有限長單位脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器的設(shè)計方法--第三節(jié).ppt

4.3 頻率采樣法,工程上，常給定頻域上的技術(shù)指標(biāo)，所以采用頻域設(shè)計更直接。 一、基本思想 使所設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散頻率點上的值準(zhǔn)確地等于所需濾波器在這些頻率點處的值，在其它頻率處的特性則有較好的逼近。,內(nèi)插公式,關(guān)鍵點：求h(n)、H(z)及其頻率響應(yīng) 約束條件對H(k)的取值影響,二.設(shè)計方法,1）從頻域出發(fā)，對理想頻響加以等間隔采樣 ，并以此作為實際FIR的頻率特性的離散樣本，確定 2）通過IDFT，求有限長序列h(n)，為 3）利用N個頻域的離散樣本H(k)，同樣求出H(z)及其頻響。,三、約束條件,為了設(shè)計線性相位的FIR濾波器，采樣值 H（k）要滿足一定的約束條件。 前已指出,具有線性相位的FIR濾波器，其單位脈沖響應(yīng)h(n)是實序列，且滿足 ，由此得到的幅頻和相頻特性，就是對H(k)的約束。（表4.1）。 例如，要設(shè)計第一類線性相位FIR濾波器，即N為奇數(shù)，h(n)偶對稱，則 幅度函數(shù)H()應(yīng)具有偶對稱性：,令 則 必須滿足偶對稱性： 而 必須取為：,同樣，若要設(shè)計第二種線性相位FIR濾波器，N為偶數(shù)，h(n)偶對稱，由于幅度特性是奇對稱的，,因此，Hk 也必須滿足奇對稱性： 相位關(guān)系同上， 其它兩種線性相位FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計，同樣也要滿足幅度與相位的約束條件。,四、逼近誤差,由 或 H(z)。 由上述設(shè)計過程得到的 與 的逼近程度 ，以及 與H（k）的關(guān)系？ 由,令 ，則,單位圓上的頻響為：,這是一個內(nèi)插公式。,式中 為內(nèi)插函數(shù) 令 則,內(nèi)插公式表明： 在每個采樣點上， 逼近誤差為零，頻響 嚴(yán)格地與理想頻響的采樣值 H(k)相等；,在采樣點之間，頻響由各采樣點的內(nèi)插函數(shù)延伸迭加而形成，因而有一定的逼近誤差，誤差大小與理想頻率響應(yīng)的曲線形狀有關(guān)，理想特性平滑，則誤差??；反之，誤差大。在理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)點附近， 會產(chǎn)生肩峰和波紋。 N增大，則采樣點變密，逼近誤差減小。,圖 頻率采樣的響應(yīng),例3：設(shè)計一個FIR數(shù)字 LP 濾波器，其理想特性為 采樣點數(shù) N=33，要求線性相位。 解：根據(jù)P.142的表4.1，能設(shè)計低通線性相位數(shù)字濾波器的只有1、2兩種，因N為奇數(shù)，所以只能選擇第一種。 即 h(n)=h(N-1-n)， 幅頻特性關(guān)于偶對稱，也即 HK 偶對稱。 利用 HK 的對稱性,求2區(qū)間的頻響采樣值。,根據(jù)指標(biāo)要求，在02內(nèi)有33個取樣點，所以第k點對 應(yīng)頻率為 而截止頻率 0.5位于 之間 ，所以，k=08時，取樣值為1；根據(jù)對稱性， 故 k=2532時，取樣值也為1，因 k=33 為下一周期，所以0區(qū)間有9個值為 1的采樣點，2區(qū)間有8個值為 1 的采樣點，因此：,將 代入內(nèi)插公式，求H(ej)：,考慮到8<k<25時 Hk=0，而其它k時，Hk=1,令 k=33-n，則,相應(yīng)地頻率響應(yīng)見圖4.12(b),從圖上可以看出，其過渡帶寬為一個頻率采樣間隔 2/33，而最小阻帶衰減略小于20dB。 對大多數(shù)應(yīng)用場合，阻帶衰減如此小的濾波器是不能令人滿意的。 增大阻帶衰減三種方法： 1）加寬過渡帶寬，以犧牲過渡帶換取阻帶衰減的增加。 例如在本例中可在k=9和k=24處各增加一個過渡帶采樣點H9=H24=0.5，使過渡帶寬增加到二個頻率采樣間隔4/33，重新計算的H(ej)見圖4.12(c)，其阻帶衰減增加到約 -40dB。,2）過渡帶的優(yōu)化設(shè)計 根據(jù)H(ej)的表達(dá)式，H(ej)是Hk的線性函數(shù)，因此還可以利用線性最優(yōu)化的方法確定過渡帶采樣點的值，得到要求的濾波器的最佳逼近（而不是盲目地設(shè)定一個過渡帶值）。 例如，本例中可以用簡單的梯度搜索法來選擇H9、H24,使通帶或阻帶內(nèi)的最大絕對誤差最小化。,要求使阻帶內(nèi)最大絕對誤差達(dá)到最?。ㄒ布醋钚∷p達(dá)到最大），可計算得H9=0.3904。對應(yīng)的 H(ej)的幅頻特性，比H9=0.5時 的阻帶衰減大大改善,衰減約-50dB。如果還要進(jìn)一步改善阻帶衰減，可以進(jìn)一步加寬過渡區(qū)，添上第二個甚至第三個不等于0的頻率取樣值，當(dāng)然也可用線性最優(yōu)化求取這些取樣值。,3）增大N 如果要進(jìn)一步增加阻帶衰減，但又不增加過渡帶寬，可增加采樣點數(shù)N。 例如，同樣邊界頻率c=0.5 , 以N=65采樣，并在k=17和k=48插入由阻帶衰減最優(yōu)化計算得到的采樣值H17=H48=0.5886,在k=18、47處插入經(jīng)阻帶衰減最優(yōu)化計算獲得的采樣值H18=H47=0.1065 , 這時得到的 H(ej)， 過渡帶為6/65，而阻帶衰減增加了20多分貝，達(dá)-60dB以上，當(dāng)然，代價是濾波器階數(shù)增加，運(yùn)算量增加。,N=65;k=0:(N-1)/2; Wm=2*pi*k./N; Ad(1:(N+1)/2)=1; %幅值 Ad(18)=0.5886;Ad(19)=0.1065;Ad(20:33)=0; Hd=Ad.*exp(-j*0.5*(N-1)*Wm); Hd=Hd conj(fliplr( Hd(2:(N+1)/2) ) ); %相位在取后半部分時的值要加共軛,幅度要偶對稱 h=real(ifft(Hd); w=linspace(0,pi-0.1,1000); H=freqz(h,1,w); plot(w/pi,20*log10(abs(H);grid;,例2、用頻率采樣法設(shè)計一個線性相位低通濾波器，N=11，,，邊沿上設(shè)計一點過渡帶,試求各點采樣值H(k)。 解：N=11為奇數(shù)，只能是第一種類型濾波器。 頻率間隔為,，而,（在k=2,3之間）。 為保證通帶指標(biāo)取k=3,8為過渡點（因為必須滿足,）。從而有,頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器函數(shù)： h=fir2(M,f,A) f和A分別是指定頻率及其預(yù)期的幅度響應(yīng) f在0,1，1相應(yīng)于奈奎斯特頻率，所以是除以pi,小結(jié)： 頻率采樣設(shè)計法優(yōu)點： 直接從頻域進(jìn)行設(shè)計，物理概念清楚，直觀方便； 適合于窄帶濾波器設(shè)計，這時頻率響應(yīng)只有少數(shù)幾個非零值。 典型應(yīng)用：用一串窄帶濾波器組成多卜勒雷達(dá)接收機(jī)，覆蓋不同的頻段，多卜勒頻偏可反映被測目標(biāo)的運(yùn)動速度； 缺點：截止頻率難以控制。 因頻率取樣點都局限在2/N的整數(shù)倍點上，所以在指定通帶和阻帶截止頻率時，這種方法受到限制，比較死板。 充分加大N，可以接近任何給定的頻率，但計算量和復(fù)雜性增加。,