高三數(shù)學(xué)不等式選講 知識點(diǎn)和練習(xí)

不等式選講一、絕對值不等式1絕對值三角不等式定理1：如果a,b是實(shí)數(shù)，則|a+b|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時，等號成立。注：（1）絕對值三角不等式的向量形式及幾何意義：當(dāng)，不共線時，|+|+|，它的幾何意義就是三角形的兩邊之和大于第三邊。（2）不等式|a|-|b|a±b|a|+|b|中“=”成立的條件分別是：不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|，在側(cè)“=”成立的條件是ab0，左側(cè)“=”成立的條件是ab0且|a|b|;不等式|a|-|b|a-b|a|+|b|，右側(cè)“=”成立的條件是ab0，左側(cè)“=”成立的條件是ab0且|a|b|。定理2：如果a,b,c是實(shí)數(shù)，那么|a-c|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c) 0時，等號成立。2絕對值不等式的解法（1）含絕對值的不等式|x|a與|x|a的解集不等式a0a=0a0|x|ax|-axa|x|ax|xa 或x-a x|xR且x0R注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的幾何意義（|x|表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離；| x-a |±|x-b|）表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)a,b的距離之和（差）（2）|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c-cax+bc;| ax+b|c ax+bc或ax+b-c.（3）|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法方法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；方法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；方法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想。二、證明不等式的基本方法1比較法（1）作差比較法理論依據(jù)：aba-b0;ab a-b0.證明步驟：作差變形判斷符號得出結(jié)論。注：作差比較法的實(shí)質(zhì)是把兩個數(shù)或式子的大小判斷問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)（或式子）與0的大小關(guān)系。（2）作商比較法理論依據(jù)： 證明步驟：作商變形判斷與1的大小關(guān)系得出結(jié)論。2綜合法（1）定義：從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得到命題成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫做推證法或由因?qū)Ч?。?）思路：綜合法的思索路線是“由因?qū)Ч?，也就是從一個（組）已知的不等式出發(fā)，不斷地用必要條件代替前面的不等式，直至推導(dǎo)出要求證明的不等式。3分析法（1）定義：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(shí)（定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等），從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法。（2）思路：分析法的思索路線是“執(zhí)果索因”，即從要證的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件來代替前面的不等式，直到打到已知不等式為止。注：綜合法和分析法的內(nèi)在聯(lián)系是綜合法往往是分析法的相反過程，其表述簡單、條理清楚。當(dāng)問題比較復(fù)雜時，通常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，以分析法尋找證明的思路，用綜合法敘述、表達(dá)整個證明過程。4放縮法（1）定義：證明不等式時，通常把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的，這種證明方法稱為放縮法。（2）思路：分析證明式的形式特點(diǎn)，適當(dāng)放大或縮小是證題關(guān)鍵。5.除此之外還有反證法和數(shù)學(xué)歸納法【絕對值不等式習(xí)題】【例1】不等式的解集為（A）-5.7 （B）-4,6 （C） （D） 【答案】D【解析】由不等式的幾何意義知，式子表示數(shù)軸的點(diǎn)與點(diǎn)（5）的距離和與點(diǎn)（-3）的距離之和，其距離之和的最小值為8，結(jié)合數(shù)軸，選項D正確【例2】 已知集合，則集合=_.【答案】【解析】，.【例3】對于實(shí)數(shù)x，y，若，則的最大值為 .【答案】5【例4】不等式的解集是_.【解析】。由題得 所以不等式的解集為。【例5】若關(guān)于x的不等式存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 【答案】【解析】：因?yàn)樗源嬖趯?shí)數(shù)解，有或【例6】已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|.（I）證明：-3f（x）3；（II）求不等式f（x）x2-8x+15的解集.解：（I） 當(dāng) 所以 （II）由（I）可知， 當(dāng)?shù)慕饧癁榭占?當(dāng)； 當(dāng).綜上，不等式 【例7】已知函數(shù) （1）解關(guān)于的不等式； （2）若函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方，求的取值范圍。解：（1）不等式，即。當(dāng)時，不等式的解集是；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，即，即或者，即或者，解集為。 （5分）（2）函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方，即對任意實(shí)數(shù)恒成立。即對任意實(shí)數(shù)恒成立。由于，故只要。所以的取值范圍是?！静坏仁阶C明習(xí)題】【例1】若a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：lg lg lg lg alg blg c.證明： 由a，b，c為正數(shù)，得lg lg ；lg lg ；lg lg .而a，b，c不全相等，所以lg lg lg lg lg lg lg lg(abc)lg alg blg c.即lg lg lg lg alg blg c.【例2】證明不等式1+證法一 (1)當(dāng)n等于1時，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立 (2)假設(shè)n=k(k1)時，不等式成立，即1+2，當(dāng)n=k+1時，不等式成立 綜合(1)、(2)得 當(dāng)nN*時，都有1+2 證法二 對任意kN*，都有 證法三 設(shè)f(n)= 那么對任意kN* 都有 f(k+1)f(k)因此，對任意nN* 都有f(n)f(n1)f(1)=10，【例3】已知a0，b0，且a+b=1 求證 (a+)(b+) 證法一 (分析綜合法）欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40，即證4(ab)233(ab)+80，即證ab或ab8 a0，b0，a+b=1，ab8不可能成立1=a+b2，ab，從而得證 證法二 (比較法）a+b=1，a0，b0，a+b2，ab證法三 (綜合法)a+b=1， a0，b0，a+b2，ab 【例4】已知求證：證明： 【例5】若，求證：，不能同時大于1。證明：由題意知假設(shè)有那么同理，得矛盾，假設(shè)不成立。故，不能同時大于1。【例6】設(shè)函數(shù)f(x)xa(x1)ln(x1)(x1，a0).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：當(dāng)mn0時，(1m)n(1n)m.【解析】(1)f(x)1aln(x1)a，a0時，f(x)0，所以f(x)在(1，)上是增函數(shù)；當(dāng)a0時，f(x)在(1，1上單調(diào)遞增，在1，)單調(diào)遞減.(2)證明：要證(1m)n(1n)m，只需證nln(1m)mln(1n)，只需證.設(shè)g(x)(x0)，則g(x).由(1)知x(1x)ln(1x)在(0，)單調(diào)遞減，所以x(1x)ln(1x)0，即g(x)是減函數(shù)，而mn，所以g(m)g(n)，故原不等式成立.8