湖南省長(zhǎng)沙市2013屆高三數(shù)學(xué)第6次月考 理（解析版）

湖南師大附中2013屆高三第六次月考數(shù)學(xué)試題(理科）（考試范圍：考綱要求全部范圍）時(shí)量 120分鐘 總分150分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.1.如圖：給定全集U和集合A,B，則如圖陰影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D.U【答案】ABA2. 函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ） A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)連續(xù)且定義域內(nèi)遞增，又，.3. 化簡(jiǎn)對(duì)數(shù)式得到的值為（ ） A. 1 B. 2 C. - 1 D. 【答案】C4. 已知三個(gè)向量，,共線，其中分別是的三條邊和三個(gè)角，則的形狀是（ ） A等腰三角形 B等邊三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形【答案】B【解析】由三個(gè)向量，,共線及正弦定理可得：由，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，?同理可得，5.函數(shù)的部分圖象如圖示，將的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】由圖象知, 將的圖象平移個(gè)單位后的解析式為 則由：，.6.設(shè)函數(shù)（且）在上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則的圖象是yxoy212o1yxx-100-1yx A B C D【答案】C【解析】是奇函數(shù)，所以，即，所以， 即，又函數(shù)在定義域上單調(diào)性相同， 由函數(shù)是增函數(shù)可知，所以函數(shù)，選C.7. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足則中最大的項(xiàng)為 【答案】C【解析】由，得. 由，得，所以，且. 所以數(shù)列為遞減的數(shù)列.所以為正，為負(fù)， 且， 則，又，所以， 所以最大的項(xiàng)為.8.對(duì)于定義域?yàn)?,1的函數(shù)，如果同時(shí)滿足以下三個(gè)條件： 對(duì)任意的，總有 若，都有 成立； 則稱函數(shù)為理想函數(shù). 下面有三個(gè)命題：（1） 若函數(shù)為理想函數(shù)，則；（2） 函數(shù)是理想函數(shù)；（3） 若函數(shù)是理想函數(shù)，假定存在，使得，且， 則；其中正確的命題個(gè)數(shù)有（ ） A. 0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【答案】D二、 填空題： 本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分 ，共35分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上.（一）選作題（請(qǐng)考生在第9、10、 11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分 ）9. 不等式的解集為 .【解析】由：，或，或， 解得不等式的解集為：； 10. 直線的參數(shù)方程是（其中為參數(shù)），圓的極坐標(biāo)方程為，過直線上的點(diǎn)向圓引切線，則切線長(zhǎng)的最小值是 .【解析】， ， 即， ， 圓心C到距離是， 直線上的點(diǎn)向圓C引的切線長(zhǎng)的最小值是 11. 如圖，是的直徑，是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過作的切線，切點(diǎn)為，若，則的直徑 【解析】因?yàn)楦鶕?jù)已知條件可知，連接AC， 根據(jù)切線定理可知, ,可以解得為4.（二） 必做題12. 下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題： （1）； （2）； （3）的共軛復(fù)數(shù)為； （4）的虛部為；其中所有正確的命題序號(hào)是 .【答案】（2）（4）13.如果一個(gè)隨機(jī)變量，則使得取得最大值的的值為 .【解析】，則只需最大即可，此時(shí)14. 如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的體積為 .【解析】該幾何體是如圖所示的三棱錐ABCD，可將其補(bǔ)形成一個(gè)長(zhǎng)方體，半徑為，體積為. （也可直接找到球心，求出半徑解決問題）15. 采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號(hào)為1,2，960，分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為9，抽到的32人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間1,450的人做問卷A，編號(hào)落入?yún)^(qū)間451,750的人做問卷B，其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為 .【解析】：采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人，將整體分成32組，每組30人，即，第k組的號(hào)碼為，令，而，解得，則滿足的整數(shù)k有10個(gè).16. 已知，或，對(duì)于，表示U和V中相對(duì)應(yīng)的元素不同的個(gè)數(shù)（）令，存在m個(gè)，使得，則m= ；（）令，若，則所有之和為 【解析】：（）； （）根據(jù)（）知使的共有個(gè)=兩式相加得 =三、 解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17、（滿分12分）已知是三次函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且,求動(dòng)點(diǎn)所在的區(qū)域面積.【解析】由函數(shù)可得，, 2分由題意知，是方程的兩個(gè)根， 5分且,因此得到可行,9分即,畫出可行域如圖. 11分 所以. 12分18、(滿分12分）為迎接新年到來，某商場(chǎng)舉辦有獎(jiǎng)競(jìng)猜活動(dòng)，參與者需先后回答兩道選擇題，問題A有四個(gè)選項(xiàng)，問題B有五個(gè)選項(xiàng)，但都只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。正確回答問題A可獲得獎(jiǎng)金元，正確回答問題B可獲得獎(jiǎng)金元?；顒?dòng)規(guī)定：參與者可任意選擇回答問題的順序，如果第一個(gè)問題回答錯(cuò)誤，則該參與者猜獎(jiǎng)活動(dòng)中止。假設(shè)一個(gè)參與者在回答問題前，對(duì)這兩個(gè)問題都很陌生，試確定哪種回答問題的順序能使該參與者獲救金額的期望值較大.【解析】設(shè)該參與者猜對(duì)問題A的概率為，則，猜對(duì)問題B的概率為，.1分 參與者回答問題有兩種順序：順序一：先A后B 此時(shí)參與者獲得獎(jiǎng)金額的可能值為：， ， 從而數(shù)學(xué)期望；.5分順序二：先B后A 此時(shí)參與者獲得獎(jiǎng)金額的可能值為：， ， 從而數(shù)學(xué)期望；.9分而：，則： 當(dāng)時(shí)：先回答A，當(dāng)兩者兼可，時(shí)先回答B(yǎng).12分19、（滿分12分）如圖，在矩形ABCD中，AB2，BC，又PA平面ABCD，PA4 PABCDQ（1）線段BC上存在點(diǎn)Q，使PQQD，求的取值范圍；（2）線段BC上存在唯一點(diǎn)Q，使PQQD時(shí)，求二面角APDQ的余弦值。解法1：（）如圖，連，由于PA平面ABCD，則由PQQD，必有 設(shè)，則，在中，有在中，有 在中，有NMPABCDQ即，即故的取值范圍為 （）由（）知，當(dāng)，時(shí)，邊BC上存在唯一點(diǎn)Q（Q為BC邊的中點(diǎn)），使PQQD，過Q作QMCD交AD于M，則QMADPA平面ABCD，PAQMQM平面PADxyzPABCDQ過M作MNPD于N，連結(jié)NQ，則QNPDMNQ是二面角APDQ的平面角 在等腰直角三角形中，可求得，又，進(jìn)而 故二面角APDQ的余弦值為 解法2：（）以為xyz軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則B（0，2，0），C（a，2，0），D（a，0，0），P（0，0，4）， 設(shè)Q（t，2，0）（），則 （t，2，4），（ta，2，0） PQQD，0即故的取值范圍為 （）由（）知，當(dāng)，時(shí)，邊BC上存在唯一點(diǎn)Q，使PQQD此時(shí)Q（2，2，0），D（4，0，0） 設(shè)是平面的法向量，由，得取，則是平面的一個(gè)法向量 而是平面的一個(gè)法向量， 二面角APDQ的余弦值為 20、（滿分13分）隨著私家車的逐漸增多，居民小區(qū)“停車難”問題日益突出本市某居民小區(qū)為緩解“停車難”問題，擬建造地下停車庫(kù)，建筑設(shè)計(jì)師提供了該地下停車庫(kù)的入口和進(jìn)入后的直角轉(zhuǎn)彎處的平面設(shè)計(jì)示意圖.（1）按規(guī)定，地下停車庫(kù)坡道口上方要張貼限高標(biāo)志，以便告知停車人車輛能否安全駛?cè)?，為?biāo)明限高，請(qǐng)你根據(jù)該圖所示數(shù)據(jù)計(jì)算限定高度CD的值（精確到0.1m）（下列數(shù)據(jù)提供參考：20°0.3420，20°0.9397，20°0.3640）（2）在車庫(kù)內(nèi)有一條直角拐彎車道，車道的平面圖如圖所示，設(shè)，車道寬為3米，現(xiàn)有一輛轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的小汽車，其水平截面圖為矩形，它的寬為1.8米，長(zhǎng)為4.5米，問此車是否能順利通過此直角拐彎車道？A3米3米1.8米PBCDEOF 解：(1)在ABE中，ABE=90°，BAE=20°,tanBAE=，又AB=10，BE=ABtanBAE=10tan20°3.6m，BC=0.6CE=BE-BC=3m,在CED中，CDAE，ECD=BAE=20°,cosECD=,CD=CEcosECD=3cos20°3×0.942.8m故答案為2.8m5分（2）延長(zhǎng)與直角走廊的邊相交于，如下圖. ，其中.容易得到，.又， 于是，其中.8分設(shè)，則，于是. 又，因此 11分因?yàn)椋?，所以恒成立，因此函?shù)在是減函數(shù)，所以，故能順利通過此直角拐彎車道 13分21、（滿分13分）已知橢圓上有一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離分別為，.（1）如果直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，若，直線與直線的交點(diǎn)是，求點(diǎn)的軌跡方程；（2）過點(diǎn)作直線（與軸不垂直）與該橢圓交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，試判斷：是否為定值？并說明理由.解：（1）由已知 所以橢圓方程為. 3分依題意可設(shè)，且有又，將代入即得所以直線與直線的交點(diǎn)的軌跡方程是（y0）8分（2）是定值，理由如下： 9分依題意，直線的斜率存在，故可設(shè)直線的方程為，設(shè)、，則兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組消去并整理，得， 所以， ， 11分因?yàn)?，所以，即所以，又與軸不垂直，所以，所以，同理. 12分所以.將代入上式可得. 13分22、（滿分13分）設(shè)函數(shù)在上的最大值為. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）證明：對(duì)任何正整數(shù)，都有成立；、 （3）若數(shù)列的前之和為，證明：對(duì)任意正整數(shù)都有成立.【解析】（1）由 當(dāng)時(shí)，由得或 當(dāng)時(shí)，則 當(dāng)時(shí)，則 當(dāng)時(shí)， 而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 故函數(shù)在處取得最大值， 即： 綜上：。6分 （2）當(dāng)時(shí)，要證，即證， 而 故不等式成立.。10分 （3）當(dāng)時(shí)結(jié)論成立； 當(dāng)時(shí)，由（2）的證明可知： ， 從而。13分