計數(shù)原理與排列組合(教師用).doc

姓名 學生姓名 填寫時間2016-12-7學科數(shù)學年級高三教材版本人教版階段第（ 48 ）周 觀察期： 維護期：課題名稱排列組合課時計劃第（ ）課時共（ ）課時上課時間2016-12-8 教學目標大綱教學目標1、理解排列的意義，掌握排列數(shù)計算公式，并能用它解決一些簡單的應用問題2、理解組合的意義，掌握組合數(shù)計算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的應用問題個性化教學目標體會分類討論的思想教學重點1、正確區(qū)分排列與組合,熟練排列數(shù)與組合數(shù)公式2、能熟練利用排列數(shù)與組合數(shù)公式進行求值和證明.教學難點分類討論思想的靈活應用教學過程第一部分：計數(shù)原理問題1：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中，火車有4 班, 汽車有2班，輪船有3班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法? 一、分類計數(shù)原理完成一件事，有n類辦法. 在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類方法中有m2種不同的方法，在第n類方法中有mn種不同的方法，則完成這件事共有種不同的方法說明：1）各類辦法之間相互獨立,都能獨立的完成這件事，要計算方法種數(shù),只需將各類方法數(shù)相加,因此分類計數(shù)原理又稱加法原理2）首先要根據(jù)具體的問題確定一個分類標準，在分類標準下進行分類，然后對每類方法計數(shù).例1、在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到A、B兩所大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具體情況如下：A大學：生物學 化學 醫(yī)學 物理學 工程學B大學：數(shù)學 會計學 信息技術學 法學如果這名同學只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？A村B村C村北南中北南問題 2. 如圖,由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條。從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法? 二、分步計數(shù)原理完成一件事，需要分成n個步驟。做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法， ，做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事共有種不同的方法說明：1）各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了,這件事才算完成,將各個步驟的方法數(shù)相乘得到完成這件事的方法總數(shù),又稱乘法原理2）首先要根據(jù)具體問題的特點確定一個分步的標準，然后對每步方法計數(shù).例2、設某班有男生30名，女生24名?，F(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？例3、浦江縣的部分電話號碼是05798415××××,后面每個數(shù)字來自09這10個數(shù),問可以產(chǎn)生多少個不同的電話號碼?第二部分：排列一、問題引入問題1：從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另一名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？問題2：從1、2、3、4這4個數(shù)字中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？問題1和2的共同點是什么？二、排列1、對排列定義的理解.定義：一般地，從n個不同的元素中任取m(mn)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.2、相同排列.如果兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.3、排列數(shù).從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同的排列的個數(shù)，稱為從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù).用符號表示.且有： 正整數(shù)1到n的連乘積叫做n的階乘，用表示，所以n個不同元素的全排列公式可以寫成： , 規(guī)定0! = 1，所以An01。注意： 例1、A，B，C，D四名同學重新?lián)Q位(每個同學都不能坐其原來的位子)，試列出所有可能的換位方法解：假設A，B，C，D四名同學原來的位子分別為1,2,3,4號，列出樹形圖如下： 換位后，原來1,2,3,4號座位上坐的同學的所有可能排法有：BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.練習2：四人A、B、C、D坐成一排，其中A不坐在排頭，寫出所有的坐法解：例2設aN*，且a27，則(27a)(28a)(34a)等于()AA27a8 BA34a27a CA34a7 DA34a8解析：8個括號是連續(xù)的自然數(shù)，依據(jù)排列數(shù)的概念，選D. 練習1：解不等式：A8m26A8m.解析：原不等式可化為6·，化簡得m215m500，即(m5)(m10)0，解得5m10，又，即m6，所以m6.練習2：計算 (1)；(2)1！2·2！3·3！n·n！.(3)；(4).解析(1)方法一：.方法二：.(2)1！2·2！3·3！n·n! (2！1)(3！2！)(4！3！)(n1)！n！(n1)！1. (3)1.(4)·(nm)！··(nm)！·1.例3、求證：An1mAnmmAnm1. 解析證法一：An1mAnm·m·mAnm1.練習：求證：An1n1An1n(n1)Ann 證明：An1n1(n1)×n×(n1)××3×2×1，An1n(n1)×n×(n1)××3×2，(n1)Ann(n1)×n! (n1)×n×(n1)××3×2×1， An1n1An1n(n1)Ann.鞏固練習：1、某年全國足球甲級（A組）聯(lián)賽共有14個隊參加，每隊要與其余各隊在主、客場分別賽一次，共進行多少場比賽？2、（1）從5本不同的書中選3本選給3名同學，每人各1本，共有多少種不同選法？（2）從5種不同的書中買3本選給3名同學，每人各1本，共有多少種不同選法？3、用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可以組成多少個符合下列條件的無重復的數(shù)字？(1)六位奇數(shù)； (2)個位數(shù)字不是5的六位數(shù)； (3)不大于4 310的四位偶數(shù)解題過程(1)方法一(直接法)：第一步，排個位，有A31種排法；第二步，排十萬位，有A41種排法；第三步，排其他位，有A44種排法故共有A31A41A44288個六位奇數(shù) 方法二(排除法)：6個數(shù)字全排列有A66個，0,2,4在個位上的排列數(shù)有3A55個，1,3,5在個位上且0在十萬位上的排列數(shù)有3A44個，故對應的六位奇數(shù)的排列數(shù)為A663A553A44288(個)(2)方法一(排除法)：0在十萬位和5在個位的排列都不對應符合題意的六位數(shù)，這兩類排列中都含有0在十萬位和5在個位的情況故符合題意的六位數(shù)共有A662A55A44504(個) 方法二(直接法)：十萬位數(shù)字的排法因個位上排0與不排0而有所不同，因此需分兩類第一類，當個位排0時，有A55個；第二類，當個位不排0時，有A41A41A44個故共有符合題意的六位數(shù)有A55A41A41A44504(個) (3)當千位上排1,3時，有A21A31A42個 當千位上排2時，有A21A42個 當千位上排4時，形如40××，42××的各有A31個；形如41××的有A21A31個；形如43××的只有4 310和4 302這兩個數(shù)，故共有A21A31A42A21A422A31A21A312110(個)題后感悟：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應分類討論第二部分：組合一、問題引入問題3：從3名同學中選出2名的可能選法是多少？問題4：區(qū)別問題1與問題3的不同點。二、組合1、組合定義：從n個不同的元素中任取m(mn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.注意：排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別。 共同點：兩者都是從n個不同的元素中任取m(mn)個元素； 不同點：排列與元素周期律的順序有關，組合與元素的順序無關。只有元素相同且順序相同的兩個排列才是相同的，只要兩個組合的元素相同，不論元素的順序是否相同，它們都是相同的組合。2、組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個數(shù)，稱為從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).用符號表示.探究2：從4個不同的元素中取出3個元素的排列與組合的關系？從n個元素中取出m個元素的排列與組合的關系？3、組合數(shù)公式： Cn01例1判斷下列問題是排列問題，還是組合問題(1)從1,2,3，9九個數(shù)字中任取3個，組成一個三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有多少個？(2)從1,2,3，9九個數(shù)字中任取3個，然后把這三個數(shù)字相加得到一個和，這樣的和共有多少個？(3)從a，b，c，d四名學生中選2名學生，去完成同一件工作有多少種不同的選法？(4)5個人規(guī)定相互通話一次，共通了多少次電話？(5)5個人相互各寫一封信，共寫了多少封信？解：(1)當取出3個數(shù)字后，如果改變?nèi)齻€數(shù)字的順序，會得到不同的三位數(shù)，此問題不但與取出元素有關，而且與元素的安排順序有關，是排列問題(2)取出3個數(shù)字之后，無論怎樣改變這三個數(shù)字之間的順序，其和均不變，此問題只與取出的元素有關，而與元素的安排順序無關，是組合問題(3)2名學生完成的是同一件工作，沒有順序，是組合問題(4)甲與乙通一次電話，也就是乙與甲通一次電話，無順序區(qū)別為組合問題(5)發(fā)信人與收信人是有區(qū)別的，是排列問題例2 (2011·大綱全國卷)某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有()A4種B10種 C18種 D20種解析：分兩種情況：選2本畫冊，2本集郵冊送給4位朋友有C426種方法；選1本畫冊，3本集郵冊送給4位朋友有C414種方法，所以不同的贈送方法共有6410(種)，故選B. 練習1：某人決定投資于8種股票和4種債券，經(jīng)紀人向他推薦了12種股票和7種債券問：此人有多少種不同的投資方式？解：需分兩步：第1步，根據(jù)經(jīng)紀人的推薦在12種股票中選8種，共有C128種選法；第2步，根據(jù)經(jīng)紀人的推薦在7種債券中選4種，共有C74種選法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，此人有C128·C7417 325種不同的投資方式練習2：現(xiàn)有10名大學生，其中男生6名，女生4名(1)現(xiàn)要從中選2名參加會議，有多少種不同的選法？(2)現(xiàn)要從中選出男、女大學生各2名去參加會議，有多少種不同的選法？解析：(1)從10名大學生中選2名去參加會議的選法數(shù)就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)，即C10245種(2)從6名男大學生中選2名的選法有C62種，從4名女大學生中選2名的選法有C42種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，因此共有選法C62·C42·90種例3 一位教練的足球隊共有17名初級學員，他們中以前沒有一個參加過比賽，按照足球比賽規(guī)則，比賽時一個足球隊的上場隊員是11人，問：（1） 這位教練從這17名學員中可以形成多少種學員上場方案？（2） 如果在選出11名上場隊員時，還在確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？ 例4 （1）平面內(nèi)有10個點，以其中每2個點為端點的線段共有多少條？（2）平面內(nèi)有10個點，以其中每兩個點為端點的有向線段共有多少條？練習1： (1)以正方體的頂點為頂點，可以確定多少個四面體？(2)以正方體的頂點為頂點，可以確定多少個四棱錐？解：(1)正方體8個頂點可構成C84個四點組，其中共面的四點組是正方體的6個表面及正方體6組相對棱分別所在的6個平面的四個頂點，故可確定四面體C841258(個)(2)由(1)知，正方體共面的四點組有12個，以這每一個四點組構成的四邊形為底面，以其余的四個點中任一點為頂點都可以確定一個四棱錐，故可以確定四棱錐12C4148(個)練習2：.(1)四面體的一個頂點為A，從其他頂點和各棱中點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，有多少種不同的取法？(2)四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，有多少種不同的取法解析：(1)直接法：如圖，含頂點A的四面體的3個面上，除點A外都有5個點，從中取出3點必與點A共面共有3C53種取法；含頂點A的三條棱上各有三個點，它們與所對的棱的中點共面，共有3種取法根據(jù)分類計數(shù)原理，與頂點A共面三點的取法有3C53333種(2)間接法：如圖，從10個點中取4個點的取法有C104種，除去4點共面的取法種數(shù)可以得到結果從四面體同一個面上的6個點取出的4點必定共面有4C6460(種)，四面體的每一棱上3點與相對棱中點共面，共有6種共面情況，從6條棱的中點中取4個點時有3種共面情形(對棱中點連線兩兩相交且互相平分)，故4點不共面的取法為：C104(6063)141(種)例5 在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品，從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件，（1）有多少種不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？練習1：(2011·北京高考)用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有_個(用數(shù)字作答) 解析：數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，包括以下情況： “2”出現(xiàn)1次，“3”出現(xiàn)3次，共可組成C414(個)四位數(shù) “2”出現(xiàn)2次，“3”出現(xiàn)2次，共可組成C426(個)四位數(shù) “2”出現(xiàn)3次，“3”出現(xiàn)1次，共可組成C434(個)四位數(shù)綜上所述，共可組成14個這樣的四位數(shù) 答案：14練習2：“抗震救災，眾志成城”，在我國甘肅舟曲的抗震救災中，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴某災區(qū)救災，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家問：(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？解：(1)分步：首先從4名外科專家中任選2名，有C42種選法，再從除外科專家的6人中選取4人，有C64種選法，所以共有C42·C6490種抽調(diào)方法. (2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法， 方法一(直接法)：按選取的外科專家的人數(shù)分類： 選2名外科專家，共有C42·C64種選法； 選3名外科專家，共有C43·C63種選法； 選4名外科專家，共有C44·C62種選法； 根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有C42·C64C43·C63C44·C62185種抽調(diào)方法. 方法二(間接法)：不考慮是否有外科專家，共有C106種選法，考慮選取1名外科專家參加，有C41·C65種選法；沒有外科專家參加，有C66種選法，所以共有：C106C41·C65C66185種抽調(diào)方法. (3)“至多2名”包括“沒有”、“有1名”、“有2名”三種情況，分類解答 沒有外科專家參加，有C66種選法； 有1名外科專家參加，有C41·C65種選法； 有2名外科專家參加，有C42·C64種選法. 所以共有C66C41·C65C42·C64115種抽調(diào)方法練習3：某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，鑒定結果有15種假貨，現(xiàn)從35種商品中選取3種，試求：(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？解析：(1)其中某一假貨必須在內(nèi)，則需從剩余的34種商品中選取2種，不同的取法有C342561(種)(2)其中某一假貨不能在內(nèi)，則需從剩余的34種商品中選取3種，共有C3435 984(種)(3)恰有兩種假貨在內(nèi)，則假貨有C152種選法，1種真貨的取法有C201種，故3種商品的取法有C152×C2012 100種(4)至少有2種假貨，直接法為C152C201C1532 555種，間接法為C353C203C151C2022 555種(5)至多有2種假貨，直接法為C203C202C151C201C1526 090(種)，間接法：C353C1536 090(種)4、兩個性質(zhì)公式： 從n個不同元素中取出m個元素后就剩下n-m個元素，因此從n個不同元素中取出 n-m個元素的方法是一一對應的，因此是一樣多的就是說從n個不同元素中取出n-m個元素的唯一的一個組合.（或者從n+1個編號不同的小球中，n個白球一個紅球，任取m個不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有一類是不含紅球的選法有）根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定n+1個不同元素中取m個元素方法時，對于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個元素中再取m-1個元素，所以有C，如果不取這一元素，則需從剩余n個元素中取出m個元素，所以共有C種，依分類原理有. 5、幾個常用組合數(shù)公式例6計算：（1）； （2）分析：本題如果直接計算組合數(shù)，運算比較繁本題應努力在式子中創(chuàng)造條件使用組合數(shù)的性質(zhì)，第（1）題中，經(jīng)此變形后，可繼續(xù)使用組合數(shù)性質(zhì)第（2）題有兩個考慮途徑，一方面可以抓住項的變形，求和；另一方面，變形，接著，反復使用公式解：（1）原式（2）原式另一方法是：原式 說明：利用第（2）小題的手段，我們可以得到組合數(shù)的一個常用的結論：左邊右邊例7、計算下列各式的值(1)3C832C52； (2)C10098C200199； (3)C73C74C85C96； (4)Cn5nCn19n.解題過程(1)3C832C523×2×148.(2)C10098C200199C1002C20012005 150.(3)原式C84C85C96C95C96C106C104210.(4)由4n5.nN*，n4或5.當n4時，原式C41C555.當n5時，原式C50C6416.練習1：計算：(1)C85C10098·C77；(2)C50C51C52C53C54C55；(3)Cn1n·Cnn1.解析：(1)原式C83C1002×1564 9505 006.(2)原式2(C50C51C52)2(C61C52)2×32.(3)方法一：原式Cn1n·Cn1·n·n(n1)nn2n.方法二：原式(CnnCnn1)·Cnn1(1Cn1)·Cn1(1n)nn2n.練習2：(1)已知，求C8m. (2)解方程：Cx2x2Cx2x3Ax33.解(1)原方程變形為，1，即m223m420， (2)原方程可化為Cx3x2Ax33，即Cx35Ax33， ，x2x120 解得x4或x3課后作業(yè)一、知識點熟記1、做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法在第n類辦法中有mn種不同的方法。那么，完成這件事共有N= 種不同的方法；完成一件事，需要分n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法做第n步有mn種不同的方法。那么，完成這件事共有N= 種不同的方法；2、排列數(shù)的計算公式為= ；組合數(shù)的計算公式= （3）兩個性質(zhì)公式： 二、題組分析1、某小組有8名男生，6名女生，要從中選出一名同學代表小組發(fā)言，不同的選法共有（ ）A、48種 B、24種 C、14種 D、13種2、有一位同學要從三門不同的知識類選修課、二門不同的技能類選修課、四門不同的藝術類選修課中各選一門，不同的選法有（ ）A、9種 B、20種 C、24種 D、15種3、某商場有5個出入門，某人從任一門進入，購物完后從一門走出，不同的走法的種數(shù)為（ ）A、5種 B、16種 C、25種 D、20種4、由甲地直達丙地有2種走法，由甲地到乙地有3種走法，由乙地到丙地有4種走法，則由甲地到丙地所有不同走法有（ ）種A、5 B、24 C、14 D、105、用1、2、3、4、5這五個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，則可排出奇數(shù)的個數(shù)為（ ）A、24 B、30 C、36 D、606、18×17×16×15××9等于（ ）A、 B、 C、 D、7、現(xiàn)有5支足球隊爭奪冠、亞軍，那么不同的結果有（ ）種A、9 B、20 C、35 D、1258、現(xiàn)有5人照相，甲站中間的排法有（）A、24種 B、72種 C 、96種 D、60種9、一個畫展在5個學校輪流展出，每個學校展出一次，則不同的展出次序有（ ）種A、5 B、25 C、 D、12010、用1,2,3,4,5,6，這六個數(shù)字組成不重復的三位數(shù)的個數(shù)是（ ）A、0 B、120 C、180 D、24011、在5本不同數(shù)學書、3本不同故事書、2本不同美術書中任取一本書，有幾種不同的取法（ ） A、 5種 B、 3種 C、 8種 D、 10種12、從6篇稿件中選4篇參加征文比賽，不同的選法有（ ）種A、 B、 C、 D、4！13、若，則n=（ ）A、1 B、1 C、18 D、1914、一古玩收藏家有6枚清朝不同的古幣和9枚元朝不同的古幣。若從中任取一枚，有 種不同的取法，從中任取元、清古幣各一枚，有 種不同的取法15、若，則n= 16、有7人并排坐在一起照相，求下列條件下的不同排法(1)甲坐在正中間；(2)甲、乙兩人坐在一起；(3)甲、乙兩人坐在兩端；(4) 甲、乙兩人不坐在一起17、從名男生和名女生中任選人參加演講比賽,求下列條件下的不同選法總數(shù)： 選人都是男生;所選人只有名女生;18、在10件產(chǎn)品中，有3件次品，從中任取3件；（1）“其中恰有2件次品”的抽法有多少種？（2）“其中恰有3件正品”的抽法有多少種？（3）“其中沒有次品”的抽法有多少種？（4）“其中至少有2件次品”的抽法有多少種？ 19、計算下列各題; （1） (2) (3) (4) 20、用1,2,3,4,5,6這六個數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字， （1）自然數(shù)多少個？（2）三位的奇數(shù)多少個？（3）能被2整除的三位數(shù)多少個？（4）比50000大的整數(shù)多少個？課后記本節(jié)課教學計劃完成情況：照常完成 提前完成 延后完成 學生的接受程度：完全能接受 部分能接受 不能接受 學生的課堂表現(xiàn)：很積極 比較積極 一般 不積極 學生上次的作業(yè)完成情況：數(shù)量 % 完成質(zhì)量 分 存在問題 備注班主任簽字家長或?qū)W生簽字教研主任審批第19頁/共12頁