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二元一次方程解法大全.doc

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二元一次方程解法大全.doc

二元一次方程解法大全1、直接開平方法:直接開平方法就是用直接開平方求解二元一次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n(n0)的方程,其解為x=±根號下n+m.例1解方程(1)(3x+1)2=7(2)9x2-24x+16=11分析:(1)此方程顯然用直接開平方法好做,(2)方程左邊是完全平方式(3x-4)2,右邊=11>0,所以此方程也可用直接開平方法解。(1)解:(3x+1)2=7×(3x+1)2=53x+1=±(注意不要丟解)x=原方程的解為x1=,x2=(2)解:9x2-24x+16=11(3x-4)2=113x-4=±x=原方程的解為x1=,x2=2配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0(a0)先將常數(shù)c移到方程右邊:ax2+bx=-c將二次項系數(shù)化為1:x2+x=-方程兩邊分別加上一次項系數(shù)的一半的平方:x2+x+()2=-+()2方程左邊成為一個完全平方式:(x+)2=當(dāng)b2-4ac0時,x+=±x=(這就是求根公式)例2用配方法解方程3x2-4x-2=0(注:X2是X的平方)解:將常數(shù)項移到方程右邊3x2-4x=2將二次項系數(shù)化為1:x2-x=方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方:x2-x+()2=+()2配方:(x-)2=直接開平方得:x-=±x=原方程的解為x1=,x2=.3公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后計算判別式=b2-4ac的值,當(dāng)b2-4ac0時,把各項系數(shù)a,b,c的值代入求根公式x=-b±(b2-4ac)(1/2)/(2a),(b2-4ac0)就可得到方程的根。例3用公式法解方程2x2-8x=-5解:將方程化為一般形式:2x2-8x+5=0a=2,b=-8,c=5b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0x=(-b±(b2-4ac)(1/2)/(2a)原方程的解為x1=,x2=.4因式分解法:把方程變形為一邊是零,把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式,讓兩個一次因式分別等于零,得到兩個一元一次方程,解這兩個一元一次方程所得到的根,就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例4用因式分解法解下列方程:(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0(3)6x2+5x-50=0(選學(xué))(4)x2-2(+)x+4=0(選學(xué))(1)解:(x+3)(x-6)=-8化簡整理得x2-3x-10=0(方程左邊為二次三項式,右邊為零)(x-5)(x+2)=0(方程左邊分解因式)x-5=0或x+2=0(轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程)x1=5,x2=-2是原方程的解。(2)解:2x2+3x=0x(2x+3)=0(用提公因式法將方程左邊分解因式)x=0或2x+3=0(轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程)x1=0,x2=-是原方程的解。注意:有些同學(xué)做這種題目時容易丟掉x=0這個解,應(yīng)記住一元二次方程有兩個解。(3)解:6x2+5x-50=0(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)2x-5=0或3x+10=0x1=,x2=-是原方程的解。(4)解:x2-2(+)x+4=0(4可分解為2·2,此題可用因式分解法)(x-2)(x-2)=0x1=2,x2=2是原方程的解。小結(jié):一般解一元二次方程,最常用的方法還是因式分解法,在應(yīng)用因式分解法時,一般要先將方程寫成一般形式,同時應(yīng)使二次項系數(shù)化為正數(shù)。直接開平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程(有人稱之為萬能法),在使用公式法時,一定要把原方程化成一般形式,以便確定系數(shù),而且在用公式前應(yīng)先計算判別式的值,以便判斷方程是否有解。配方法是推導(dǎo)公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程。但是,配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識時有廣泛的應(yīng)用,是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學(xué)方法之一,一定要掌握好。(三種重要的數(shù)學(xué)方法:換元法,配方法,待定系數(shù)法)。二元一次方程練習(xí)題一、判斷1、是方程組的解()2、方程組的解是方程3x-2y=13的一個解()3、由兩個二元一次方程組成方程組一定是二元一次方程組()4、方程組,可以轉(zhuǎn)化為()5、若(a2-1)x2+(a-1)x+(2a-3)y=0是二元一次方程,則a的值為±1()6、若x+y=0,且|x|=2,則y的值為2()7、方程組有唯一的解,那么m的值為m-5()8、方程組有無數(shù)多個解()9、x+y=5且x,y的絕對值都小于5的整數(shù)解共有5組()10、方程組的解是方程x+5y=3的解,反過來方程x+5y=3的解也是方程組的解()11、若|a+5|=5,a+b=1則()12、在方程4x-3y=7里,如果用x的代數(shù)式表示y,則()二、選擇:13、任何一個二元一次方程都有()(A)一個解;(B)兩個解;(C)三個解;(D)無數(shù)多個解;14、一個兩位數(shù),它的個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為6,那么符合條件的兩位數(shù)的個數(shù)有()(A)5個(B)6個(C)7個(D)8個15、如果的解都是正數(shù),那么a的取值范圍是()(A)a<2;(B);(C);(D);16、關(guān)于x、y的方程組的解是方程3x+2y=34的一組解,那么m的值是()(A)2;(B)-1;(C)1;(D)-2;17、在下列方程中,只有一個解的是()(A)(B)(C)(D)18、與已知二元一次方程5x-y=2組成的方程組有無數(shù)多個解的方程是()(A)15x-3y=6(B)4x-y=7(C)10x+2y=4(D)20x-4y=319、下列方程組中,是二元一次方程組的是()(A)(B)(C)(D)20、已知方程組有無數(shù)多個解,則a、b的值等于()(A)a=-3,b=-14(B)a=3,b=-7(C)a=-1,b=9(D)a=-3,b=1421、若5x-6y=0,且xy0,則的值等于()(A)(B)(C)1(D)-122、若x、y均為非負(fù)數(shù),則方程6x=-7y的解的情況是()(A)無解(B)有唯一一個解(C)有無數(shù)多個解(D)不能確定23、若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0,則2x2-3xy的值是()(A)14(B)-4(C)-12(D)1224、已知與都是方程y=kx+b的解,則k與b的值為()(A),b=-4(B),b=4(C),b=4(D),b=-4三、填空:25、在方程3x+4y=16中,當(dāng)x=3時,y=_,當(dāng)y=-2時,x=_若x、y都是正整數(shù),那么這個方程的解為_;26、方程2x+3y=10中,當(dāng)3x-6=0時,y=_;27、如果0.4x-0.5y=1.2,那么用含有y的代數(shù)式表示的代數(shù)式是_;28、若是方程組的解,則;29、方程|a|+|b|=2的自然數(shù)解是_;30、如果x=1,y=2滿足方程,那么a=_;31、已知方程組有無數(shù)多解,則a=_,m=_;32、若方程x-2y+3z=0,且當(dāng)x=1時,y=2,則z=_;33、若4x+3y+5=0,則3(8y-x)-5(x+6y-2)的值等于_;34、若x+y=a,x-y=1同時成立,且x、y都是正整數(shù),則a的值為_;35、從方程組中可以知道,x:z=_;y:z=_;36、已知a-3b=2a+b-15=1,則代數(shù)式a2-4ab+b2+3的值為_;四、解方程組37、;38、;39、;40、;41、;42、;43、;44、;45、;46、;五、解答題:47、甲、乙兩人在解方程組時,甲看錯了式中的x的系數(shù),解得;乙看錯了方程中的y的系數(shù),解得,若兩人的計算都準(zhǔn)確無誤,請寫出這個方程組,并求出此方程組的解;48、使x+4y=|a|成立的x、y的值,滿足(2x+y-1)2+|3y-x|=0,又|a|+a=0,求a的值;49、代數(shù)式ax2+bx+c中,當(dāng)x=1時的值是0,在x=2時的值是3,在x=3時的值是28,試求出這個代數(shù)式;50、要使下列三個方程組成的方程組有解,求常數(shù)a的值。2x+3y=6-6a,3x+7y=6-15a,4x+4y=9a+951、當(dāng)a、b滿足什么條件時,方程(2b2-18)x=3與方程組都無解;52、a、b、c取什么數(shù)值時,x3-ax2+bx+c程(x-1)(x-2)(x-3)恒等?53、m取什么整數(shù)值時,方程組的解:(1)是正數(shù);(2)是正整數(shù)?并求它的所有正整數(shù)解。54、試求方程組的解。六、列方程(組)解應(yīng)用題55、汽車從甲地到乙地,若每小時行駛45千米,就要延誤30分鐘到達;若每小時行駛50千米,那就可以提前30分鐘到達,求甲、乙兩地之間的距離及原計劃行駛的時間?56、某班學(xué)生到農(nóng)村勞動,一名男生因病不能參加,另有三名男生體質(zhì)較弱,教師安排他們與女生一起抬土,兩人抬一筐土,其余男生全部挑土(一根扁擔(dān),兩只筐),這樣安排勞動時恰需筐68個,扁擔(dān)40根,問這個班的男女生各有多少人?57、甲、乙兩人練習(xí)賽跑,如果甲讓乙先跑10米,那么甲跑5秒鐘就可以追上乙;如果甲讓乙先跑2秒鐘,那么甲跑4秒鐘就能追上乙,求兩人每秒鐘各跑多少米?58、甲桶裝水49升,乙桶裝水56升,如果把乙桶的水倒入甲桶,甲桶裝滿后,乙桶剩下的水,恰好是乙桶容量的一半,若把甲桶的水倒入乙桶,待乙桶裝滿后則甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的,求這兩個水桶的容量。59、甲、乙兩人在A地,丙在B地,他們?nèi)送瑫r出發(fā),甲與乙同向而行,丙與甲、乙相向而行,甲每分鐘走100米,乙每分鐘走110米,丙每分鐘走125米,若丙遇到乙后10分鐘又遇到甲,求A、B兩地之間的距離。60、有兩個比50大的兩位數(shù),它們的差是10,大數(shù)的10倍與小數(shù)的5倍的和的是11的倍數(shù),且也是一個兩位數(shù),求原來的這兩個兩位數(shù)。【參考答案】一、1、;2、;3、×;4、×;5、×;6、×;7、;8、;9、×;10、×;11、×;12、×;二、13、D;14、B;15、C;16、A;17、C;18、A;19、C;20、A;21、A;22、B;23、B;24、A;三、25、,8,;26、2;27、;28、a=3,b=1;29、30、;31、3,-432、1;33、20;34、a為大于或等于3的奇數(shù);35、4:3,7:936、0;四、37、;38、;39、;40、;41、;42、;43、;44、;45、;46、;五、47、,;48、a=-149、11x2-30x+19;50、;51、,b=±352、a=6,b=11,c=-6;53、(1)m是大于-4的整數(shù),(2)m=-3,-2,0,;54、或;六、55、A、B距離為450千米,原計劃行駛9.5小時;56、設(shè)女生x人,男生y人,57、設(shè)甲速x米/秒,乙速y米/秒58、甲的容量為63升,乙水桶的容量為84升;59、A、B兩地之間的距離為52875米;60、所求的兩位數(shù)為52和62。二元一次方程組練習(xí)題100道(卷二)一、選擇題:1下列方程中,是二元一次方程的是()A3x2y=4zB6xy+9=0C+4y=6D4x=2下列方程組中,是二元一次方程組的是()A3二元一次方程5a11b=21()A有且只有一解B有無數(shù)解C無解D有且只有兩解4方程y=1x與3x+2y=5的公共解是()A5若x2+(3y+2)2=0,則的值是()A1B2C3D6方程組的解與x與y的值相等,則k等于()7下列各式,屬于二元一次方程的個數(shù)有()xy+2xy=7;4x+1=xy;+y=5;x=y;x2y2=26x2yx+y+z=1y(y1)=2y2y2+xA1B2C3D48某年級學(xué)生共有246人,其中男生人數(shù)y比女生人數(shù)x的2倍少2人,則下面所列的方程組中符合題意的有()A二、填空題9已知方程2x+3y4=0,用含x的代數(shù)式表示y為:y=_;用含y的代數(shù)式表示x為:x=_10在二元一次方程x+3y=2中,當(dāng)x=4時,y=_;當(dāng)y=1時,x=_11若x3m32yn1=5是二元一次方程,則m=_,n=_12已知是方程xky=1的解,那么k=_13已知x1+(2y+1)2=0,且2xky=4,則k=_14二元一次方程x+y=5的正整數(shù)解有_15以為解的一個二元一次方程是_16已知的解,則m=_,n=_三、解答題17當(dāng)y=3時,二元一次方程3x+5y=3和3y2ax=a+2(關(guān)于x,y的方程)有相同的解,求a的值18如果(a2)x+(b+1)y=13是關(guān)于x,y的二元一次方程,則a,b滿足什么條件?19二元一次方程組的解x,y的值相等,求k20已知x,y是有理數(shù),且(x1)2+(2y+1)2=0,則xy的值是多少?21已知方程x+3y=5,請你寫出一個二元一次方程,使它與已知方程所組成的方程組的解為22根據(jù)題意列出方程組:(1)明明到郵局買0.8元與2元的郵票共13枚,共花去20元錢,問明明兩種郵票各買了多少枚?(2)將若干只雞放入若干籠中,若每個籠中放4只,則有一雞無籠可放;若每個籠里放5只,則有一籠無雞可放,問有多少只雞,多少個籠?23方程組的解是否滿足2xy=8?滿足2xy=8的一對x,y的值是否是方程組的解?24(開放題)是否存在整數(shù)m,使關(guān)于x的方程2x+9=2(m2)x在整數(shù)范圍內(nèi)有解,你能找到幾個m的值?你能求出相應(yīng)的x的解嗎?答案:一、選擇題1D解析:掌握判斷二元一次方程的三個必需條件:含有兩個未知數(shù);含有未知數(shù)的項的次數(shù)是1;等式兩邊都是整式2A解析:二元一次方程組的三個必需條件:含有兩個未知數(shù),每個含未知數(shù)的項次數(shù)為1;每個方程都是整式方程3B解析:不加限制條件時,一個二元一次方程有無數(shù)個解4C解析:用排除法,逐個代入驗證5C解析:利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)6B7C解析:根據(jù)二元一次方程的定義來判定,含有兩個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)不超過1次的整式方程叫二元一次方程,注意整理后是二元一次方程8B二、填空題9101011,2解析:令3m3=1,n1=1,m=,n=2121解析:把代入方程xky=1中,得23k=1,k=1134解析:由已知得x1=0,2y+1=0,x=1,y=,把代入方程2xky=4中,2+k=4,k=114解:解析:x+y=5,y=5x,又x,y均為正整數(shù),x為小于5的正整數(shù)當(dāng)x=1時,y=4;當(dāng)x=2時,y=3;當(dāng)x=3,y=2;當(dāng)x=4時,y=1x+y=5的正整數(shù)解為15x+y=12解析:以x與y的數(shù)量關(guān)系組建方程,如2x+y=17,2xy=3等,此題答案不唯一1614解析:將中進行求解三、解答題17解:y=3時,3x+5y=3,3x+5×(3)=3,x=4,方程3x+5y=3和3x2ax=a+2有相同的解,3×(3)2a×4=a+2,a=18解:(a2)x+(b+1)y=13是關(guān)于x,y的二元一次方程,a20,b+10,a2,b1解析:此題中,若要滿足含有兩個未知數(shù),需使未知數(shù)的系數(shù)不為0(若系數(shù)為0,則該項就是0)19解:由題意可知x=y,4x+3y=7可化為4x+3x=7,x=1,y=1將x=1,y=1代入kx+(k1)y=3中得k+k1=3,k=2解析:由兩個未知數(shù)的特殊關(guān)系,可將一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式代替,化“二元”為“一元”,從而求得兩未知數(shù)的值20解:由(x1)2+(2y+1)2=0,可得x1=0且2y+1=0,x=±1,y=當(dāng)x=1,y=時,xy=1+=;當(dāng)x=1,y=時,xy=1+=解析:任何有理數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù),且題中兩非負(fù)數(shù)之和為0,則這兩非負(fù)數(shù)(x1)2與(2y+1)2都等于0,從而得到x1=0,2y+1=021解:經(jīng)驗算是方程x+3y=5的解,再寫一個方程,如xy=322(1)解:設(shè)08元的郵票買了x枚,2元的郵票買了y枚,根據(jù)題意得(2)解:設(shè)有x只雞,y個籠,根據(jù)題意得23解:滿足,不一定解析:的解既是方程x+y=25的解,也滿足2xy=8,方程組的解一定滿足其中的任一個方程,但方程2xy=8的解有無數(shù)組,如x=10,y=12,不滿足方程組24解:存在,四組原方程可變形為mx=7,當(dāng)m=1時,x=7;m=1時,x=7;m=7時,x=1;m=7時x=1二元一次方程應(yīng)用題題型一:配套問題1某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝,已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個或衣袖5只.現(xiàn)計劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗),應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套?題型二:年齡問題2甲對乙說:“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時,你才4歲”乙對甲說:“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時,你將61歲”請你算一算,甲、乙現(xiàn)在各多少歲?題型三:百分比問題3有甲乙兩種銅和銀的合金,甲種合金含銀25%,乙種合金含銀37.5%,現(xiàn)在要熔制含銀30%的合金100千克,甲、乙兩種合金各應(yīng)取多少?題型四:數(shù)字問題4有一個兩位數(shù),個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大5,如果把這兩個數(shù)字的位置對換,那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143,求這個兩位數(shù).題型五:古算術(shù)問題5巍巍古寺在山林,不知寺內(nèi)幾多僧。364只碗,看看用盡不差爭。三人共食一碗飯,四人共吃一碗羹。請問先生明算者,算來寺內(nèi)幾多僧。詩句的意思是:寺內(nèi)有三百六十四只碗,如果三個和尚共吃一碗飯,四個和尚共吃一碗羹,剛好夠用,寺內(nèi)共有和尚多少個?題型六:行程問題6甲乙兩地相距160千米,一輛汽車和一輛拖拉機從兩地同時出發(fā)相向而行,1小時20分后相遇。相遇后,拖拉機繼續(xù)前進,汽車在相遇處停留1小時后原速返回,在汽車再次出發(fā)半小時后追上了拖拉機,這時汽車、拖拉機從開始到現(xiàn)在各自行駛了多少千米?題型七:工程問題7某城市為了緩解缺水狀況,實施了一項飲水工程,就是把200千米以外的的一條大河的水引到城市中來,把這個工程交給了甲乙兩個施工隊,工期為50天,甲、乙兩隊合作了30天后,乙隊因另有任務(wù)需要離開10天,于是甲隊加快速度,每天多修了0.6千米,10天后乙隊回來,為了保證工期,甲隊保持現(xiàn)在的速度不變,乙隊也比原來多修0.4千米,結(jié)果如期完成。問甲乙兩隊原計劃每天各修多少千米?題型八:方案決策問題8已知某電腦公司有A型、B型、C型三種型號的電腦,其價格分別為A型每臺6000元,B型每臺4000元,C型每臺2500元,我市東坡中學(xué)計劃將100500元錢全部用于從該電腦公司購進其中兩種不同型號的電腦共36臺,請你設(shè)計出幾種不同的購買方案供該校選擇,并說明理由。9某地生產(chǎn)的一種綠色蔬菜,若在市場上直接銷售,每噸利潤為1000元,經(jīng)粗加工后銷售,每噸利潤可達4500元,經(jīng)精加工后銷售,每噸利潤漲至7500元當(dāng)?shù)匾患肄r(nóng)工商公司收獲這種蔬菜140噸該公司加工廠的生產(chǎn)能力是:如果對蔬菜進行粗加工,每天可加工16噸;如果進行精加工,每天可加工6噸,但兩種加工方式不能同時進行受季節(jié)等條件限制,公司必須在15天之內(nèi)將這批蔬菜全部銷售或加工完畢為此,公司研制了三種加工方案:方案一:將蔬菜全部進行粗加工方案二:盡可能多地對蔬菜進行精加工,沒來得及進行加工的蔬菜在市場上直接銷售方案三:將部分蔬菜進行精加工,其余蔬菜進行粗加工,并恰好用15天完成你認(rèn)為選擇哪種方案獲利最多?為什么?

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