高等數(shù)學(xué)備課資料：第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 07 第七節(jié) 曲率

第七節(jié) 曲率在生產(chǎn)實(shí)踐和工程技術(shù)中，常常需要研究曲線的彎曲程度，例如，設(shè)計(jì)鐵路、高速公路的彎道時(shí)，就需要根據(jù)最高限速來確定彎道的彎曲程度. 為此，本節(jié)我們介紹曲率的概念及曲率的計(jì)算公式.分布圖示 弧微分 曲率的定義 曲率的計(jì)算公式 直線與圓的曲率 例1 例2 曲率圓與曲率半徑 例3 例4 例5 例6 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題3-7 返回內(nèi)容要點(diǎn) 一、弧微分的概念 微分三角形； 二、曲率及其計(jì)算公式： 三、曲率圓的概念：曲率半徑 曲率中心；例題選講曲率的計(jì)算與應(yīng)用 例1 (E01) 拋物線上哪一點(diǎn)的曲率最大?解 顯然，當(dāng)時(shí),最大.又為拋物線的頂點(diǎn)，故拋物線在頂點(diǎn)處的曲率最大.例2 (E02) 鐵軌由直道轉(zhuǎn)入圓弧彎道時(shí), 若接頭處的曲率突然改變, 容易發(fā)生事故, 為了行使平穩(wěn), 往往在直道和圓弧彎道之間接入一段緩沖段, 使軌道曲線的曲率由零連續(xù)地過渡到圓弧的曲率, 其中R為圓弧軌道的半徑. 通常用三次拋物線 作為緩沖段, 其中的長度, 驗(yàn)證緩沖段在始端處的曲率為零, 且當(dāng)很小時(shí), 在始端的曲率近似為.證 根據(jù)分析，在緩沖段上,故在緩沖段始端處的曲率為題意實(shí)際要求故 故在終端的曲率為例3 (E03) 求曲線在點(diǎn)處的曲率與曲率半徑.解 曲率及曲率半徑分別為由及得點(diǎn)處的曲率與曲率半徑分別為 例4 求橢圓在點(diǎn)處的曲率及曲率半徑.解 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)由于故將代入得由曲率公式, 有所求曲率半徑為例5 (E04) 飛機(jī)沿拋物線(單位為米)俯沖飛行, 在原點(diǎn)處速度為飛行員體重70千克. 求俯沖到原點(diǎn)時(shí),飛行員對(duì)座椅的壓力.解 飛行員對(duì)座椅的壓力(kg) 其中飛行員的體重(kg)，離心力由則曲線在原點(diǎn)處曲率為曲率半徑為米.即：飛行員對(duì)座椅的壓力為 641.4 千克力.例6 設(shè)為過原點(diǎn)的一條曲線, 存在, 有知有一條拋物線與曲線在原點(diǎn)相切, 在該點(diǎn)處有相同的曲率, 且在該點(diǎn)附近此二曲線有相同的凹向, 求解 設(shè)依題可得由 由由即 因此所求函數(shù)為課堂練習(xí) 1. 橢圓上哪些點(diǎn)處曲率最大?