內(nèi)蒙古伊圖里河高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第二講三角函數(shù)與平面向量理科

內(nèi)蒙古伊圖里河高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第二講三角函數(shù)與平面向量理科 三角函數(shù)的化簡、求值及證明涉及恒等變換，而三角函數(shù)的恒等變換是歷年高考命題的熱點. 它既可以出現(xiàn)小題（選擇或者填空），也可以與三角函數(shù)的性質(zhì)，解三角形，向量等知識結(jié)合，參雜、滲透在解答題中，它們的難度值一般控制在0.5-0.8之間. 提高三角變換能力, 要學(xué)會設(shè)置條件, 靈活運用三角公式, 掌握運算、化簡及證明的方法和技能. 考試要求 理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；（2）會推導(dǎo)兩角和與差、二倍角的余弦、正弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，能運用上述公式進行簡單的恒等變換；（3）掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題；能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.題型一 已知三角函數(shù)的值求角問題例1 （）（2010年天津卷理科7題）在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，則（）BCD （）若，求+2= .點撥 本題（）宜利用正弦定理進行角化邊，然后利用余弦定理求角A. 題（）首先應(yīng)求+2的函數(shù)值，為了使角的范圍好控制，這里選用正切值好一點，然后根據(jù)條件依次找出所需的條件，要注意角的范圍. 解三角形的問題關(guān)鍵是靈活運用正弦定理和余弦定理，正確進行邊化角、角化邊，探尋解答. 題（）最困難的地方在于確定+2的范圍，一般地，根據(jù)已知條件，把角的范圍限制得越精確，結(jié)果也越準(zhǔn)確.解（）由及正弦定理，得，代入，得，即，又，（為什么從角化邊入手？）由余弦定理，（選用余弦定理合理否？）所以故選（），（為什么要把角的范圍定得這樣精確？）+2,又tan2=,+2=.易錯點 題（）記錯公式、忘記討論角的范圍或者代數(shù)運算不熟練是造成這類解三角形問題的出錯的主要原因.這里選用余弦定理求角是正確的，如果選用正弦定理求角就不合理，一是出現(xiàn)2個角，二是要討論舍棄1個角，更容易出錯；題（）中，角的范圍容易忽略或放大，導(dǎo)致錯誤.變式與引申1：已知，為銳角，tan=，sin=,求2+的值.題型二 三角函數(shù)化簡、求值問題例2（2007安徽卷理科第16題）已知為的最小正周期， ，且求的值點撥 本題解題的關(guān)鍵是如何把的化簡結(jié)果與結(jié)論聯(lián)系起來，可聯(lián)想到“齊次式”. 高考題中的三角與向量問題，向量常常只是工具，重點難點還是三角變換，但兩者的交匯很值得注意. 向量在三角函數(shù)化簡、求值中的運用主要涉及向量的數(shù)量積，向量的平行、垂直、夾角、模等方面.解 因為為的最小正周期，故因，又故由于，所以.另一個解題思路是： 由，可得,再由結(jié)論，很容易化簡得出結(jié)果.易錯點 化簡后，與結(jié)論聯(lián)系不起來；結(jié)論化簡出錯或?qū)忣}有誤，不知道結(jié)論可用表示.變式與引申2：已知A、B、C的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，4），C（3cos，3sin）.（1）若(，0)，且|，求角的大??；（2）若，求的值題型三 三角函數(shù)的取值范圍問題例3（2010年江西卷理科17題）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求在區(qū)間上的取值范圍；（2）當(dāng)時，求的值. 點撥 （1）首先爭取把變換成的形式，要特別注意在什么區(qū)間上求的取值范圍；（2）如何把正切值轉(zhuǎn)換為已知的三角函數(shù)值，從而求出的值.解 (1) 當(dāng)，. 由，得， 從而在區(qū)間上的取值范圍是. （2）= = . 由，得 ， .所以，由 ，求得 . 在高考中，本題第（2）小題還出現(xiàn)一些新的解法，同學(xué)們不妨一試：解法思路：由 ，從而有四條思路：（1），化成關(guān)于的等式，求出m-2;（2），同（1），求出m=-2.（3），同（1），求出m-2.（4）由，求出m-2.易錯點 記錯二倍角公式；不會在區(qū)間上，聯(lián)系三角函數(shù)圖像求函數(shù)的取值范圍；或運用公式不合理，產(chǎn)生錯誤.例如用，去求，容易出現(xiàn)符號處理帶來的麻煩等等.變式與引申3：已知向量，且，其中A、B、C是ABC的內(nèi)角，分別是角A，B，C的對邊（1）求角C的大小；（2）求的取值范圍題型四 三角函數(shù)化簡、求值的綜合應(yīng)用例4已知角是三角形的三內(nèi)角，向量,，且.（1）求角； （2）求；（3）若邊的長為，求的面積 點撥 本題難在第（2）題，若整理成關(guān)于角B的二次式或齊次式，運算則相對簡單；第（3）題也要注意選擇運算簡單的思路.解（1）, , 即.,., .（2）由題知，整理得，, .或.而使，舍去. .（3）由（1）知， 得，又，故（舍去負值，為什么？）,由正弦定理，.故三角形的面積.易錯點 求解本題，易錯點有二：一是本題有點運算量,很容易由于選擇的解法運算繁瑣而算錯；二是不會根據(jù)條件回避討論.由角的范圍或其它隱含條件去討論甄別函數(shù)值至關(guān)重要，也很容易出錯其它解法思路：化簡時，也有很多的思路，如：由,得；由得等.變式與引申4：在題（3）中，若內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a、b、c，且求邊c的長.本節(jié)主要考查 三角函數(shù)的公式及其在化簡、求值和證明中的運用； 恒等變換的能力和運算能力；三角形中的邊、角、面積等關(guān)系（正余弦定理）；（4）等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法等等.點評 高考試題中的三角函數(shù)題相對比較傳統(tǒng)，難度較低，位置靠前，重點突出.因此，在復(fù)習(xí)過程中既要注重三角知識的基礎(chǔ)性，突出三角函數(shù)的圖象、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等性質(zhì).以及化簡、求值和最值等重點內(nèi)容的復(fù)習(xí)，又要注重三角知識的工具性，突出三角與代數(shù)、幾何、向量的綜合聯(lián)系，以及三角知識的應(yīng)用意識.本節(jié)涉及的知識與技能主要有:（1）三角函數(shù)式的化簡問題，在最后所得到的結(jié)果中，要求所含函數(shù)和角的名稱或種類最少,三角函數(shù)名稱盡可能統(tǒng)一，各項的次數(shù)盡可能地低，出現(xiàn)的項數(shù)最少，一般應(yīng)使分母和根號不含三角函數(shù)式，對能求出具體數(shù)值的，要求出值（2）三角函數(shù)的求值問題，是訓(xùn)練三角恒等變換的基本題型，求值的關(guān)鍵是熟練掌握公式及應(yīng)用, 掌握公式的逆用和變形.在化簡和求值中，重視角的范圍對三角函數(shù)值的影響，對角的范圍尤其要注意討論.（3）證明恒等式的過程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程，在進行三角函數(shù)的化簡和三角恒等式的證明時，需要仔細觀察題目的特征，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x擇公式.證明時常用的方法有：從一邊開始，證明它等于另一邊；證明左右兩邊同等于同一個式子；證明與原式等價的另一個式子成立，從而推出原式成立；分析法等.（4）近年的考綱明確提出要加強對正余弦定理的考查，且常結(jié)合三角形內(nèi)的三角恒等變換進行考查解三角形這類題目的解答程序是：一是看方向（是從角化邊入手還是邊化角入手）；二是用定理（合理且靈活運用正弦定理和余弦定理）；三是定答案（根據(jù)取值范圍討論并確定答案）.還要特別注意三角形中三個角A、B、C，三條邊a、b、c，中線ma，角平分線AD，外接圓半徑R，內(nèi)切圓半徑r，三角形面積S之間的關(guān)系和三角形的形狀.（5）三角函數(shù)的綜合問題常常與向量，二次函數(shù)等有關(guān)，但著力點還是三角知識，尤其是利用二倍角公式、“切化弦”、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差等進行恒等變形，是高考考查的重中之重.解答這類綜合問題的原則是三點：降次化次數(shù)較高的三角式為次數(shù)較低的三角式；減元化多種三角函數(shù)為單一的三角函數(shù)；變角化多角的三角函數(shù)為單角的三角函數(shù).還要特別注意：1的變化：角的變化：化切為弦、升冪公式、降冪公式的合理運用；在理解的基礎(chǔ)上熟記和靈活運用各種公式，包括正用公式、反用公式和變用公式. 習(xí)題211. 已知cos+sin=，sin+cos的取值范圍是D，xD，則函數(shù)y=的最小值為( ).A. B. C. D.圖2.（2010年江蘇卷理科第13題）在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，則=_3.已知，求的值 4.（2007年江西卷理科第18題）如圖，函數(shù)的圖象與軸交于點，且在該點處切線的斜率為（1）求和的值；（2）已知點，點是該函數(shù)圖象上一點，點是的中點，當(dāng)，時，求的值5.已知向量m（，1），n(，).（1）若mn=1,求的值;（2）記f(x)= mn，在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a,b,c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數(shù)f(A)的取值范圍.第二節(jié) 三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)及其變換近幾年高考對“三角函數(shù)”一章三角的考查要求略有降低，而對三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)的考查有逐步加強的趨勢. “考試大綱”將三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由“了解”改為“理解”，提高了一個層次.因此，考生在復(fù)習(xí)中要作出相應(yīng)的調(diào)整.它們的難度值一般控制在0.5-0.8之間，且在解答題中大多需要利用三角函數(shù)的變換和性質(zhì)求解. 考試要求 理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義、性質(zhì),理解正切函數(shù)的單調(diào)性；了解函數(shù)的物理意義，會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(x+)的簡圖，了解參數(shù) 對函數(shù)圖像變化的影響.題型一 由“參”定“形”，由“形”定“參”【例1】(1)圖 已知函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式為. 點撥：（1）在函數(shù)yAsin（xj）的有關(guān)問題中，只要確定了這三個參數(shù)A，則該函數(shù)的圖像、性質(zhì)等就出來了；同理，（2）中，已知圖像求解析式問題，關(guān)鍵也是確定三個參數(shù)A，最困難的就是求.于是，本題的答案為、以下求j的值有多種方法可供選擇：易錯點 題（）中，選項“”的含義容易被誤解；題（2）中，已知圖像求解析式中的時，常常由于方法不當(dāng)或范圍不清晰而不能求出準(zhǔn)確值.點評：三角函數(shù)的圖像由若干個參數(shù)確定(即由“參”定“形”)，同時，已知三角函數(shù)的圖像也能夠確定這若干個參數(shù)（即由“形”定“參”).本例所用的方法帶有普遍性，用來求解有關(guān)函數(shù)yAsin（xj）的圖象問題十分奏效.變式與引申1：（2009全國卷理）若將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后，與函數(shù)的圖像重合，則的最小值為（ ）A B. C. D. 題型二 利用圖像的性質(zhì)解題【例2】設(shè)函數(shù)f (x)的圖象與直線x =a，x =b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f(x)在a，b上的面積，已知函數(shù)ysinnx在0，上的面積為（nN* ），（1）ysin3x 在0,上的面積為 ；（2）ysin（3x）1在，上的面積為 . 圖點撥：本題解題的關(guān)鍵是審題，可以畫個草圖幫助理解題意，如圖.第（1）問簡單，第（2）問的函數(shù)圖像有了變化：向右移動個單位，再向上移動1個單位；其所求的面積就是圖中直線,，x軸以及ysin（3x）1的圖像所圍成圖形的面積. 可以把直線y=1上方的兩個“波峰”拿一個填入“波谷”，得到一個矩形和一個“波峰”，其面積容易求出.【解析】（1）T=, n=3,一個周期的面積為.（2）S=1×(-)+=.易錯點: 第（2）問審題容易出問題，結(jié)合圖像能夠幫助理解題意.點評：本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象的平移變換、對稱變換及其應(yīng)用，解題時要注意觀察題目函數(shù)圖像的特點隨機應(yīng)變，如本題可利用圖像的對稱性解題.變式與引申2：已知函數(shù)，x0, 的圖象和直線y=2圍成一個封閉的平面圖形，求該圖形的面積.題型三 三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【例】已知函數(shù)（，且均為常數(shù)），（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，且恰好能夠取到的最小值2，試求的值點撥 研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期、最值、單調(diào)性、奇偶性等）時，首先應(yīng)該對所給的函數(shù)關(guān)系式進行化簡，最好化為一個角（形如）、一種三角函數(shù)的形式三角函數(shù)的性質(zhì)是本章的重點之一三角函數(shù)在確定區(qū)間上的最值（或值域）問題則是個難點，一般要利用到其有界性和單調(diào)性，且經(jīng)常與三角函數(shù)的恒等變形，二次函數(shù)，不等式，解方程等結(jié)合起來，綜合考查能力 【解析】（1） （其中），所以，函數(shù)的最小正周期為（2） 由（1）可知：的最小值為，所以，另外，由在區(qū)間上單調(diào)遞增，可知在區(qū)間上的最小值為，所以，聯(lián)立解得：.易錯點: 在題（2）中，能否正確列出方程組，還有計算時也容易出錯.變式與引申3：求函數(shù)的值域.題型四 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例4】已知函數(shù)的圖象上有一個最低點，將圖象上的各點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來的倍，然后再向左平移1個單位得到的圖象，且方程的所有正根構(gòu)成一個以3為公差的等差數(shù)列，求的解析式及其最小正周期、單調(diào)遞減區(qū)間.點撥 本題比較難，首先難在審題上，要理清各層題目意思；其次，原題中的函數(shù)不但有a,b,c三個參數(shù)，而且圖像也不在標(biāo)準(zhǔn)位置上；第三難在通過圖像變換后，會得到什么樣的函數(shù)圖像，還有方程的根正好構(gòu)成等差數(shù)列又怎么理解.解題思路分析如下：第一步，要化成同名函數(shù)；其次是利用轉(zhuǎn)化的思想，把“三元”化為“一元”，這可以通過圖象上有一個最低點來轉(zhuǎn)化得到；然后處理圖像變換，得出y=f(x)的含參解析式；最后利用等差數(shù)列求出參數(shù)c.此題是三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用題，要正確解答必須對三角函數(shù)圖象變換的基本特性有較深刻的認識，考查綜合應(yīng)用知識的能力，和數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.解決三角函數(shù)的圖象變換問題，要注意以下兩方面：首先要化為同名函數(shù)；其次是周期變換發(fā)生在相位變換之前時，應(yīng)明確平移的量是什么.還要充分運用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想解題.【解析】將函數(shù)化為，由條件得 ，圖下一步是關(guān)鍵是求出參數(shù)c，顯然的周期，其半周期的長度恰好為3.而可看成的圖象與直線的交點的橫坐標(biāo)，且由半周期的長度為3可知，相鄰交點間的距離也為3，從而由三角函數(shù)圖象的特征知道，否則無法滿足半周期為3.的圖象與與直線的交點只可能是在的各對稱中心，對稱軸向上平移了3個單位，即，如圖.從而,單調(diào)遞減區(qū)間為.易錯點 本題易出錯的地方是平移、伸縮時，解析式的變化，再就是用等差數(shù)列的條件時討論不全變式與引申4：函數(shù)的性質(zhì)通常指函數(shù)的定義域、值域、周期性、單調(diào)性、奇偶性等，請選擇適當(dāng)?shù)奶骄宽樞颍芯亢瘮?shù)f(x)= +的性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上，作出其在的草圖本節(jié)主要考查 三角函數(shù)的圖象，包括：y=sinx、y=cosx、y=tanx的圖象；“五點法”畫出y=Asin（x+）的簡圖；利用平移和伸縮變換畫出y=Asin（x+）的圖象；三角函數(shù)性質(zhì)，包括奇偶性，單調(diào)性，周期性，最值；三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用；（4）等價轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.點評 高考對三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)一向是考查的重點，在復(fù)習(xí)過程中要注意與三角函數(shù)的化簡、求值等基礎(chǔ)知識，以及三角函數(shù)的恒等變形等結(jié)合起來，還要注意與代數(shù)、幾何、向量的綜合聯(lián)系.復(fù)習(xí)的重點是正、余弦函數(shù)的圖象變換及其應(yīng)用，掌握它們的性質(zhì),其中單調(diào)性又是本節(jié)的一個難點.1.對三角函數(shù)圖象要從對稱軸和有界性這兩個角度去把握，對稱性包括對稱軸和對稱中心兩個關(guān)鍵要素，要熟記y=sinx、y=cosx、y=tanx的對稱軸和對稱中心 2對三角函數(shù)性質(zhì)的研究要首先建立在定義域的基礎(chǔ)之上而求三角函數(shù)的定義域往往要解三角不等式，解三角不等式的方法一般表現(xiàn)為圖象法或三角函數(shù)線法對三角函數(shù)性質(zhì)的考查總是與三角變換相結(jié)合一般解題規(guī)律是先對三角函數(shù)關(guān)系式進行三角變換，使之轉(zhuǎn)化為一個角的三角函數(shù)的形式，再利用換元法轉(zhuǎn)化為對基本三角函數(shù)性質(zhì)的研究3. 求三角函數(shù)的最值問題屬于常見題型，主要利用正、余弦函數(shù)的有界性，一般通過三角變換和換元化為一次函數(shù)或二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,或引入輔助角,或采用“不等式”法,或“數(shù)形結(jié)合”等基本類型處理.4.對函數(shù)yAsin(xj)k (A0, 0, j0, k0),其圖象的基本變換是個難點，各種變換的實質(zhì)要熟練掌握，不能單從形式上簡單判斷5“五點法”是三角函數(shù)作簡圖的有力武器,要熟練掌握.最基本的三角函數(shù)圖象的形狀和位置特征，要準(zhǔn)確掌握，它是利用數(shù)形結(jié)合思想解決三角函數(shù)問題的關(guān)鍵6.主要題型：求三角函數(shù)的定義域、值域、周期，判斷奇偶性，求單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性比較大小，圖象的平移和伸縮，圖象的對稱軸和對稱中心，利用圖象解題，根據(jù)圖象求解析式.7常用方法：(1)求三角函數(shù)的值域、最值：利用正弦、余弦函數(shù)的有界性，通過變換轉(zhuǎn)化為代數(shù)最值問題；(2)求周期：將函數(shù)式化為一個三角函數(shù)的一次方的形式，再利用公式，利用圖象判斷.習(xí)題22圖1.（2009浙江文、理）已知是實數(shù)，則函數(shù)的圖象不可能是 ( )2. 若函數(shù)f（x）= a+bcosx+csinx的圖象過點A（0，1）和B（,且時, f（x）2恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 3.函數(shù)f(x)=a+bsin2x+ccos2x的圖象經(jīng)過點A（0，1），B（，1）,且當(dāng)x0, 時，f(x)取得最大值21（1）求f(x)的解析式；（2）(選作題)是否存在向量m，使得將f(x)的圖象按向量m平移后可以得到一個奇函數(shù)的圖象？若存在，求出滿足條件的一個m;若不存在，說明理由.4.已知函數(shù)f(x)=A(A>0,>0,0<<函數(shù)，且y=f(x)的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，并過點（1，2）.（1）求f(x);（2）計算f(1)+f(2)+ +f(2 011).5設(shè)函數(shù)f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，sin2x)，xR.（1）若f(x)=1且x，求x；（2）試作出函數(shù)f(x)在一個周期內(nèi)的簡圖； (3) 設(shè)函數(shù)f(x)的最大值為M ，若有10個互不相等的正數(shù)且，求的值.第三節(jié) 平面向量與代數(shù)的綜合應(yīng)用 平面向量與代數(shù)的綜合應(yīng)用為每年高考必考內(nèi)容，以選擇題（填空題）形式出現(xiàn)，或作為題設(shè)條件與三角函數(shù)（解三角形）、數(shù)列、函數(shù)不等式形成綜合解答題的形式出現(xiàn)，分值在412分左右；向量具有代數(shù)形式與幾何形式的“雙重身份”，這使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點，也成為多項內(nèi)容的媒介，在高考中主要考查有關(guān)的基礎(chǔ)知識，突出向量的工具作用，難度系數(shù)在0.40.8之間. 考試要求理解平面向量的概念，理解兩個向量相等及向量共線的含義；掌握向量的加法、減法及數(shù)乘運算；了解平面向量基本定理及其意義，掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示，理解用坐標(biāo)表示向量的加法和減法運算及數(shù)乘運算，理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件；理解平面向量的數(shù)量積的含義及其物理意義，掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式并會進行數(shù)量積的運算，能用數(shù)量積表示兩向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系.題型一 平面向量的有關(guān)概念及應(yīng)用例1（2010年山東卷理）定義平面向量之間的一種運算“”如下，對任意的，令，下面說法錯誤的是（ ）（A）若與共線，則 （B） （C）對任意的，有 （D）點撥：仿照平面向量的線性運算規(guī)則及數(shù)量積的性質(zhì)進行“”運算.解：若與共線，則有，故A正確；因為，而，所以有，故選項B錯誤，選B.易錯點：把定義的運算“”混同與“”，認同選項B正確.變式與引申1：已知兩個非零向量，定義運算“#”：，其中為的夾角有兩兩不共線的三個向量，下列結(jié)論：若，則；若；則；其中正確的個數(shù)有（ ）A1個B2個C3個D4個題型二 平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用例2：已知向量， (1)當(dāng)時，求的值；(2)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間點撥：(1)由向量平行列方程解出的值，所求式子轉(zhuǎn)化成正切單角名稱的三角代數(shù)式，代入可求解；(2)進行向量坐標(biāo)形式的數(shù)量積運算得到的解析式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)結(jié)構(gòu).解：(1)由 得，即，所以.(2) 因為，；所以；所以最小正周期為;由得，故單調(diào)遞增區(qū)間為().易錯點：計算的值出錯；轉(zhuǎn)化為形式出錯；下結(jié)論時遺漏.變式與引申2： 已知向量, (1)若,求；(2)求的最大值題型三 平面向量與數(shù)列的綜合應(yīng)用例3(2008年株洲一模)在平面直角坐標(biāo)系中已知,滿足向量與向量共線，且點都在斜率為6的同一條直線上.若.(1) 求數(shù)列的通項公式； (2) 求數(shù)列的前n項和.點撥：利用點都在斜率為6的同一條直線上和與共線分別得出數(shù)列遞推公式和，求出后再求的通項公式. 解：(1)因為點都在斜率為6的同一條直線上，所以，即于是數(shù)列是等差數(shù)列，故；因為，；又因為共線，所以 即，當(dāng)n2時，當(dāng)n=1時，上式也成立, 所以.(2), .易錯點：錯誤理解點都在斜率為6的同一條直線上的含義,無法求得的通項公式；由與共線錯列方程得到結(jié)果.變式與引申3：數(shù)列中，數(shù)列中，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點列，則向量+的坐標(biāo)為( ).A. B. C. D.題型四 平面向量與函數(shù)的綜合應(yīng)用例4(2010年洛陽十校)已知平面向量(，1)，(, ).(1) 若存在實數(shù)和，使得, ，且，試求函數(shù)的關(guān)系式；(2) 根據(jù)(1)的結(jié)論，確定的單調(diào)區(qū)間.點撥：第(1)問先分別求得與的坐標(biāo)，再用的充要條件或是直接利用的充要條件，進行向量的代數(shù)運算,其過程將用到向量的數(shù)量積公式及求模公式，得到函數(shù)的關(guān)系式；第(2)問中求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間運用的是求導(dǎo)的方法.解：（1）方法一：由題意知(,), ，又故×（）×()0，整理得：，即 .方法二：因為(，1)，(, ),所以2，1且，又故0.即，化簡得, 所以.(2) 由(1)知：，求導(dǎo)，令0得11；令0得1或1.故的單調(diào)遞減區(qū)間是(1, 1 )，單調(diào)遞增區(qū)間是（，1）和（1，）.易錯點：字母運算出錯不能正確得到的坐標(biāo)形式；沒能通過簡單的心算判斷出，使得的展開式中無法消去含有的項.變式與引申4：1.已知平面向量(，1)，(，)，若存在不為零的實數(shù)k和角，使向量(), ,且，試求實數(shù) 的取值范圍；2.(2010山東德州模擬)已知兩個向量， .（1）若且，求實數(shù)x的值； （2）對寫出函數(shù)具備的性質(zhì).本節(jié)主要考查（1）知識點有平面向量的有關(guān)概念、加減法的幾何意義、向量共線定理、平面向量的基本定理、坐標(biāo)表示、垂直關(guān)系、向量的數(shù)量積；（2）演繹推理能力、運算能力、創(chuàng)新意識；（3）函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想和待定系數(shù)法.點評（1）掌握平面向量的基礎(chǔ)知識，正確地進行向量的各種運算來處理向量與代數(shù)的綜合應(yīng)用問題（如例1），要善于利用向量“數(shù)”與“形”兩方面的特征；（2）向量共線的充要條件中應(yīng)注意只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，向量共線的坐標(biāo)表示不能與向量垂直的坐標(biāo)表示相混淆；（3）理解向量的數(shù)量積的定義、運算律、性質(zhì)并能靈活應(yīng)用，向量的數(shù)量積的結(jié)果是實數(shù)而不是向量，注意數(shù)量積與實數(shù)乘法運算律的差異；（4）向量的坐標(biāo)運算使得向量運算完全代數(shù)化，向量與函數(shù)、數(shù)列、解三角形、不等式等相結(jié)合形成了代數(shù)的綜合問題（如例2、例3、例4），在知識的交匯點處命題來考查了向量的工具性及學(xué)生分析問題、解決問題的能力.習(xí)題231.（2010年廣東文數(shù)）若向量，滿足條件，則=A. 6 B.5 C.4 D.3 2.（2010年西南師大附中月考） 設(shè)兩個向量和其中為實數(shù).若則的取值范圍是 ( )A. B. C. D.3.（2009年晉城二模）已知向量 (m是常數(shù)),(1)若是奇函數(shù)，求m的值;(2)若向量的夾角為中的值，求實數(shù)的取值范圍.4.（2009年湖北卷理）已知向量，.（1）求向量的長度的最大值；（2）設(shè)且，求的值.5.（2010鄭州四中模擬）已知點集，其中，點列在中，為與軸的公共點，等差數(shù)列的公差為1；(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)若，數(shù)列的前項和k*s*5*u滿足對任意的都成立，試求的取值范圍.第四節(jié) 平面向量與幾何的綜合應(yīng)用平面向量與幾何的綜合應(yīng)用內(nèi)容為每年高考必考內(nèi)容，多以選擇題（填空題）形式考查平面向量相關(guān)概念的幾何意義及與平面幾何知識的綜合應(yīng)用，或作為題設(shè)條件與解析幾何知識綜合以解答題形式出現(xiàn)，分值在4-12分左右；難度系數(shù)在0.30.6之間.考試要求理解平面向量的概念、兩個向量平行或共線及相等的幾何意義；掌握向量的加減法運算及數(shù)乘運算幾何意義，了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義；了解平面向量基本定理及其意義；理解平面向量的數(shù)量積的含義，了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，能用數(shù)量積表示兩向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系；會用向量方法解決簡單的平面幾何問題和簡單力學(xué)問題及其他一些實際問題.題型一 平面向量加減法及數(shù)乘運算的幾何意義應(yīng)用例1 已知為平面上四點，且，則( )A點M在線段AB上 B點B在線段AM上 C點A在線段BM上 DO、A、M、B四點共線在中，點在上，平分若，則( )A. B. C. D.點撥：考查了平面向量的加減法運算，利用數(shù)乘運算幾何意義根據(jù)來判斷點M的位置：考查向量的基本運算和三角形的角平分線定理，關(guān)鍵在于確定點D在AB上的位置，由角平分線定理得出D為AB的三等分點，結(jié)合向量的基本運算求解；解：選B. 根據(jù)題意知,則，即.由判斷出點在線段AB的延長線上，即點B在線段AM上；選B因為平分，由角平分線定理得，所以為AB的三等分點，且，故；易錯點：沒有根據(jù)來判斷點M的位置；同學(xué)對角平分線定理不熟悉，導(dǎo)致求解出錯.變式與引申1：（2010湖北卷）已知和點M滿足，若存在實數(shù)使得成立，則=（ ） A2 B3 C4 D5設(shè)分別是的三邊上的點，且則與( ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直題型二 平面向量基本定理及數(shù)量積的幾何意義應(yīng)用例2：（2010江蘇泰興質(zhì)檢）在正六邊形中，點是內(nèi)（包括邊界）的動點，若，則的取值范圍是；已知， ，設(shè)，如果，那么為何值時，三點在一條直線上？（2010江蘇南通質(zhì)檢）如圖2-8，在等腰中，點分別是的中點，點是（包括邊界）內(nèi)任意一點，則的取值范圍是 ； 點撥：利用平面向量基本定理和向量加法的平行四邊形法則，通過畫圖數(shù)形結(jié)合解出，或者用平面向量基本定理及線性規(guī)劃的知識來解出；向量個數(shù)較多，應(yīng)選準(zhǔn)一對作為基底，利用平面向量共線充要條件列出方程求解；因為，又是向量在的方向上的投影，那么相當(dāng)于與向量在的方向上的投影的乘積.G圖ABCDEF解：方法一，的取值范圍是.從特例試一試，當(dāng)點與重合時(如圖)，確定，過點作和（即和）的平行線得，易知，,所以；同理點與重合時，也可以得；點與重合時，所以.方法二，如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)六邊形的邊長為2，各個頂點的坐標(biāo)分圖xCyFEDABoP別是、，令，那么,.由得 ， ，二者聯(lián)立有，.因為點在內(nèi)（包括邊界），所以點必在直線和的下方，同時在直線的上方，求出直線和的方程，根據(jù)線性規(guī)劃知識得到點滿足的約束條件是：；把分別換成得；作圖驗證可知，當(dāng)點與重合時，即；點與重合時，即.所以的取值范圍是；CABN圖MP由題設(shè)知，三點在一條直線上的充要條件是存在實數(shù)，使得，即，整理得，若共線，則可為任意實數(shù)；若不共線，則有，解之得，所以綜上所述，當(dāng)共線時，則可為任意實數(shù)；當(dāng)不共線時，；因為點是定點，點在（包括邊界）內(nèi)任意移動，所以向量在方向上的投影最長時位于處的，最短時位于處，且為負數(shù)，所以，再以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立坐標(biāo)系,得,，,即.易錯點：對平面向量基本定理概念不清晰，利用向量加法進行平行四邊形法則作圖不到位，判斷的取值出錯；不能正確選準(zhǔn)一對向量來作為基底去表示，沒有對是否共線進行分類討論；沒有認識到的取值范圍即為向量在方向上的投影.變式與引申2：已知在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，且（其中均為實數(shù)），若N（1，0），則的最小值是 .已知=1，=,點在內(nèi)，且=30°，設(shè) ，則等于（ ）A. B.3 C. D.題型三 平面向量與平面幾何綜合的問題例：已知中，過重心的直線交于，交邊于，設(shè)的面積為，的面積為，則 ，的取值范圍是 ；（2010全國卷）已知圓的半徑為，為該圓的兩條切線，、為兩切點，那么的最小值為（） 點撥：令通過引入中間變量根據(jù)三角形的重心和平面向量的基本定理演算出和之間的關(guān)系式；用的三角函數(shù)形式表示出，再使用均值不等式得到答案；或者建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算形式求解.解：；設(shè)因為是的重心，故，又，因為與共線，所以，即，又與不共線，APBQGC圖所以及，消去，得； ，故； ，那么，當(dāng)與重合時，當(dāng)位于中點時，故，故，但因為與不能重合，故B圖PA選D.方法一：如圖，令 ，令，；方法二：以圓心O的坐標(biāo)原點，以O(shè)P為軸，建立坐標(biāo)系：圓的方程為，設(shè)，由，所以有易錯點：沒有正確引入中間變量使得和之間的關(guān)系式運算出錯：對的三角形式化簡方向偏離正確結(jié)構(gòu)或建立坐標(biāo)系沒有利用得出，難以繼續(xù)演算ACBPO圖變式與引申3：（2009合肥一中）是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足則的軌跡一定通過的( ) A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心如圖2-11，半圓的直徑，為圓心，是圓弧上不同于的任意一點，若為半徑上的動點，則的最小值是 ；題型四 平面向量與圓錐曲線綜合的問題例4（2010北京宣武區(qū)二模）已知直線與曲線：交于兩點A、B；設(shè)，當(dāng)時，求點P的軌跡方程；是否存在常數(shù)，對任意，都有？如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由.對為任意正實數(shù)，是否存在常數(shù)，都有為常數(shù)？如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由.點撥：從分析點的坐標(biāo)與點的坐標(biāo)相關(guān)聯(lián)，直線方程與曲線方程聯(lián)立消，演算出點關(guān)于的參數(shù)方程，消參數(shù)可求點P的軌跡方程；由和根與系數(shù)關(guān)系式建立方程組，去探究是否存在常數(shù)；應(yīng)該是上一問的引申，遵循了由特殊到一般的探究過程解：設(shè)，則，由消去，得：；依題意有解得：且；，；所以點P的坐標(biāo)為消去，得：，即，由得，由且，解得或，點P的軌跡方程為（或）；假設(shè)存在這樣的常數(shù)由消y得：，及；因為；解得：當(dāng)時，且方程判別式，所以對任意，A、B兩點總存在，故當(dāng)時，對任意，都有；假設(shè)這樣的常數(shù)存在，對為任意正實數(shù)，使為一常數(shù)M.即， 即，化簡得：，對為任意正實數(shù)，有，成立，即，出現(xiàn)了矛盾所以這樣的常數(shù)不存在易錯點：求出點P的軌跡方程后，沒有注意到的取值范圍，代數(shù)式化簡運算出錯變式與引申4：已知定點(-1,0)和B (1,0)，是圓上的一動點，則的最大值是 ；最小值是 .（2010遼寧名校）已知、B、C是橢圓M：上的三點，其中點A的坐標(biāo)為，BC過橢圓M的中心，且，； 求橢圓M的方程；過點的直線（斜率存在時）與橢圓M交于兩點P、Q，設(shè)D為橢圓M與軸負半軸的交點，且求實數(shù)的取值范圍本節(jié)主要考查 知識點有平面向量的加減法、向量共線定理、平面向量的基本定理、向量的數(shù)量積的幾何意義及運算，平面向量平行和垂直位置關(guān)系；演繹推理能力、運算能力、創(chuàng)新意識；數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)、不等式思想、分類討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想和應(yīng)用向量法分析解決問題 點評 認識向量的幾何特性對于向量問題一定要結(jié)合圖形進行研究，掌握平面向量相關(guān)概念的幾何意義，正確地運用向量的各種運算來處理向量與幾何的綜合應(yīng)用問題（如例1、例2），要善于利用向量“數(shù)”與“形”兩方面的特征；理解向量數(shù)量積的定義、運算律、性質(zhì)幾何意義，并能靈活應(yīng)用處理與向量的夾角、模長和垂直的相關(guān)問題；平面向量能與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點，注意向量在知識的交匯點處命題，要關(guān)注平面向量與三角形等平面幾何知識相結(jié)合的綜合問題（如例）及平面向量作為解析幾何問題的已知條件與之交織在一起的綜合問題（例）；平面向量重視考查綜合能力，體現(xiàn)了向量的工具性及學(xué)生分析問題、解決問題的能力，學(xué)生要善于運用向量方法解題，樹立運用向量知識解題的意識；知曉三角形五“心”向量形式的充要條件，設(shè)為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則為的外心；為的重心；為的垂心；為的內(nèi)心；為的的旁心；習(xí)題1在ABC中，若對任意，有，則ABC的形狀是()A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形2設(shè)P、Q為ABC內(nèi)的兩點，且，則ABP的面積與ABQ的面積之比為_3（2010荊州模擬）已知A、B、C是直線l上的三點，O是直線l外一點，向量，滿足，求函數(shù))的表達式；已知ABC的周長為6，成等比數(shù)列求的面積S的最大值；求的取值范圍5（2010泉州模擬）過拋物線上不同兩點、分別作拋物線的切線相交于點，求點的軌跡方程；已知點，是否存在實數(shù)使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.第二講測試卷一、選擇題:本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.將時鐘的分針撥慢10分鐘，那么此過程中分針經(jīng)過的弧度數(shù)為 （ ） A B. C. D. 2已知平行四邊形ABCD，O是平行四邊形ABCD所在平面外任意一點，則向量等于 （ ）A+ B+- C-+ D-3. 已知：ABCD高考資源網(wǎng)4若將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后，與函數(shù)的圖像重合，則的最小值為 （ ）A B. C. D. 5.函數(shù)y=|sinx|2sinx的值域是 （ ）A.3，1 B.1，3C.0，3D.3，06已知(sin，)，(1，)，其中(，)，則一定有 （ ）ABC與夾角為45° D|7已知向量(6，4)，(0，2),l，若C點在函數(shù)ysinx的圖象上,實數(shù)l（ ）ABCD高考資源網(wǎng)8對于函數(shù)f（x）=給出下列四個命題：該函數(shù)的值域為1，1；當(dāng)且僅當(dāng)x=2k+（kZ）時，該函數(shù)取得最大值1；該函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)2k+<x<2k+（kZ）時，f（x）<0. 上述命題中正確的個數(shù)是 （ ）A.1B.2C.3D.49. 已知，若，則ABC是直角三角形的概率為（ ）A B C D 10. ( )A. B. C. D.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分,共25分把答案填在題中橫線上11設(shè)函數(shù).若是奇函數(shù)，則_12.已知向量(sinq，2cosq)，(,).若，則sin2q的值為_13.設(shè)是兩個不共線的向量，若三點共線，則的值為 _.14.已知=4, =3, =61.在中，=, =, 則的內(nèi)角A的度數(shù)是 .15設(shè)=（1+cos，sin）， =（1cos，sin）， =（1，0），（0，），（，2），與的夾角為1，與的夾角為2，且12=，則sin的值 三、解答題:本大題共6小題，共75分. 解答應(yīng)寫出文字的說明，證明過程或演算步驟.16(本題滿分12分)已知向量，（1）當(dāng)，且時，求的值； （2）當(dāng)，且時，求的值17(本題滿分12分)在ABC中，A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，已知向量(1，2sinA)，(sinA，1cosA)，滿足，bca.(1)求A的大?。?(2)求sin(B)的值18. (本題滿分12分)已知(cosxsinx，sinx)，(cosxsinx，2cosx).（1）求證：向量與向量不可能平行；（2）若f(x)·，且x,時，求函數(shù)f(x)的最大值及最小值19. (本題滿分12分) 已知ABC中，A、B、C分別是三個內(nèi)角，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，已知2（sin2A-sin2C）=(a-b)sinB,ABC的外接圓的半徑為.（1）求角C;（2）求ABC面積S的最大值. 20（本小題滿分13分）已知、是兩個不共線的向量，且=（cos，sin）, =（cos，sin）. （1）求證：+與垂直； （2）若（），=，且|+| = ，求sin.21(本題滿分14分)已知向量, ,記函數(shù)已知的周期為.（1）求正數(shù)之值, 并求函數(shù)f(x)的的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）試用“五點法”畫出函數(shù)在一個周期內(nèi)的簡圖，并指出該函數(shù)的圖象可由的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？ （3）當(dāng)x表示ABC的內(nèi)角B的度數(shù)，且ABC三內(nèi)角A、B、C滿足sin,試求f(x)的值域.- 27 -