次課 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1矢量物理量全面地反映物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)矢量物理量全面地反映物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在在 t 時(shí)刻時(shí)刻 描述運(yùn)動(dòng)的物理量是描述運(yùn)動(dòng)的物理量是三者之間的關(guān)系是三者之間的關(guān)系是tatrddddvv運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題的基本定義式運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題的基本定義式ar復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)1.1 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述2由基本關(guān)系式由基本關(guān)系式tatrddddvvtztytxzyxddddddvvvtatatazzyyxxddddddvvv分量式：分量式：ddddddddddddyxzxyzijktttaijkttt3圓周運(yùn)動(dòng)的圓周運(yùn)動(dòng)的線(xiàn)量和線(xiàn)量和角量關(guān)系角量關(guān)系RRan2R2tatddR參考方向參考方向o)(tP)(ttQttddddnntteaeaa總加速度總加速度22ntaaa1.2 圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)tn1tanaa4n2nnereaa 1 勻速率圓周運(yùn)動(dòng)：速率勻速率圓周運(yùn)動(dòng)：速率 和角速度和角速度 都為都為常量常量.v0ta2 勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)t020021tt)(20202如如 時(shí)時(shí),0t00,常量常量5 一質(zhì)點(diǎn)在Ox軸上作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)方程為x=4.5t2-2t3式中x以m為單位，t以s為單。求：(1)質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和加速度；(2)質(zhì)點(diǎn)在2秒末的速度和加速度。解:(1)此質(zhì)點(diǎn)在Ox軸上運(yùn)動(dòng)，它的速度2d96dxxttt加速度 d9 12dxxatt 質(zhì)點(diǎn)作變加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng) m/s m/s2 習(xí)題習(xí)題16（2）t=2s vx(2)=(92-622)ms-1=-6ms-1 ax(2)=(9-122)ms-2=-15ms-27一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為0.2m的圓周運(yùn)動(dòng),其角位置隨時(shí)間的變化規(guī)律是 （SI制）。在t=2s時(shí)，它的法向加速度a n=_；切向加速度at=_。256t習(xí)題習(xí)題2t ddrra22nvv2.0)10(2t220t2/80smtddartvddt2/10sradsradt/102/2sm8 半徑為1m的輪子以勻角加速度從靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，20s末角速度為100rad/s。求：(1)角加速度及20s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度；(2)第20s末輪邊緣上一點(diǎn)的切向和法向加速度。解解t 0(1)t0 200100 )/(52srad 00221 tt221t 220521 )(1000 rad 習(xí)題習(xí)題39 Rat(2)51 )/(52sm 2 Ran 21001 )/(000,102sm 1011CA B F由于彈性，力在連續(xù)體內(nèi)傳播需要一定時(shí)間：由于彈性，力在連續(xù)體內(nèi)傳播需要一定時(shí)間：一一.剛體剛體（rigid body）的概念的概念t t+t 才才感受到力感受到力固體中彈性波的速度固體中彈性波的速度k v（k勁度）勁度）若若 v ，則，則 k ，此時(shí)物體有無(wú)限的剛性，此時(shí)物體有無(wú)限的剛性，它受作用力不會(huì)變形，因而可以瞬時(shí)傳遞力。它受作用力不會(huì)變形，因而可以瞬時(shí)傳遞力。我們把這種不能變形的物體稱(chēng)為我們把這種不能變形的物體稱(chēng)為剛體。剛體。12而且考慮到剛體的特點(diǎn)，規(guī)律的表示還可較一而且考慮到剛體的特點(diǎn)，規(guī)律的表示還可較一剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)系，剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)系，其上各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)其上各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置保持不變。位置保持不變。質(zhì)點(diǎn)系的規(guī)律都可用于剛體，質(zhì)點(diǎn)系的規(guī)律都可用于剛體，般的般的質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系有所簡(jiǎn)化。系有所簡(jiǎn)化。通常通常v固體固體 103m/s，所以只要我們討論的運(yùn)動(dòng)所以只要我們討論的運(yùn)動(dòng)過(guò)程的速度比此慢得多，過(guò)程的速度比此慢得多，就可把固體視為剛體。就可把固體視為剛體。顯然，剛體是個(gè)理想化的模型，顯然，剛體是個(gè)理想化的模型，實(shí)際的意義。實(shí)際的意義。但是它有但是它有13二二.剛體的運(yùn)動(dòng)形式剛體的運(yùn)動(dòng)形式1.平動(dòng)平動(dòng)（translation）：）：平動(dòng)是剛體的基本運(yùn)動(dòng)形式之一。平動(dòng)是剛體的基本運(yùn)動(dòng)形式之一。2.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)（rotation）：）：轉(zhuǎn)動(dòng)也是剛體的基本運(yùn)動(dòng)形式之一，轉(zhuǎn)動(dòng)也是剛體的基本運(yùn)動(dòng)形式之一，它又可分為它又可分為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和和定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。的直線(xiàn)在運(yùn)動(dòng)各個(gè)時(shí)刻的位置都彼此平行。的直線(xiàn)在運(yùn)動(dòng)各個(gè)時(shí)刻的位置都彼此平行。連接剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)連接剛體內(nèi)任意兩點(diǎn) 剛體做平動(dòng)時(shí)，可用質(zhì)心或其上任何一剛體做平動(dòng)時(shí)，可用質(zhì)心或其上任何一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表整體的運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表整體的運(yùn)動(dòng)。14 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：3.一般運(yùn)動(dòng)：一般運(yùn)動(dòng)：剛體不受任何限制的的任意運(yùn)動(dòng)。剛體不受任何限制的的任意運(yùn)動(dòng)。它可分解為以下兩種剛體的基本運(yùn)動(dòng)它可分解為以下兩種剛體的基本運(yùn)動(dòng)：且各圓心都在同一條固定的直線(xiàn)（轉(zhuǎn)軸）上。且各圓心都在同一條固定的直線(xiàn)（轉(zhuǎn)軸）上。運(yùn)動(dòng)中各質(zhì)元均做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中各質(zhì)元均做圓周運(yùn)動(dòng)，整個(gè)剛體繞過(guò)該定點(diǎn)的某一瞬時(shí)軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)。整個(gè)剛體繞過(guò)該定點(diǎn)的某一瞬時(shí)軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)中剛體上只有一點(diǎn)固定不動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中剛體上只有一點(diǎn)固定不動(dòng)，剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)=平動(dòng)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)+15O O OO 轉(zhuǎn)動(dòng)與基點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)。轉(zhuǎn)動(dòng)與基點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)。兩種分解，基點(diǎn)選取不同，兩種分解，基點(diǎn)選取不同，例如：例如：平動(dòng)可以不同，平動(dòng)可以不同，動(dòng)力學(xué)中，常選動(dòng)力學(xué)中，常選質(zhì)心質(zhì)心為基點(diǎn)。為基點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)卻相同，轉(zhuǎn)動(dòng)卻相同，或或重點(diǎn)研究：剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)+1617 描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位置的物理量。描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位置的物理量。oPx參考方向?yàn)閰⒖挤较驗(yàn)閛x，剛體上某一點(diǎn)剛體上某一點(diǎn) P 到轉(zhuǎn)軸到轉(zhuǎn)軸 O 點(diǎn)的連點(diǎn)的連線(xiàn)與參考方向線(xiàn)與參考方向ox的夾角的夾角。單位：?jiǎn)挝唬夯《?，弧度，rad角坐標(biāo)為標(biāo)量。角坐標(biāo)為標(biāo)量。參考方向參考方向18o二、角位移二、角位移描寫(xiě)剛體位置變化的物理量描寫(xiě)剛體位置變化的物理量。0Px參考方向參考方向剛體初始角坐標(biāo)剛體初始角坐標(biāo)0末態(tài)角坐標(biāo)末態(tài)角坐標(biāo)剛體的角位移剛體的角位移0單位：?jiǎn)挝唬夯《?，弧度，rad19三、角速度三、角速度 描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)快慢和方向的物理量。描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)快慢和方向的物理量。tt0limddt角速度為角坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一次導(dǎo)數(shù)。角速度為角坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一次導(dǎo)數(shù)。單位：?jiǎn)挝唬夯《然《?秒，秒，rad/s,s1矢量矢量20角速度是矢量，但角速度是矢量，但對(duì)于對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的方向只有角速度的方向只有兩個(gè)兩個(gè)，在表示角速，在表示角速度時(shí)只用角速度的度時(shí)只用角速度的正負(fù)數(shù)值正負(fù)數(shù)值就可表示就可表示角速度的角速度的方向方向，不，不必用矢量表示。必用矢量表示。方向：方向：滿(mǎn)足右手螺滿(mǎn)足右手螺旋關(guān)系旋關(guān)系.21tt0lim單位：?jiǎn)挝唬夯《然《?秒秒2，rad/s2,s2方向：方向：角速度變化的方向。角速度變化的方向。00dtd 22dtd 四、角加速度四、角加速度描述角速度變化快慢和方向的物理量。描述角速度變化快慢和方向的物理量。22 注意注意:角加速度是矢量，但對(duì)于角加速度是矢量，但對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角加角加速度的方向只有速度的方向只有兩個(gè)兩個(gè)，在表示角加速度時(shí)只用角加速，在表示角加速度時(shí)只用角加速度的度的正負(fù)數(shù)值正負(fù)數(shù)值就可表示角加速度的就可表示角加速度的方向方向，不必用矢量，不必用矢量表示。表示。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)特點(diǎn) 1）每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面；每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面；2）任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 均相同，但均相同，但 不同；不同；3）運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo).,a,v23二二 角量與線(xiàn)量的關(guān)系角量與線(xiàn)量的關(guān)系tervrtev2ntraratanan2tererat ddtt22dddda24三三 勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式 剛體剛體繞繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt 當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為恒量時(shí)，剛體做當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為恒量時(shí)，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng).剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)公式對(duì)比剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)公式對(duì)比25飛輪飛輪 30 s 內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度rad75)6(2)5(22202210srad6srad3050t 例例1 一飛輪半徑為一飛輪半徑為 0.2m、轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)速為150rmin-1，因因受制動(dòng)而均勻減速，經(jīng)受制動(dòng)而均勻減速，經(jīng) 30 s 停止轉(zhuǎn)動(dòng)停止轉(zhuǎn)動(dòng).試求：試求：（1）角）角加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（2）制動(dòng)開(kāi)始）制動(dòng)開(kāi)始后后 t=6 s 時(shí)飛輪的角速度；（時(shí)飛輪的角速度；（3）t=6 s 時(shí)飛輪邊緣上一時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的線(xiàn)速度、切向加速度和法向加速度點(diǎn)的線(xiàn)速度、切向加速度和法向加速度.解解（1）,srad510.0 t=30 s 時(shí)，時(shí)，設(shè)設(shè).飛輪做勻減速運(yùn)動(dòng)飛輪做勻減速運(yùn)動(dòng)00時(shí)，時(shí)，t=0 s 26（2）s6t時(shí)，飛輪的角速度時(shí)，飛輪的角速度110srad4srad)665(t（3）s6t時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的線(xiàn)速度大小時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的線(xiàn)速度大小22sm5.2sm42.0rv該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度22tsm105.0sm)6(2.0ra轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)r5.372752N27 例例2 在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過(guò)中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)繞垂直其橫截面通過(guò)中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng).開(kāi)始時(shí)，它的角速開(kāi)始時(shí)，它的角速度度 ，經(jīng)，經(jīng)300s 后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到 18000rmin-1.已知轉(zhuǎn)已知轉(zhuǎn)子的角加速度與時(shí)間成正比子的角加速度與時(shí)間成正比.問(wèn)在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)問(wèn)在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)多少轉(zhuǎn)？過(guò)多少轉(zhuǎn)？00解解 由題意，令由題意，令 ，即，即 ，積分，積分 ctcttddtttc00dd得得221ct當(dāng)當(dāng)t=300s 時(shí)時(shí)11srad600minr18000所以所以3322srad75srad30060022tc28轉(zhuǎn)子的角速度轉(zhuǎn)子的角速度2215021tct由角速度的定義由角速度的定義2150ddtt得得tttd150d020有有3450t在在 300 s 內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)43103)300(45022N32srad)75(2tc