數(shù)字信號處理-第六章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計.ppt

第6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,6.1 數(shù)字濾波器的基本概念 6.2 模擬濾波器的設(shè)計 6.3 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器 6.4 用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器 6.5 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計,6.1 數(shù)字濾波器的基本概念,數(shù)字濾波器：是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過數(shù)值運算處理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,經(jīng)典濾波器從功能上分又可分為： 低通濾波器（LP):Low pass filter 帶通濾波器(BP):Bandpass filter 高通濾波器(HP):High pass filter 帶阻濾波器(BS):Bandstop filter,1數(shù)字濾波器的分類,總起來可以分成兩大類：,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,圖6.1.1 理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,數(shù)字濾波器從實現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)長度分兩類：,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,根據(jù)濾波器對信號的處理作用,我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(e j)用下式表示：,2數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo),式中，|H(ej)|稱為幅頻特性函數(shù); ()稱為相頻特性函數(shù)。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分振幅衰減情況，而相頻特性反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況。因此，即使兩個濾波器幅頻特性相同，而相頻特性不同，對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形也是不一樣的。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,對于圖6.1.2所示的各種理想濾波器，我們必須設(shè)計一個因果可實現(xiàn)的濾波器去近似實現(xiàn)。另外，也要考慮復(fù)雜性與成本問題，因此實用中通帶和阻帶中都允許一定的誤差容限，即通帶不是完全水平的，阻帶不是絕對衰減到零。此外，按照要求，在通帶與阻帶之間還應(yīng)設(shè)置一定寬度的過渡帶。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減 ：,通帶允許的最大衰減 ：,實際中濾波器：,當(dāng)=c,幅度降到 ，此時 dB，稱c為3 dB通帶截止頻率。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,顯然，p 越小, 通帶波紋越小，通帶逼近誤差就越小； s越大, 阻帶波紋越小，阻帶逼近誤差就越小； p與s間距越小, 過渡帶就越窄。所以低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)完全由通帶邊界頻率p、通帶最大衰減p 阻帶邊界頻率s和阻帶最小衰減s確定。,片段常數(shù)特性： 對于選頻型濾波器，一般對通帶和阻帶內(nèi)的幅頻響應(yīng)曲線形狀沒有具體要求，只要求其波紋幅度小于某個常數(shù)，通常將這種要求稱為“片段常數(shù)特性”。所謂片段，是指“通帶”和“阻帶”，常數(shù)是指“通帶波紋幅度1”和“阻帶波紋幅度2”，而通帶最大衰減p和阻帶最小衰減s是與1和2完全等價的兩個常數(shù)。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,IIR濾波器設(shè)計方法有間接法和直接法 間接法是借助于模擬濾波器的設(shè)計方法進(jìn)行的。 設(shè)計步驟是： 先設(shè)計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)Ha (s)，然后將Ha(s)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 直接法直接在頻域或者時域中設(shè)計數(shù)字濾波器，由于要解聯(lián)立方程，設(shè)計時需要計算機(jī)輔助設(shè)計。 FIR常用的設(shè)計方法有窗函數(shù)法、頻率采樣法和切比雪夫等波紋逼近法。,3 數(shù)字濾波器設(shè)計方法概述,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,6.2 模擬濾波器的設(shè)計,模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計人員使用。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,圖6.2.1 各種理想濾波器的幅頻特性,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,ha(t)、a(s)、Ha(j)中任一個用于描述模擬濾波器，三者的關(guān)系如下： 但是設(shè)計模擬濾波器時，設(shè)計指標(biāo)一般由幅頻響應(yīng)函數(shù)|Ha(j)|給出，而模擬濾波器設(shè)計就是根據(jù)設(shè)計指標(biāo)，求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。,6.2.1模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)及逼近方法,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,一、模擬濾波器描述,工程實際中通常用所謂的損耗函數(shù)（也稱為衰減函數(shù)）A()來描述濾波器的幅頻響應(yīng)特性， 對歸一化幅頻響應(yīng)函數(shù), A()定義如下（其單位是分貝，用dB表示）：,損耗函數(shù)A()和幅頻特性函數(shù)|H(j)|只是濾波器幅頻響應(yīng)特性的兩種描述方法。 損耗函數(shù)的優(yōu)點:對幅頻響應(yīng)|Ha(j)|的取值非線性壓縮，放大了小的幅度，從而可以同時觀察通帶和阻帶頻響特性的變化情況。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)參數(shù)有 p、p、 s和s p和s:分別稱為通帶邊界頻率和阻帶截止頻率 p:通帶最大衰減 （即通帶0，p中允許A()的最大值） s:阻帶最小衰減 （即阻帶s上允許A()的最小值,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,對于單調(diào)下降的幅度特性， p和 s可表示成：,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,幅度平方函數(shù)或稱模方函數(shù),濾波器設(shè)計：,二、由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù),由于所設(shè)計的濾波器沖激響應(yīng)都為實數(shù)，所以幅度平方函數(shù):,1.幅度平方函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)關(guān)系,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,（3）按頻率特性確定增益常數(shù)。,（2）分解 得到各零極點，將左半面的 極點 歸于 ，對稱的零點任一半歸 。若要求最小相位延時，左半面的零點歸,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2用下式表示：,圖6.2.3 巴特沃斯幅度特性和N的關(guān)系,6.2.2.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計方法,(6.2.6),隨著階次N的增加，通帶越平坦，越接近理想的特，N ，逼近矩形.,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,一、幅度平方函數(shù),1.巴特沃斯模擬低通濾波器設(shè)計原理,將幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2寫成s的函數(shù)：,(6.2.7),此式表明幅度平方函數(shù)有2N個極點，極點sk用下式表示：,(6.2.8),6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,二、巴特沃斯filter的系統(tǒng)函數(shù)確定,方法1:,圖6.2.4 三階巴特沃斯濾波器極點分布,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取s平面左半平面的N個極點構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個極點構(gòu)成Ha(-s)。 Ha(s)的表示式為,設(shè)N=3，極點有6個，它們分別為,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,取s平面左半平面的極點s0,s1,s2組成Ha(s)：,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,(6.2.11),(6.2.12),由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率c歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,式中，pk=sk/c, 為歸一化極點,令p=+j=s/c，=/c，稱為歸一化頻率， p稱為歸一化復(fù)變量，這樣巴特沃斯濾波器的歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為,方法2: 由歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)獲得,這樣，只要根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出階數(shù)N，按照(6.2.13)式求出N個極點，再按照(6.2.12)式得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)，如果給定c，再去歸一化。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,顯然,將極點表示式(6.2.13)代入(6.2.12)式，得到Ga(p)的分母是p的N階多項式，用下式表示： 歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)的系數(shù)bk，k=0，1，N1，以及極點pk，可以由表6.2.1得到。另外，表中還給出了Ga(p)的因式分解形式中的各系數(shù)，這樣只要求出階數(shù)N，查表可得到Ga(p)及各極點, 而且可以選擇級聯(lián)型和直接型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)表示形式，避免了因式分解運算工作。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,表6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù),6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,巴特沃斯濾波器的設(shè)計實質(zhì)：根據(jù)設(shè)計指標(biāo)求階數(shù)N和3 dB截止頻率c的過程。,(6.2.16),6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,1 .階數(shù)N的確定方法,三.巴特沃斯濾波器的階數(shù)N和截止頻率c確定,將=p代入幅度平方函數(shù)中，再由 得到：,階數(shù)N的大小主要影響通帶幅頻特性的平坦程度和過渡帶、阻帶的幅度下降速度，它由技術(shù)指標(biāo)p、 p、s和s確定。,由(6.2.16)和(6.2.17)式得到：,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,將=s代入代入幅度平方函數(shù)中，再由 得：,(6.2.17),令,(6.2.18a),(6.2.18b),則N由下式表示：,(6.2.18c),用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,關(guān)于3dB截止頻率c，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，按照下二式：,請注意，如果采用(6.2.19)式確定c，則通帶指標(biāo)剛好滿足要求，阻帶指標(biāo)有富余； 如果采用(6.2.20)式確定c，則阻帶指標(biāo)剛好滿足要求，通帶指標(biāo)有富余。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,2 .截止頻率c的確定方法,可得：,四.低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟 (1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)p,p,s和s，求出濾波器的階數(shù)N。 (2) 求出歸一化極點pk，得到歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)。 (3)將Ha(p)去歸一化。將p=s/c代入Ha(p)，得到實際的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,例6.2.1 已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減p=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減s=30dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。 解 (1) 確定階數(shù)N。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,(2) 求極點,歸一化傳輸函數(shù)為,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,上式分母可以展開成為五階多項式，或者將共軛極點放在一起，形成因式分解形式。 這里不如直接查表6.2.1簡單，由N=5，直接查表得到： 極點：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878; -1.0000,式 中： b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,(3) 為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率c。 按照(6.2.19)式，得到：,將c代入(6.2.20)式，得到：,將p=s/c代入Ha(p)中得到：,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,此時算出的比題目中給的s小，因此，過渡帶小于指標(biāo)要求?；蛘哒f，在s=212 krad/s時衰減大于30 dB，所以說阻帶指標(biāo)有富余量。,2. 用MATLAB工具箱函數(shù)設(shè)計巴特沃斯濾波器 MATLAB信號處理工具箱函數(shù)buttap, buttord和butter是巴特沃斯濾波器設(shè)計函數(shù)。其5種調(diào)用格式如下。 1） Z，P, K=buttap(N) 該格式用于計算N階巴特沃斯歸一化（3 dB截止頻率c=1）模擬低通原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點和增益因子。返回長度為N的列向量Z和P，分別給出N個零點和極點的位置，K表示濾波器增益。得到的系統(tǒng)函數(shù)為如下形式: （6.2.21）,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,如果要從計算得到的零、極點得到系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù)向量B和A,可以調(diào)用結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換函數(shù) B, A=zp2tf(Z, P, K)。 2） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As) 該格式用于計算巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)N和3 dB截止頻率wc。調(diào)用參數(shù)wp和ws分別為數(shù)字濾波器的通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率的歸一化值，要求0wp1，0ws1, 1表示數(shù)字頻率（對應(yīng)模擬頻率Fs/2，F(xiàn)s表示采樣頻率）。Rp和As分別為通帶最大衰減和阻帶最小衰減（dB）。當(dāng)wswp時，為高通濾波器； 當(dāng)wp和ws為二元矢量時，為帶通或帶阻濾波器，這時wc也是二元向量。N和wc作為butter函數(shù)的調(diào)用參數(shù)。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,3） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As, s) 該格式用于計算巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)N和3 dB截止頻率wc。wp、ws和wc是實際模擬角頻率（rad/s）。其他參數(shù)與格式2）相同。 4） B, A=butter(N, wc, ftype) 計算N階巴特沃斯數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子和分母多項式的系數(shù)向量B和A。調(diào)用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)和3 dB截止頻率的歸一化值（關(guān)于歸一化），一般按格式2）調(diào)用函數(shù)buttord計算N和wc。由系數(shù)向量B和A可以寫出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)： ,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,5） B, A=butter(N, wc, ftype, s) 計算巴特沃斯模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式的系數(shù)向量B和A。調(diào)用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)和3 dB截止頻率（實際角頻率）。由系數(shù)向量B和A寫出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,ftype=high時，wc為高通濾波器。缺省時：低通濾波器設(shè)計。 ftype=stop時，wc為帶阻濾波器，此時wc為二元向量wcl, wcu。缺省時：帶通濾波器設(shè)計，通帶為頻率區(qū)間wcl<<wcu。 應(yīng)當(dāng)注意，設(shè)計的帶通和帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)是2N階的。這是因為帶通濾波器相當(dāng)于N階低通濾波器與N階高通濾波器級聯(lián)。,【例6.2.2】 調(diào)用buttord和butter設(shè)計巴特沃斯低通模擬濾波器。要求與例6.2.1相同。 設(shè)計程序ep622.m如下: wp=2*pi*5000; ws=2*pi*12000; Rp=2; As=30; %設(shè)置濾波器參數(shù) N, wc=buttord(wp, ws, Rp, As, s); %計算濾波器階數(shù)N和3 dB截止頻率 B, A=butter(N, wc, s); %計算濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù),6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,k=0:511; fk=0:14000/512:14000; wk=2*pi*fk; Hk=freqs(B, A, wk); subplot(2, 2, 1); plot(fk/1000, 20*log10(abs(Hk); grid on xlabel(頻率(kHz); ylabel(幅度(dB) axis(0, 14, -40, 5),6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,則系統(tǒng)函數(shù)為： ,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,運行結(jié)果: N=5，wc=3.7792e+004，B=7.7094e+022 A =11.2230e+0057.4785e+0092.8263e+0146.6014e+0187.7094e+022,濾波器的損耗函數(shù)曲線如圖6.2.6所示。,圖6.2.6 程序ep622.m運行輸出的損耗函數(shù)(例6.2.1的設(shè)計結(jié)果),6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,由圖可以看出，阻帶剛好滿足指標(biāo)要求，通帶指標(biāo)有富余。這就說明buttord函數(shù)使用（6.2.20）式計算3 dB 截止頻率。,6.2.5 五種類型模擬濾波器的比較,當(dāng)階數(shù)相同時，對相同的通帶最大衰減 p和阻帶最小衰減s： 巴特沃思濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性，過渡帶最寬。 兩種類型的切比雪夫濾波器的過渡帶寬度相等，比巴特沃思濾波器的過渡帶窄，但比橢圓濾波器的過渡帶寬。 切比雪夫型濾波器在通帶具有等波紋幅頻特性，過渡帶和阻帶是單調(diào)下降的幅頻特性。 切比雪夫型濾波器的通帶幅頻響應(yīng)幾乎與巴特沃思濾波器相同，阻帶是等波紋幅頻特性。 橢圓濾波器的過渡帶最窄，通帶和阻帶均是等波紋幅頻特性。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,相位逼近情況: 巴特沃思和切比雪夫濾波器在大約3/4的通帶上非常接近線性相位特性，而橢圓濾波器僅在大約半個通帶上非常接近線性相位特性。貝塞爾濾波器在整個通帶逼近線性相位特性，而其幅頻特性的過渡帶比其他四種濾波器寬得多。 復(fù)雜性: 在滿足相同的濾波器幅頻響應(yīng)指標(biāo)條件下，巴特沃思濾波器階數(shù)最高，橢圓濾波器的階數(shù)最低，而且階數(shù)差別較大。所以，就滿足濾波器幅頻響應(yīng)指標(biāo)而言，橢圓濾波器的性能價格比最高，應(yīng)用較廣泛。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,6.2.6 頻率變換與模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計,高通、帶通、帶阻濾波器的幅頻響應(yīng)曲線及邊界頻率分別如圖所示。 低通、高通、帶通和帶阻濾波器的通帶最大衰減和阻帶最小衰減仍用 p和 s表示。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,各種經(jīng)典濾波器的設(shè)計公式都是針對低通濾波器的，通過頻率變換公式，可以將模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)Q(p)變換成希望設(shè)計的低通、高通、帶通和帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)Hd(s)。在模擬濾波器設(shè)計手冊中，提供從低通到其他各種濾波器的頻率變換公式。 設(shè)計高通、帶通和帶阻濾波器的一般過程是: (1) 通過頻率變換公式，先將希望設(shè)計的濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的低通濾波器指標(biāo)； (2) 設(shè)計相應(yīng)的低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)； (3) 對Q(p)進(jìn)行頻率變換，得到希望設(shè)計的濾波器系統(tǒng)函數(shù)Hd(s)。 ,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,為了敘述方便，定義p=+j為Q(p)的歸一化復(fù)變量，其通帶邊界頻率記為p，稱為歸一化頻率。用Hd(s)表示希望設(shè)計的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，s=+j表示Hd(s)的復(fù)變量。 例如，一階巴特沃斯低通原型系統(tǒng)函數(shù)為 顯然, 其3 dB截止頻率p=1, 是關(guān)于3 dB截止頻率歸一化。 模擬濾波器設(shè)計手冊中給出了各種模擬濾波器歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)的參數(shù)（零、極點位置，分子、分母多項式系數(shù)等）。 ,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,1 模擬高通濾波器設(shè)計 從低通到高通濾波器的映射關(guān)系為,下面簡單介紹各種頻率變換公式。從p域到s域映射的可逆變換記為p=F(s)。低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)與Hd(s)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為,（6.2.48）,（6.2.49）,（6.2.50）,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,在虛軸(頻率軸)上該映射關(guān)系簡化為如下頻率變換公式: 式中，ph為希望設(shè)計的高通濾波器HHP(s)的通帶邊界頻率。 低通的通帶0, p 高通的通帶-, -ph 低通的通帶-p, 0 高通的通帶ph, 。 低通的阻帶s, 高通的阻帶-sh, 0 低通的阻帶-, -s 高通的阻帶0, sh。,（6.2.51）,所以低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Q(p)轉(zhuǎn)換成通帶邊界頻率為ph的高通濾波器系統(tǒng)函數(shù):,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,【例6.2.5】 設(shè)計巴特沃思模擬高通濾波器，要求通帶邊界頻率為4 kHz，阻帶邊界頻率為1 kHz，通帶最大衰減為0.1 dB，阻帶最小衰減為40 dB。,解 (1） 將希望設(shè)計的高通濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的低通濾波器Q(p)的指標(biāo)。為了計算簡單，一般選擇Q(p)為歸一化低通，即取Q(p)的通帶邊界頻率p=1。則可求得歸一化阻帶邊界頻率為,p=1，,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,轉(zhuǎn)換得到低通濾波器的指標(biāo)為： 通帶邊界頻率p=1， 阻帶邊界頻率s=4， 通帶最大衰減 p=0.1dB 阻帶最小衰減 s=40 dB （2） 設(shè)計相應(yīng)的歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)。本例調(diào)用MATLAB函數(shù)buttord和butter來設(shè)計Q(p)。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,（3） 將Q(p)轉(zhuǎn)換成希望設(shè)計的高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)HHP(s)。 調(diào)用MATLAB函數(shù)lp2hp實現(xiàn)低通到高通的變換。 BH, AH=lp2hp(B, A, wph) 將系統(tǒng)函數(shù)分子和分母系數(shù)向量為B和A的低通濾波器變換成通帶邊界頻率為whp的高通濾波器，返回結(jié)果BH和AH是高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子和分母的系數(shù)向量。 實現(xiàn)步驟（2）和（3）的程序ep616.m如下: ,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,例6.2.5 設(shè)計巴特沃思模擬高通濾波器程序: ep625.m wp=1; ws=4; Rp=0.1; As=40; 設(shè)置低通濾波器指標(biāo)參數(shù) N, wc=buttord(wp, ws, Rp, As, s); 計算低通濾波器Q(p)的階數(shù)N和3 dB截止頻率wc B, A=butter(N, wc, s); 計算低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)Q(p)的分子分母多項式系數(shù) wph=2*pi*4000; 模擬高通濾波器通帶邊界頻率wph BH, AH=lp2hp(B, A, wph); 低通到高通轉(zhuǎn)換,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,由系數(shù)向量B和A寫出歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)為 由系數(shù)向量BH和AH寫出希望設(shè)計的高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為 Q(p)和HHP(s)的損耗函數(shù)曲線如圖6.2.13所示。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,圖6.2.13 例6.2.5 所得低通、高通濾波器損耗函數(shù)曲線,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,值得注意的是，實際上調(diào)用函數(shù)buttord和butter可以直接設(shè)計巴特沃思高通濾波器。 設(shè)計程序ep616b.m如下: 例6.2.5 設(shè)計巴特沃思模擬高通濾波器程序: ep625b.m wp=2*pi*4000; ws=2*pi*1000; Rp=0.1; As=40; 設(shè)置高通濾波器指標(biāo)參數(shù) N, wc=buttord(wp, ws, Rp, As, s); 計算高通濾波器階數(shù)N和3 dB截止頻率 BH, AH=butter(N, wc, high, s); 計算高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)HHP(s)分子分母多項式 系數(shù),6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,程序運行結(jié)果: N=5 BH=1 0 0 0 0 0 AH=1 5.1073e+004 1.3042e+009 2.0584e+013 2.0078e+017 9.7921e+020 由BH和AH寫出希望設(shè)計的高通濾波器系統(tǒng)函數(shù):,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,低通到帶通的頻率變換公式如下:,p平面與s平面虛軸上的頻率關(guān)系為：,2 低通到帶通的頻率變換,式中，Bw=pupl: 通帶寬度，pl和pu分別為下截止頻率和通帶上截止頻率; 0稱為帶通濾波器的中心頻率。,頻率=0 頻率=0; 頻率=p 頻率pu和-pl， 頻率=-p 頻率-pu和pl。 低通通帶-p, p帶通通帶-pu, -pl和pl, pu。 頻率=s 頻率su和sl， 頻率=s 頻率su 和sl。,（6.2.53）,（6.2.54）,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,就將Q(p)轉(zhuǎn)換為帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，即,如果原指標(biāo)給定的邊界頻率不滿足式（6.2.56），就要改變其中一個邊界頻率, 以便滿足式（6.2.56），但要保證改變后的指標(biāo)高于原始指標(biāo)。 具體方法:如果plpuslsu，則減小pl（或增大sl）使式（6.2.56）得到滿足。具體計算公式為,（6.2.55）,（6.2.56）,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,減小pl使通帶寬度大于原指標(biāo)要求的通帶寬度，增大sl或減小pl都使左邊的過渡帶寬度小于原指標(biāo)要求的過渡帶寬度； 反之，如果plpu<slsu，則減小su（或增大pu）使式（6.2.56）得到滿足。 而且在關(guān)于中心頻率0幾何對稱的兩個正頻率點上，帶通濾波器的幅度值相等。 綜上所述，低通到帶通的邊界頻率及幅頻響應(yīng)特性的映射關(guān)系如圖所示，,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,圖6.2.14 低通原型到帶通的邊界頻率及幅頻響應(yīng)特性的映射關(guān)系,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,【例6.2.6】 設(shè)計巴特沃思模擬帶通濾波器，要求通帶上、下邊界頻率分別為4 kHz和7 kHz，阻帶上、下邊界頻率分別為2 kHz和9 kHz，通帶最大衰減為1 dB，阻帶最小衰減為20 dB。 解 所給帶通濾波器指標(biāo)為:,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,顯然 fplfpufslfsu 所以不滿足（6.2.56）式。按照（6.2.57）式增大fsl，則 采用修正后的fsl，按如下步驟設(shè)計巴特沃斯模擬帶通濾波器。, 將希望設(shè)計的帶通濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的低通原型濾波器Q(p)的指標(biāo)。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,為了設(shè)計方便，一般選擇Q(p)為歸一化低通，即取Q (p)的通帶邊界頻率p=1。 因為=s的映射為sl，所以可求得歸一化阻帶邊界頻率為 轉(zhuǎn)換得到的歸一化低通濾波器指標(biāo)為: 通帶邊界頻率p=1，阻帶邊界頻率s=1.963，通帶最大衰減 p=1 dB，阻帶最小衰減 s=20 dB。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計, 設(shè)計相應(yīng)的歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)。設(shè)計過程與例6.2.1完全相同。 將Q(p)轉(zhuǎn)換成所希望設(shè)計的帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)HBP(s)。 本例調(diào)用MATLAB函數(shù)buttord和butter直接設(shè)計巴特沃思模擬帶通濾波器。設(shè)計程序ep626.m如下: ,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,例6.2.6 設(shè)計巴特沃思模擬帶通濾波器程序: ep626.m wp=2*pi*4000, 7000; ws=2*pi*2000, 9000; Rp=1; As=20; 設(shè)置帶通濾波器指標(biāo)參數(shù) N, wc=buttord(wp, ws, Rp, As, s); 計算帶通濾波器階數(shù)N和3dB截止頻率wc BB, AB=butter(N, wc, s); 計算帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù)向量BB和AB,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,程序運行結(jié)果: 階數(shù): N=5 系統(tǒng)函數(shù)分子多項式系數(shù)向量: BB=1.0e+021 * 0 0 0 0 0 6.9703 0 0 0 0 0 系統(tǒng)函數(shù)分母多項式系數(shù)向量: AB=1 7.5625e+004 8.3866e+009 4.0121e+014 2.2667e+019 7.0915e+023 2.5056e+028 4.9024e+032 1.1328e+037 1.1291e+041 1.6504e+045 由運行結(jié)果可知，帶通濾波器是2N階的。10階巴特沃思帶通濾波器損耗函數(shù)曲線如圖6.2.15所示。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,3 低通到帶阻的頻率變換 低通到帶阻的頻率變換公式為 p平面與s平面虛軸上的頻率變換關(guān)系為 ,式中，Bw=susl，表示帶阻濾波器的阻帶寬度，sl和su分別為帶阻濾波器的阻帶下截止頻率和阻帶上截止頻率; 0稱為帶阻濾波器的阻帶中心頻率。 將低通的通帶p, p 帶阻的阻帶su, sl和 sl, su。,（6.2.58）,（6.2.59）,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,所以將將歸一化通帶邊界頻率為p的低通原型濾波器Q(p)轉(zhuǎn)換為所希望的帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù):,（6.2.60）,與低通到帶通變換情況相同，有,（6.6.61）,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,【例6.2.7】 分別設(shè)計巴特沃思、橢圓模擬帶阻濾波器，要求阻帶上、下邊界頻率分別為4 kHz和7 kHz，通帶上、下邊界頻率分別為2 kHz和9 kHz，通帶最大衰減為1 dB，阻帶最小衰減為20 dB。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,解 所給帶阻濾波器指標(biāo)為 調(diào)用MATLAB函數(shù)buttord, butter, ellipord和ellip直接設(shè)計巴特沃思帶阻、橢圓帶阻模擬濾波器的設(shè)計程序ep618.m如下: 例6.2.7 設(shè)計模擬帶阻濾波器程序: ep627.m wp=2*pi*2000, 9000; ws=2*pi*4000, 7000; Rp=1; As=20; 設(shè)置帶阻濾波器指標(biāo)參數(shù),6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,設(shè)計巴特沃思模擬帶阻濾波器 Nb, wc=buttord(wp, ws, Rp, As, s); 計算帶阻濾波器階數(shù)N和3 dB截止頻率 BSb, ASb=butter(Nb, wc, stop, s); 計算帶阻(stop)濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù) 設(shè)計橢圓模擬帶阻濾波器 Ne, wep=ellipord(wp, ws, Rp, As, s); 計算帶阻濾波器階數(shù)N和3 dB截止頻率 BSe, ASe=ellip(Ne, Rp, As, wep, stop, s); 計算帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù),6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,程序運行結(jié)果: 巴特沃思模擬帶阻濾波器階數(shù): Nb=5 巴特沃思模擬帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子多項式系數(shù)向量: BSb=1.0e+021 *0 0 0 0 0 6.9703 0 0 0 0 0 巴特沃思模擬帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)分母多項式系數(shù)向量: ASb=1 7.5625e+004 8.3866e+009 4.0121e+014 2.2667e+019 7.0915e+023 2.5056e+028 4.9024e+032 1.1328e+037 1.1291e+041 1.6504e+045 橢圓模擬帶阻濾波器階數(shù): Ne=3,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,橢圓模擬帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子多項式系數(shù)向量: BSe=1 1.9827e011 3.9765e+009 0.0918 4.3956e+018 6.1168e+0071.3507e+027 橢圓模擬帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)分母多項式系數(shù)向量: ASe= 1 6.9065e+004 5.3071e+009 2.2890e+014 5.8665e+018 8.4390e+0221.3507e+027 由運行結(jié)果可知，帶阻濾波器也是2N階的。10階巴特沃思帶阻濾波器和6階橢圓帶阻濾波器損耗函數(shù)分別如圖6.2.16(a)和(b)所示。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,6.3 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器,為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點要求： (1) 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。 (2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,1.Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)穩(wěn)定條件,設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),其單位沖激響應(yīng)是ha(t),設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：,(6.3.1),將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到ha(t)：,(6.3.2),6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,2. 脈沖響應(yīng)不變法原理,對ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：,(6.3.3),對上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：,(6.3.4),6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,幾點結(jié)論:,2）系數(shù)相同,3）模擬濾波器是穩(wěn)定的，數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。,4）S平面的極點與Z平面的極點一一對應(yīng)，但兩平面零點并不一一對應(yīng)。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,式中ha(nT)是ha(t)在采樣點t=nT時的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此，得到：,(6.3.5),6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,3. s平面和z平面之間的映射關(guān)系,設(shè)ha(t)的采樣信號用 表示，,(6.3.6),設(shè)s=+j, z=rej， 由上式可 得：rej=eTejT,(6.3.7),s平面的虛軸(=0) z平面的單位圓(r=1) s平面左半平面(1),6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,即：,說明：Ha(s)因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換后得到的H(z)是因果穩(wěn)定。,上式就是脈沖響應(yīng)不變法對應(yīng)的s平面到z平面的映射關(guān)系。,另外，注意到z=esT是一個周期函數(shù)，可寫成,當(dāng)不變，模擬頻率變化2/T的整數(shù)倍時，映射值不變?；蛘哒f，將s平面沿著j軸分割成一條條寬為2/T的水平帶，每條水平面都按照前面分析的映射關(guān)系對應(yīng)著整個z平面。 此時s平面與z平面的映射關(guān)系如圖所示。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,圖6.3.1 z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,數(shù)字濾波器的頻響特性與模擬濾波器的頻響特性之間的關(guān)系：,表明：H(ejT)是Ha(j)以2/T為周期的周期延拓函數(shù)（對數(shù)字頻率，則是以2為周期）,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,4.數(shù)字濾波器的頻響特性,圖6.3.2 脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,5 脈沖響應(yīng)不變法優(yōu)缺點,缺點 會產(chǎn)生頻率混疊，適合低通、帶通濾波器的設(shè)計，不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計。,優(yōu)點： 頻率坐標(biāo)變換是線性的，即 數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，時域特性逼近好。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,假設(shè) 沒有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足,則：,但是，H(ej)的幅度與采樣間隔成反比，當(dāng)T很小時，|H(ej)|就會太高。為避免這一現(xiàn)象，令,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,6. 修正公式,一般Ha(s)的極點si是一個復(fù)數(shù)，且以共軛成對的形式出現(xiàn)，一對復(fù)數(shù)共軛極點形成一個二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為,對應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)(只有實數(shù)乘法)的形式為,(6.3.12),6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,7.數(shù)字濾波器二階基本節(jié),如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,(6.3.14),Bz, Az=impinvar(B, A) 實現(xiàn)用脈沖響應(yīng)不變法將分子和分母多項式系數(shù)向量為B和A的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，H(z)的分子和分母多項式系數(shù)向量為Bz和Az。,8. matlab中脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換函數(shù),6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,例6.3.1 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為 用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 解 首先將Ha(s)寫成部分分式：,極點為,那么H(z)的極點為,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,那么H(z)的極點為 按照(6.3.4)式，并經(jīng)過整理，得到： 式中, T是采樣間隔，若T選取過大，則會使=附近頻譜混疊現(xiàn)象嚴(yán)重。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,這里選取T=1 s和T=0.1 s兩種情況，以便進(jìn)行比較。設(shè)T=1 s時用H1(z)表示，T=0.1 s時用H2(z)表示，則,再按照(6.3.14)式，H(z)為,轉(zhuǎn)換時，也可以直接按照(6.3.13),(6.3.14)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換。 先求出Ha(s) 極點：s1,2=1j1 則：,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,圖6.3.3 例6.3.1的幅度特性,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,【例6.3.2】 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字低通濾波器，要求通帶和阻帶具有單調(diào)下降特性，指標(biāo)參數(shù)如下: p=0.2 rad， p=1 dB, s=0.35 rad, s=10 dB。 解 （1） 將數(shù)字濾波器設(shè)計指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的模擬濾波器指標(biāo)。設(shè)采樣周期為T，則： ,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,(2） 設(shè)計相應(yīng)的模擬濾波器，得到模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。根據(jù)單調(diào)下降要求，選擇巴特沃斯濾波器。設(shè)計過程與例6.2.1完全相同，求出階數(shù)N=4。 （3） 將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)： 如上求解計算相當(dāng)復(fù)雜。本例調(diào)用MATLAB信號處理工具箱函數(shù)進(jìn)行設(shè)計。設(shè)計程序ep632.m如下。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,例6.3.2 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字濾波器程序: ep632.m T=1； T=1s wp=0.2*pi/T; ws=0.35*pi/T; rp=1; rs=10; T=1 s的模擬濾波器指標(biāo) N, wc=buttord(wp, ws, rp, rs, s); 計算相應(yīng)的模擬濾波器階數(shù)N和3 dB截止頻率wc B, A=butter(N, wc, s); 計算相應(yīng)的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù) Bz, Az=impinvar(B, A); 用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 省略繪圖部分。 ,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計, 取T=1 s時的運行結(jié)果： N=4 模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)分子和分母多項式系數(shù)向量B和A： B=0 0 0 0 0.4872 A=1.0000 2.1832 2.3832 1.5240 0.4872,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)分子和分母多項式系數(shù)向量Bz和Az： Bz=0 0.0456 0.1027 0.0154 0 Az=1.0000 1.9184 1.6546 0.6853 0.1127 由Bz和Az寫出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)： T=1 s時模擬濾波器和數(shù)字濾波器的損耗函數(shù)分別如圖6.3.4(a)和(b)所示。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,1. 變換原理,6.4 用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字通濾波器,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,式中, T仍是采樣間隔。當(dāng)1從/T經(jīng)過0變化到 /T 時，則由經(jīng)過0變化到+，實現(xiàn)了s平面上整個虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的/T之間的轉(zhuǎn)換。,（6.4.1）,通過歐拉公式，可得：,消除頻譜混疊現(xiàn)象 H(z) 因果穩(wěn)定的,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,（6.4.3）,（6.4.4）,（6.4.2）,分析模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系。令s=j，z=ej, 并代入（6.4.3）式, 得到:,（6.4.5）,2.轉(zhuǎn)換性能,說明，s平面上與z平面的成非線性正切關(guān)系，如圖所示。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,在=0附近接近線性關(guān)系； 當(dāng)增加時，增加得愈來愈快； 當(dāng)趨近時，趨近于。正是因為這種非線性關(guān)系，消除了頻譜混疊現(xiàn)象。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,雙線性變換法的缺點:與之間是非線性關(guān)系，使數(shù)字濾波器頻響曲線不能保真地模仿模擬濾波器頻響的曲線形狀。適合片斷常數(shù)特性的濾波器的設(shè)計。 幅度特性和相位特性失真的情況如圖6.4.3所示。,圖6.4.3 雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,3. 數(shù)字化方法,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,表6.4.1 系數(shù)關(guān)系表,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,例6.4.1試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法將圖6.4.4所示的RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。 解 首先按照圖6.4.4寫出該濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為,利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)為：,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)為,H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別如圖6.4.5(a),(b)所示。,圖6.4.5 例6.4.1圖H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) (a)H1(z); (b)H2(z),6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,4. 模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。 （1） 確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)： 通帶邊界頻率p、通帶最大衰減 p、阻帶截止頻率s、阻帶最小衰減 s。 （2） 將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。這里主要是邊界頻率p和s的轉(zhuǎn)換， p和 s指標(biāo)不變。 如果采用脈沖響應(yīng)不變法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為,（6.4.6）,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,如果采用雙線性變換法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 （3） 按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計過渡模擬低通濾波器。 （4） 用所選的轉(zhuǎn)換方法，將模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。,（6.4.7）,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,預(yù)畸變,5.T的選擇原則 脈沖響應(yīng)不變法：為了避免頻率混疊現(xiàn)象，要求所設(shè)計的模擬低通帶限于/T/T內(nèi)。由于實際濾波器是有限階的，因此有一定的過渡帶，頻響特性不是帶限于/T。 當(dāng)給定模擬濾波器Ha(s)， s足夠大時：選擇T滿足|s|</T，可使頻譜混疊足夠小，滿足數(shù)字濾波器指標(biāo)要求。 當(dāng)給定數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)時：由于數(shù)字濾波器H(ej) 最高頻率在=處，因此，s<，按照s=s/T，那么s</T，這樣T可以任選。一般選T=1 s。 這時，頻譜混疊程度完全取決于 s， s越大，混疊越小。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,雙線性變換法：不存在頻譜混疊現(xiàn)象，尤其對于設(shè)計片斷常數(shù)濾波器，T也可以任選。為了簡化計算，一般取T=2 s。,例6.4.2 設(shè)計低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2rad時，容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率0.3到之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計濾波器。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,解 (1) 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字低通濾波器。 數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)為 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為 T=1s,p=0.2rad/s,p=1dB; s=0.3rad/s,s=15dB,設(shè)計巴特沃斯低通濾波器,先計算階數(shù)N及3dB截止頻率c。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,取N=6,歸一化：將p=s/c代入Ha(p)中，得到實際的傳輸函數(shù)Ha(s),根據(jù)階數(shù)N=6，查表6.2.1，得到歸一化傳輸函數(shù)為,c=0.7032rad/s，滿足通帶技術(shù)要求，同時給阻帶衰減留一定余量，這對防止頻率混疊有一定好處。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)。首先將 Ha(s)進(jìn)行部分分式，并按照(6.3.11)式、(6.3.12)式，或 者(6.3.13)式和(6.3.14)式，得到：,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,圖6.4.7 例6.4.2圖用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字低通濾波器的幅度特性,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,(2) 用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字低通濾波器 數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍為： p=0.2rad,p=1dB s=0.3rad,s=15dB 模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計, 設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計算如下：,得到：c=0.7662rad/s。阻帶指標(biāo)滿足要求，通帶指標(biāo)已經(jīng)超過。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,取N=6,由：,根據(jù)N=6，查表6.2.1得到的歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)與脈沖響應(yīng)不變法得到的相同。為去歸一化，將p=s/c代入Ha(p)，得實際的Ha(s)， 用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)：,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,圖6.4.8 例6.4.2圖用雙線性變換法設(shè)計的數(shù)字低通濾波器的幅度特性,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,6.5 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計,模擬 原型,模擬高通、帶通、帶阻,數(shù)字高通、帶通、帶阻,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,(3)將所需類型模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波 器技術(shù)指標(biāo)。 (4)設(shè)計模擬低通濾波器。 (5)將模擬低通通過頻率變換，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。 (6)采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,具體設(shè)計步驟如下： (1) 確定所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 (2) 將所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成所需類型模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，轉(zhuǎn)換公式為,例6.5.1 設(shè)計一個數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率p=0.8rad，通帶衰減不大于3dB，阻帶截止頻率s=0.44rad,阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。 解 (1)數(shù)字高通的技術(shù)指標(biāo)為 p=0.8rad,p=3dB; s=0.44rad,s=15dB （2） 將高通數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成高通模擬濾波器的設(shè)計指標(biāo)： 令T =2 s，預(yù)畸變校正得到模擬邊界頻率：,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,（3） 模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)計算如下： 對通帶邊界頻率(本例中就是3 dB截止頻率c）歸一化，即 p=c=1, p=3 dB 將p=1和sh代入（6.2.51）式，求出歸一化低通濾波器的阻帶截止頻率 ,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,查表6.2.1，得到歸一化模擬低通原型系統(tǒng)函數(shù)G(p)為,取,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,（4） 設(shè)計歸一化模擬濾波器G(p)。,（5） 利用頻率變換公式（6.2.50）式將G(p)轉(zhuǎn)換成模擬高通HHP(s)： （6） 用雙線性變換法將模擬高通Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通H(z)： ,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,實際上, 上述復(fù)雜的設(shè)計過程的實現(xiàn)程序ep651.m只有下面3行： wpz=0.8; wsz=0.44; rp=3; rs=15; N, wc=buttord(wpz, wsz, rp, rs); %調(diào)用buttord和butter直接設(shè)計數(shù)字濾波器 Bz, Az=butter(N, wc, high); 程序運行結(jié)果： N=2； Bz=0.1326 0.2653 0.1326; Az=1.0000 0.7394 0.2699 數(shù)字濾波器損耗函數(shù)如圖6.5.1所示。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,例6.5.2設(shè)計一個數(shù)字帶通濾波器，通帶范圍為0.3rad到0.4rad，通帶內(nèi)最大衰減為3dB，0.2rad以下和0.5rad以上為阻帶，阻帶內(nèi)最小衰減為18dB。采用巴特沃斯型模擬低通濾波器。 解 (1)數(shù)字帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)為 通帶上截止頻率: u=0.4rad 通帶下截止頻率: pl=0.3rad,阻帶上截止頻率: su=0.5rad 阻帶下截止頻率: s1=0.2rad 通帶內(nèi)最大衰減p=3dB 阻帶內(nèi)最小衰減s=18dB。,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,(2) 模擬帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)如下： 設(shè)T=1，則有,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,將以上邊界頻率對帶寬B歸一化，得到 u=3.348,l=2.348; s2=4.608,s1=1.498; 0=2.804 (3) 模擬歸一化低通濾波器技術(shù)指標(biāo)： 歸一化阻帶截止頻率,歸一化通帶截止頻率,p=1 p=3dB,s=18dB,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,(4) 設(shè)計模擬低通濾波器：,查表6.2.1，得到歸一化低通傳輸函數(shù)G(p),6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,(5) 將歸一化模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬帶通： (6)通過雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器H(z)。下面將(5)、(6)兩步合成一步計算：,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,將上式代入(5)中的轉(zhuǎn)換公式，得,將上面的p等式代入G(p)中，得,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,例6.5.3設(shè)計一個數(shù)字帶阻濾波器，通帶下限頻率l=0.19,阻帶下截止頻率s1=0.198，阻帶上截止頻率s2=0.202，通帶上限頻率u=0.21，阻帶最小衰減s=13dB，l和u處衰減p=3dB。采用巴特沃斯型。 解 (1) 數(shù)字帶阻濾波器技術(shù)指標(biāo)： l=0.19rad,u=0.21rad,p=3dB; s1=0.198rad,s2=0.202rad,s=13dB,6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計,(2) 模擬帶阻濾波器的技術(shù)指標(biāo)： 設(shè)T=1，則有,阻帶中心頻率平方為