全國各地2015年中考數(shù)學(xué)試卷解析分類匯編（第1期）專題23 直角三角形與勾股定理

直角三角形與勾股定理一.選擇題1. （2015遼寧大連，8，3分）如圖，在ABC中，C=90°，AC=2，點D在BC上，ADC=2B,AD=,則BC的長為（ ）A.1 B.+1 C.1 D.+1【答案】D【解析】解：在ADC中，C=90°，AC=2，所以CD=,因為ADC=2B，ADC=B+BAD,所以B=BAD,所以BD=AD=,所以BC=+1，故選D.2.（2015四川南充,第9題3分）如圖，菱形ABCD的周長為8cm，高AE長為cm，則對角線AC長和BD長之比為（ ）（A）1:2 （B）1:3 （C）1: （D）1: 【答案】D【解析】試題分析：設(shè)AC與BD的交點為O，根據(jù)周長可得AB=BC=2，根據(jù)AE=可得BE=1，則ABC為等邊三角形，則AC=2，BO=，即BD=2，即AC:BD=1：.考點：菱形的性質(zhì)、直角三角形.圖53（2015四川資陽,第9題3分）如圖5，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3 cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3 cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是A13cmBcmCcmDcm考點：平面展開最短路徑問題.分析：將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A，根據(jù)兩點之間線段最短可知AB的長度即為所求解答：解：如圖：高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點A處，AD=5cm，BD=123+AE=12cm，將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A，連接AB，則AB即為最短距離，AB=13（Cm）故選：A點評：本題考查了平面展開最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力4. （2015浙江濱州,第10題3分）如圖，在直角的內(nèi)部有一滑動桿.當(dāng)端點沿直線向下滑動時，端點會隨之自動地沿直線向左滑動.如果滑動桿從圖中處滑動到處，那么滑動桿的中點所經(jīng)過的路徑是( )A.直線的一部分B.圓的一部分 C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)題意和圖形可知AOB始終是直角三角形，點C為斜邊上的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知OC始終等于AB的一半，O點為定點，OC為定長，所以它始終是圓的一部分.故選B考點：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半5. （2015浙江湖州，第9題3分）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，O是ABC的內(nèi)切圓，現(xiàn)將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG，點F，G分別在AD，BC上，連結(jié)OG，DG，若OGDG，且O的半徑長為1，則下列結(jié)論不成立的是( )A. CD+DF=4B. CDDF=23C. BC+AB=2+4D. BCAB=2【答案】A.【解析】試題分析：如圖，設(shè)O與BC的切點為M,連接MO并延長MO交AD于點N,利用“AAS”易證OMGGCD,所以O(shè)M=GC=1, CD=GM=BCBMGC=BC2.又因AB=CD,所以可得BCAB=2.設(shè)AB=a，BC=b,AC=c, O的半徑為r，O是RtABC的內(nèi)切圓可得r=（a+bc），所以c=a+b2. 在RtABC中，由勾股定理可得，整理得2ab4a4b+4=0，又因BCAB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）4a4（2+a）+4=0，解得，所以，即可得BC+AB=2+4. 再設(shè)DF=x，在RtONF中,FN=，OF=x，ON=,由勾股定理可得，解得，所以CDDF=，CD+DF=.綜上只有選項A錯誤，故答案選A.考點：矩形的性質(zhì)；直角三角形內(nèi)切圓的半徑與三邊的關(guān)系；折疊的性質(zhì)；勾股定理；6. （2015浙江嘉興，第7題4分）如圖，中，AB=5，BC=3，AC=4，以點C為圓心的圓與AB相切，則C的半徑為（）（A）2.3 （B）2.4（C）2.5（D）2.6考點：切線的性質(zhì)；勾股定理的逆定理.分析：首先根據(jù)題意作圖，由AB是C的切線，即可得CDAB，又由在直角ABC中，C=90°，AC=3，BC=4，根據(jù)勾股定理求得AB的長，然后由SABC=ACBC=ABCD，即可求得以C為圓心與AB相切的圓的半徑的長解答：解：在ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，AC2+BC2=32+42=52=AB2，C=90°，如圖：設(shè)切點為D，連接CD，AB是C的切線，CDAB，SABC=ACBC=ABCD，ACBC=ABCD，即CD=，C的半徑為，故選B點評：此題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，以及直角三角形斜邊上的高的求解方法此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用8. （2015四川樂山,第7題3分）如圖，已知ABC的三個頂點均在格點上，則cosA的值為（ ）A B C D【答案】D 考點：1銳角三角函數(shù)的定義；2勾股定理；3勾股定理的逆定理；4格型9, （2015四川眉山，第10題3分）如圖，在RtABC中，B=90°，A=30°，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E是垂足，連接CD若BD=1，則AC的長是（）A2B2C4D4考點：含30度角的直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理.分析：求出ACB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出AD=CD，推出ACD=A=30°，求出DCB，即可求出BD、BC，根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)求出AC即可解答：解：在RtABC中，B=90°，A=30°，ACB=60°，DE垂直平分斜邊AC，AD=CD，ACD=A=30°，DCB=60°30°=30°，在RtDBC中，B=90°，DCB=30°，BD=1，CD=2BD=2，由勾股定理得：BC=，在RtABC中，B=90°，A=30°，BC=，AC=2BC=2，故選A點評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出BC的長，注意：在直角三角形中，如果有一個角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半10. （2015浙江省臺州市，第8題）如果將長為6cm，寬為5cm的長方形紙片折疊一次，那么這條折痕的長不可能是（ ）A.8cm B.cm C.5.5cm D.1cm二.填空題1、（2015四川自貢,第13題4分）已知，是O的一條直徑 ，延長至點，使,與O相切于點，若,則劣弧的長為 .考點：圓的基本性質(zhì)、切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、弧長公式等.分析：本題劣弧的長關(guān)鍵是求出圓的半徑和劣弧所對的圓心角的度數(shù).在連接OD后，根據(jù)切線的性質(zhì)易知,圓的半徑和圓心角的度數(shù)可以通過Rt獲得解決.略解：連接半徑OD.又與O相切于點 又 在Rt 在Rt根據(jù)勾股定理可知： 解得： 則劣弧的長為. 故應(yīng)填 2. （2015浙江濱州,第17題4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將矩形AOCD沿直線AE折疊（點E在邊DC上），折疊后頂點D恰好落在邊OC上的點F處.若點D的坐標(biāo)為(10,8），則點E的坐標(biāo)為 .【答案】（10,3）考點：折疊的性質(zhì)，勾股定理3. （2015四川省內(nèi)江市，第22題，6分）在ABC中，B=30°，AB=12，AC=6，則BC=6考點：含30度角的直角三角形；勾股定理.分析：由B=30°，AB=12，AC=6，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半易得ABC是直角三角形，利用勾股定理求出BC的長解答：解：B=30°，AB=12，AC=6，ABC是直角三角形，BC=6，故答案為：6°點評：此題考查了含30°直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵4.（2015江蘇泰州,第16題3分）如圖， 矩形中，AB=8，BC=6，P為AD上一點， 將ABP 沿BP翻折至EBP， PE與CD相交于點O，且OE=OD，則AP的長為_. 【答案】4.8.【解析】試題分析：由折疊的性質(zhì)得出EP=AP, E=A=90°,BE=AB=8，由ASA證明ODPOEG，得出OP=OG，PD=GE，設(shè)AP=EP=x，則PD=GE=6x，DG=x，求出CG、BG，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程即可.試題解析：如圖所示： 四邊形ABCD是矩形D=A=C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8根據(jù)題意得：ABPEBP，EP=AP，E=A=90°,BE=AB=8，在ODP和OEG中ODPOEGOP=OG，PD=GE，DG=EP設(shè)AP=EP=x，則PD=GE=6x，DG=x，CG=8x，BG=8（6x）=2+x根據(jù)勾股定理得：BC2+CG2=BG2即：62+（8x）2=（x+2）2解得：x=4.8AP=4.8.考點：1.翻折變換（折疊問題）；2.勾股定理；3.矩形的性質(zhì).5.（2015江蘇徐州,第17題3分）如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個正方形，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，第n個正方形的邊長為（）n1考點：正方形的性質(zhì).專題：規(guī)律型分析：首先求出AC、AE、HE的長度，然后猜測命題中隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律，即可解決問題解答：解：四邊形ABCD為正方形，AB=BC=1，B=90°，AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3，第n個正方形的邊長an=（）n1故答案為（）n1點評：該題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理及其應(yīng)用問題；應(yīng)牢固掌握正方形有關(guān)定理并能靈活運用6.（2015山東東營,第17題4分）如圖，一只螞蟻沿著邊長為2的正方體表面從點A出發(fā)，經(jīng)過3個面爬到點B，如果它運動的路徑是最短的，則AC的長為 【答案】. 考點：1.正方體的側(cè)面展開圖；2.最值問題；3.勾股定理.7（2015廣東廣州,第16題3分）如圖，四邊形ABCD中，A=90°，AB=3，AD=3，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為 3 考點：三角形中位線定理；勾股定理專題：動點型分析：根據(jù)三角形的中位線定理得出EF=DN，從而可知DN最大時，EF最大，因為N與B重合時DN最大，此時根據(jù)勾股定理求得DN=DB=6，從而求得EF的最大值為3解答：解：ED=EM，MF=FN，EF=DN，DN最大時，EF最大，N與B重合時DN最大，此時DN=DB=6，EF的最大值為3故答案為3點評：本題考查了三角形中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵8.（2015泉州第11題4分）如圖，在正三角形ABC中，ADBC于點D，則BAD=30°°解：ABC是等邊三角形，BAC=60°，AB=AC，ADBC，BAD=BAC=30°，故答案為：30°9(2015湖南株洲,第15題3分)如圖是“趙爽弦圖”，ABH、BCG、CDF和DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB10，EF2，那么AH等于【試題分析】本題考點為：全等三角形的對應(yīng)邊相等，直角三角形的勾股定理，正方形的邊長相等；由全等可知：AHDE，AEAHHE由直角三角形可得：，代入可得答案為：610(2015江蘇無錫,第17題2分)已知：如圖，AD、BE分別是ABC的線和角平分線，ADBE，AD=BE=6，則AC的長等于_考點：三角形位線定理；勾股定理專題：計算題分析：延長AD至F，使DF=AD，過點F作平行BE與AC延長線交于點G，過點C作CHBE，交AF于點H，連接BF，如圖所示，在直角三角形AGF，利用勾股定理求AG的長，利用SAS證得BDFCDA，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到ACD=BFD，證得AGBF，從而證得四邊形EBFG是平行四邊形，得到FG=BE=6，利用AAS得到三角形BOD與三角形CHD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到OD=DH=3，得AH=9，然后根據(jù)AHCAFG，對應(yīng)邊成比例即可求得AC解答：解：延長AD至F，使DF=AD，過點F作FGBE與AC延長線交于點G，過點C作CHBE，交AF于點H，連接BF，如圖所示，在RtAFG，AF=2AD=12，F(xiàn)G=BE=6，根據(jù)勾股定理得：AG=6，在BDF和CDA，BDFCDA（SAS），ACD=BFD，AGBF，四邊形EBFG是平行四邊形，F(xiàn)G=BE=6，在BOD和CHD，BODCHD（AAS），OD=DH=3，CHFG，AHCAFG，=，即=，解得：AC=，故答案為：點評：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，作輔助線構(gòu)建直角三角形和平行四邊形是解題的關(guān)鍵11（2015·湖北省武漢市，第16題3分）如圖，AOB30°，點M、N分別在邊OA、OB上，且OM1，ON3，點P、Q分別在邊OB、OA上，則MPPQQN的最小值是_【解析】作M關(guān)于ON對稱點M1，點N關(guān)于OA的對稱點N1，連接M1N1分別交OA、ON于Q，P，此時MP+PQ+NQ的值最小.由對稱性質(zhì)知，M1P=MP，N1Q=NQ，所以MP+PQ+NQ= M1N1.連接ON1、OM1，則M1OP=POM=N1OM=30°，所以N1OM1=90°.又ON1=ON=3，OM1 =OM=1,所以M1N1=.【指點迷津】線段和的最小值問題，一般都是將幾條線段轉(zhuǎn)化為同一條線段長度，根據(jù)兩點之間線段最短來說明.一般是通過做對稱點轉(zhuǎn)化到同一條線段上，根據(jù)勾股定理計算最小值.三.解答題1. （2015遼寧大連，24，11分）如圖1，在ABC中，C=90°，點D在AC上，且CD>DA,DA=2.點P、Q同時從D點出發(fā)，以相同的速度分別沿射線DC、射線DA運動。過點Q作AC的垂線段QR,使QR=PQ,聯(lián)接PR.當(dāng)點Q到達(dá)A時，點P、Q同時停止運動。設(shè)PQ=x.PQR和ABC重合部分的面積為S.S關(guān)于x的函數(shù)圖像如圖2所示（其中0<x，<xm時，函數(shù)的解析式不同）填空：n的值為_;求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍。 圖1 圖2（第24題）【答案】(1)（2）當(dāng)0<x時，S=，當(dāng)<x4時，S=【解析】解：(1)如答圖1當(dāng)x=時，PQR和ABC重合部分的面積為S就是PQR的面積此時，S=××=，所以n=.答圖1 答圖2由圖像可知，S的函數(shù)表達(dá)式有兩種情況：當(dāng)0<x時，S=×PQ×RQ=，如答圖2Q點運動到A時，x=2AD=4，所以m=4.當(dāng)<x4時，S=由題意AP=2+，AQ=2,因為AQEAQ1R1,，所以QE=設(shè)FG=PG=m因為AGFAQ1R1,，所以AG=2+m，所以m=所以S=所以S=故答案為：當(dāng)0<x時，S=，當(dāng)<x4時，S= 答圖3 答圖42. （2015四川南充,第24題10分）如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)一點，點P到點A，B和D的距離分別為1，ADP沿點A旋轉(zhuǎn)至ABP，連結(jié)PP，并延長AP與BC相交于點Q（1）求證：APP是等腰直角三角形；（2）求BPQ的大?。唬?）求CQ的長【答案】略；45°；【解析】試題分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到AP=AP BAP=DAP，從而得出PAP=90°，得到等腰直角三角形；根據(jù)RtAPP得出PP的大小，然后結(jié)合BP和BP的長度得到，從而得出BPP是直角三角形，然后計算BPQ的大??；過點B作BMAQ于M，根據(jù)BPQ=45°得到PMB為等腰直角三角形，根據(jù)已知得出BM和AM的長度，根據(jù)RtABM的勾股定理求出AB，根據(jù)ABMAQB得出AQ的長度，最后根據(jù)RtABO的勾股定理得出BQ的長度，根據(jù)QC=BCBQ得出答案.試題解析：(1)、證明：由旋轉(zhuǎn)可得：AP=AP BAP=DAP PAP=PAB+BAP=PAB+DAP=BAD=90° APP是等腰直角三角形 (3)、過點B作BMAQ于M BPQ=45° PMB為等腰直角三角形由已知，BP=2 BM=PM=2 AM=AP+PM=3 在RtABM中，AB=ABMAQB AQ=在RtABO中，BQ= QC=BCBQ=考點：旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)、勾股定理、三角形相似.3. （2015浙江杭州,第19題8分）如圖1，O的半徑為r(r>0)，若點P在射線OP上，滿足OPOP=r2，則稱點P是點P關(guān)于O的“反演點”，如圖2，O的半徑為4，點B在O上，BOA=60°，OA=8，若點A、B分別是點A，B關(guān)于O的反演點，求AB的長.【答案】解：O的半徑為4，點A、B分別是點A，B關(guān)于O的反演點，點B在O上， OA=8，即.點B的反演點B與點B重合.如答圖，設(shè)OA交O于點M，連接BM，OM=OB，BOA=60°，OBM是等邊三角形.，BMOM.在中，由勾股定理得.【考點】新定義；等邊三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理. 【分析】先根據(jù)定義求出，再作輔助線：連接點B與OA和O的交點M，由已知BOA=60°判定OBM是等邊三角形，從而在中，由勾股定理求得AB的長.4. （2015浙江麗水，第19題6分）如圖，已知ABC，C=Rt，AC<BC，D為BC上一點，且到A，B兩點的距離相等.（1）用直尺和圓規(guī)，作出點D的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）連結(jié)AD，若B=37°，求CAD的度數(shù).【答案】解：（1）作圖如下：（2）ABC中，C=Rt，B=37°，BAC=53°.AD=BD，B=BAD=37°CAD=BACBAD=16°.【考點】尺規(guī)作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；直角三角形兩銳角的關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì).【分析】（1）因為到A，B兩點的距離相等在線段AB的垂直平分線上，因此，點D是線段AB的垂直平分線與BC的交點，據(jù)此作圖即可.（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余，求出BAC，根據(jù)等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)，求出BAD，從而作差求得CAD的度數(shù).5.（2015江蘇徐州,第25題8分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30°的三角尺的直角頂點C落在第二象限其斜邊兩端點A、B分別落在x軸、y軸上，且AB=12cm（1）若OB=6cm求點C的坐標(biāo)；若點A向右滑動的距離與點B向上滑動的距離相等，求滑動的距離；（2）點C與點O的距離的最大值=12 cm考點：相似形綜合題.分析：（1）過點C作y軸的垂線，垂足為D，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；設(shè)點A向右滑動的距離為x，得點B向上滑動的距離也為x，利用三角函數(shù)和勾股定理進(jìn)行解答；（2）過C作CEx軸，CDy軸，垂足分別為E，D，證明ACE與BCD相似，再利用相似三角形的性質(zhì)解答解答：解：（1）過點C作y軸的垂線，垂足為D，如圖1：在RtAOB中，AB=12，OB=6，則BC=6，BAO=30°，ABO=60°，又CBA=60°，CBD=60°，BCD=30°，BD=3，CD=3，所以點C的坐標(biāo)為（3，9）；設(shè)點A向右滑動的距離為x，根據(jù)題意得點B向上滑動的距離也為x，如圖2：AO=12×cosBAO=12×cos30°=6A'O=6x，B'O=6+x，A'B'=AB=12在A'O B'中，由勾股定理得，（6x）2+（6+x）2=122，解得：x=6（1），滑動的距離為6（1）；（2）設(shè)點C的坐標(biāo)為（x，y），過C作CEx軸，CDy軸，垂足分別為E，D，如圖3：則OE=x，OD=y，ACE+BCE=90°，DCB+BCE=90°，ACE=DCB，又AEC=BDC=90°，ACEBCD，即，y=x，OC2=x2+y2=x2+（x）2=4x2，當(dāng)|x|取最大值時，即C到y(tǒng)軸距離最大時，OC2有最大值，即OC取最大值，如圖，即當(dāng)C'B'旋轉(zhuǎn)到與y軸垂直時此時OC=12，故答案為：12點評：此題考查相似三角形的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理以及三角函數(shù)進(jìn)行分析解答