過程可以在有限時(shí)間內(nèi)結(jié)束，即在有限個(gè)采樣周期內(nèi)結(jié)束。在系統(tǒng)校正時(shí)，瞬變過程盡可能短，即在最少的采樣周期內(nèi)結(jié)束。通常稱一個(gè)采樣周期為一拍，所以滿足上述要求的系統(tǒng)也叫最少拍系統(tǒng)。,1最少拍系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，是針對(duì)典型輸入作用進(jìn)行的。 最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)原則是： 若系統(tǒng)廣義對(duì)象無延遲，且在z平面單位圓上及單位圓外無零極點(diǎn)，要求選擇閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，使系統(tǒng)在典型輸入作用下，經(jīng)最少采樣周期后能使輸出序列在各采樣時(shí)刻的穩(wěn)態(tài)誤差為零，達(dá)到完全跟蹤的目的，從而確定所需的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)。,2典型輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)的及輸出響應(yīng)(P367表7-7),最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)存在一定的局限性 1.最少拍系統(tǒng)對(duì)于不同輸入信號(hào)的適應(yīng)性較差 2.最少拍系統(tǒng)對(duì)參數(shù)的變化也比較敏感，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)受到各種因素的影響發(fā)生變化時(shí)，會(huì)導(dǎo)致瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)間的延長(zhǎng),8.7 應(yīng)用 MATLAB分析離散控制系統(tǒng) 應(yīng)用計(jì)算機(jī)工具可以極大強(qiáng)化離散控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)，采用MATLAB是一種行之有效的方法。無論是z變換的計(jì)算、將連續(xù)系統(tǒng)離散化、對(duì)離散控制系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)等，都可以應(yīng)用MATLAB軟件具體實(shí)現(xiàn)。,例8.11 已知 ，求相應(yīng)脈沖序列 。 解：利用長(zhǎng)除法將 展開成的冪級(jí)數(shù) ，則有,因此除后所得商即 的各冪次項(xiàng)的系數(shù)值即序列,用MATLAB可以進(jìn)行多項(xiàng)式的乘法和除法的運(yùn)算，乘法用conv()函數(shù),除法用deconv()函數(shù)。 a=1 -3 2; b=10 0 0 0 0 0 0 0; c,r=deconv(b,a) % 用b除以a,c為商,r的余數(shù)。 c = 10 30 70 150 310 630,r = Columns 1 through 6 0 0 0 0 0 0 Columns 7 through 8 1270 -1260 y=conv(a,c)+r % 用a 乘以c加上余數(shù)還原成b。 y = 10 0 0 0 0 0 0 0,在MATLAB軟件中對(duì)連續(xù)系統(tǒng)的離散化是應(yīng)用c2dm()函數(shù)實(shí)現(xiàn)的，該函數(shù)的一般格式為 c2dm(num，den，T，zoh) 其中，num傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式系數(shù) den傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式系數(shù) T采樣周期 zoh零階保持,例8.12 已知離散控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)（采樣周期T=1s）。 解: 可用解析法求 應(yīng)用MATLAB可以方便求得上述結(jié)果。程序如下,% This script converts the transfer function % G(s)=1/s(s+1) to a discrete-time system % with a sampling period of T=1sec. % num=1；den=1，1，0； T=1； numZ，denZ=c2dm(num，den，T，zoh)； printsys(numZ，denZ，Z),打印結(jié)果為 在MATLAB軟件中，離散系統(tǒng)的響應(yīng)可運(yùn)用dstep()，dimpulse()，dlism()函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。其分別用于求離散系統(tǒng)的階躍、脈沖及任意輸入時(shí)的響應(yīng)。dstep()的一般格式如下 dstep(num，den，n) 其中，num脈沖傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式系數(shù) den脈沖傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式系數(shù) n采樣點(diǎn)數(shù),例8.13 已知離散控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，輸入為單位階躍，采樣周期T=1s，求系統(tǒng)輸出響應(yīng)。 解：其閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 和單位階躍響應(yīng)輸出量 分別為,同樣，用MATLAB中的dstep()函數(shù)很快得到輸出響應(yīng)，如下圖所示。,程序如下： % This script generates the unit step response，c(nT)， % for the sampled data system given in Example 8.33 % num=0 0.368 0.264；den=1 -1 0.632； dstep(num，den) % This script computes the continous-time unit % step response for the system in Example 8.33 %,numg=0 0 1；deng=1 1 0； nd，dd= pade(1，2) numd=dd-nd； dend=conv(1 0，dd)； numdm，dendm=mineral(numd，deng)； % nl，dl=series(numdm，dendm，numg，deng)； num，den=cloop(nl，dl)； t=0：0.1：20； step(num，den，t),