第十單元 無窮級數(shù).doc

第十單元 無窮級數(shù)一、無窮級數(shù)的概念與性質 1、無窮級數(shù)：，簡稱級數(shù)。其中un稱為通項，也叫一般項。為級數(shù)的前n項的部分和。收斂：存在，且稱為級數(shù)的和。發(fā)散：不存在。數(shù)項級數(shù)：中的每項un均為常數(shù)。函數(shù)項級數(shù)：中的項un不全為常數(shù)。 2、基本性質 性質1、若收斂于S，則收斂于kS； 若發(fā)散，k0，則也發(fā)散。 性質2、若與皆收斂，則也收斂。 性質3、在前面部分去掉或添上有限項，不改變級數(shù)的收斂性。 性質4、收斂級數(shù)加括號后所得的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和。 性質5、（收斂的必要條件）若收斂，則必有。 說明：并不能保證一定收斂。 推論：，則必定發(fā)散。 三個標準級數(shù)：（1） 等比級數(shù)：（2） p級數(shù)：（3） 調和級數(shù)： 例1 若級數(shù)收斂，記，則（ B ） 例2 若級數(shù)收斂，則下列級數(shù)不收斂的是（ B ） 例3 判定的收斂性。 解：因 所以，收斂，且收斂于。二、正項級數(shù) 1、定義：若中的每一項un0，（n=1，2，）則稱為正項級數(shù)。 2、比較判別法（審斂法） 若與皆為正項級數(shù)，且0unvn(n=1,2,),則（1） 當收斂時，必收斂； （大斂小必斂）（2） 當發(fā)散時，必發(fā)散； （小散大必散） 3、比值判別法設為正項級數(shù)，且，則（1） 當<1時，收斂；（2） 當>1時，發(fā)散；（3） 當=1時，此法失效。說明：（1）un中含n!時，用比值法較為方便；（2）利用比較法時，要先有個初步估計，然后選擇一個標準級數(shù)與之比較。4、極限形式的比較判別法 設與皆為正項級數(shù)，且，則與的收斂性相同。例1 設與都是非功過正項級數(shù)，且unvn(n=1,2,),則下列命題正確的是 （ D ） 例2 判定級數(shù)的收斂性。解：因 所以級數(shù)發(fā)散。 （推論）例3 判定的收斂性。解：因 所以收斂。例4判定級數(shù)（a>0,ae）的收斂性。解： 故當a>e時，收斂； 0<a<e時，發(fā)散。說明：當級數(shù)中有參數(shù)時，一定要討論參數(shù)的取值范圍。例5 判定級數(shù)的收斂性。解： （必要條件） （比值法失效） 而，由于 （用比較法） 為正項級數(shù)，且為p=2的p級數(shù)，收斂， 故收斂。判定正項級數(shù)收斂性的方法：（1） 若易求，應先判定是否為0，若不為零，則發(fā)散；（2） 考慮用比值法判別，特別是含n!的情形；（3） 使用比較判別法，先作一個初步估計，再選擇標準級數(shù)。 例6 判定級數(shù)的收斂性。 解：（，比值法失效）法一：利用極限形式的比較判別法，取為發(fā)散級數(shù) （同斂散） 故發(fā)散。法二：比較判別法，由于 又發(fā)散 （調和級數(shù)） 故發(fā)散。三、任意項級數(shù) 1、定義：如果中的各項un可以是正數(shù)、負數(shù)或零，則稱 為任意項級數(shù)。（除特殊情形外，沒有判別收斂的一般法則） 2、交錯級數(shù)： （1）定義：形如u1-u2+u3-+(-1)n-1un+(其中un>0)的級數(shù)稱為交錯級數(shù)。 （2）萊布尼茲定理：若交錯級數(shù)（其中un>0，n=1,2）滿足 un >un+1，n=k,k+1, 則必定收斂，且其和Su1,余項的絕對值。（3）萊布尼茲級數(shù) ，該級數(shù)為收斂級數(shù)。（可作為公式使用）四、絕對收斂與條件收斂 1、絕對收斂：若收斂，則必收斂，此時稱絕對收斂。 2、條件收斂：若收斂，而發(fā)散，此時稱條件收斂。 3、交錯級數(shù)判斂的一般步驟： 先判定的收斂，若收斂，則絕對收斂。 若發(fā)散，再考察的收斂性，如果收斂，則為條件收斂。 例1 當滿足下列條件（ D ）時，收斂。 收斂 例2 下列級數(shù)中條件收斂的級數(shù)是（ C ） 說明：A、B的通項的極限不為零；D絕對收斂。 例3 級數(shù)是（ A ） A、絕對收斂 B、條件收斂 C、發(fā)散 D、收斂性不能判定 說明：取絕對值后為的正項p級數(shù)，故絕對收斂。 例4 判定級數(shù)的斂散性。 解：所給級數(shù)為交錯級數(shù)，且滿足， 所以，由萊布尼茲定理可知：收斂。 例5 研究級數(shù)的收斂性，其中常數(shù)a>0。 解：記,則,從而知為p級數(shù)，且 當a>1時，收斂，故絕對收斂； 當0<a1時，發(fā)散，此時， ，故條件收斂； 綜合可知：當a>1時，絕對收斂； 當0<a1時，條件收斂。 例6 設有正項級數(shù)，則下列說法正確的是（ C ） A、若(1)發(fā)散，則(2)必發(fā)散 B、若(2)收斂，則(1)必收斂 C、若(1)發(fā)散，則(2)可能發(fā)散也可能收斂 D、(1)、(2)斂散性一致 （以為例） （05、06） 例7下列級數(shù)收斂的是（ C ） （05B、6） 例8 設為正項級數(shù)，如下說法正確的是（ C） （06、5）A、 如果，則必定收斂；B、 如果，則必定收斂；C、 如果收斂，則必定收斂；D、 如果交錯級數(shù)收斂，則必定收斂。例下列級數(shù)收斂的是（）（、）五、冪級數(shù)、定義：形如的級數(shù)，稱為x（或x-x0）的冪級數(shù)。、收斂半徑、收斂區(qū)間當x=0時收斂；如果不是僅在x=0處收斂，也不是（，）內(nèi)收斂，則必定存在一個正數(shù)：當x<R時, 絕對收斂; 當x>R時, 發(fā)散; 當x=R時, 可能收斂也可能發(fā)散.。 則稱R為的收斂半徑，（-R，+R）為的收斂區(qū)間。 說明：在收斂區(qū)間（-R，+R）內(nèi)，絕對收斂，兩端點處需另外討論，不作要求。六、收斂半徑的求法 1、對于不缺項的冪級數(shù) 設冪級數(shù)的系數(shù)有，則（1） 當0<<+時，有；（2） 當=0時，定義R=+；（3） 當=+時，定義R=0。 2、對于缺項的冪級數(shù)，例如 令，考察 則當x2<1，即時，級數(shù)收斂，可知（1） 當0<<+時，；（2） 當=0時，定義R=+；（3） 當=+時，定義R=0。 例1 設冪級數(shù)在x=2處收斂，則該級數(shù)在x=-1處必定（ C ）A、 發(fā)散 B、條件收斂 C、絕對收斂 D、斂散性不能確定 例2冪級數(shù)的收斂半徑為（ 1 ） 解：該級數(shù)為不缺項的冪級數(shù)，故 所以收斂半徑： 例3 求的收斂半徑、收斂區(qū)間。 解：該級數(shù)為不缺項的冪級數(shù)，故 所以收斂半徑：，收斂區(qū)間為（-，+）。 例4求的收斂半徑、收斂區(qū)間。 解：該級數(shù)為不缺項的冪級數(shù)，故 所以收斂半徑：，收斂區(qū)間為（-3，3。 例5 求的收斂半徑、收斂區(qū)間。 解：該級數(shù)為不缺項的冪級數(shù)，故 所以收斂半徑：，所以僅在x=0處收斂。 例6 求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間。 解：該級數(shù)為不缺項的冪級數(shù)，故 所以收斂半徑：，收斂區(qū)間為（-1，1）。 例7求的收斂區(qū)間。 （x-x0）型 解：令t=x-1,級數(shù)變?yōu)?因 所以R=2，即-2<t<2,也就是-2<x-1<2,解得-1<x-1<3 故的收斂區(qū)間為（-1，3）。 例8、求的收斂區(qū)間。 解：該級數(shù)為缺項的冪級數(shù)，故 當時級數(shù)收斂，故的收斂區(qū)間為。 例9求的收斂區(qū)間。 解：該級數(shù)為缺項的冪級數(shù)，故 ，即R= 即對于任意的x，所給級數(shù)皆收斂，故收斂區(qū)間為（-，+）。七、冪級數(shù)的運算 設冪級數(shù)與的收斂半徑分別為R1與R2（R1與R2均不為零），它們的和函數(shù)分別為S1(x)與S2(x)，記R=min(R1,R2),則1、加法運算 ±=，收斂半徑為R。 2、乘法運算 ·=a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+(a0bn+anbn-1+anb0)xn+ 3、逐項求導數(shù) 若冪級數(shù)的收斂半徑分別為R，則在(-R,R)內(nèi)和函數(shù)S(x)可導，且有，收斂半徑不變。 4、逐項積分 若冪級數(shù)的和函數(shù)S(x)的收斂半徑分別為R，則和函數(shù)S(x)在(-R,R)內(nèi)可積，且有：，半徑為R，端點處的收斂性可能改變。 例：求冪級數(shù)和和函數(shù)。 解：收斂半徑R=1，收斂區(qū)間為（-1，1），而在收斂區(qū)間（-1，1）內(nèi)，故說明：因為公比的等比級數(shù)。八、函數(shù)的冪級數(shù)展開 1、泰勒（臺勞）級數(shù) 如果f(x)在x=x0的某一鄰域內(nèi)，有直到n+1階導數(shù)，則在這個鄰域內(nèi)有：（泰勒（臺勞）級數(shù)）當x0=0時，（麥克勞林級數(shù)） 2、直接展開法 把函數(shù)f(x)展開成x的冪級數(shù)的步驟： 求出f(x)的各階導數(shù) 求也函數(shù)及其各階導數(shù)在x=0處的值，即 f(0),f/(0),f/(0),f(n)(0), 寫出冪級數(shù)，并求出其收斂半徑。2、間接展開法運用幾個已知的展開式，通過冪級數(shù)的運算，可以求得所給函數(shù)的冪級數(shù)的展開式的方法，稱為間接展開法。幾個常用的標準展開式： （-1<x<1 （-1<x<1 (-,+) (-,+) (-,+) (-1<x1) (-1x<1) 例1 將 （a>0）（1）展開為x的冪級數(shù)；（2）展開為x-b的冪級數(shù) (ba)。 （與相近） 解：（1） 收斂區(qū)間為：，即-a<x<a （2） 收斂區(qū)間為： 例2 將函數(shù)展開成x+1的冪給數(shù)，并指出收斂區(qū)間。 解： 收斂區(qū)間：，即-4<x+1<4,解得-5<x<3. 例3 設函數(shù)，（1）將f(x)展開成x的冪級數(shù)；（2）利用（1）的結果，求數(shù)項級數(shù)的和。 （與ex相近） 解：（1）（2）在上等式中，取x=1，即得。 例4 將展開為冪級數(shù)。 解：由于 (-,+) (-,+)所以收斂區(qū)間為（-，+）說明：n為奇數(shù)時，故僅有偶數(shù)次項。 例5 將在x=0處展開為冪級數(shù)。 （與ex相近） 解： 說明：“將f(x)展開為x的冪級數(shù)”， “將f(x)展開為麥克勞林級數(shù)”， “將f(x)在x=0處展開為冪級數(shù)”，三種說法等價。 例6 將展開為x的冪級數(shù)。 （化為的形式） 解：因而 所以收斂區(qū)間（-1<x<1）(取R中較小的) 例7 將展開為x的冪級數(shù)。 （通過運算得到） 解：因 而 所以 （或， 說明：n=0時為常量，導數(shù)為零，故n從1開始取值。 例8 將f(x)=arctan2x展開為冪級數(shù)。 （標準形式中沒有此類型） 解：因 （與相近） 而 所以 故f(x)=arctan2x= 例9 冪級數(shù)的收斂域為（-1，1） （05、12） 例10 將函數(shù)展開為x的冪級數(shù)，并指出收斂區(qū)間。 （05，19） 解： 收斂區(qū)間：取中較小者為（-1，1）。 例11 冪級數(shù)的收斂區(qū)間為（-1，1） （05B、12） 例12將函數(shù)展開為x的冪級數(shù)，并指出收斂區(qū)間。 （05B，19） 解： 收斂區(qū)間：取中較小者為。 例13 將函數(shù)展開為x的冪級數(shù)（要求指出收斂區(qū)間）。 （06、18） 解： 收斂區(qū)間為。 例14 級數(shù)的收斂域是 （-2，2）。 （08、12） 解：