圓錐曲線存在性問題.doc

第九章 圓錐曲線中的存在性問題 解析幾何圓錐曲線中的存在性問題一、基礎知識 1、在處理圓錐曲線中的存在性問題時，通常先假定所求的要素（點，線，圖形或是參數）存在，并用代數形式進行表示。再結合題目條件進行分析，若能求出相應的要素，則假設成立；否則即判定不存在2、存在性問題常見要素的代數形式：未知要素用字母代替（1）點：坐標 （2）直線：斜截式或點斜式（通常以斜率為未知量）（3）曲線：含有未知參數的曲線標準方程3、解決存在性問題的一些技巧：（1）特殊值（點）法：對于一些復雜的題目，可通過其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件，然后再證明求得的要素也使得其它情況均成立。（2）核心變量的選?。阂驗榻鉀Q存在性問題的核心在于求出未知要素，所以通常以該要素作為核心變量，其余變量作為輔助變量，必要的時候消去。（3）核心變量的求法：直接法：利用條件與輔助變量直接表示出所求要素，并進行求解間接法：若無法直接求出要素，則可將核心變量參與到條件中，列出關于該變量與輔助變量的方程（組），運用方程思想求解。二、典型例題：例1：已知橢圓的離心率為，過右焦點的直線與相交于兩點，當的斜率為時，坐標原點到的距離為。 （1）求的值 （2）上是否存在點，使得當繞旋轉到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的的坐標和的方程，若不存在，說明理由解：（1） 則，依題意可得：，當的斜率為時 解得： 橢圓方程為： （2）設， 當斜率存在時，設 聯立直線與橢圓方程： 消去可得：，整理可得： 因為在橢圓上 當時， 當時，當斜率不存在時，可知 ，則不在橢圓上綜上所述：，或，例2：過橢圓的右焦點的直線交橢圓于兩點，為其左焦點，已知的周長為8，橢圓的離心率為（1）求橢圓的方程（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，且？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由解：（1）由的周長可得： 橢圓（2）假設滿足條件的圓為，依題意，若切線與橢圓相交，則圓應含在橢圓內若直線斜率存在，設，與圓相切 即聯立方程： 對任意的均成立將代入可得： 存在符合條件的圓，其方程為：當斜率不存在時，可知切線為若，則 符合題意若，同理可得也符合條件綜上所述，圓的方程為：例3：已知橢圓經過點，離心率為，左，右焦點分別為和（1）求橢圓的方程（2）設橢圓與軸負半軸交點為，過點作斜率為的直線，交橢圓于兩點（在之間），為中點，并設直線的斜率為 證明：為定值 是否存在實數，使得？如果存在，求直線的方程；如果不存在，請說明理由解：（1）依題意可知：可得：橢圓方程為：，代入可得：橢圓方程為：（2） 證明：設，線段的中點設直線的方程為：，聯立方程： 化為：由解得： 且 假設存在實數，使得，則即因為在橢圓上，所以，矛盾所以不存在符合條件的直線例4：設為橢圓的右焦點，點在橢圓上，直線與以原點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切（1）求橢圓的方程（2）過點的直線與橢圓相交于兩點，過點且平行于的直線與橢圓交于另一點，問是否存在直線，使得四邊形的對角線互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由解：（1）與圓相切 將代入橢圓方程可得：橢圓方程為：（2）由橢圓方程可得：設直線，則聯立直線與橢圓方程：消去可得：同理：聯立直線與橢圓方程：消去可得：因為四邊形的對角線互相平分四邊形為平行四邊形解得：存在直線時，四邊形的對角線互相平分例5：橢圓的左右焦點分別為，右頂點為，為橢圓上任意一點，且的最大值的取值范圍是，其中（1）求橢圓的離心率的取值范圍（2）設雙曲線以橢圓的焦點為頂點，頂點為焦點，是雙曲線在第一象限上任意一點，當取得最小值時，試問是否存在常數，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由解：（1）設由可得：代入可得： （2）當時，可得：雙曲線方程為，設，當軸時， 因為所以，下面證明對任意點均使得成立考慮由雙曲線方程，可得：結論得證時，恒成立例6：如圖，橢圓的離心率是，過點的動直線與橢圓相交于兩點，當直線平行于軸時，直線被橢圓截得的線段長為（1）求橢圓的方程（2）在平面直角坐標系中，是否存在與點不同的定點，使得對于任意直線，恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由解：（1） 橢圓方程為由直線被橢圓截得的線段長為及橢圓的對稱性可得：點在橢圓上 橢圓方程為（2）當與軸平行時，由對稱性可得：即在的中垂線上，即位于軸上，設當與軸垂直時，則 可解得或不重合 下面判斷能否對任意直線均成立若直線的斜率存在，設，聯立方程可得：由可想到角平分線公式，即只需證明平分只需證明 因為在直線上，代入可得：聯立方程可得：成立平分 由角平分線公式可得：例7：橢圓的上頂點為，是上的一點，以為直徑的圓經過橢圓的右焦點（1）求橢圓的方程（2）動直線與橢圓有且只有一個公共點，問：在軸上是否存在兩個定點，它們到直線的距離之積等于1？若存在，求出這兩個定點的坐標；如果不存在，請說明理由解：由橢圓可知：為直徑的圓經過 由在橢圓上，代入橢圓方程可得：橢圓方程為（2）假設存在軸上兩定點，設直線 所以依題意： 因為直線與橢圓相切，聯立方程：由直線與橢圓相切可知化簡可得：，代入可得：，依題意可得：無論為何值，等式均成立所以存在兩定點：例8：已知橢圓的左右焦點分別為，點是上任意一點，是坐標原點，設點的軌跡為（1）求點的軌跡的方程（2）若點滿足：，其中是上的點，且直線的斜率之積等于，是否存在兩定點，使得為定值？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由（1）設點的坐標為，點的坐標為，則由橢圓方程可得： 且 代入到可得：（2）設點， 設直線的斜率分別為，由已知可得：考慮是上的點 即的軌跡方程為，由定義可知，到橢圓焦點的距離和為定值為橢圓的焦點 所以存在定點例9：橢圓的焦點到直線的距離為，離心率為，拋物線的焦點與橢圓的焦點重合，斜率為的直線過的焦點與交于，與交于（1）求橢圓及拋物線的方程（2）是否存在常數，使得為常數？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由解：（1）設的公共焦點為 （2）設直線，與橢圓聯立方程：直線與拋物線聯立方程： 是焦點弦 若為常數，則 例10：如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，直線與軸交于點，與橢圓交于兩點，當直線垂直于軸且點為橢圓的右焦點時，弦的長為（1）求橢圓的方程（2）是否存在點，使得為定值？若存在，請求出點的坐標，并求出該定值；若不存在，請說明理由解：（1）依題意可得： 當與軸垂直且為右焦點時，為通徑 （2）思路：本題若直接用用字母表示坐標并表示，則所求式子較為復雜，不易于計算定值與的坐標。因為要滿足所有直線，所以考慮先利用特殊情況求出點及定值，再取判定（或證明）該點在其它直線中能否使得為定值。解：（2）假設存在點，設若直線與軸重合，則若直線與軸垂直，則關于軸對稱設，其中，代入橢圓方程可得： ，可解得： 若存在點，則。若，設設，與橢圓聯立方程可得：，消去可得：，同理：代入可得：所以為定值，定值為若，同理可得為定值綜上所述：存在點，使得為定值三、歷年好題精選1、已知中心在原點，焦點在坐標軸上的橢圓過點，離心率為，過直線上一點引橢圓的兩條切線，切點分別是（1）求橢圓的方程（2）若在橢圓上的任一點處的切線方程是，求證：直線恒過定點，并求出定點的坐標（3）是否存在實數，使得恒成立？（點為直線恒過的定點），若存在，求出的值；若不存在，請說明理由2、已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，是橢圓上的一點（1）求橢圓的方程（2）設分別是橢圓的左右頂點，是橢圓上異于的兩個動點，直線的斜率之積為，設與的面積分別為，請問：是否存在常數，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由3、已知橢圓經過點，離心率為，左，右焦點分別為和（1）求橢圓的方程（2）設橢圓與軸負半軸交點為，過點作斜率為的直線，交橢圓于兩點（在之間），為中點，并設直線的斜率為 證明：為定值 是否存在實數，使得？如果存在，求直線的方程；如果不存在，請說明理由4、已知圓，定點，點為圓上的動點，點在上，點在上，且滿足 （1）求點的軌跡的方程（2）過點作直線，與曲線交于兩點，是坐標原點，設，是否存在這樣的直線，使得四邊形的對角線相等（即）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由5、（2014，福建）已知雙曲線的兩條漸近線分別為， （1）求雙曲線的離心率（2）如圖，為坐標原點，動直線分別交直線于兩點（分別在第一、四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在請說明理由習題答案：1、解析：（1） 橢圓過點 ，再由可解得： 橢圓方程為： （2）設切點坐標為，直線上一點，依題意可得：兩條切線方程為： ，由切線均過可得：均在直線上因為兩點唯一確定一條直線，即過定點，即點的坐標為（3）聯立方程： ，不妨設 ，使得恒成立2、解析：（1）拋物線的焦點為 依題意可知： 橢圓方程為： （2）由（1）可得：，若直線斜率存在設， 到直線的距離 到直線的距離 聯立方程： （*） ，代入到（*）可得： 或 當時，交點與重合，不符題意，代入到可得： ，即 3、解：（1）依題意可知：可得：橢圓方程為：，代入可得：橢圓方程為：（2） 證明：設，線段的中點設直線的方程為：，聯立方程： 化為：由解得： 且 假設存在實數，使得，則即因為在橢圓上，所以，矛盾所以不存在符合條件的直線4、解析：（1）由可得為的中點，且 為的中垂線 點的軌跡是以為焦點的橢圓，其半長軸長為，半焦距 軌跡方程為： （2）因為 四邊形為平行四邊形若，則四邊形為矩形，即 若直線的斜率不存在，則 聯立方程：，即 故不符合要求 若直線的斜率存在，設 由 ，解得： 所以存在或，使得四邊形的對角線相等5、解析：（1）由雙曲線方程可知，漸近線方程為 （2）若直線不與軸垂直，設聯立方程： ，同理可得設直線與軸交于 即 由直線與漸近線的交點分別在第一、四象限可知： 由（1）可得雙曲線方程為：聯立與雙曲線方程： 因為與雙曲線相切 整理可得： 所以 雙曲線方程為：存在一個總與相切的雙曲線，其方程為