概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第1章習(xí)題答案.ppt

4.,設(shè)A,B,C是三事件,且 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=P(BC)=0 , P(AC)=1/8 ,求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率.,解,=P(A)+ P(B)+ P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC),廣義加法定理,所求概率為 P(ABC),P(AB)=P(BC)=0,AB=BC=,由于ABCAB,或ABCBC,P(ABC)P(AB),=0,非負(fù)性,0,P(ABC)=0,P(ABC)=3(1/4)-(1/8)=5/8,若 P(ABC)=P(B(AC),=P(B)+ P(AC)-P(B(AC),P(AC)=P(A)+P(C)-P(AC),P(B(AC)= P(BABC),=P(BA)+P(BC)-P(BA)(BC),=P(AB)+P(BC)-P(ABC),仍有P(ABC) =P(A)+ P(B)+ P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC),在一標(biāo)準(zhǔn)英語字典中有55個(gè)由兩個(gè)不相同的字母所組成的單詞.若從26個(gè)英文字母中任取兩個(gè)字母予以排列,求能排成上述單詞的概率.,解 基本事件是從26個(gè)英文字母中任取兩個(gè)不相同的字母排成單詞,這實(shí)際上是排列問題,故基本事件總數(shù),所求的55個(gè)由兩個(gè)不相同的字母組成單詞的事件A包含基本事件數(shù) nA= 55 .,故所求概率,某油漆公司發(fā)出17桶油漆,其中白漆10桶,黑漆4桶,紅漆3桶,在搬運(yùn)中所有標(biāo)簽脫落,交貨人隨意將這些油漆發(fā)給顧客.問一個(gè)定貨為4桶白漆, 3桶黑漆和2桶紅漆的顧客,能按所定顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少?,解 基本事件是從17桶油漆中任取9桶,這實(shí)際上是組合問題,取出的9桶油漆中有4桶白漆, 3桶黑漆和2桶紅漆的事件A分三步完成:,先從10桶白漆中取出4桶,有,種取法,再從4 桶黑漆中取出3桶,有,種取法,最后從3桶紅漆中取出2桶,有,種取法,故,故所求概率,5.,7.,(2)恰有k個(gè)次品的概率,至少有2個(gè)次品,則可能是2個(gè),3個(gè),200個(gè)次品,按加法定理,至少有2個(gè)次品的概率,簡單的方法是利用其逆事件,少于2個(gè)次品,即恰有1個(gè)次品或沒有次品,從而,在1500個(gè)產(chǎn)品中有400個(gè)次品,1100個(gè)正品.任取200個(gè).,(1)求恰有90個(gè)次品的概率;(2)求至少有2個(gè)次品的概率.,解 基本事件是從1500個(gè)產(chǎn)品中取200個(gè),基本事件總數(shù)n=,(1)從400個(gè)次品中取90個(gè), 1100個(gè)正品中取110個(gè)的事件總數(shù),故恰有90個(gè)次品的概率,8.,10.,在11張卡片上分別寫上probability這11個(gè)字母,從中任意連抽7 張,求其排列結(jié)果為ability的概率.,解 法一: 基本事件是從11張卡片中任意連抽7張進(jìn)行排列,故基本事件總數(shù)為排列數(shù),從11張卡片中抽出字母,的方式有,a 1,b 2,i 2,l 1,i 1,t 1,y 1, = 4 種,故所求概率,法二:利用條件概率和乘法公式,設(shè)a,b,i,l,i,t,y分別表示從11張卡片中抽出寫有該字母的卡片的事件.,則 P(ability)=P(a)P(b|a)P(i|ab)P(l|abi)P(i|abil)P(t|abili)P(y|abilit),= =,14.,19(1),已知P(A)=1/4,P(B|A)1/3,P(A|B)=1/2,求P(AB).,P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B),故,因此,解 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),設(shè)甲袋中裝有n只白球,m只紅球;乙袋中裝有N只白球,M只紅球.今從甲袋中任意取一只球放入乙袋中,再從乙袋中任意取一只球.問取到白球的概率是多少?,解 設(shè)事件B表示“從甲袋中取出一只白球放入乙袋”,事件A表示“從甲袋取一只球放入乙袋,再從乙袋中取一只白球”.,16.,據(jù)以往資料表明,某一3口之家,患某種傳染病的概率有以下規(guī)律:,P孩子得病=0.6, P母親得病|孩子得病=0.5,P父親得病|母親及孩子得病=0.4,求母親及孩子得病但父親未得病的概率.,解 設(shè)事件A=孩子得病,B=母親得病,C=父親得病,已知 P(A)=0.6, P(B|A)=0.5, P(C|AB)=0.4,法一:直接用乘法公式,而 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=0.60.50.4=0.12,P(AB)=P(A)P(B|A)=0.60.5=0.3,17.,已知在10只產(chǎn)品中有2只次品,在其中取兩次,每次任取一只,作不放回抽樣.求下列事件的概率:(1)兩只都是正品;(2)兩只都是次品;,(3)一只是正品,一只是次品;(4)第二次取出的是次品.,解 法一:用等可能概型.,(1)基本事件是從10只產(chǎn)品中取2只,不分順序有,種取法,8只正品中取2只, 有,種取法,故 p1=28/45 .,(2) 2只次品中取2只,只有1種取法,故 p2=1/45.,第一次取正品,第二次取次品,有82=16種取法,第一次取次品,第二次取正品,有28 =16種取法.,(3)不分順序, 8只正品中取1只, 2只次品中取1只,有82=16種取法,故 p3=16/45.,如果基本事件是從10只產(chǎn)品中取2只,要分順序,則有,種取法,共有16+16=32種取法,故 p3=32/90=16/45.,(4)第二次取出的是次品,第一次可能取正品,也可能取次品,第一次取正品,第二次取次品,有82=16種取法,第一次取次品,第二次取次品,有21=2種取法,共有16+2=18種取法,故 p4=18/90=1/5.,法二:利用條件概率和乘法公式,(1)p1=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=,全概率公式,19(1),設(shè)甲袋中裝有n只白球,m只紅球;乙袋中裝有N只白球,M只紅球.今從甲袋中任意取一只球放入乙袋中,再從乙袋中任意取一只球.問取到白球的概率是多少?,解 設(shè)事件B表示“從甲袋中取出一只白球放入乙袋”,事件A表示“從甲袋取一只球放入乙袋,再從乙袋中取一只白球”.,21.,已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者.今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人,恰好是色盲患者,問此人是男性的概率是多少?,解 先假定男人數(shù)為M,女人數(shù)為N,求出一般結(jié)果.,設(shè)從人數(shù)為M+N的人群中隨機(jī)地挑選一人,A表示此人是男人的事 件,B表示此人是色盲患者的事件.則,要求P(A|B),而 P(AB)=P(A)P(B|A),P(B)=P(A)P(B|A),全概率公式,貝葉斯公式,特別,M=N時(shí),26.,(1)設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1,2,3,4.它們的可靠性分別為p1,p2,p3,p4,將它們按右圖的方式聯(lián)接(稱為并串聯(lián)系統(tǒng));,(2)設(shè)有5個(gè)獨(dú)立工作的元件1,2,3,4,5.它們的可靠性均為p,將它們按右圖的方式聯(lián)接(稱為橋式系統(tǒng));試分別求這兩個(gè)系統(tǒng)的可靠性.,解 設(shè)事件Ai(i=1,2,3,4,5)表示第i個(gè)元件正常工作,(1)設(shè)事件A表示并串聯(lián)系統(tǒng)正常工作,則,A=A1(A2A3)A4),并串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性,P(A)=P(A1(A2A3)A4),=P(A1)P(A2A3)A4),=P(A1)P(A2A3)+P(A4)-P(A2A3A4),= P(A1)P(A2)P(A3)+P(A4)-P(A2)P(A3)P(A4),= p1p2p3+p1p4-p1p2p3p4,則事件A1,A2,A3,A4,A5相互獨(dú)立.,(2)設(shè)事件B表示橋式系統(tǒng)正常工作.,橋式系統(tǒng)的可靠性,法一:,= P(A3)P(A1)+P(A4)-P(A1A4)P(A2)+P(A5)-P(A2A5),P(A)=P(A3)P(A1)+P(A4)-P(A1)P(A4)P(A2)+P(A5)-P(A2)P(A5),=pp+p-p2p+p-p2+(1-p) p2+p2-p4,=p3(2-p)2+p2(1-p)(2-p2),=4p3-4p4+p5+2p2-p4-2p3+p5,=2p2+2p3-5p4+2p5,法二:設(shè)B1=A1A2,B2=A4A5,B3=A1A3A5,B4=A2A3A4,則 B=B1B2B3B4.,P(B)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4),+P(B1B2B3)+P(B1B2B4)+P(B1B3B4)+P(B2B3B4)-P(B1B2B3B4),-P(B1B2)-P(B1B3)-P(B1B4)-P(B2B3)-P(B2B4)-P(B3B4),B1B2=A1A2A4A5, B1B3=A1A2A1A3A5=A1A2A3A5,B1B4=A1A2A2A3A4=A1A2A3A4, B2B3=A4A5A1A3A5=A1A3A4A5,B2B4=A4A5A2A3A4=A2A3A4A5, B3B4= A1A3A5A2A3A4=A1A2A3A4A5,B1B2B3=A1A2A4A5A1A3A5=A1A2A3A4A5,B1B2B4=A1A2A4A5A2A3A4=A1A2A3A4A5,B1B3B4=A1A2A1A3A5A2A3A4=A1A2A3A4A5,B2B3B4=A4A5A1A3A5A2A3A4=A1A2A3A4A5,B1B2B3B4=A1A2A4A5A1A3A5A2A3A4=A1A2A3A4A5,故 P(B)=2p2+2p3-5p4-p5+4p5-p5=2p2+2p3-5p4+2p5,28.,三人獨(dú)立地去破譯一份密碼,已知各人能譯出的概率分別為1/5,1/3,1/4.問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少?,解 設(shè)事件Ai表示“第i人能譯出”, i =1,2,3,由題意P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4, A1,A2,A3及其逆事件相互獨(dú)立,三人中至少有一人能譯出為事件A1A2A 3,法一: P(A1A2A3),=P(A1)+P(A2)+P(A3) -P(A1A2) -P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3),=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1)P(A2)-P(A1)P(A3)-P(A2)P(A3),+P(A1)P(A2)P(A3),=1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3),