第5章剛體力學

100 第5章 剛體力學對于機械運動的研究，只局限于質(zhì)點的情況是很不夠的。質(zhì)點的運動只代表物體的平動。物體是有其形狀和大小的，它可以做平動、轉(zhuǎn)動，甚至于做更為復雜性的運動；而且在運動中，物體的形狀也可能發(fā)生變化。在本章討論的剛體，考慮其形狀和大小，但是不考慮其形變，仍然是一個理想模型。前四章我們介紹了力學的基本概念和原理，比如：質(zhì)點、位矢、位移、速度和加速度，牛頓定律、動量和沖量、功和能等概念以及動量、角動量和能量守恒定律。在那里，這些概念和定理、定律是應用于質(zhì)點，也用于質(zhì)點系。本章將介紹一種特殊的質(zhì)點系剛體所遵從的力學規(guī)律。這些規(guī)律實際上是前幾章的基本概念和原理在剛體上的應用。 本章重點討論剛體的定軸轉(zhuǎn)動這種簡單的情況。重要的概念有轉(zhuǎn)動慣量、力矩、角速度和角動量等，守恒定律同樣適用于包括剛體的系統(tǒng)。角動量定理和角動量守恒定律在現(xiàn)代物理學和航天科技中有著特別重要的意義。5.1剛體的基本運動5.1.1 剛體一般假定物體在任何情況下，形狀和大小都不發(fā)生變化，稱之為剛體。5.1.2 剛體的平動剛體在運動過程中，連接剛體內(nèi)任意兩點的直線始終保持自身平行，則這種運動稱為剛體的平動。圖5.1-1 剛體的平動 如圖5.1-1所示。剛體平動時，剛體上各點的運動情況完全相同，具有相同的位移、速度和加速度等。只要知道剛體上任一點的運動情況，整個剛體的運動情況也就知道了。這樣剛體的平動可以看成是質(zhì)點的運動，描述質(zhì)點運動的各個物理量和質(zhì)點力學的規(guī)律都適用于剛體的平動。5.1.3 剛體的定軸轉(zhuǎn)動如果在運動過程中，剛體上所有質(zhì)元都繞同一直線作圓周運動，則這種運動稱為剛體的轉(zhuǎn)動；該直線稱為轉(zhuǎn)軸，若轉(zhuǎn)軸固定不動，則這種運動稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動，如圖5.1-2所示。 圖5.1-2 剛體定軸轉(zhuǎn)動圓周軌道所在平面垂直轉(zhuǎn)軸，這平面稱為轉(zhuǎn)動平面；圓軌道的中心就是轉(zhuǎn)動平面與轉(zhuǎn)軸的交點O，稱為轉(zhuǎn)心。剛體上所有半徑（）不等、速度不同，但是各個在相同的時間間隔內(nèi)都轉(zhuǎn)過了相同的角度，如圖5.1-2所示。5.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體繞某一固定軸轉(zhuǎn)動時，各質(zhì)元的線速度、加速度一般是不同的，如圖5.2-1所示。但是，由于各質(zhì)元的相對位置保持不變，所以描述各質(zhì)元運動的角量，如角位移、角速度和角加速度都是一樣的。因此，描述剛體運動時，用角量較為方便。5.2.1 基本角量若用表示剛體在時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角位移，其角速度矢量為圖5.2-1，其大小為， 圖5.2-1 它的方向規(guī)定為沿轉(zhuǎn)軸的方向，其指向由右手螺旋法則確定。剛體定軸轉(zhuǎn)動的角速度實際上是其在轉(zhuǎn)軸方向上的分量。所以，可以簡化為標量。即 （5.2-1），角加速度為 （5.2-2）離轉(zhuǎn)軸的距離為r的質(zhì)元的線速度和剛體的角速度的關系為： （5.2-3）其加速度和剛體的角加速度的關系為： （5.2-4） （5.2-5）剛體轉(zhuǎn)動的一種簡單的情況是勻加速轉(zhuǎn)動，在這一轉(zhuǎn)動過程中，剛體的角加速度保持不變。以表示剛體在t=0時的角速度，以表示剛體在t時的角速度，以表示剛體在0到t時刻的角位移，類比勻速直線運動，可推導出相應的公式： （5.2-6） （5.2-7）， （5.2-8）。圖5.3例5.2-1、 一條纜索繞過一定滑輪拉動一升降機，如圖5.2-2所示?；啺霃剑绻禉C從靜止開始以加速度勻加速度上升，求： （1）、滑輪的角加速度；（2）、開始上升后，末滑輪的角加速度；（3）、在5秒內(nèi)滑輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)；（4）、開始上升后，末滑輪邊緣上一點的加速度（假設纜索和滑輪之間不打滑）。圖5.2-2解：（1）由于升降機的加速度和輪緣上一點的切向加速度相等，根據(jù)， ；（2）、 ， ；（3）、 ，；（4）、如圖5.2-2所示，已知，又 ，故 這個加速度的方向與輪緣切線方向的夾角 。5.2.2 力矩為了改變剛體原來的運動狀態(tài)，必須對剛體施加作用力。外力對剛體轉(zhuǎn)動的影響，不僅與作用力的大小有關，而且與力的方向和作用點的位置有關。例如，我們用同樣大小的力推開門時，當作用點靠邊門軸不易把門打開；當作用點遠離門軸，門就容易推開。由此可以看出，要改變剛體原來的運動狀態(tài)就必須考慮作用力的大小、方向和作用點三要素。為此，我們引入力矩這一物理量。圖5.2-3 力矩的方向右手螺旋法則如圖5.2-3所示，設轉(zhuǎn)軸O垂直于剛體的轉(zhuǎn)動平面，作用力和作用點的矢徑都在平面內(nèi)，力與矢徑的夾角為。顯然，力越大、力的作用點離O軸越遠（即矢徑越大），且其夾角越接近于，力產(chǎn)生的效果就越顯著。因此，我們定義作用力對轉(zhuǎn)軸的力矩為 （5.2-9）由5.2-9式可知力矩的大小為 （5.2-10）令5.2-2式中，則d是轉(zhuǎn)軸O與作用力線間的垂直距離，稱為力臂。力矩方向用右手螺旋法則確定：伸出手掌，四指先指向矢徑方向，沿小于180度轉(zhuǎn)向作用力的方向，則拇指所指方向就是力矩的方向，如圖5.2-3所示。力矩的方向用表示，它只有正和負兩個方向：剛體沿逆時針轉(zhuǎn)動時方向為正，沿順時針轉(zhuǎn)動時方向為負。當剛體同時受到幾個力矩作用時，合力矩等于各個力矩的代數(shù)和。5.2.圖5.33 轉(zhuǎn)動定理為了研究剛體的運動，我們可以將剛體無限的分解為無窮多的質(zhì)點，然后采用疊加原理進行求和或者積分的手段，對整個剛體進行研究。這樣，我們就可以將研究質(zhì)點運動的方法應用于剛體力學的研究。如圖5.2-4所示，剛體繞定軸O轉(zhuǎn)動，以質(zhì)元為研究對象，其所受外力為，內(nèi)力為，到定軸O的矢徑為；且與之夾角為，與之夾角為。剛體轉(zhuǎn)動時，該質(zhì)元做圓周運動，半徑是；所受的切線方向力的大小為：，1、應用牛頓第二定律 兩邊同時乘以 2、應用疊加原理求和圖5.2-4，此式的物理意義是：等式的左邊為合外力矩和合內(nèi)力矩之和。3、根據(jù)牛頓第三定律，內(nèi)力中的任何一對（比如質(zhì)元和）作用力和反作用力大小相等、方向相反，且在同一線上，所以每一對內(nèi)力的合力矩為零，則有 ，上式轉(zhuǎn)化為 4、剛體定軸轉(zhuǎn)動定理因為力矩 ，設 （5.2-11）（5.2-11）式定義為其轉(zhuǎn)動慣量，式，改寫為 （5.2-12）嚴格地講，這個式子是矢量式， 即 它在Z軸上的投影為 。（5.2-12）表明：剛體做定軸轉(zhuǎn)動時，剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角加速度的乘積等于剛體所受外力的合外力矩，稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動定理。5.2.4 剛體的轉(zhuǎn)動慣量的計算應用剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理公式時，我們需要先求出剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量，按（為剛體的轉(zhuǎn)動慣量）的定義式計算。對于質(zhì)點連續(xù)分布的剛體，上述求和可以用定積分代替， 即 （5.2-13）式中，r為剛體質(zhì)元dm到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。轉(zhuǎn)動慣量的物理意義:由（5.2-11）可知，剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體中各質(zhì)元的質(zhì)量和它們各自離該軸的垂直距離的平方的乘積的總和，它的大小不僅與剛體的總質(zhì)量有關，而且和質(zhì)量相對于軸的分別有關，其關系可概括如下1、形狀、大小相同的均勻剛體總質(zhì)量越大，轉(zhuǎn)動慣量越大；2、剛體總質(zhì)量相同，質(zhì)量分別離軸越遠，轉(zhuǎn)動慣量越大；3、同一剛體，轉(zhuǎn)軸不同，質(zhì)量分別就不同，而轉(zhuǎn)動慣量就不同。在國際單位制中，轉(zhuǎn)動慣量的量綱為ML²，單位名稱是千克二次方米，符號為kg·m²。下面舉幾個計算剛體轉(zhuǎn)動慣量的例子。例5.2-2 求一質(zhì)量為，長度為L均勻細棒相對于（）垂直于棒且通過棒的一端的軸和（）垂直于棒且通過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：這是一道“轉(zhuǎn)動慣量的計算”的問題，從轉(zhuǎn)動慣量的定義出發(fā)依題意作圖，如圖5.2-5所示。選定研究對象（質(zhì)元 ）數(shù)理邏輯推理（微積分）歸納得出和討價結論。1、 選定研究對象和坐標系OXYZ（為單位體積質(zhì)量）， 2、 從轉(zhuǎn)動慣量的定義出發(fā)，解（）：；解（）：利用（）的結果，將棒分為相等的兩段，每段的質(zhì)量為，長度為；每段的轉(zhuǎn)動慣量為圖5.2-5 根據(jù)疊加原理：；例5.2-3、求質(zhì)量為，半徑為，厚度極薄的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過其圓心，如圖5.2-6（）所示。解：根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的定義式，又因為環(huán)上個質(zhì)元到軸的垂直距離為R，且都相等，所以 （b）圖5.2-6（a）由于轉(zhuǎn)動慣量是可加的，所以一個質(zhì)量為，半徑為的薄圓筒對其軸的轉(zhuǎn)動慣量也是。例5.2-4、求質(zhì)量為，半徑為，厚度為的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓盤平面垂直并通過其圓心，如圖5.2-6（）所示。解：根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的定義式，又因為圓盤可以認為是由許多原環(huán)組成。取任一半徑為，寬為的薄圓環(huán)，其轉(zhuǎn)動慣量為，式中為薄圓環(huán)的質(zhì)量，以表示圓盤的體密度，則，所以， 。5.2.5 轉(zhuǎn)動定理的應用5.2-5、如圖5.2-7（）所示，一條輕質(zhì)繩繞過一只軸承光滑的定滑輪繩的兩端分別懸掛質(zhì)量為和的物體，且>。設滑輪的質(zhì)量為，半徑為，繩與論之間無相對滑動。試求物體的加速度和繩中的張力？解題思路：這是一道剛體定軸轉(zhuǎn)動的試題，根據(jù)已知條件，應用牛頓定律和剛體轉(zhuǎn)動定理，可解此題。做圖，如圖5.2-8（）所示。解題：1、用隔離體法分別對物體進行受力分析，運用牛頓定律對 （1） 因為繩不可伸長，所以，對 （2）2、由剛體轉(zhuǎn)動定理 （3）3、 根據(jù)牛頓第三定律 （4）4、運動學方程 （5）5、數(shù)理邏輯推理聯(lián)立（1）、（2）、（3）、（4）和（5）求解（2）-（1） （6）圖5.2-7（6）代入（3），得到 ， 將代入（5），將代入（1） ，將代入（2） 。所以 。 5.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動的功和能在剛體轉(zhuǎn)動時，作用在剛體上某點的力做的功仍然用此力和受力作用的質(zhì)元位移的標積來定義。但是，對于剛體這個特殊的質(zhì)點系，在轉(zhuǎn)動中做的功可以用一個特殊形式表示。5.3.1力矩的功 圖5.3-1 如圖5.3-1所示，剛體的一個截面與其轉(zhuǎn)軸正交于O點，F(xiàn)為在此截面內(nèi)作用在剛體上P點的外力。當剛體繞轉(zhuǎn)軸有角位移時，力F做的元功為 （5.3-1）由于是力F沿方向的分量，因而垂直于的方向，所以就是力對轉(zhuǎn)軸的力矩M，因此有 （5.3-2）即力對轉(zhuǎn)動剛體做的元功等于相應的力矩和角位移的乘積。對于有限的角位移，力的功應該用積分求得 （5.3-3）上式稱為力矩的功，這就是里做的功在剛體轉(zhuǎn)動中的特殊表示形式。則力矩的功率為 （5.3-4）5.3.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能1、研究方法以質(zhì)元mi為研究對象，質(zhì)元作圓周運動和應用疊加原理進行研究；2、質(zhì)元的動能 （5.3-5） （5.3-6）式中，為剛體的轉(zhuǎn)動慣量，則 （5.3-7）3、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能與質(zhì)點的動能對比： 質(zhì)點的動能 ，剛體轉(zhuǎn)動的動能；由此可以看出：剛體的轉(zhuǎn)動慣量I是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的慣性大小的度量，類比：。5.3.3 動能定理當外力矩對剛體做功時，剛體的轉(zhuǎn)動動能發(fā)生變化。下面求力矩的功與剛體的轉(zhuǎn)動動能的變化之間的關系。將轉(zhuǎn)動定理代入（5.3-2），得當角速度由變成時，外力矩對剛體做的功為 （5.3-8）上式表明，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，剛體所受外力矩所做的功等于剛轉(zhuǎn)動動能的增量，稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理。 例5.3-1、如圖5.3-2所示，一個質(zhì)量為M，半徑為R定滑輪上面繞有細繩。繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體m由靜止下落h高度時的速度和此刻滑輪的角速度。圖5.3-2解：選取滑輪、物體和地球為研究系統(tǒng)，在質(zhì)量為m的物體下降的過程中，滑輪軸對滑輪的作用力（外力）的功為零（無位移）。因此，系統(tǒng)只有重力（保守力）做功，所以機械能守恒。圖5.3-2滑輪的重力勢能不變，可以不考慮；取物體的初始位置為零勢能點，則系統(tǒng)的初態(tài)的機械能為零，末態(tài)的機械能為：機械能守恒：=0將關系式 和 代入上式，可得： ，滑輪的角速度為。5.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量圖5.5-1所示，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，應該具有角動量L。當剛體繞定軸以角速度轉(zhuǎn)動時，它繞該軸角動量為對Z軸角動量表達為 （5.4-1）說明：剛體所受的外力矩等于剛體角動量對時間的變化率。（5.4-1）式和質(zhì)點角動量定理公式（3.3-2）類似，不同的是：前者中的M和L是對定軸說的，而后者中的M和L是對定點而言；可以證明式（5.4-1）是（3.3-2）式沿定軸Z方向的分量式。在國際單位制中，角動量L的單位是千克二次方米秒，符號為，其量綱為。5.4.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理在定軸轉(zhuǎn)動中，剛體對轉(zhuǎn)軸Z的角動量L對時間的變化率，等于作用在剛體上所有外力對該軸的力矩之和，稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理。表達式為 （5.4-1）其積分式為 （5.4-2）5.4.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律在定軸轉(zhuǎn)動的過程中，當時， （5.5-3）這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律，對該固定軸的角動量矢量保持不變。 剛體的角動量守恒在現(xiàn)代科學技術中的一個重要的應用是慣性導航，所用的裝置叫回轉(zhuǎn)儀，也叫陀螺。它的核心部分是裝置在常平架上的一個質(zhì)量較大的轉(zhuǎn)子，如圖5.5-1（）所示。常平架是由套在一起分別具有豎直軸和水平軸的兩個圓環(huán)組成。轉(zhuǎn)子裝在內(nèi)環(huán)上，其軸與內(nèi)環(huán)的軸相互垂直。轉(zhuǎn)子精確地對稱于其轉(zhuǎn)軸的圓柱，各軸承均高度潤滑，這樣轉(zhuǎn)子就具有可以繞其自由轉(zhuǎn)動的三個相互垂直的軸自由轉(zhuǎn)動。因此，不管常平架如何移動或轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)子都不會受到任何力矩的作用。所以，一旦使轉(zhuǎn)子高速轉(zhuǎn)動起來，根據(jù)角動量守恒定律，它將保持其對稱軸在空間的指向不變。安裝在船、飛機、導彈或宇宙飛船上的這種回轉(zhuǎn)儀就能指出這些船或飛行器的航向相對空間某一定向的方向，從而起到導航的作用。在這種應用中，往往用三個這樣的回轉(zhuǎn)儀并使它們的轉(zhuǎn)軸相互垂直，從而提供一套絕對的笛卡爾直角坐標系。我們可以想一下，這些轉(zhuǎn)子竟能在浩瀚的太空中認準一個確定的方向，并且使自己的轉(zhuǎn)軸始終保持指向它而不改變，多么不可思議的自然界！上述導航裝置出現(xiàn)不過一百年，但是，常平架在我國早就出現(xiàn)了，那是西漢（公元1世紀）丁緩設計制造的被中香爐，如圖5.5-1（b）所示。他用兩個套在圖5.5-2（a）（b）圖5.5-1一起的環(huán)形支架架住一個小香爐，香爐由于受到重力，總是懸著。不管支架如何轉(zhuǎn)動，香爐總不會傾倒。遺憾的是：這種裝置只是用來被褥中取暖時的安全，而沒有得到任何在技術上的應用。雖然如此，它也閃爍了我們祖先的智慧的光輝。在日常生活中，角動量守恒也有著廣泛的應用。例如花樣滑冰運動員和芭蕾舞蹈運動員繞通過重心的鉛直軸高速旋轉(zhuǎn)時，由于外力（重力和水平圖5.5-3面的支持力）對軸的力矩恒為零，因而表演者對旋轉(zhuǎn)軸的角動量守恒。他們可以通過改變自身的姿態(tài)來改變對軸的轉(zhuǎn)動慣量，從而來調(diào)節(jié)自己的旋轉(zhuǎn)的角速度。又如跳水運動員在跳板上起跳時，總是向上伸直雙手臂，跳到空中時，又將身體收縮，以減小轉(zhuǎn)動慣量來加快空翻速度；當接近水面時，又身直雙手臂以減小角速度以便豎直進入水中，如圖5.5-2所示。圖5.5-2·例5.5-1、如圖5.5-3所示，長為L，質(zhì)量為的均勻細棒能繞一端在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。開始時，細棒靜止于垂直位置?，F(xiàn)有一質(zhì)量為的子彈，以水平速度射入細棒下斷而不復出。求細棒和子彈開始一起運動時的角速度？ 題意分析：由于子彈射入細棒的時間極為短促，我們可以近似地認為：在這一過程中，細棒仍然靜止于垂直位置。因此，對于子彈和細棒所組成的系統(tǒng)（也就是研究對象）在子彈射入細棒的過程中，系統(tǒng)所受的合外力（重力和軸的支持力相等）對轉(zhuǎn)軸O的力矩都為零。根據(jù)角動量守恒定律，系統(tǒng)對于O軸的角動量守恒。 解題思路：根據(jù)上述的分析，對系統(tǒng)應用角動量守恒定律，可解此題。O解：依題意可設和分別為系統(tǒng)開始的速度和角速度，且已知子彈和細棒對于轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量分別為 圖5.5-3 （1） （2）根據(jù)角動量守恒定律則有當 = 0時， （3）所以 （4）數(shù)理邏輯推理聯(lián)立（1）、（2）和（4）式,可得 。 質(zhì)點的運動規(guī)律和剛體的定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律對比 質(zhì)點的運動 剛體的定軸轉(zhuǎn)動速度 角速度 加速度 角加速度 力 力矩 質(zhì)量 m 轉(zhuǎn)動慣量 I=運動定律 轉(zhuǎn)動定律 動量、動能 動量、動能角動量 角動量 動量定理 角動量定理 動量守恒 ，=恒量 角動量守恒 ，=恒量動能定理 動能定理 思考題51、如果一個剛體很大，它的重力勢能還能等于它的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心時的勢能嗎？52花樣滑冰運動員想高速旋轉(zhuǎn)時，她先把一條腿和兩臂伸開，并用腳蹬冰使自己轉(zhuǎn)起來，然后她再收攏腿和臂，她的轉(zhuǎn)速就明顯地加快了，這利用可什么原理？53、宇航員懸立在飛船坐艙內(nèi)的空中時，不觸按艙壁，只能用右腳順時針劃圈，身體就會向左轉(zhuǎn)；當兩臂伸直向后劃圈時，身體又會向前轉(zhuǎn)，這是為什么？習題51 、求地球表面上緯度為的P點，相對于地心參考系的線速度和加速度的數(shù)值與方向。 52、一剛體以每分鐘60轉(zhuǎn)繞Z軸做勻速轉(zhuǎn)動（沿Z軸正方向），設某時刻剛體上一點P的位失為，其單位為“”為速度單位，則該時刻P點的速度為：（A） （B）（C） （D） 5.3、有兩個力作用在一個有固定轉(zhuǎn)軸的剛體上：（1）這兩個力都平行于軸作用時，它們對軸的合力矩一定是零；（2）這兩個力都垂直于軸作用時，它們對軸的合力矩可能是零；（3）當這兩個力的合力為零時，它們對軸的合力矩也一定是零；（4）當這兩個力對軸的合力矩為零時，它們的合力也一定是零。在上述說法中，（A）只有（1）是正確的。（B）（1）、（2）正確，（3）、（4）錯誤。（C）（1）、（2）、（3）都正確，（4）錯誤。（D）（1）、（2）、（3）、（4）都正確。 53、剛體角動量守恒的充分而必要的條件是 (A) 剛體不受外力矩的作用 (B) 剛體所受合外力矩為零 (C) 剛體所受的合外力和合外力矩均為零 (D) 剛體的轉(zhuǎn)動慣量和角速度均保持不變 5.4、幾個力同時作用在一個具有固定轉(zhuǎn)軸的剛體上，如果這幾個力的矢量和為零，則剛體（A）、必然不會轉(zhuǎn)動； （B）、轉(zhuǎn)速必然不變；（C）、轉(zhuǎn)速必然改變；（D）、轉(zhuǎn)速可能改變，也可能不變。5.5、一圓盤正繞垂直于盤面的水平光滑固定軸O轉(zhuǎn)動。如圖1所示，射來兩個質(zhì)量相同、速度的大小相同而方向相反，并在同一條直線上的子彈。子彈射入并且停留在圓盤內(nèi)，則子彈射入的瞬間，圓盤的角速度0（A） 增大；（B）不變；（C）減??；（D）不能確定。 圖 5.15.6、一圓盤正繞垂直于盤面的水平光滑固定軸O以角速度轉(zhuǎn)動，如圖所示。兩個大小相同而方向相反，但是不在同一條直線上的力F，沿盤面同時作用在圓盤上，則圓盤的角速度（A）、必然增大；（B）、必然減??；（C）、不會改變；（D）、如果變化不能確定。 5.7、有一半徑為R的水平圓轉(zhuǎn)臺，可繞過其中心的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為J。開始時，轉(zhuǎn)臺以角速度0轉(zhuǎn)動，此時有一質(zhì)量為M的人站在轉(zhuǎn)臺中心，隨后人沿半徑向外跑去。當人到達轉(zhuǎn)臺邊緣時，轉(zhuǎn)臺的角速度為圖 5.2（A）、；（B）、；（C）、；（D）、0。 5.8、如圖3所示，有一個小塊物體，置于一個光滑水平桌面上。有一繩其一端連接此物體，另一端穿過中心的小孔。該物體原以角速度在距孔為R的圓周上轉(zhuǎn)動，今將繩從小孔緩慢往下拉，則物體圖 5.3（A）、動能不變，動量改變；（B）、動能改變，動量不變；（C）、角動量不變，動量不變；（D）、角動量改變，動量改變； 5.9、飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為J，在t=0時的角速度為0。此后飛輪經(jīng)歷制動的過程，阻力矩M的大小與角速度的平方成反比，比例系數(shù)K（為大于零的常數(shù)）。當時，飛輪的角加速度= ；從開始制動到，所經(jīng)過的時間t= 。圖 5.4圖 5.5 5.10、如圖4所示，P、Q、R和S是附于剛體輕質(zhì)細桿上的質(zhì)量分別為：4m、2m、2m、和m的四個質(zhì)點，且PQ=QR=RS=L，則系統(tǒng)對OO軸的轉(zhuǎn)動慣量為： 。5.11、如圖5所示，一質(zhì)量為M，半徑為R的薄圓盤，可繞通過其一直徑的光滑軸AA轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動慣量為。該圓盤從靜止開始在恒力矩M的作用下轉(zhuǎn)動，t秒鐘后位于圓盤邊緣與軸AA的垂直距離為R的B點的切線加速度at = ；法線加速度an= 。5.12、一長為L的輕質(zhì)細桿，兩端分別固定質(zhì)量為M和2M的小球，此系統(tǒng)在豎直平面內(nèi)可繞過其中心點O且與桿垂直的水平固定軸轉(zhuǎn)動。開始時，桿與水平成60º角，處于靜止狀態(tài)，無初速度地釋放后，桿球系統(tǒng)繞O轉(zhuǎn)動，桿與兩小球為一剛體，繞O軸轉(zhuǎn)動慣量J= 。釋放后當桿轉(zhuǎn)到水平位置時，剛體受到的合外力矩M= ，角速度= 。5.13、質(zhì)量分別為2m和m的兩物體（可視為質(zhì)點），用一長為的輕質(zhì)細桿相連，系統(tǒng)繞通過桿與桿垂直的軸O轉(zhuǎn)動。已知O軸離質(zhì)量為2m物體的距離是/3而質(zhì)量為m物體的線速度為V且與桿垂直，則該系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的角動量的大小為： 。514、一可繞定軸轉(zhuǎn)動的飛輪，在20N.m的總力矩作用下在10s內(nèi)轉(zhuǎn)速由零均勻地增加到 ，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量I= 。5.15、轉(zhuǎn)動慣量是物體 量度，其大小與剛體的 ，質(zhì)量分布 ，和 有關。5.16、半徑為20cm的主動輪，通過皮帶拖動半徑為50cm的被動輪轉(zhuǎn)動，皮帶與輪之間無相對滑動，主動輪從靜止開始作勻角加速度轉(zhuǎn)動，在4s內(nèi)被動輪的角速度達到8，則主動輪在這段時間內(nèi)轉(zhuǎn)過了 圈。517、繞定軸轉(zhuǎn)動的飛輪均勻地減速，t0時角速度為w 05 rad / s，t20 s時角速度為w = 0.8w 0，則飛輪的角加速度b _，t0到 t100 時間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)過的角度q _ 5.18、質(zhì)量為5kg的一桶水懸于繞在轆轤上的繩子下端，轆轤可視為一質(zhì)量為10kg的圓柱體，桶從井口由靜止釋放，求桶下落過程中的張力，轆轤繞軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量為，其中M和R分別為轆轤的質(zhì)量和半徑，摩擦忽略不計。圖 5.65.19、飛輪對自身軸的轉(zhuǎn)動慣量為，初角速度為，若作用在飛輪上的阻力矩為常量，試求飛輪的角速度減到時所需的時間t以及在這一段時間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)N；若（為常數(shù)），再解以上問題。5.20、一均勻細桿可繞其一端（為桿長）的水平軸O在垂直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，桿的質(zhì)量為M，當自由懸掛時，給它一個起始角速度，如桿恰能持續(xù)轉(zhuǎn)動而不擺動（一切摩擦不計）。則（A）（B）（C）（D）圖 5.7 圖 5.85.21、一靜止的均勻細棒，長為L，質(zhì)量M，可繞通過棒的端點且垂直于棒長的光滑軸O在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，一質(zhì)量為m，速率為的子彈在水平面內(nèi)恰與棒垂直的方向射入棒的自由端，設擊穿棒后子彈的速度為（），則此時棒的角速度為（A） （B） （C） （D）。 5.22、在光滑的水平面上一根長的 圖 5.9繩子，一端固定于O點，另一端系一質(zhì)量m=0.5kg的物體，開始時，物體位于位置A，OA間距離d=0.5m，繩子處于松馳狀態(tài)，現(xiàn)在使物體以初速度垂直于OA滑動，如圖9， 設以后的運動中物體到達位置B，此時物體速度的方向與繩垂直，則此時刻物體角動量的大小= ，物體的速度 ，= 。5. 23、如圖10，已知滑輪的半徑為r，轉(zhuǎn)動慣量為I，彈簧的倔強系數(shù)為k，問質(zhì)量為m的物體落下h時的速率= 。設開始時物體靜止且彈簧后無伸長。圖 5.10524、一水平圓盤繞通過圓心的豎直軸轉(zhuǎn)動，角速度為，轉(zhuǎn)動慣量為，在其上方還有一個以角速度，繞同一豎直軸轉(zhuǎn)動的圓盤，這圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為，兩圓盤的平面平行，圓心都在豎直軸上，上盤的底面有銷釘，如使上盤落下，銷釘嵌入下盤，使兩盤合成一體。（1）求兩盤合成一體后系統(tǒng)的角速度的大??？（2）第二個圓盤落下后，兩盤的總動能改變了多少？5.25、在半徑為R的具有光滑豎直固定中心軸的水平圓盤上，有一人靜止站立在距轉(zhuǎn)軸為（1/2）R處，人的質(zhì)量是圓盤質(zhì)量的1/10，開始時盤載人相對地以角速度勻速轉(zhuǎn)動，如果此人垂直圓盤半徑相對于盤以速率沿與盤轉(zhuǎn)動相反方向作圓周運動。已知圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為，求：人沿（1）、圓盤對地的角速度。（2）、欲使圓盤對地靜止，沿著（1/2）R圓周對圓盤的速度的大小及方向？5.26、一個啞鈴由兩個質(zhì)量為m，半徑為R的鐵球和中間一根長為連桿組成，如右圖11所示。和鐵球的質(zhì)量相比，連桿的質(zhì)量可以忽略不計。求此啞鈴多對于通過連桿中心并和它垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。它對于通過兩球的連心軸的轉(zhuǎn)動慣量又是多大？ 圖 5.11圖 5.125.27、兩物體質(zhì)量分別為和，定滑輪的質(zhì)量為m，半徑為，可視為勻圓盤。已知與桌面間的滑動摩擦系數(shù)。求下落的加速度和兩段繩子中的張力各是多少？設繩子與滑輪間無相對滑動，滑輪軸受的摩擦力忽略不計。5.28、如圖13所示，長為L的均勻直棒質(zhì)量為M，上端用光滑水平軸吊起而靜止下垂。今有一子彈質(zhì)量為m，以水平速度射入桿的懸點下距離為d處而不復出。求： （1）子彈剛停在桿中時桿的角速度多大？ （2）子彈沖入桿的過程中（經(jīng)歷時間t），桿的上端受軸的水平和豎直分力各多大？圖 5.13529、一飛輪以等角加速度2 rad /s2轉(zhuǎn)動，在某時刻以后的5s內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過了100 rad若此飛輪是由靜止開始轉(zhuǎn)動的，問在上述的某時刻以前飛輪轉(zhuǎn)動了多少時間？ 530、已知一定軸轉(zhuǎn)動體系，在各個時間間隔內(nèi)的角速度如下： 0 ， 0t5 (SI)， 03t15 5t8 (SI) 13t24， t8 (SI) ， 式中，018 rad /s (1) 求上述方程中的1 (2) 根據(jù)上述規(guī)律，求該體系在什么時刻角速度為零531、如圖14所示，一圓盤繞通過其中心且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸，以角速度w作定軸轉(zhuǎn)動，A、B、C三點與中心的距離均為r試求圖示A點和B點以及A點和C點的速度之差和如果該圓盤只是單純地平動，則上述的速度之差應該如何？ 圖 5.14532、如圖15所示，一圓盤形工件K套裝在一根可轉(zhuǎn)動的固定軸A上，它們的中心線互相重合，圓盤的內(nèi)外直徑分別為D和D1該工件在外力矩作用下獲得角速度w 0，這時撤掉外力矩，工件在軸所受的阻力矩作用下最后停止轉(zhuǎn)動，其間經(jīng)過了時間t試求軸所受的平均阻力這里圓盤工件繞其中心軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量為m(D2) / 8，m為圓盤的質(zhì)量軸的轉(zhuǎn)動慣量忽略不計圖 5.15 533、 一砂輪直徑為1 m質(zhì)量為50 kg，以 900 rev / min的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動撤去動力后，一工件以 200 N的正壓力作用在輪邊緣上，使砂輪在11.8 s內(nèi)停止求砂輪和工件間的摩擦系數(shù)(砂輪軸的摩擦可忽略不計，砂輪繞軸的轉(zhuǎn)動慣量為mR2，其中m和R分別為砂輪的質(zhì)量和半徑). 534、一剛體繞固定軸從靜止開始轉(zhuǎn)動，角加速度為一常數(shù)試證明該剛體中任一點的法向加速度和剛體的角位移成正比535、繞固定軸作勻變速轉(zhuǎn)動的剛體，其上各點都繞轉(zhuǎn)軸作圓周運動試問剛體上任意一點是否有切向加速度？是否有法向加速度？切向加速度和法向加速度的大小是否變化？理由如何？536、一個剛體對某轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量時，一般能不能認為它的質(zhì)量集中于其質(zhì)心，成為一質(zhì)點，然后計算這個質(zhì)點對該軸的轉(zhuǎn)動慣量？為什么？舉例說明你的結論。 537求一半徑R50 cm的飛輪對于通過其中心且與盤面垂直的固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，在飛輪上繞以細繩，繩末端懸一質(zhì)量m18 kg的重錘讓重錘從高2 m處由靜止落下，測得下落時間t116 s再用另一質(zhì)量m2=4 kg的重錘做同樣測量，測得下落時間t225 s假定摩擦力矩是一個常量，求飛輪的轉(zhuǎn)動慣量538、20N·m的恒力矩作用在有固定軸的轉(zhuǎn)輪上，在10 s內(nèi)該輪的轉(zhuǎn)速由零增大到100 rev / min此時移去該力矩，轉(zhuǎn)輪因摩擦力矩的作用經(jīng)100 s而停止試推算此轉(zhuǎn)輪對其固定軸的轉(zhuǎn)動慣量（假設摩擦力矩是一個常量）圖 5.16539、如圖16所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，設兩輪的轉(zhuǎn)動慣量分別為 J10 kg·m2 和 J20 kg·m2開始時，A輪轉(zhuǎn)速為600 rev/min，B輪靜止C為摩擦嚙合器，其轉(zhuǎn)動慣量可忽略不計A、B分別與C的左、右兩個組件相連，當C的左右組件嚙合時，B輪得到加速而A輪減速，直到兩輪的轉(zhuǎn)速相等為止設軸光滑，求： (1) 兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速n； (2) 兩輪各自所受的沖量矩。5.40、長度為l質(zhì)量為M的均勻直桿可繞通過桿上端的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動，最初桿自然下垂一質(zhì)量為m的泥團在垂直于水平軸的平面內(nèi)以水平速度v0打在桿上并粘住若要在打擊時軸不受水平力作用，試求泥團應打擊的位置(這一位置稱為桿的打擊中心)。圖 5.175.41、長為l、質(zhì)量為M的勻質(zhì)桿可繞通過桿一端O的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為，開始時桿豎直下垂，如圖所示有一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入桿上A點，并嵌在桿中，OA2l / 3，則子彈射入后瞬間桿的角速度w _。圖 5.185.42、如圖19所示，鋼球A和B質(zhì)量相等，正被繩牽著以w0=4 rad/s的角速度繞豎直軸轉(zhuǎn)動，二球與軸的距離都為r1=15 cm現(xiàn)在把軸上環(huán)C下移，使得兩球離軸的距離縮減為r2=5 cm則鋼球的角速度w=_。圖 5.205.43、空心圓環(huán)可繞光滑的豎直固定軸AC自由轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為J0，環(huán)的圖 5.19半徑為R，初始時環(huán)的角速度為w0質(zhì)量為m的小球靜止在環(huán)內(nèi)最高處A點，由于某種微小干擾，小球沿環(huán)向下滑動，問小球滑到與環(huán)心O在同一高度的B點和環(huán)的最低處的C點時，環(huán)的角速度及小球相對于環(huán)的速度各為多大?(設環(huán)的內(nèi)壁和小球都是光滑的，小球可視為質(zhì)點，環(huán)截面半徑r<<R.) 圖 5.21圖 19544、一塊寬L0.60 m、質(zhì)量M1 kg的均勻薄木板，可繞水平固定軸無摩擦地自由轉(zhuǎn)動當木板靜止在平衡位置時，有一質(zhì)量為m10×10-3 kg的子彈垂直擊中木板A點，A離轉(zhuǎn)軸距離l0.36 m，子彈擊中木板前的速度為500 m·s-1，穿出木板后的速度為 200 m·s-1求：(1) 子彈給予木板的沖量； (2) 木板獲得的角速度 (已知：木板繞軸的轉(zhuǎn)動慣量)545、一勻質(zhì)細棒長為2L，質(zhì)量為m，以與棒長方向相垂直的速度v0在光滑水平面內(nèi)平動時，與前方一固定的光滑支點O發(fā)生完全非彈性碰撞碰撞點位于棒中心的一側處，如圖所示求棒在碰撞后的瞬時繞O點轉(zhuǎn)動的角速度w(細棒繞通過其端點且與其垂直的軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量為，式中的m和l分別為棒的質(zhì)量和長度)。546、一可繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體，在合外力矩M作用下由靜止開始轉(zhuǎn)動試根據(jù)合外力矩對剛體所作的功等于剛體動能的增量以及轉(zhuǎn)動定律，證明剛體的動能表示式為 式中的J和w分別為剛體對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量和角速度。