LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng).ppt

第三章：LTI離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,Chapter3,Discrete systems,本章要點(diǎn),單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),F,F,LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng),卷積和,F,引言,什么是線性非移變離散系統(tǒng)？,then,非移變系統(tǒng),then,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),線性系統(tǒng)：,if,If,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),一、差分與差分方程,設(shè)有序列f(k)，則，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2)等稱為f(k)的移位序列。,1. 差分運(yùn)算,離散信號(hào)的變化率有兩種表示形式：,（1）一階前向差分定義：f(k) = f(k+1) f(k) （2）一階后向差分定義：f(k) = f(k) f(k 1) 和稱為差分算子，無(wú)原則區(qū)別。 （3）差分的線性性質(zhì)： af1(k) + bf2(k) = a f1(k) + b f2(k) （4）二階差分定義： 2f(k) = f(k) = f(k) f(k-1) = f(k) f(k-1) = f(k)f(k-1) f(k-1) f(k-2)= f(k) 2 f(k-1) +f(k-2) （5） m階差分: mf(k) = f(k) + b1f(k-1) + bmf(k-m),3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),對(duì)離散時(shí)間信號(hào)而言，信號(hào)的差分運(yùn)算表示的是相鄰兩個(gè)序列值的變化率。定義為,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),2. 差分方程,包含未知序列y(k)及其各階差分的方程式稱為差分方程。將差分展開為移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m),例1：若描述某系統(tǒng)的差分方程為 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k) 已知初始條件y(0)=0,y(1)=2,激勵(lì)f(k)=2k(k),求y(k)。 解： y(k) = 3y(k 1) 2y(k 2) + f(k) y(2)= 3y(1) 2y(0) + f(2) = 2 y(3)= 3y(2) 2y(1) + f(3) = 10 一般不易得到解析形式的(閉合)解。,4、變換域法（Z變換法）,逐次代入求解， 概念清楚， 比較簡(jiǎn)便， 適用于計(jì)算機(jī)， 缺點(diǎn)是不能得出通式解答。,1、迭代法,2、時(shí)域經(jīng)典法,3、全響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 零輸入響應(yīng)求解與齊次通解方法相同 零狀態(tài)響應(yīng)求解利用卷積和法求解，十分重要,求解過(guò)程比較麻煩， 不宜采用。,求解常系數(shù)線性差分方程的方法一般有以下幾種,全響應(yīng)齊次通解 特解,自由響應(yīng) 強(qiáng)迫響應(yīng),3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),二、差分方程的經(jīng)典解,y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m),與微分方程經(jīng)典解類似，y(k) = yh(k) + yp(k),1. 齊次解yh(k),3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),例2：一階齊次方程的解,的級(jí)數(shù),c是待定常數(shù)，有初始條件決定,是個(gè)公比為,齊次方程 y(k) + an-1y(k-1) + + a0y(k-n) = 0 其特征方程為 n + an-1n 1 + + a0 = 0 其根i( i = 1，2，n)稱為差分方程的特征根。,特征根,單實(shí)根,重實(shí)根,齊次解,不同特征根所對(duì)應(yīng)的齊次解,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),2. 特解yp(k): 特解的形式與激勵(lì)的形式雷同。,一般情況不同激勵(lì)所對(duì)應(yīng)的特解,特征根,重等于 的特征根,特征根,特征單根,重特征根,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),例3：若描述某系統(tǒng)的差分方程為 y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k) 已知初始條件y(0)=0，y(1)= 1；激勵(lì)f(k)=2k，k0。求全解。,解： 特征方程為 2 + 4+ 4=0 可解得特征根1=2= 2，其齊次解為 yh(k)=(C1k +C2) ( 2)k 特解為 yp(k)=P (2)k , k0 代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2= f(k) = 2k ， P=1/4 特解 yp(k)=2k2 , k0,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),故全解為 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) ( 2)k + 2k2 , k0 代入初始條件,求得C1=1 , C2= 1/4 。故全解為 y(k)= (k 1/4 ) ( 2)k + 2k2 , k0,yh(t),（自由響應(yīng)）,yp(t),(強(qiáng)迫響應(yīng)),y(k) = yzi (k) + yzs(k) 設(shè)激勵(lì)f(k)在k=0時(shí)接入系統(tǒng)， 初始狀態(tài)：y(1), y(2) , ，y(n) 初始值：y(0), y(1), y(2) , ，y(n-1) 由yzi(k)和 yzs(k)的定義可知，其初始狀態(tài)分別為 yzs(1) = yzs(2) = = yzs(n) = 0 y(1)= yzi(1) , y(2)= yzi(2),，y(n)= yzi(n) 然后利用迭代法分別求得零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的初始值yzi(j)和yzs(j) ( j = 0, 1, 2 , ，n 1),3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),例4：若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k) 已知激勵(lì)f(k)=2k , k0，初始狀態(tài)y(1)=0, y(2)=1/2, 求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。,解：（1）yzi(k)滿足方程 yzi(k) + 3yzi(k 1)+ 2yzi(k 2)= 0 其初始狀態(tài) yzi(1)= y(1)= 0, yzi(2) = y(2) = 1/2 首先遞推求出初始值yzi(0), yzi(1), yzi(k)= 3yzi(k 1) 2yzi(k 2),3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),yzi(k)= 3yzi(k 1) 2yzi(k 2) yzi(0)= 3yzi(1) 2yzi(2)= 1 yzi(1)= 3yzi(0) 2yzi(1)=3 方程的特征根為1= 1 ，2= 2 ， 其解為 yzi(k)=Czi1( 1)k+Czi2(2)k 將初始值代入 并解得 Czi1=1 , Czi2= 2 所以 yzi(k)=( 1)k 2( 2)k , k0,yzs(k) + 3yzs(k 1) + 2yzs(k 2) = f(k) yzs(1)= yzs(2) = 0 遞推求初始值 yzs(0), yzs(1)， yzs(k) = 3yzs(k 1) 2yzs(k 2) + 2k , k0 yzs(0) = 3yzs(1) 2yzs(2) + 1 = 1 yzs(1) = 3yzs(0) 2yzs(1) + 2 = 1 分別求出齊次解和特解，得 yzs(k) = Czs1(1)k + Czs2(2)k + yp(k) = Czs1( 1)k + Czs2( 2)k + (1/3)2k 代入初始值求得 Czs1= 1/3 , Czs2=1 所以 yzs(k)= ( 1)k/3+ ( 2)k + (1/3)2k , k0,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),（2）零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k) 滿足,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),零輸入響應(yīng),零狀態(tài)響應(yīng),Czii,Ci,僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)決定。,由初始狀態(tài)和激勵(lì)決定。,3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),二、單位序列響應(yīng),由單位序列(k)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位序列響應(yīng)或 單位樣值響應(yīng)或單位取樣響應(yīng)，或簡(jiǎn)稱單位響應(yīng)，記為h(k)。,例1： 求如圖所示離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)。,方法一：若方程右端只有f(k)，而無(wú)移位項(xiàng)-經(jīng)典法。,3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),根據(jù)h(k)的定義 有 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = (k) （1） h(1) = h(2) = 0 遞推求初始值h(0)和h(1)。,h(k)= h(k 1) + 2h(k 2) +(k) h(0)= h(1) + 2h(2) + (0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(1) + (1) = 1,方程（1）移項(xiàng)寫為,解：1）列差分方程，求初始值 對(duì)加法器列方程 y(k) =y(k-1) +2y(k-2) +f(k) 寫成差分方程的形式： y(k) -y(k-1) -2y(k-2) =f(k),2）求h(k)。 對(duì)于k 0， h(k)滿足齊次方程 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = 0 特征方程 (+1) ( 2) = 0 所以 h(k) = C1( 1)k + C2(2)k ， k 0 將初始值代入，有 h(0) = C1 + C2 =1 , h(1)= C1+2C2 = 1 解得 C1= 1/3 , C2=2/3 h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k , k0 或?qū)憺?h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k (k),3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),方法二：方程右端除f(k)外，還有f(k)的移位項(xiàng)，分兩步： 1） 設(shè)只有(k)作用時(shí)，單位序列響應(yīng)為 h1(k),2）由時(shí)不變性：,(k -i),h1(k-i),bm-i (k-i),由齊次性：,bm-i h1(k-i),由疊加性：,3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),例2：求如圖所示離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)。,解：1）列差分方程，求初始值,x(k),x(k-1),x(k-2),即 x(k) -x(k-1) -2x(k-2) = f(k) y(k) = x(k-1) -x(k-2) （2） 消去x(k) ，得 y(k) -y(k-1) -2y(k-2) = f(k-1) -f(k-2),x(k)= f(k) + x(k-1) +2x(k-2) （1）,3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),分別對(duì)2個(gè)加法器列方程,解 ：2）求h(k) h(k)滿足 h(k) h(k 1) 2h(k 2)=(k-1) (k 2) 令只有(k)作用時(shí)，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h1(k) ,滿足 h1(k) h1(k 1) 2h1(k 2)=(k) 由上例可知 h1(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k (k) 根據(jù)線性和時(shí)不變性 h(k) = h1(k-1) h1(k 2) =(1/3)( 1)k -1+ (2/3)(2)k-1(k-1) (1/3)( 1)k 2 + (2/3)(2)k2(k 2),3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),三、階躍響應(yīng),由于,(k) =(k) (k 1) = (k),所以,h(k) =g(k),3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),由單位階躍序列 (k)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)簡(jiǎn)稱階躍響應(yīng)，記為g (k)。,3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),求g(k)的方法 經(jīng)典法 由h(k)求出 例3：已知某系統(tǒng)的差分方程為 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) 求單位階躍響應(yīng)g(k) 。 經(jīng)典法： g(k)-g(k-1)-2g(k-2)= (k) g(-1)=g(-2)=0 對(duì)k0, g(k)-g(k-1)-2g(k-2)=1 齊次解： gh(k)=c1 +c2 特解： gp(k)=p0=- g(k)= c1 +c2 - k0,g(0)= c1+ c2- =1 c1 =1/6 g(1)= -c1+ 2c2- =2 c2=4/3 g(k)= (k) 利用h(k)求g(k): h(k)= (k) g(k)= =,3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),求和公式：,3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),g(k)= = k0,3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),3.3 卷積和,一、卷積和,1 .序列的時(shí)域分解,f(k)=+f(-1)(k+1) + f(0)(k) + f(1)(k-1)+ f(2)(k-2) + + f(i)(k i) + ,任意離散序列f(k) 可表示為,2 .任意序列作用下的零狀態(tài)響應(yīng),根據(jù)h(k)的定義：,(k),h(k),由時(shí)不變性：,(k -i),h(k -i),f (i)(k-i),由齊次性：,f (i) h(k-i),由疊加性：,f (k),yzs(k),卷積和,3.3 卷積和,3 .卷積和的定義,已知定義在區(qū)間（ ，）上的兩個(gè)函數(shù)f1(k)和f2(k)，則 定義和,為f1(k)與f2(k)的卷積和，簡(jiǎn)稱卷積；記為 f(k)= f1(k)*f2(k) 注意：求和是在虛設(shè)的變量 i 下進(jìn)行的， i 為求和變量， k 為參變量。結(jié)果仍為k 的函數(shù)。,3.3 卷積和,例1：f (k) = a k(k), h(k) = b k(k) ，求yzs(k)。,解： yzs(k) = f (k) * h(k),當(dāng)i k時(shí)，(k - i) = 0,注意：(k)*(k) = (k+1)(k),3.3 卷積和,例2,3.3 卷積和,二、卷積的圖解法,卷積過(guò)程可分解為四步： （1）換元： k換為 i得 f1(i)， f2(i) （2）反轉(zhuǎn)平移：由f2(i)反轉(zhuǎn) f2(i)右移k f2(k i) （3）乘積： f1(i) f2(k i) （4）求和： i 從 到對(duì)乘積項(xiàng)求和。 注意：k 為參變量。,3.3 卷積和,3.3 卷積和,3.3 卷積和,相乘，取和,3.3 卷積和,例4：f1(k)、 f2(k)如圖所示，已知 f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？,解：,（1）換元,（2） f2(i)反轉(zhuǎn)得f2( i),（3） f2(i)右移2得f2(2i),（4） f1(i)乘f2(2i),（5）求和，得f(2) = 4.5,f2(i ),f2(2i),3.3 卷積和,三、卷積和的性質(zhì)（重點(diǎn)）,3.3 卷積和,卷積和運(yùn)算滿足交換律， 分配律， 結(jié)合律,（1）交換律,（2）結(jié)合律,（3）分配律,(2) f (k)*(k k1 ) = f(k k1 ),(5) f(k)*(k) =,(4) f1(k k1)* f2(k k2) = f1(k k1 k2)* f2(k),(6) f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k),3.3 卷積和,與 (k) 卷積和:,(1) f (k) *(k) = f (k),(3) f1(k k1)* (k k2) = f1(k k1 k2),例5,3.3 卷積和,例6:如圖復(fù)合系統(tǒng)由三個(gè)子系統(tǒng)組成，其中h1(k) = (k)， h2(k) = (k 5)，求復(fù)合系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h (k) 。,解:根據(jù)h(k)的定義，有,h(k)= (k)* h1(k) (k)* h2(k) * h1(k) = h1(k) h2(k) * h1(k),= h1(k) * h1(k) h2(k) * h1(k) = (k)* (k) (k 5) *(k) = (k+1)(k) (k+1 5)(k 5) = (k+1)(k) (k 4)(k 5),3.3 卷積和,例7 如圖復(fù)合系統(tǒng)由兩個(gè)子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)組成，其中h1(k) = 2cos(k)， h2(k) = (k)，激勵(lì)f(k)= (k)(k-1)，求復(fù)合系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng)yzs(k) 。,解,yzs (k) = f(k)* h1(k) * h2(k) = (k)(k-1) * 2cos(k)*(k) = 2cos(k)*(k) - (k -1) = 2cos(k)* (k) = 2cos(k),3.3 卷積和,求卷積和是本章的重點(diǎn)與難點(diǎn)。 求解卷積和的方法可歸納為： （1）利用定義式，直接進(jìn)行求和。 對(duì)于容易求和的序列比較有效。如指數(shù)數(shù)列。 （2）圖解法。 適用于求某時(shí)刻點(diǎn)上的卷積和值。 （3）利用性質(zhì)。,作業(yè)：P110 3.6 (4) 3.12 (4) 3.22,3.3 卷積和,