沖擊響應(yīng)和階躍響應(yīng)

5.3 沖擊響應(yīng)和階躍響應(yīng),1. 沖擊響應(yīng),定義：系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)就是電路系統(tǒng)在沖擊信號激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。即:,因?yàn)橹挥性趖=0時(shí),（t）才對電路系統(tǒng)作用，所以可以將這種瞬間作用等效成對電路內(nèi)貯能元件進(jìn)行能量存貯，即為等效初始條件，在t0時(shí)，由該等效初始條件引起電路產(chǎn)生的等效零輸入響應(yīng)。即：,2. h(t)求法,例:已知電路如圖，iL(0-)=0 ,求iL(t),解：（1）建立電路方程：,(1)直接法: （等效初始條件法）,(2) 將其轉(zhuǎn)換為等效零輸入響應(yīng)：,（3）求解：三要素法得：,(2)比較系數(shù)法 因?yàn)橛呻娐废到y(tǒng)的（1）問題轉(zhuǎn)為（2）問題，電路系統(tǒng)的解應(yīng)具有相同的函數(shù)形式，一般,（1） 對于nm時(shí)，若電路系統(tǒng)方程的特征根互異，則由此得沖擊響應(yīng)為,（2）n=m時(shí)，若特征根互異：,（3）n<m時(shí)，若特征根互異：,若有重根，也可以同理推得公式。 因?yàn)樘卣鞲怯商卣鞣匠糖蟮玫?，那么只要求得系?shù)Ai和j即可，為此采用比較系數(shù)法。,例：設(shè)描述電路系統(tǒng)I/O微分方程為：,試求其沖擊響應(yīng) h(t),解：（1） 求特征根：,方程表為：,系統(tǒng)微分方程的特征方程為：,即,(3)對h(t)求一階,二階導(dǎo)數(shù) h(1)(t),h(2)(t) 求得,(2)設(shè)系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)為：,同理：,將 y(t) = h(t) , f(t) =(t) 等代入給定微分方程得：,即,左右兩端相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)必須相等:,沖擊響應(yīng)為：,解得：,這里我們巧妙地回避了求h(0+) 和 h(1)(0+) 的問題。,綜上所述，我們將求沖擊響應(yīng)的方法步驟歸納如下： (1)求出電路微分方程的特征根。 (2)寫出沖擊響應(yīng)解的表達(dá)式。 (3)對h(t)求導(dǎo)，求導(dǎo)的次數(shù)由方程的階次n決定（注意(t) 抽樣性）。 (4)將h(t)及其導(dǎo)數(shù)和(t) 代到電路微分方程，比較兩端相應(yīng)項(xiàng)系數(shù)（即令其相等），求得Ai，從而得到h(t)。,(3)微分法 定理：若已知電路系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為g(t)，則其電路系統(tǒng) 的沖擊響應(yīng)由下式?jīng)Q定：,例：已知LTIS，當(dāng)激勵(lì)為12U(t)時(shí)，響應(yīng)為(2412e-2t)U(t)， 試求單位沖擊響應(yīng)。,（2）求h(t),解： （1）單位階躍：,(4)拉普拉斯變換法（留待ch8討論）,2.階躍響應(yīng),(1)定義：LTIS在單位階躍信號作用下，系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，叫做單位階躍響應(yīng)。即：,(1),（2）比較系數(shù)法： 系統(tǒng)階躍響應(yīng)的求法與沖擊響應(yīng)的求法類似，但不同的是，根據(jù)U(t)的定義，t0，U(t) 0. 系統(tǒng)的階躍響應(yīng)是求解非齊次方程（0初條），它應(yīng)包括齊次方程通解和非齊次特解。定義式可得：,強(qiáng)迫響應(yīng)：,(2)求階躍響應(yīng)的常用方法,（1）由h(t) g(t),方程（1）中左端最高階為 g(n)(t) ，右端最高階為 U(m)(t) 即使m=n，g(t)中也不會包含(t), 故在nm時(shí)，若（1）式特征根互異，則自由響應(yīng)：,故,由此可采用求沖擊響應(yīng)類似的方法，求得 g(t),(1)線性性（即迭加性和均勻性） 定理1：線性時(shí)不變電路與系統(tǒng)在下述意義上是線性的： a.響應(yīng)的可分解性：電路與系統(tǒng)的響應(yīng)可以分解為零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)。,b.零狀態(tài)線性：當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對于各激勵(lì)信號呈線性。 c.零輸入線性：當(dāng)激勵(lì)為零時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對應(yīng)各起始狀態(tài)呈線性。,3. LTI電路系統(tǒng)的基本性質(zhì),注意： （1）當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)存在n個(gè)激勵(lì)時(shí)，系統(tǒng)的完全響應(yīng)對于某個(gè)單獨(dú)的激勵(lì)不呈線性關(guān)系，而是對全部的激勵(lì)呈線性關(guān)系。 （2）在這種疊加解法中，已經(jīng)將各起始狀態(tài)的作用也視為系統(tǒng)的激勵(lì)，所以它與第二章中端口線性定義是一致的。也就是說，可以根據(jù)上述三條來定義線性系統(tǒng)。 （3）全響應(yīng)是零輸入與零狀態(tài)的線性組成，它既不是激勵(lì)的線性函數(shù)，也不是初態(tài)的線性函數(shù)，而僅能是零輸入線性，零狀態(tài)線性。,我們對第二條進(jìn)行證明 設(shè)一階電路方程為,（1）疊加性 若x1(t)，x2(t)分別激勵(lì)系統(tǒng)時(shí)，相應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)為y1(t)和y2(t)，它們應(yīng)當(dāng)滿足方程（1）,（1）,（2）,（3）,將上兩式相加得：,（4）,如果在t=0時(shí)，在電路中的相同位置上，同時(shí)加入x1(t)+x2(t)，則相應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)為y(t)，則必然有,根據(jù)微分方程的唯一性充分條件，式（4）和（5）中，初始狀態(tài)和激勵(lì)相同，而1/ 僅決定于電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)，也應(yīng)是相同的。所以其解也必然相同。,（5）,這就是說線性時(shí)不變電路與系統(tǒng)對于激勵(lì)具有疊加性。 （2）若在上述同一電路的相同位置，t=0時(shí)接入激勵(lì)x1(t) 是實(shí)數(shù)，相應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)為y3(t)，則：,（6）,而如果用 同時(shí)乘方程（2）的兩邊，則得：,（7）,于是：y(t)=y1(t)+y2(t),根據(jù)微分方程解的唯一性充分條件，比較（6）（7）兩式得：,這就是說線性時(shí)不變電路系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對激勵(lì)具有均勻性。,由于既滿足疊加性，又滿足均勻性，所以線性時(shí)不變電路系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對各激勵(lì)信號呈線性。 同時(shí)也可以證明另兩條。也可推到線性時(shí)變系統(tǒng)。 這個(gè)線性系統(tǒng)的性質(zhì)具有非常重要的意義。,(2).延時(shí)不變性： （定常特性） 定理2： 若線性時(shí)不變系統(tǒng)，輸入為f(t)時(shí)，引起的響應(yīng)為y(t),則輸入為 f(t-) 時(shí)，引起的響應(yīng)為 y(t-) 。這就是說，響應(yīng)的波形與輸入的時(shí)間無關(guān)，僅是起點(diǎn)改變。即若f(t) yzs(t)，則,(3).微分特性： 定理3： 若線性時(shí)不變系統(tǒng)在激勵(lì)f(t)作用下，產(chǎn)生零狀態(tài)響應(yīng)為yzs(t)，則當(dāng)激勵(lì)為 f (t) 時(shí)，其響應(yīng)為y(t),f(t) 零狀態(tài)yzs(t),證明：因?yàn)?f(t) y(t) 根據(jù)延時(shí)不變性：f(tt) y(t t) 又因?yàn)橄到y(tǒng)具有疊加性和均勻性：,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義有：,證畢。,推論： （1）這個(gè)特性可以推廣至高階導(dǎo)數(shù)和積分。 （2）對幾個(gè)典型的信號有：,(4).因果特性： a.因果系統(tǒng)：如果t<t0時(shí)，系統(tǒng)的激勵(lì)信號為0，相應(yīng)的輸出響應(yīng)在t<t0時(shí)也等于0，則這樣的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。 b.因果特性：因果系統(tǒng)的激勵(lì)是產(chǎn)生響應(yīng)的原因，響應(yīng)是激勵(lì)引起的效果，或者說系統(tǒng)沒有預(yù)知未來的能力，只有在激勵(lì)加入后，才有響應(yīng)輸出，這種特性叫系統(tǒng)的因果特性。,一切物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)，都具有因果特性。 由常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)，都滿足 因果性，因此，因果系統(tǒng)的充分必要條件是： h(t)=0 (t<0) g(t)=0 (t<0),例：某LTIS，在相同的初始狀態(tài)下，輸入為f(t)時(shí)，響應(yīng)為：y(t)=(2e-3t+sin2t)U(t) ，輸入為2f(t)時(shí)，響應(yīng)為： y(t)=(2e-3t+2sin2t)U(t),試求：（1）初態(tài)加大一倍，輸入為f(t)/2 ，系統(tǒng)響應(yīng) （2）初態(tài)不變，輸入為f(t-t0)時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng) 解： 設(shè)在相同初態(tài)和f(t)作用下，,（2）,（3）,思考：輸入為 tf(t) 或 e-ktf(t) ，零狀態(tài)是否還成線性。,聯(lián)解得：,