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排列組合常用幾種基本方法ppt課件

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排列組合常用幾種基本方法ppt課件

第十章排列、組合和二項(xiàng)定理,解排列組合問題的幾種基本方法,1,要明確堆的順序時(shí),必須先分堆后再把堆數(shù)當(dāng)作元素個(gè)數(shù)作全排列.,若干個(gè)不同的元素局部“等分”有 個(gè)均等堆,要將選取出每一個(gè)堆的組合數(shù)的乘積除以m!,若干個(gè)不同的元素“等分”為 個(gè)堆,要將選取出每一個(gè)堆的組合數(shù)的乘積除以m!,非均分堆問題,只要按比例取出分完再用乘法原理作積.,分組(堆)問題的六個(gè)模型:無序不等分;無序等分;無序局部等分;(有序不等分;有序等分;有序局部等分.),處理問題的原則:,1. 分組(堆)問題,2,例1.有四項(xiàng)不同的工程,要發(fā)包給三個(gè)工程隊(duì),要求每個(gè)工程隊(duì)至少要得到一項(xiàng)工程. 共有多少種不同的發(fā)包方式?,解:要完成發(fā)包這件事,可以分為兩個(gè)步驟:,先將四項(xiàng)工程分為三“堆”,有,種分法;,再將分好的三“堆”依次給三個(gè)工程隊(duì), 有3!6種給法.,共有6×636種不同的發(fā)包方式.,1. 分組(堆)問題,3,例2 . 7人排成一排.甲、乙兩人不相鄰,有多少種不同的排法?, ,解:分兩步進(jìn)行:, ,幾個(gè)元素不能相鄰時(shí),先排一般元素,再讓特殊元素插孔.,第1步,把除甲乙外的一般人排列:,第2步,將甲乙分別插入到不同的間隙或兩端中(插孔):, ,解決一些不相鄰問題時(shí),可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素,使問題得以解決.,2.插空法:,4,相鄰元素的排列,可以采用“局部到整體”的排法,即將相鄰的元素局部排列當(dāng)成“一個(gè)”元素,然后再進(jìn)行整體排列.,3.捆綁法,例3 . 6人排成一排.甲、乙兩人必須相鄰,有多少種不的排法?, ,解:(1)分兩步進(jìn)行:,甲 乙,第一步,把甲乙排列(捆綁):,第二步,甲乙兩個(gè)人的梱看作一個(gè)元素與其它的排隊(duì):, ,幾個(gè)元素必須相鄰時(shí),先捆綁成一個(gè)元素,再與其它的進(jìn)行排列.,5,例4. 5個(gè)人站成一排,甲總站在乙的右側(cè)的有多少種站法?,幾個(gè)元素順序一定的排列問題,一般是先排列,再消去這幾個(gè)元素的順序.或者,先讓其它元素選取位置排列,留下來的空位置自然就是順序一定的了.,4.消序法(留空法),解法1:將5個(gè)人依次站成一排,有,解法2:先讓甲乙之外的三人從5個(gè)位置選出3個(gè)站好,有,種站法,,然后再消去甲乙之間的順序數(shù),甲總站在乙的右側(cè)的有站法總數(shù)為,種站法,留下的兩個(gè)位置自然給甲乙有1種站法,甲總站在乙的右側(cè)的有站法總數(shù)為,6,變式:如下圖所示,有5橫8豎構(gòu)成的方格圖,從A到B只能上行或右行共有多少條不同的路線?,解: 如圖所示,將一條路經(jīng)抽象為如下的一個(gè)排法(5-1)+(8-1)=11格:,其中必有四個(gè)和七個(gè)組成!,所以, 四個(gè)和七個(gè)一個(gè)排序就對應(yīng)一條路經(jīng),所以從A到B共有,條不同的路徑.,4.消序法(留空法),也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,順序一定的排列,有 種排法.,7,n個(gè) 相同小球放入m(mn)個(gè)盒子里,要求每個(gè)盒子里至少有一個(gè)小球的放法等價(jià)于n個(gè)相同小球串成一串從間隙里選m-1個(gè)結(jié)點(diǎn)剪截成m段.,例5. 某校準(zhǔn)備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把16個(gè)選手名額分配到高三年級的1-4 個(gè)教學(xué)班,每班至少一個(gè)名額,則不同的分配方案共有_種.,5.剪截法(隔板法):,解: 問題等價(jià)于把16個(gè)相同小球放入4個(gè)盒子里,每個(gè)盒子至少有一個(gè)小球的放法種數(shù)問題.,將16個(gè)小球串成一串,截為4段有,種截?cái)喾?,對?yīng)放到4個(gè)盒子里.,因此,不同的分配方案共有455種 .,8,n個(gè) 相同小球放入m(mn)個(gè)盒子里,要求每個(gè)盒子里至少有一個(gè)小球的放法等價(jià)于n個(gè)相同小球串成一串從間隙里選m-1個(gè)結(jié)點(diǎn)剪截成m段.,變式: 某校準(zhǔn)備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把16個(gè)選手名額分配到高三年級的1-4 個(gè)教學(xué)班,每班的名額不少于該班的序號數(shù),則不同的分配方案共有_種.,5.剪截法:,解: 問題等價(jià)于先給2班1個(gè),3班2個(gè),4班3個(gè),再把余下的10個(gè)相同小球放入4個(gè)盒子里,每個(gè)盒子至少有一個(gè)小球的放法種數(shù)問題.,將10個(gè)小球串成一串,截為4段有,種截?cái)喾?,對?yīng)放到4個(gè)盒子里.,因此,不同的分配方案共有84種 .,9,編號為1至n的n個(gè)小球放入編號為1到 n的n個(gè)盒子里,每個(gè)盒子放一個(gè)小球.要求小球與盒子的編號都不同,這種排列稱為錯(cuò)位排列.,6.錯(cuò)位法:,特別當(dāng)n=2,3,4,5時(shí)的錯(cuò)位數(shù)各為1,2,9,44.,例6. 編號為1至6的6個(gè)小球放入編號為1至6的6個(gè)盒子里,每個(gè)盒子放一個(gè)小球,其中恰有2個(gè)小球與盒子的編號相同的放法有_種.,解: 選取編號相同的兩組球和盒子的方法有,種,其余4組球與盒子需錯(cuò)位排列有9種放法.,故所求方法有15×9135種.,10,7.剔除法,從總體中排除不符合條件的方法數(shù),這是一種間接解題的方法.,例7. 從集合0,1,2,3,5,7,11中任取3個(gè)元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C,所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有_條.,解:所有這樣的直線共有 條,,其中不過原點(diǎn)的直線有 條,,所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有210-18030條.,排列組合應(yīng)用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識聯(lián)系,從而增加了問題的綜合性,解答這類應(yīng)用題時(shí),要注意使用相關(guān)知識對答案進(jìn)行取舍.,11,B,B,鞏固練習(xí),12,A,4. 5個(gè)人排成一排,其中甲、乙不相鄰的排法種數(shù)是( ) A.6 B.12 C.72 D.144,C,鞏固練習(xí),13,分堆問題; 解決排列、組合問題的一些常用方法:錯(cuò)位法、剪截法(隔板法)、捆綁法、剔除法、插孔法、消序法(留空法).,小結(jié),14,

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