圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題的四種模型.doc

2017屆高三第一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練之圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題的四種模型定點(diǎn)問題是常見的出題形式，化解這類問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。直線過定點(diǎn)問題通法，是設(shè)出直線方程，通過韋達(dá)定理和已知條件找出k和m的一次函數(shù)關(guān)系式，代入直線方程即可。技巧在于：設(shè)哪一條直線？如何轉(zhuǎn)化題目條件？圓錐曲線是一種很有趣的載體，自身存在很多性質(zhì)，這些性質(zhì)往往成為出題老師的參考。如果大家能夠熟識(shí)這些常見的結(jié)論，那么解題必然會(huì)事半功倍。下面總結(jié)圓錐曲線中幾種常見的幾種定點(diǎn)模型：模型一：“手電筒”模型例題、（07山東）已知橢圓C：若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。解：設(shè)，由得，以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)且，整理得：，解得：，且滿足當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)綜上可知，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為方法總結(jié)：本題為“弦對(duì)定點(diǎn)張直角”的一個(gè)例子：圓錐曲線如橢圓上任意一點(diǎn)P做相互垂直的直線交圓錐曲線于AB，則AB必過定點(diǎn)。（參考百度文庫文章：“圓錐曲線的弦對(duì)定點(diǎn)張直角的一組性質(zhì)”）模型拓展：本題還可以拓展為“手電筒”模型：只要任意一個(gè)限定AP與BP條件（如定值，定值），直線AB依然會(huì)過定點(diǎn)（因?yàn)槿龡l直線形似手電筒，固名曰手電筒模型）。（參考優(yōu)酷視頻資料尼爾森數(shù)學(xué)第一季第13節(jié)）此模型解題步驟：Step1：設(shè)AB直線，聯(lián)立曲線方程得根與系數(shù)關(guān)系，求出參數(shù)范圍；Step2：由AP與BP關(guān)系（如），得一次函數(shù)；Step3：將代入，得。遷移訓(xùn)練練習(xí)1：過拋物線M:上一點(diǎn)P（1,2）作傾斜角互補(bǔ)的直線PA與PB，交M于A、B兩點(diǎn)，求證：直線AB過定點(diǎn)。（注：本題結(jié)論也適用于拋物線與雙曲線）練習(xí)2：過拋物線M:的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的弦OA、OB，求證：直線AB過定點(diǎn)。（經(jīng)典例題，多種解法）練習(xí)3：過上的點(diǎn)作動(dòng)弦AB、AC且，證明BC恒過定點(diǎn)。（本題參考答案：）練習(xí):4：設(shè)A、B是軌跡：上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且時(shí)，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。（參考答案）【答案】設(shè)，由題意得，又直線OA,OB的傾斜角滿足，故，所以直線的斜率存在，否則，OA,OB直線的傾斜角之和為從而設(shè)AB方程為，顯然，將與聯(lián)立消去，得由韋達(dá)定理知由，得1=將式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：，所以，此時(shí)，直線的方程可表示為即所以直線恒過定點(diǎn).練習(xí)5：（2013年高考陜西卷（理）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0), 且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8. ()求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程; ()已知點(diǎn)B(-1,0), 設(shè)不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P, Q, 若x軸是的角平分線, 證明直線過定點(diǎn). 【答案】解:() A(4,0),設(shè)圓心C () 點(diǎn)B(-1,0), . 直線PQ方程為: 所以,直線PQ過定點(diǎn)(1,0)練習(xí)6：已知點(diǎn)是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足（1）求點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)的方程；（2）已知點(diǎn)在曲線上，過點(diǎn)作曲線的兩條弦和，且，判斷：直線是否過定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論.【解】（1）設(shè) （5分） ）第22題練習(xí)7：已知點(diǎn)A（1，0），B（1，1）和拋物線.，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)A的動(dòng)直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q，如圖.（I）證明: 為定值;（II）若POM的面積為，求向量與的夾角；（）證明直線PQ恒過一個(gè)定點(diǎn).解：（I）設(shè)點(diǎn)、M、A三點(diǎn)共線， (II)設(shè)POM=，則由此可得tan=1. 又 ()設(shè)點(diǎn)、B、Q三點(diǎn)共線， 即 即 由（*）式，代入上式，得由此可知直線PQ過定點(diǎn)E（1，4）. 模型二：切點(diǎn)弦恒過定點(diǎn)例題：有如下結(jié)論：“圓上一點(diǎn)處的切線方程為”，類比也有結(jié)論：“橢圓處的切線方程為”，過橢圓C：的右準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn)M引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為 A、B.（1）求證：直線AB恒過一定點(diǎn)；（2）當(dāng)點(diǎn)M在的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求ABM的面積?！窘狻浚?）設(shè)M點(diǎn)M在MA上 同理可得由知AB的方程為易知右焦點(diǎn)F（）滿足式，故AB恒過橢圓C的右焦點(diǎn)F（）（2）把AB的方程 又M到AB的距離ABM的面積方法點(diǎn)評(píng)：切點(diǎn)弦的性質(zhì)雖然可以當(dāng)結(jié)論用，但是在正式的考試過程中直接不能直接引用，可以用本題的書寫步驟替換之，大家注意過程。方法總結(jié)：什么是切點(diǎn)弦？解題步驟有哪些？參考：PPT圓錐曲線的切線及切點(diǎn)弦方程，百度文庫參考：“尼爾森數(shù)學(xué)第一季_3下”，優(yōu)酷視頻拓展：相交弦的蝴蝶特征蝴蝶定理，資料練習(xí)1：（2013年廣東省數(shù)學(xué)（理）卷）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)到直線:的距離為.設(shè)為直線上的點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的兩條切線,其中為切點(diǎn).() 求拋物線的方程;() 當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí),求直線的方程;() 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí),求的最小值.【答案】() 依題意,設(shè)拋物線的方程為,由結(jié)合,解得.所以拋物線的方程為. () 拋物線的方程為,即,求導(dǎo)得 設(shè),(其中),則切線的斜率分別為, 所以切線：,即,即 同理可得切線的方程為 因?yàn)榍芯€均過點(diǎn),所以, 所以為方程的兩組解. 所以直線的方程為. () 由拋物線定義可知, 所以 聯(lián)立方程,消去整理得 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得, 所以 又點(diǎn)在直線上,所以, 所以 所以當(dāng)時(shí), 取得最小值,且最小值為.練習(xí)2：（2013年遼寧數(shù)學(xué)（理）如圖,拋物線,點(diǎn)在拋物線上,過作的切線,切點(diǎn)為(為原點(diǎn)時(shí),重合于),切線的斜率為.(I)求的值;(II)當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段中點(diǎn)的軌跡方.【答案】 模型三：相交弦過定點(diǎn)相交弦性質(zhì)實(shí)質(zhì)是切點(diǎn)弦過定點(diǎn)性質(zhì)的拓展，結(jié)論同樣適用。參考尼爾森數(shù)學(xué)第一季_3下，優(yōu)酷視頻。但是具體解題而言，相交弦過定點(diǎn)涉及坐標(biāo)較多，計(jì)算量相對(duì)較大，解題過程一定要注意思路，同時(shí)注意總結(jié)這類題的通法。例題：如圖，已知直線L：的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B在直線上的射影依次為點(diǎn)D、E。連接AE、BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N？若交于定點(diǎn)N，請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則說明理由。法一：解： 先探索，當(dāng)m=0時(shí)，直線Lox軸，則ABED為矩形，由對(duì)稱性知，AE與BD相交于FK中點(diǎn)N ,且。猜想：當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)證明：設(shè)，當(dāng)m變化時(shí)首先AE過定點(diǎn)NKAN=KEN A、N、E三點(diǎn)共線 同理可得B、N、D三點(diǎn)共線AE與BD相交于定點(diǎn)法2：本題也可以直接得出AE和BD方程，令y=0，得與x軸交點(diǎn)M、N,然后兩個(gè)坐標(biāo)相減=0.計(jì)算量也不大。方法總結(jié)：方法1采用歸納猜想證明，簡(jiǎn)化解題過程，是證明定點(diǎn)問題一類的通法。這一類題在答題過程中要注意步驟。例題、已知橢圓C：，若直線與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。方法1：點(diǎn)A1、A2的坐標(biāo)都知道，可以設(shè)直線PA1、PA2的方程，直線PA1和橢圓交點(diǎn)是A1(-2,0)和M，通過韋達(dá)定理，可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo)。動(dòng)點(diǎn)P在直線上，相當(dāng)于知道了點(diǎn)P的橫坐標(biāo)了，由直線PA1、PA2的方程可以求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到兩條直線的斜率的關(guān)系，通過所求的M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線MN的方程，將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入，如果解出的t>2，就可以了，否則就不存在。解：設(shè)，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得是方程的兩個(gè)根，則，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，直線MN的方程為：，令y=0，得，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)后得：又，橢圓的焦點(diǎn)為，即故當(dāng)時(shí)，MN過橢圓的焦點(diǎn)。方法總結(jié)：本題由點(diǎn)A1(-2,0)的橫坐標(biāo)2是方程的一個(gè)根，結(jié)合韋達(dá)定理，得到點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)：，；其實(shí)由消y整理得，得到，即，很快。不過如果看到：將中的換下來，前的系數(shù)2用2換下來，就得點(diǎn)N的坐標(biāo)，如果在解題時(shí)，能看到這一點(diǎn)，計(jì)算量將減少，這樣真容易出錯(cuò)，但這樣減少計(jì)算量。本題的關(guān)鍵是看到點(diǎn)P的雙重身份：點(diǎn)P即在直線上也在直線A2N上，進(jìn)而得到，由直線MN的方程得直線與x軸的交點(diǎn)，即橫截距，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)易得，由解出，到此不要忘了考察是否滿足。方法2：先猜想過定點(diǎn)，設(shè)弦MN的方程，得出方程，進(jìn)而得出與T交點(diǎn)Q、S，兩坐標(biāo)相減=0.如下：方法總結(jié)：法2計(jì)算量相對(duì)較小，細(xì)心的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，這其實(shí)是上文“切點(diǎn)弦恒過定點(diǎn)”的一個(gè)特例而已。因此，法2采用這類題的通法求解，就不至于思路混亂了。相較法1，未知數(shù)更少，思路更明確。練習(xí)1：（10江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓+=1的左右頂點(diǎn)為A,B，右焦點(diǎn)為F，設(shè)過點(diǎn)T(t,m)的直線TA,TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m>0,y1>0,y2<0.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2PB2=4,求點(diǎn)P的軌跡設(shè)x1=2,x2=，求點(diǎn)T的坐標(biāo)設(shè)t=9,求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān))解析：?jiǎn)?與上題同。練習(xí)2：已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、三點(diǎn)過橢圓的右焦點(diǎn)F任做一與坐標(biāo)軸不平行的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與所在的直線交于點(diǎn)Q.（1）求橢圓的方程：（2）是否存在這樣直線，使得點(diǎn)Q恒在直線上移動(dòng)？若存在,求出直線方程,若不存在,請(qǐng)說明理由.解析：（1）設(shè)橢圓方程為將、代入橢圓E的方程，得解得. 橢圓的方程 （也可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，知類似計(jì)分）（2）可知：將直線代入橢圓的方程并整理得設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)，由根系數(shù)的關(guān)系，得直線的方程為：由直線的方程為：，即由直線與直線的方程消去，得直線與直線的交點(diǎn)在直線上 故這樣的直線存在模型四：動(dòng)圓過定點(diǎn)問題動(dòng)圓過定點(diǎn)問題本質(zhì)上是垂直向量的問題，也可以理解為“弦對(duì)定點(diǎn)張直角”的新應(yīng)用。例題1.已知橢圓 是拋物線的一條切線。（I）求橢圓的方程；（）過點(diǎn)的動(dòng)直線L交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。解：（I）由因直線相切，故所求橢圓方程為（II）當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：,由即兩圓相切于點(diǎn)（0，1）因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）.事實(shí)上，點(diǎn)T（0，1）就是所求的點(diǎn)，證明如下。當(dāng)直線L垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（0，1）若直線L不垂直于x軸，可設(shè)直線L：由記點(diǎn)、 TATB，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（0，1）,故在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1）滿足條件.方法總結(jié)：圓過定點(diǎn)問題，可以先取特殊值或者極值，找出這個(gè)定點(diǎn)，再證明用直徑所對(duì)圓周角為直角。例題2：如圖，已知橢圓的離心率是，分別是橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)。點(diǎn)是軸上位于右側(cè)的一點(diǎn)，且滿足。（1）求橢圓的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)作軸的垂線，再作直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)。求證：以線段為直徑的圓恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。解：（1），設(shè)，由有，又，于是，又，又，橢圓，且。（2）方法1：，設(shè)，由，由于（*），而由韋達(dá)定理：，設(shè)以線段為直徑的圓上任意一點(diǎn)，由有由對(duì)稱性知定點(diǎn)在軸上，令，取時(shí)滿足上式，故過定點(diǎn)。法2：本題又解：取極值，PQ與AD平行，易得與X軸相交于F（1,0）。接下來用相似證明PFFQ。問題得證。練習(xí)：（10廣州二模文）已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，橢圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，.圓的圓心是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),圓與軸交于兩點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；（2）證明:無論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點(diǎn).（1）解法1：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的準(zhǔn)線方程為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由拋物線的定義可知,，解得.由，且,得.點(diǎn)的坐標(biāo)為. 在橢圓:中，.橢圓的方程為.解法2：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為. 拋物線的準(zhǔn)線方程為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由拋物線的定義可知,，解得.由，且得.點(diǎn)的坐標(biāo)為.在橢圓:中，.由解得.橢圓的方程為.（2）證法1: 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,圓的半徑為， 圓與軸交于兩點(diǎn)，且, . 圓的方程為. 點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn), ().把代入 消去整理得:. 方程對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立， 解得點(diǎn)在橢圓:上,無論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點(diǎn).證法2: 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,圓的半徑為， 點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn), (). 圓與軸交于兩點(diǎn)，且, . . 圓的方程為. 令,則,得.此時(shí)圓的方程為.由解得圓:與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為、.分別把點(diǎn)、代入方程進(jìn)行檢驗(yàn)，可知點(diǎn)恒符合方程，點(diǎn)不恒符合方程.無論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點(diǎn).