高等數(shù)學(xué)備課資料：第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 04 第四節(jié) 函數(shù)單調(diào)性、凹凸性與極值

第四節(jié) 函數(shù)單調(diào)性、凹凸性與極值 我們已經(jīng)會(huì)用初等數(shù)學(xué)的方法研究一些函數(shù)的單調(diào)性和某些簡(jiǎn)單函數(shù)的性質(zhì)，但這些方法使用范圍狹小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性. 本節(jié)將以導(dǎo)數(shù)為工具，介紹判斷函數(shù)單調(diào)性和凹凸性的簡(jiǎn)便且具有一般性的方法.分布圖示 單調(diào)性的判別法 例1 單調(diào)區(qū)間的求法 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 曲線凹凸的概念 例9 例 10 曲線的拐點(diǎn)及其求法 例11 例12 例13 函數(shù)極值的定義 函數(shù)極值的求法 例14 例15 例16 第二充分條件下 例17 例18 例19 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題3-4 返回內(nèi)容要點(diǎn) 一、函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo).(1) 若在(a, b)內(nèi), 則函數(shù)在a, b上單調(diào)增加;(2) 若在(a, b)內(nèi), 則函數(shù)在a, b上單調(diào)減少. 二、曲線的凹凸性：設(shè)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù), 則(1) 若在(a, b)內(nèi)，則在a, b上的圖形是凹的;(2) 若在(a, b)內(nèi)，則在a, b上的圖形是凸的. 三、連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)判定曲線的凹凸性與求曲線的拐點(diǎn)的一般步驟為： (1) 求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)； (2) 令，解出全部實(shí)根，并求出所有使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)； (3) 對(duì)步驟(2)中求出的每一個(gè)點(diǎn)，檢查其鄰近左、右兩側(cè)的符號(hào)，確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).四、函數(shù)的極值極值的概念；極值的必要條件；第一充分條件與第二充分條件；求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值的步驟：（1） 確定函數(shù)的定義域，并求其導(dǎo)數(shù);（2） 解方程求出的全部駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn);（3）討論在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)左、右兩側(cè)鄰近符號(hào)變化的情況，確定函數(shù)的極值點(diǎn);（4） 求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值，就得到函數(shù)的全部極值.例題選講函數(shù)單調(diào)性的判斷例1 (E01) 討論函數(shù)的單調(diào)性.解 又 在內(nèi)， 函數(shù)單調(diào)減少；在內(nèi)， 函數(shù)單調(diào)增加.注：函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性.例2 (E02) 討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解 當(dāng)時(shí)，導(dǎo)數(shù)不存在.當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)減少；當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)增加；單調(diào)區(qū)間為，.注意: 區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如，但是上單調(diào)增加.注：從上述兩例可見(jiàn)，對(duì)函數(shù)單調(diào)性的討論，應(yīng)先求出使導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)或使導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，并用這些點(diǎn)將函數(shù)的定義域劃分為若干個(gè)子區(qū)間，然后逐個(gè)判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在各子區(qū)間的符號(hào)，從而確定出函數(shù)在各子區(qū)間上的單調(diào)性，每個(gè)使得的符號(hào)保持不變的子區(qū)間都是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.求單調(diào)區(qū)間例3 (E03) 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解 解方程得當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)， 上單調(diào)減少；當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)增加；單調(diào)區(qū)間為例4求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解 令 解得 在 處不存在.在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加. 在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加.在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)減少. 在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加.例5 當(dāng)時(shí)， 試證成立.證 設(shè)則在上連續(xù)，且在內(nèi)可導(dǎo)， 在上單調(diào)增加， 當(dāng)時(shí)，即證畢.應(yīng)用單調(diào)性證明例6 (E04) 試證明：當(dāng)時(shí), .證 作輔助函數(shù) 因?yàn)樵谏线B續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)時(shí)，又 故當(dāng)時(shí)，所以例7 (E05) 證明方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根.證 令因在閉區(qū)間延續(xù)，且根據(jù)零點(diǎn)定理在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).另一方面，對(duì)于任意實(shí)數(shù)有所以在內(nèi)單調(diào)增加，因此曲線與軸至多只有一個(gè)交點(diǎn).綜上所述可知，方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根.例 8 證明方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.證 令欲證題設(shè)結(jié)論等價(jià)于證在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).令 因故在內(nèi)有一零點(diǎn).又因在內(nèi)故在內(nèi)單調(diào)增加，這零點(diǎn)唯一.因此, 在內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn), 證畢.例9 (E06) 判定 的凹凸性.解 因?yàn)?所以，題設(shè)函數(shù)在其定義域內(nèi)是凹的.例10 (E07) 判斷曲線的凹凸性.解 當(dāng)時(shí)， 曲線在為凸的；當(dāng)時(shí)， 曲線在為凹的；注意到點(diǎn)是曲線由凸變凹的分界點(diǎn).例11 (E08) 求曲線的拐點(diǎn)及凹、凸區(qū)間.解 易見(jiàn)函數(shù)的定義域?yàn)榱畹?2/3+00+凹的拐點(diǎn)凸的拐點(diǎn)凹的所以，曲線的凹區(qū)間為,凸區(qū)間為拐點(diǎn)為和.例12 求曲線 的拐點(diǎn).解 令得 在內(nèi)曲線有拐點(diǎn)為注：若不存在，點(diǎn)也可能是連續(xù)曲線的拐點(diǎn).曲線凹凸性判斷例13 (E09) 求函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解 函數(shù)在處不可導(dǎo)，但時(shí)，曲線是凸的，時(shí)，曲線是凹的.故點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)例14(E10) 求出函數(shù)的極值.解 ,令得駐點(diǎn)列表討論如下：00極大值極小值所以, 極大值極小值例15 (E11) 求函數(shù)的極值.解 函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，除外處處可導(dǎo)，且 令得駐點(diǎn)為的不可導(dǎo)點(diǎn); 列表討論如下:不存在0極大值極小值 極大值為極小值為例16 求函數(shù) 的單調(diào)增減區(qū)間和極值.解 求導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí)而 時(shí)不存在 ,因此，函數(shù)只可能在這兩點(diǎn)取得極值. 列表如下:不存在0極大值0極小值由上表可見(jiàn)：函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加, 在區(qū)間單調(diào)減少. 在點(diǎn)處有極大值, 在點(diǎn)處有極小值如圖.例17 (E12) 求出函數(shù)的極值.解 令得駐點(diǎn)又故極大值故極小值注意：時(shí), 在點(diǎn) 處不一定取極值, 仍用第一充分條件進(jìn)行判斷.函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).例18 (E13) 求函數(shù)的極值.解 由得駐點(diǎn)因故在處取得極小值，極小值為因故用定理3無(wú)法判別.考察一階導(dǎo)數(shù)在駐點(diǎn)及左右鄰近的符號(hào):當(dāng)取 左側(cè)鄰近的值時(shí), 當(dāng)取右側(cè)鄰近的值時(shí), 因的符號(hào)沒(méi)有改變，故在處沒(méi)有極值. 同理，在處也沒(méi)有極值. 如圖所示.例19 求出函數(shù) 的極值.解 是函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn).當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 為的極大值.課堂練習(xí) 1. 若 是否能判定在原點(diǎn)的充分小的領(lǐng)域內(nèi)單調(diào)遞增?2.設(shè)函數(shù)在內(nèi)二階可導(dǎo), 且其中, 則是否一定為曲線的拐點(diǎn)?舉例說(shuō)明.