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圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題的四種模型.doc

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圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題的四種模型.doc

2017屆高三第一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練之圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題的四種模型定點(diǎn)問題是常見的出題形式,化解這類問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。直線過定點(diǎn)問題通法,是設(shè)出直線方程,通過韋達(dá)定理和已知條件找出k和m的一次函數(shù)關(guān)系式,代入直線方程即可。技巧在于:設(shè)哪一條直線?如何轉(zhuǎn)化題目條件?圓錐曲線是一種很有趣的載體,自身存在很多性質(zhì),這些性質(zhì)往往成為出題老師的參考。如果大家能夠熟識(shí)這些常見的結(jié)論,那么解題必然會(huì)事半功倍。下面總結(jié)圓錐曲線中幾種常見的幾種定點(diǎn)模型:模型一:“手電筒”模型例題、(07山東)已知橢圓C:若直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證:直線過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。解:設(shè),由得,以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)且,整理得:,解得:,且滿足當(dāng)時(shí),直線過定點(diǎn)與已知矛盾;當(dāng)時(shí),直線過定點(diǎn)綜上可知,直線過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為方法總結(jié):本題為“弦對(duì)定點(diǎn)張直角”的一個(gè)例子:圓錐曲線如橢圓上任意一點(diǎn)P做相互垂直的直線交圓錐曲線于AB,則AB必過定點(diǎn)。(參考百度文庫文章:“圓錐曲線的弦對(duì)定點(diǎn)張直角的一組性質(zhì)”)模型拓展:本題還可以拓展為“手電筒”模型:只要任意一個(gè)限定AP與BP條件(如定值,定值),直線AB依然會(huì)過定點(diǎn)(因?yàn)槿龡l直線形似手電筒,固名曰手電筒模型)。(參考優(yōu)酷視頻資料尼爾森數(shù)學(xué)第一季第13節(jié))此模型解題步驟:Step1:設(shè)AB直線,聯(lián)立曲線方程得根與系數(shù)關(guān)系,求出參數(shù)范圍;Step2:由AP與BP關(guān)系(如),得一次函數(shù);Step3:將代入,得。遷移訓(xùn)練練習(xí)1:過拋物線M:上一點(diǎn)P(1,2)作傾斜角互補(bǔ)的直線PA與PB,交M于A、B兩點(diǎn),求證:直線AB過定點(diǎn)。(注:本題結(jié)論也適用于拋物線與雙曲線)練習(xí)2:過拋物線M:的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的弦OA、OB,求證:直線AB過定點(diǎn)。(經(jīng)典例題,多種解法)練習(xí)3:過上的點(diǎn)作動(dòng)弦AB、AC且,證明BC恒過定點(diǎn)。(本題參考答案:)練習(xí):4:設(shè)A、B是軌跡:上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn),直線和的傾斜角分別為和,當(dāng)變化且時(shí),證明直線恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。(參考答案)【答案】設(shè),由題意得,又直線OA,OB的傾斜角滿足,故,所以直線的斜率存在,否則,OA,OB直線的傾斜角之和為從而設(shè)AB方程為,顯然,將與聯(lián)立消去,得由韋達(dá)定理知由,得1=將式代入上式整理化簡(jiǎn)可得:,所以,此時(shí),直線的方程可表示為即所以直線恒過定點(diǎn).練習(xí)5:(2013年高考陜西卷(理)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0), 且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8. ()求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程; ()已知點(diǎn)B(-1,0), 設(shè)不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P, Q, 若x軸是的角平分線, 證明直線過定點(diǎn). 【答案】解:() A(4,0),設(shè)圓心C () 點(diǎn)B(-1,0), . 直線PQ方程為: 所以,直線PQ過定點(diǎn)(1,0)練習(xí)6:已知點(diǎn)是平面上一動(dòng)點(diǎn),且滿足(1)求點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)的方程;(2)已知點(diǎn)在曲線上,過點(diǎn)作曲線的兩條弦和,且,判斷:直線是否過定點(diǎn)?試證明你的結(jié)論.【解】(1)設(shè) (5分) )第22題練習(xí)7:已知點(diǎn)A(1,0),B(1,1)和拋物線.,O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)A的動(dòng)直線l交拋物線C于M、P,直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q,如圖.(I)證明: 為定值;(II)若POM的面積為,求向量與的夾角;()證明直線PQ恒過一個(gè)定點(diǎn).解:(I)設(shè)點(diǎn)、M、A三點(diǎn)共線, (II)設(shè)POM=,則由此可得tan=1. 又 ()設(shè)點(diǎn)、B、Q三點(diǎn)共線, 即 即 由(*)式,代入上式,得由此可知直線PQ過定點(diǎn)E(1,4). 模型二:切點(diǎn)弦恒過定點(diǎn)例題:有如下結(jié)論:“圓上一點(diǎn)處的切線方程為”,類比也有結(jié)論:“橢圓處的切線方程為”,過橢圓C:的右準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn)M引橢圓C的兩條切線,切點(diǎn)為 A、B.(1)求證:直線AB恒過一定點(diǎn);(2)當(dāng)點(diǎn)M在的縱坐標(biāo)為1時(shí),求ABM的面積?!窘狻浚?)設(shè)M點(diǎn)M在MA上 同理可得由知AB的方程為易知右焦點(diǎn)F()滿足式,故AB恒過橢圓C的右焦點(diǎn)F()(2)把AB的方程 又M到AB的距離ABM的面積方法點(diǎn)評(píng):切點(diǎn)弦的性質(zhì)雖然可以當(dāng)結(jié)論用,但是在正式的考試過程中直接不能直接引用,可以用本題的書寫步驟替換之,大家注意過程。方法總結(jié):什么是切點(diǎn)弦?解題步驟有哪些?參考:PPT圓錐曲線的切線及切點(diǎn)弦方程,百度文庫參考:“尼爾森數(shù)學(xué)第一季_3下”,優(yōu)酷視頻拓展:相交弦的蝴蝶特征蝴蝶定理,資料練習(xí)1:(2013年廣東省數(shù)學(xué)(理)卷)已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)到直線:的距離為.設(shè)為直線上的點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的兩條切線,其中為切點(diǎn).() 求拋物線的方程;() 當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí),求直線的方程;() 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí),求的最小值.【答案】() 依題意,設(shè)拋物線的方程為,由結(jié)合,解得.所以拋物線的方程為. () 拋物線的方程為,即,求導(dǎo)得 設(shè),(其中),則切線的斜率分別為, 所以切線:,即,即 同理可得切線的方程為 因?yàn)榍芯€均過點(diǎn),所以, 所以為方程的兩組解. 所以直線的方程為. () 由拋物線定義可知, 所以 聯(lián)立方程,消去整理得 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得, 所以 又點(diǎn)在直線上,所以, 所以 所以當(dāng)時(shí), 取得最小值,且最小值為.練習(xí)2:(2013年遼寧數(shù)學(xué)(理)如圖,拋物線,點(diǎn)在拋物線上,過作的切線,切點(diǎn)為(為原點(diǎn)時(shí),重合于),切線的斜率為.(I)求的值;(II)當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段中點(diǎn)的軌跡方.【答案】 模型三:相交弦過定點(diǎn)相交弦性質(zhì)實(shí)質(zhì)是切點(diǎn)弦過定點(diǎn)性質(zhì)的拓展,結(jié)論同樣適用。參考尼爾森數(shù)學(xué)第一季_3下,優(yōu)酷視頻。但是具體解題而言,相交弦過定點(diǎn)涉及坐標(biāo)較多,計(jì)算量相對(duì)較大,解題過程一定要注意思路,同時(shí)注意總結(jié)這類題的通法。例題:如圖,已知直線L:的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A、B在直線上的射影依次為點(diǎn)D、E。連接AE、BD,試探索當(dāng)m變化時(shí),直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N?若交于定點(diǎn)N,請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo),并給予證明;否則說明理由。法一:解: 先探索,當(dāng)m=0時(shí),直線Lox軸,則ABED為矩形,由對(duì)稱性知,AE與BD相交于FK中點(diǎn)N ,且。猜想:當(dāng)m變化時(shí),AE與BD相交于定點(diǎn)證明:設(shè),當(dāng)m變化時(shí)首先AE過定點(diǎn)NKAN=KEN A、N、E三點(diǎn)共線 同理可得B、N、D三點(diǎn)共線AE與BD相交于定點(diǎn)法2:本題也可以直接得出AE和BD方程,令y=0,得與x軸交點(diǎn)M、N,然后兩個(gè)坐標(biāo)相減=0.計(jì)算量也不大。方法總結(jié):方法1采用歸納猜想證明,簡(jiǎn)化解題過程,是證明定點(diǎn)問題一類的通法。這一類題在答題過程中要注意步驟。例題、已知橢圓C:,若直線與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn),直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn),試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)?并證明你的結(jié)論。方法1:點(diǎn)A1、A2的坐標(biāo)都知道,可以設(shè)直線PA1、PA2的方程,直線PA1和橢圓交點(diǎn)是A1(-2,0)和M,通過韋達(dá)定理,可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo),同理可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo)。動(dòng)點(diǎn)P在直線上,相當(dāng)于知道了點(diǎn)P的橫坐標(biāo)了,由直線PA1、PA2的方程可以求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo),得到兩條直線的斜率的關(guān)系,通過所求的M、N點(diǎn)的坐標(biāo),求出直線MN的方程,將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入,如果解出的t>2,就可以了,否則就不存在。解:設(shè),直線的斜率為,則直線的方程為,由消y整理得是方程的兩個(gè)根,則,即點(diǎn)M的坐標(biāo)為,同理,設(shè)直線A2N的斜率為k2,則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為,直線MN的方程為:,令y=0,得,將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入,化簡(jiǎn)后得:又,橢圓的焦點(diǎn)為,即故當(dāng)時(shí),MN過橢圓的焦點(diǎn)。方法總結(jié):本題由點(diǎn)A1(-2,0)的橫坐標(biāo)2是方程的一個(gè)根,結(jié)合韋達(dá)定理,得到點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo):,;其實(shí)由消y整理得,得到,即,很快。不過如果看到:將中的換下來,前的系數(shù)2用2換下來,就得點(diǎn)N的坐標(biāo),如果在解題時(shí),能看到這一點(diǎn),計(jì)算量將減少,這樣真容易出錯(cuò),但這樣減少計(jì)算量。本題的關(guān)鍵是看到點(diǎn)P的雙重身份:點(diǎn)P即在直線上也在直線A2N上,進(jìn)而得到,由直線MN的方程得直線與x軸的交點(diǎn),即橫截距,將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入,化簡(jiǎn)易得,由解出,到此不要忘了考察是否滿足。方法2:先猜想過定點(diǎn),設(shè)弦MN的方程,得出方程,進(jìn)而得出與T交點(diǎn)Q、S,兩坐標(biāo)相減=0.如下:方法總結(jié):法2計(jì)算量相對(duì)較小,細(xì)心的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn),這其實(shí)是上文“切點(diǎn)弦恒過定點(diǎn)”的一個(gè)特例而已。因此,法2采用這類題的通法求解,就不至于思路混亂了。相較法1,未知數(shù)更少,思路更明確。練習(xí)1:(10江蘇)在平面直角坐標(biāo)系中,如圖,已知橢圓+=1的左右頂點(diǎn)為A,B,右焦點(diǎn)為F,設(shè)過點(diǎn)T(t,m)的直線TA,TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2PB2=4,求點(diǎn)P的軌跡設(shè)x1=2,x2=,求點(diǎn)T的坐標(biāo)設(shè)t=9,求證:直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān))解析:?jiǎn)?與上題同。練習(xí)2:已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過、三點(diǎn)過橢圓的右焦點(diǎn)F任做一與坐標(biāo)軸不平行的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),與所在的直線交于點(diǎn)Q.(1)求橢圓的方程:(2)是否存在這樣直線,使得點(diǎn)Q恒在直線上移動(dòng)?若存在,求出直線方程,若不存在,請(qǐng)說明理由.解析:(1)設(shè)橢圓方程為將、代入橢圓E的方程,得解得. 橢圓的方程 (也可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程,知類似計(jì)分)(2)可知:將直線代入橢圓的方程并整理得設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn),由根系數(shù)的關(guān)系,得直線的方程為:由直線的方程為:,即由直線與直線的方程消去,得直線與直線的交點(diǎn)在直線上 故這樣的直線存在模型四:動(dòng)圓過定點(diǎn)問題動(dòng)圓過定點(diǎn)問題本質(zhì)上是垂直向量的問題,也可以理解為“弦對(duì)定點(diǎn)張直角”的新應(yīng)用。例題1.已知橢圓 是拋物線的一條切線。(I)求橢圓的方程;()過點(diǎn)的動(dòng)直線L交橢圓C于A、B兩點(diǎn),試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T?若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由。解:(I)由因直線相切,故所求橢圓方程為(II)當(dāng)L與x軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程:當(dāng)L與x軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程:,由即兩圓相切于點(diǎn)(0,1)因此,所求的點(diǎn)T如果存在,只能是(0,1).事實(shí)上,點(diǎn)T(0,1)就是所求的點(diǎn),證明如下。當(dāng)直線L垂直于x軸時(shí),以AB為直徑的圓過點(diǎn)T(0,1)若直線L不垂直于x軸,可設(shè)直線L:由記點(diǎn)、 TATB,即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T(0,1),故在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T(0,1)滿足條件.方法總結(jié):圓過定點(diǎn)問題,可以先取特殊值或者極值,找出這個(gè)定點(diǎn),再證明用直徑所對(duì)圓周角為直角。例題2:如圖,已知橢圓的離心率是,分別是橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)。點(diǎn)是軸上位于右側(cè)的一點(diǎn),且滿足。(1)求橢圓的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo);(2)過點(diǎn)作軸的垂線,再作直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),直線交直線于點(diǎn)。求證:以線段為直徑的圓恒過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。解:(1),設(shè),由有,又,于是,又,又,橢圓,且。(2)方法1:,設(shè),由,由于(*),而由韋達(dá)定理:,設(shè)以線段為直徑的圓上任意一點(diǎn),由有由對(duì)稱性知定點(diǎn)在軸上,令,取時(shí)滿足上式,故過定點(diǎn)。法2:本題又解:取極值,PQ與AD平行,易得與X軸相交于F(1,0)。接下來用相似證明PFFQ。問題得證。練習(xí):(10廣州二模文)已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,橢圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為,.圓的圓心是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),圓與軸交于兩點(diǎn),且.(1)求橢圓的方程;(2)證明:無論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點(diǎn).(1)解法1:拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為.橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,拋物線的準(zhǔn)線方程為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由拋物線的定義可知,,解得.由,且,得.點(diǎn)的坐標(biāo)為. 在橢圓:中,.橢圓的方程為.解法2:拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為. 拋物線的準(zhǔn)線方程為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由拋物線的定義可知,,解得.由,且得.點(diǎn)的坐標(biāo)為.在橢圓:中,.由解得.橢圓的方程為.(2)證法1: 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,圓的半徑為, 圓與軸交于兩點(diǎn),且, . 圓的方程為. 點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn), ().把代入 消去整理得:. 方程對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立, 解得點(diǎn)在橢圓:上,無論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點(diǎn).證法2: 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,圓的半徑為, 點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn), (). 圓與軸交于兩點(diǎn),且, . . 圓的方程為. 令,則,得.此時(shí)圓的方程為.由解得圓:與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為、.分別把點(diǎn)、代入方程進(jìn)行檢驗(yàn),可知點(diǎn)恒符合方程,點(diǎn)不恒符合方程.無論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點(diǎn).

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