時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).ppt

第5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),5.1 引言 5.2 用信號流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 5.3 IIR系統(tǒng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 5.4 FIR系統(tǒng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 5.5 線性相位結(jié)構(gòu) 5.6 頻率采樣結(jié)構(gòu),5.1 引言,時域離散系統(tǒng)（網(wǎng)絡(luò)）描述形式： 差分方程、單位脈沖響應(yīng)、系統(tǒng)函數(shù) 如果系統(tǒng)輸入輸出服從N階差分方程,則系統(tǒng)函數(shù)H(z)為,單位脈沖響應(yīng)h(n)：,給定一個系統(tǒng)函數(shù)，有多種不同的算法：,研究算法的意義在于不同的算法直接影響系統(tǒng)的：,用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)表示具體的算法，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)就是運算結(jié)構(gòu),運算誤差、運算速度、系統(tǒng)的復(fù)雜程度和成本,5.2 用信號流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),數(shù)字信號處理中有三種基本算法： 乘法、加法、單位延遲 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)兩種表示方法： 運算框圖法、信號流圖法 兩種表示方法等效，只是符號上有差異,圖5.2.1 三種基本運算的流圖表示,b0,b0 x(n),1,2,3,5,4,6,7,信號流圖由支路（有方向）和節(jié)點組成 支路：用箭頭表示信號方向 支路增益：常數(shù)a、延遲算子Z-1 節(jié)點：輸入節(jié)點（源節(jié)點）、輸出節(jié)點（阱節(jié)點、吸收節(jié)點） 分支節(jié)點、相加器 節(jié)點變量：節(jié)點處的信號，等于所有輸入支路的信號之和 輸入支路的信號：該支路起點處節(jié)點信號值乘以該支路增益,圖5.2.2 信號流圖 (a)基本信號流圖；(b)非基本信號流圖,同一個系統(tǒng)函數(shù)可以有很多種信號流圖相對應(yīng)。 不同的信號流圖代表不同的運算方法（運算結(jié)構(gòu)），因而所需的存儲單元及乘法次數(shù)不同，實現(xiàn)時的復(fù)雜性、運算速度、運算誤差、穩(wěn)定性也不同。 基本信號流圖（Primitive Signal Flow Graghs）： （1）信號流圖中支路增益是常數(shù)或者是Z-1 （2）流圖環(huán)路中必須存在延遲支路 （3）節(jié)點和支路的數(shù)目是有限的,例5.2.1 求圖5.2.2(a)信號流圖決定的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 解：將5.2.1式進行Z變換，得到：,經(jīng)過聯(lián)立求解得到：,結(jié)構(gòu)復(fù)雜時，可利用梅遜公式直接求,通常網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)根據(jù)單位脈沖響應(yīng) h(n)分為兩類： 有限長單位脈沖響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)（FIR：Finite Impulse Response） 無限長單位脈沖響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)（IIR：Infinite Impulse Response）,FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)： 其單位脈沖響應(yīng) 有限長： 一般不存在輸出對輸入的反饋支路，因此差分方程為：,示例： 長度為N，,IIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)： 網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)是無限長的。 存在輸出對輸入的反饋支路，即信號流圖中存在環(huán)路。 例如一個簡單的一階 IIR 網(wǎng)絡(luò)差分方程為,其單位脈沖響應(yīng),FIR網(wǎng)絡(luò)與IIR網(wǎng)絡(luò)各有不同的特點。,5.3 IIR系統(tǒng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),IIR系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有三種： 直接型、級聯(lián)型、并聯(lián)型 1.直接型 N階差分方程：,設(shè) M = N = 2，則按照差分方程可以直接畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：,圖5.3.1 IIR網(wǎng)絡(luò)直接型結(jié)構(gòu),例5.3.1 IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為,畫出該濾波器的直接型結(jié)構(gòu)。 解：由H(z)寫出差分方程如下：,圖5.3.2 例5.3.1圖,H(z)分子分母均為多項式，且多項式的系數(shù)一般為實數(shù)，可將分子分母多項式進行因式分解： A是常數(shù)； Cr 和 dr 表示 H(z) 的零點和極點。 由于多項式的系數(shù)是實數(shù)，Cr和dr是實數(shù)或者是共軛成對的復(fù)數(shù)，將共軛成對的零點（極點）放在一起，形成一個二階多項式，其系數(shù)仍為實數(shù)；再將分子、分母均為實系數(shù)的二階多項式放在一起，形成一個二階網(wǎng)絡(luò)Hj(z)：,2.級聯(lián)型,均為實數(shù)。 H(z)就分解成一些一階或二階數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)形式：,式中Hi(z)表示一個一階或二階的數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)，每個Hi(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)均采用前面介紹的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖5.3.3所示。,圖5.3.3 一階和二階直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) (a)直接型一階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；(b)直接型二階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),例5.3.2 設(shè)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式：,試畫出其級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。 解：將H(z)分子分母進行因式分解，得到,圖5.3.4 例5.3.2圖,每一個一階網(wǎng)絡(luò)決定一個零點、一個極點； 每一個二階網(wǎng)絡(luò)決定一對零點、一對極點。,調(diào)整0j、1j和2j可以改變一對零點的位置， 調(diào)整1j和2j可以改變一對極點的位置。 級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的優(yōu)點： （1）調(diào)整方便 （2）級聯(lián)結(jié)構(gòu)中后面的網(wǎng)絡(luò)輸出不會再流到前面，運算誤差的積累相對直接型也小。,3.并聯(lián)型 如果將級聯(lián)形式的H(z)展成部分分式形式，得到 IIR 并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。,式中，Hi(z)通常為一階網(wǎng)絡(luò)和二階網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)系數(shù)均為實數(shù)。二階網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)一般為,并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)輸出Y(z)為,都是實數(shù)，若 構(gòu)成一階網(wǎng)絡(luò),例5.3.3 畫出例題5.3.2中的H(z)的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 解：將例5.3.2中H(z)展成部分分式形式：,將每一部分用直接型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，得到并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：,每一個一階網(wǎng)絡(luò)決定一個實數(shù)極點， 每一個二階網(wǎng)絡(luò)決定一對共軛極點。 并聯(lián)型結(jié)構(gòu)的優(yōu)點： （1）調(diào)整極點位置方便 但調(diào)整零點位置不如級聯(lián)型方便。 （2）運算誤差最小 各個基本網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生的運算誤差互不影響，沒有誤差積累。 （3）運算速度最高 由于基本網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)，可同時對輸入信號進行運算。,MATLAB信號處理工具箱提供14種線性系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變換函數(shù)，實現(xiàn)各種結(jié)構(gòu)之間的變換。 缺少并聯(lián)結(jié)構(gòu)與其他結(jié)構(gòu)之間的變換函數(shù)。 本書涉及的3種常用結(jié)構(gòu)（直接型、級聯(lián)型、格型）之間的變換函數(shù)有如下4種： (1) tf2sos：直接型到級聯(lián)型結(jié)構(gòu)變換。 (2) sos2tf ：級聯(lián)型到直接型結(jié)構(gòu)變換。 (3) tf2latc：直接型到格型結(jié)構(gòu)變換。 (4) latc2tf：格型到直接型結(jié)構(gòu)變換。,4. 使用MATLAB進行網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變換,（1）變換函數(shù)tf2sos的調(diào)用格式 S, G = tf2sos (B, A) 實現(xiàn)直接型到級聯(lián)型的變換。 B：直接型系統(tǒng)函數(shù)的分子多項式系數(shù)向量 A：直接型系統(tǒng)函數(shù)的分母多項式系數(shù)向量 當(dāng)A=1時，表示FIR系統(tǒng)函數(shù)。 S：L級二階級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的系數(shù)矩陣 G：L級二階級聯(lián)型結(jié)構(gòu)增益常數(shù),S為L6矩陣，每一行表示一個二階子系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)向量，第k行對應(yīng)的2階系統(tǒng)函數(shù)為 級聯(lián)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)為 H(z)=H1(z)H2(z)HL(z),例5.3.2的求解程序如下： B=8，4，11，2； A=1，1.25，0.75，0.125； S，G=tf2sos (B, A) 運行結(jié)果： S = 1.0000 0.1900 0 1.0000 0.2500 0 1.0000 0.3100 1.3161 1.0000 1.0000 0.5000 G = 8,該結(jié)果與例5.3.2所得結(jié)果等價，但本程序結(jié)果更標(biāo)準(zhǔn)。 (2) 變換函數(shù)sos2tf的調(diào)用格式 B, A =sos2tf(S, G) 實現(xiàn)級聯(lián)型到直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的變換。 B、A、S和G的含義與S, G= tf2sos(B, A)中相同。,5.4 FIR系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點： （1）沒有反饋支路，即沒有環(huán)路 （2）單位脈沖響應(yīng)有限長 設(shè)單位脈沖響應(yīng)h(n)長度為N， 系統(tǒng)函數(shù)H(z)：,差分方程：,圖5.4.1 FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),1直接型 按照H(z)或者卷積公式直接畫出結(jié)構(gòu)圖。這種結(jié)構(gòu)稱為直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者稱為卷積型結(jié)構(gòu)。,2級聯(lián)型 將H(z)進行因式分解，并將共軛成對的零點放在一起，形成一個系數(shù)為實數(shù)的二階形式，構(gòu)成由一階或二階因子級聯(lián)型的結(jié)構(gòu)，其中每一個因式都用直接型實現(xiàn)。 【例5.4.1】 設(shè)FIR網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式： 畫出H(z)的直接型結(jié)構(gòu)和級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 解：將H(z)進行因式分解，得到： 其級聯(lián)型結(jié)構(gòu)和直接型結(jié)構(gòu)如圖5.4.2。,圖5.4.2 例5.4.1圖,級聯(lián)型結(jié)構(gòu) 優(yōu)點： 每一個一階因子控制一個零點，每一個二階因子控制一對共軛零點，因此調(diào)整零點位置比直接型方便。 缺點： （1）H(z)中的系數(shù)比直接型多，需要的乘法器多。分解的因子愈多，需要的乘法器也愈多。 （2）當(dāng)H(z)的階次高時，不易分解。 因此，普遍應(yīng)用的是直接型。,例5.4.1的求解程序如下： B=0.96, 2, 2.8, 1.5;A=1; S, G=tf2sos(B, A) 運行結(jié)果： S =1.0000 0.8333 0 1.0000 0 0 1.0000 1.2500 1.8750 1.0000 0 0 G = 0.9600,級聯(lián)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)為 H(z)=0.96(1+0.833z1)(1+1.25z1+1.875z2),5.5 FIR系統(tǒng)的線性相位結(jié)構(gòu) 對于長度為 N 的 h(n)，頻率響應(yīng)函數(shù)為：,“” ：第一類線性相位濾波器 “” ：第二類線性相位濾波器,：相位特性 線性相位： 是的線性函數(shù)，,線性相位結(jié)構(gòu)是FIR系統(tǒng)直接型結(jié)構(gòu)的簡化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，比直接型結(jié)構(gòu)節(jié)約了近一半的乘法器。 系統(tǒng)具有線性相位，其單位脈沖響應(yīng)滿足：,線性相位網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)滿足： （1）當(dāng)N為偶數(shù)時 （2）當(dāng)N為奇數(shù)時,和直接型結(jié)構(gòu)比較： N取偶數(shù)：直接型需要N個乘法器 線性相位結(jié)構(gòu)減少到N/2個乘法器 N取奇數(shù)：直接型需要N個乘法器 線性相位結(jié)構(gòu)減少到(N1)/2個乘法器,運算時先進行方括號中的加法（減法）運算，再進行乘法運算，節(jié)約了乘法運算。,圖5.5.1 第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖,(a) N為偶數(shù),圖5.5.1 第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖,(b) N為奇數(shù),圖5.5.1 第二類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖,(a) N為偶數(shù),圖5.5.1 第二類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖,(b) N為奇數(shù),5.6 FIR系統(tǒng)的頻率采樣結(jié)構(gòu) 頻率域等間隔采樣，相應(yīng)的時域信號會以采樣點數(shù)為周期進行周期性延拓。如果在頻率域采樣點數(shù)N大于等于原序列的長度M，則不會引起信號失真。 序列的Z變換 H(z) 與頻域采樣值 H(k) 滿足：,設(shè)FIR濾波器單位脈沖響應(yīng) h(n) 長度為M，系統(tǒng)函數(shù)H(z)=ZTh(n)，則上式中H(k)用下式計算：,要求：NM,上式提供了一種稱為頻率采樣的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。 由于這種結(jié)構(gòu)是通過頻域采樣得來的，因此對于IIR系統(tǒng)，存在時域混疊的問題，不適合IIR系統(tǒng)，只適合FIR系統(tǒng)。但這種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中又存在反饋網(wǎng)絡(luò)，不同于其它的FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。,將上式寫成： Hc(z)：梳狀濾波器， Hk(z)：IIR的一階網(wǎng)絡(luò)。 H(z)：由梳狀濾波器Hc(z)和N個一階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)進行級聯(lián)而成，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如下圖所示。,圖5.6.1 FIR濾波器頻率采樣結(jié)構(gòu),它們是單位圓上等間隔分布的N個極點。 Hc(z)是一個梳狀濾波網(wǎng)絡(luò)，其零點為： H(z)零點和極點相同，相互抵消，保證了網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性， 使頻率域采樣結(jié)構(gòu)仍屬FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。,該網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中有由 Hk(z) 產(chǎn)生的反饋支路，其極點為：,頻率域采樣結(jié)構(gòu)的優(yōu)點： （1）在頻率采樣點k處， , 只要調(diào)整H(k)（即一階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)中乘法器的系數(shù)H(k)），就可以有效調(diào)整頻響特性，實踐中調(diào)整方便，可實現(xiàn)任意形狀的頻響曲線。 （2） 只要 h(n) 長度 N 相同，對于任何頻響形狀，其梳狀濾波器部分和 N 個一階網(wǎng)絡(luò)部分結(jié)構(gòu)完全相同，只是各支路增益 H(k) 不同。相同部分可以標(biāo)準(zhǔn)化、模塊化。各支路增益可做成可編程單元，生產(chǎn)可編程FIR濾波器。,頻率采樣結(jié)構(gòu)的缺點： （1）系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的N個零極點相互對消保證的。實際上，因為寄存器字長都是有限的，對網(wǎng)絡(luò)中支路增益 量化時產(chǎn)生量化誤差，可能使零極點不能完全對消，從而影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。 （2）結(jié)構(gòu)中，H(k)和 一般為復(fù)數(shù)，要求乘法器完成復(fù)數(shù)乘法運算，硬件實現(xiàn)不方便。,首先將單位圓上的零極點向單位圓內(nèi)收縮一點，收縮到半徑為 r 的圓上，取r < 1且 r 1。此時H(z)為 Hr(k)：在 r 圓上對H(z)的 N 點等間隔采樣值。由于 r 1，因此可近似取Hr(k)H(k)。 此時，零極點均為 如果由于實際量化誤差，零極點不能抵消時，極點位置仍處在單位圓內(nèi)，保持系統(tǒng)穩(wěn)定。,為克服上述缺點，對頻率采樣結(jié)構(gòu)作以下修正：,由DFT的共軛對稱性知道，如果h(n)是實數(shù)序列，則其離散傅里葉變換 H(k) 關(guān)于N/2點共軛對稱，即H(k)=H*(Nk)。而且 ，我們將 Hk(z) 和 HNk(z)合并為一個二階網(wǎng)絡(luò)，并記為Hk(z)，則,式中,二階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)的系數(shù)都為實數(shù)，其結(jié)構(gòu)如下,當(dāng)N為偶數(shù)時，考慮DFT的共軛對稱性，H(z)可表示為：,式中，H(0)和H(N/2)為實數(shù)。對應(yīng)的頻率采樣修正結(jié)構(gòu)由 個二階網(wǎng)絡(luò)和兩個一階網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)構(gòu)成，如圖5.6.2。,圖5.6.2 頻率采樣修正結(jié)構(gòu),N 等于奇數(shù)的修正結(jié)構(gòu) 由一個一階網(wǎng)絡(luò)和 個二階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)構(gòu)成。 由圖5.6.2，當(dāng)采樣點數(shù)N 很大時，其結(jié)構(gòu)很復(fù)雜，需要的乘法器和延時單元很多。但對于窄帶濾波器，大部分頻率采樣值 H(k) 為零，從而使二階網(wǎng)絡(luò)個數(shù)大大減少。所以頻率采樣結(jié)構(gòu)適用于窄帶濾波器。,當(dāng)N奇數(shù)時，只有一個采樣值H(0)為實數(shù)，H(z)為：,作 業(yè),第五章習(xí)題與上機題 課本第144頁 6、（b）、（c）、（d）、（e）、（h） 9、 13、,