等差數(shù)列知識點(diǎn)及類型題.doc

等差數(shù)列知識點(diǎn)及類型題一、數(shù)列由與的關(guān)系求由求時，要分n=1和n2兩種情況討論，然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一的解析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示為。例1 根據(jù)下列條件，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：將無理問題有理化，而后利用與的關(guān)系求解。二、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（一）等差數(shù)列的判定1、等差數(shù)列的判定通常有兩種方法：第一種是利用定義，第二種是利用等差中項(xiàng)，即。2、解選擇題、填空題時，亦可用通項(xiàng)或前n項(xiàng)和直接判斷。（1）通項(xiàng)法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)，即=An+B,則是等差數(shù)列；（2）前n項(xiàng)和法：若數(shù)列的前n項(xiàng)和是的形式（A，B是常數(shù)），則是等差數(shù)列。注：若判斷一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需說明任意連續(xù)三項(xiàng)不是等差數(shù)列即可。例2已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足（1）求證：是等差數(shù)列；（2）求的表達(dá)式?！咀兪健恳阎獢?shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，a11.其前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn2paanp(pR)，則an的通項(xiàng)公式為_（二）等差數(shù)列的基本運(yùn)算1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式=+（n-1）d及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個量，d,n, ,“知三求二”，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題；2、數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法。注：因?yàn)?，故?shù)列是等差數(shù)列。例3已知數(shù)列的首項(xiàng)=3，通項(xiàng)，且，成等差數(shù)列。求：（1）的值；（2）數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式。分析：（1）由=3與，成等差數(shù)列列出方程組即可求出；（2）通過利用條件分成兩個可求和的數(shù)列分別求和。（三）等差數(shù)列的性質(zhì)1、等差數(shù)列的單調(diào)性：等差數(shù)列公差為d，若d>0,則數(shù)列遞增；若d<0,則數(shù)列遞減；若d=0,則數(shù)列為常數(shù)列。2、等差數(shù)列的簡單性質(zhì)：已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和。（1）若m+n=p+q,則,特別：若m+n=2p，則。（2）仍是等差數(shù)列，公差為kd;（3）數(shù)列也是等差數(shù)列；(4)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2，則；（5）若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，則，且，（6）（其中均為常數(shù)）。典型例題1等差數(shù)列中, 若，則_；2.（廈門）在等差數(shù)列中， ,則 其前9項(xiàng)的和S9等于 （ ） A18 B 27 C 36 D 93、（全國卷理） 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若,則= 4、等差數(shù)列an 的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為( )(A)130 (B)170 (C)210 (D)1605.(湖北卷)已知兩個等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為A和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是（）A2 B3 C4 D56、已知方程(x22xm)(x22xn)0的四個根組成一個首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則|mn|的值等于_7、在等差數(shù)列an中，a13,11a55a813，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的最小值為_8.若兩個等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且滿足，則 .等差數(shù)列的最值：若是等差數(shù)列，求前n項(xiàng)和的最值時，（1）若a1>0,d<0,且滿足，前n項(xiàng)和最大；（2）若a1<0,d>0，且滿足，前n項(xiàng)和最??；（3）除上面方法外，還可將的前n項(xiàng)和的最值問題看作關(guān)于n的二次函數(shù)最值問題，利用二次函數(shù)的圖象或配方法求解，注意。例4在等差數(shù)列中，其前n項(xiàng)和為。（1）求的最小值，并求出取最小值時n的值；（2）求。分析：（1）可由已知條件，求出a1,d,利用求解，亦可用利用二次函數(shù)求最值；（2）將前面是負(fù)值的項(xiàng)轉(zhuǎn)化為正值求解即可。例5已知數(shù)列是等差數(shù)列。（1）若（2）若【變式】已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對于任意的nN*，滿足關(guān)系式2Sn3an3.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)公式是bn，前n項(xiàng)和為Tn，求證：對于任意的正整數(shù)n，總有Tn<1.跟蹤訓(xùn)練1. 已知等差數(shù)列首項(xiàng)為2，末項(xiàng)為62，公差為4，則這個數(shù)列共有 （ ）A13項(xiàng) B14項(xiàng) C15項(xiàng) D16項(xiàng)2. 已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=-3n+a，a為常數(shù)，則公差d= （ ）3. 在等差數(shù)列an 中，若a1+a2=-18，a5+a6=-2，則30是這個數(shù)列的（ ）A第22項(xiàng) B第21項(xiàng) C第20項(xiàng) D第19項(xiàng)4. 已知數(shù)列a，-15，b，c，45是等差數(shù)列，則a+b+c的值是 （ ）A-5 B0 C5 D105. 已知等差數(shù)列an 中，a1+a2+a3=-15，a3+a4=-16，則a1= （ ）A-1 B-3 C-5 D-76. 已知等差數(shù)列an 滿足a2+a7=2a3+a4，那么這個數(shù)列的首項(xiàng)是 （ ）7. 已知數(shù)列an 是等差數(shù)列，且a3+a11=40，則a6+a7+a8等于 （ ）A84 B 72 C60 D438. 已知等差數(shù)列an 中，a1+a3+a5=3，則a2+a4= （ ）A3 B2 C1 D-19.已知數(shù)列：，則在此數(shù)列中應(yīng)是（ ）A第21項(xiàng) B第41項(xiàng) C第48項(xiàng) D第49項(xiàng)10. 已知數(shù)列中，前和（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列 （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)，使得對一切正整數(shù)都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由。等差數(shù)列知識點(diǎn)及類型題一、數(shù)列由與的關(guān)系求由求時，要分n=1和n2兩種情況討論，然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一的解析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示為。例1根據(jù)下列條件，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：將無理問題有理化，而后利用與的關(guān)系求解。解答：二、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（一）等差數(shù)列的判定1、等差數(shù)列的判定通常有兩種方法：第一種是利用定義，第二種是利用等差中項(xiàng)，即。2、解選擇題、填空題時，亦可用通項(xiàng)或前n項(xiàng)和直接判斷。（1）通項(xiàng)法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)，即=An+B,則是等差數(shù)列；（2）前n項(xiàng)和法：若數(shù)列的前n項(xiàng)和是的形式（A，B是常數(shù)），則是等差數(shù)列。注：若判斷一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需說明任意連續(xù)三項(xiàng)不是等差數(shù)列即可。例2已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足（1）求證：是等差數(shù)列；（2）求的表達(dá)式。分析：（1）與的關(guān)系結(jié)論；（2）由的關(guān)系式的關(guān)系式解答：（1）等式兩邊同除以得-+2=0，即-=2（n2）.是以=2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列。（2）由（1）知=+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,=,當(dāng)n2時，=2·=。又，不適合上式，故?！咀兪健恳阎獢?shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，a11.其前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn2paanp(pR)，則an的通項(xiàng)公式為_a11，2a12paa1p，即22p1p，得p1.于是2Sn2aan1.當(dāng)n2時，有2Sn12aan11，兩式相減，得2an2a2aanan1，整理，得2(anan1)·(anan1)0.又an>0，anan1，于是an是等差數(shù)列，故an1(n1)·.（二）等差數(shù)列的基本運(yùn)算1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式=+（n-1）d及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個量，d,n, ,“知三求二”，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題；2、數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法。注：因?yàn)?，故?shù)列是等差數(shù)列。例3已知數(shù)列的首項(xiàng)=3，通項(xiàng)，且，成等差數(shù)列。求：（1）的值；（2）數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式。分析：（1）由=3與，成等差數(shù)列列出方程組即可求出；（2）通過利用條件分成兩個可求和的數(shù)列分別求和。解答：（1）由=3得又，得由聯(lián)立得。（2）由（1）得，（三）等差數(shù)列的性質(zhì)1、等差數(shù)列的單調(diào)性：等差數(shù)列公差為d，若d>0,則數(shù)列遞增；若d<0,則數(shù)列遞減；若d=0,則數(shù)列為常數(shù)列。2、等差數(shù)列的簡單性質(zhì)：已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和。（1）若m+n=p+q,則,特別：若m+n=2p，則。（2）仍是等差數(shù)列，公差為kd;（3）數(shù)列也是等差數(shù)列；(4)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2，則；（5）若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，則，且，（6）（其中均為常數(shù)）。典型例題1等差數(shù)列中, 若，則_225_；2.（廈門）在等差數(shù)列中， ,則 其前9項(xiàng)的和S9等于 （ A ） A18 B 27 C 36 D 93、（全國卷理） 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若,則= 24 4、等差數(shù)列an 的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為( C )(A)130 (B)170 (C)210 (D)1605.(湖北卷)已知兩個等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為A和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是（D）A2 B3 C4 D56、已知方程(x22xm)(x22xn)0的四個根組成一個首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則|mn|的值等于_如圖所示，易知拋物線yx22xm與yx22xn有相同的對稱軸x1，它們與x軸的四個交點(diǎn)依次為A、B、C、D.因?yàn)閤A，則xD. 又|AB|BC|CD|，所以xB，xC.故|mn|××|.7、在等差數(shù)列an中，a13,11a55a813，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的最小值為_設(shè)公差為d，則11(34d)5(37d)13，d.數(shù)列an為遞增數(shù)列令an0，3(n1)·0，n，nN*.前6項(xiàng)均為負(fù)值，Sn的最小值為S6.8.若兩個等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且滿足，則 6 .等差數(shù)列的最值：若是等差數(shù)列，求前n項(xiàng)和的最值時，（1）若a1>0,d<0,且滿足，前n項(xiàng)和最大；（2）若a1<0,d>0，且滿足，前n項(xiàng)和最??；（3）除上面方法外，還可將的前n項(xiàng)和的最值問題看作關(guān)于n的二次函數(shù)最值問題，利用二次函數(shù)的圖象或配方法求解，注意。例4在等差數(shù)列中，其前n項(xiàng)和為。（1）求的最小值，并求出取最小值時n的值；（2）求。分析：（1）可由已知條件，求出a1,d,利用求解，亦可用利用二次函數(shù)求最值；（2）將前面是負(fù)值的項(xiàng)轉(zhuǎn)化為正值求解即可。解答：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，令，當(dāng)n=20或21時，最小且最小值為-630.（2）由（1）知前20項(xiàng)小于零，第21項(xiàng)等于0，以后各項(xiàng)均為正數(shù)。例5已知數(shù)列是等差數(shù)列。（1）若（2）若解答：設(shè)首項(xiàng)為，公差為，（1）由，（2）由已知可得解得【變式】已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對于任意的nN*，滿足關(guān)系式2Sn3an3.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)公式是bn，前n項(xiàng)和為Tn，求證：對于任意的正整數(shù)n，總有Tn<1.(1)解當(dāng)n1時，由2Sn3an3得，2a13a13，a13.當(dāng)n2時，由2Sn3an3得，2Sn13an13.兩式相減得：2(SnSn1)3an3an1，即2an3an3an1，an3an1，又a130，an是等比數(shù)列，an3n.驗(yàn)證：當(dāng)n1時，a13也適合an3n.an的通項(xiàng)公式為an3n.(2)證明bn，Tnb1b2bn(1)()()1<1.跟蹤訓(xùn)練1. 已知等差數(shù)列首項(xiàng)為2，末項(xiàng)為62，公差為4，則這個數(shù)列共有 （ ）A13項(xiàng) B14項(xiàng) C15項(xiàng) D16項(xiàng)2. 已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=-3n+a，a為常數(shù)，則公差d= （ ）3. 在等差數(shù)列an 中，若a1+a2=-18，a5+a6=-2，則30是這個數(shù)列的（ ）A第22項(xiàng) B第21項(xiàng) C第20項(xiàng) D第19項(xiàng)4. 已知數(shù)列a，-15，b，c，45是等差數(shù)列，則a+b+c的值是 （ ）A-5 B0 C5 D105. 已知等差數(shù)列an 中，a1+a2+a3=-15，a3+a4=-16，則a1= （ ）A-1 B-3 C-5 D-76. 已知等差數(shù)列an 滿足a2+a7=2a3+a4，那么這個數(shù)列的首項(xiàng)是 （ ）7. 已知數(shù)列an 是等差數(shù)列，且a3+a11=40，則a6+a7+a8等于 （ ）A84 B 72 C60 D438. 已知等差數(shù)列an 中，a1+a3+a5=3，則a2+a4= （ ）A3 B2 C1 D-19.已知數(shù)列：，則在此數(shù)列中應(yīng)是（ ）A第21項(xiàng) B第41項(xiàng) C第48項(xiàng) D第49項(xiàng)10. 已知數(shù)列中，前和（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列 （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)，使得對一切正整數(shù)都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由。10