小學(xué)奧數(shù)--排列組合教案.doc

_小學(xué)奧數(shù)-排列組合教案加法原理和乘法原理 排列與組合: 熟悉排列與組合問(wèn)題。 運(yùn)用加法原理和乘法原理解決問(wèn)題。在日常生活中我們經(jīng)常會(huì)遇到像下面這樣的兩類(lèi)問(wèn)題:問(wèn)題一：從 A 地到 B 地，可以乘火車(chē)，也可以乘汽車(chē)或乘輪船。一天中，火車(chē)有 4 班，汽車(chē) 有 3 班，輪船有 2 班。那么從 A 地到 B 地共有多少種不同的走法？ 問(wèn)題二：從甲村到乙村有兩條道路，從乙村去丙村有 3 條道路（如下圖）。從甲村經(jīng)乙村去丙村，共有多少種不同的走法？解決上述兩類(lèi)問(wèn)題就是運(yùn)用加法原理和乘法原理。 加法原理：完成一件工作共有N類(lèi)方法。在第一類(lèi)方法中有m1種不同的方法，在第二類(lèi)方法中有m2種不同的方法，在第N類(lèi)方法中有mn種不同的方法，那么完成這件工作共有Nm1m2m3mn種不同方法。運(yùn)用加法原理計(jì)數(shù)，關(guān)鍵在于合理分類(lèi)，不重不漏。要求每一類(lèi)中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；兩類(lèi)不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類(lèi)不重)；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(lèi)(即分類(lèi)不漏)。合理分類(lèi)也是運(yùn)用加法原理解決問(wèn)題的難點(diǎn)，不同的問(wèn)題，分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)往往不同，需要積累一定的解題經(jīng)驗(yàn)。乘法原理：完成一件工作共需N個(gè)步驟：完成第一個(gè)步驟有m1種方法，完成第二個(gè)步驟有m2種方法，完成第N個(gè)步驟有mn種方法，那么，完成這件工作共有m1×m2××mn種方法。運(yùn)用乘法原理計(jì)數(shù)，關(guān)鍵在于合理分步。完成這件工作的N個(gè)步驟，各個(gè)步驟之間是相互聯(lián)系的，任何一步的一種方法都不能完成此工作，必須連續(xù)完成這N步才能完成此工作；各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對(duì)應(yīng)的完成此工作的方法也不同。這兩個(gè)基本原理是排列和組合的基礎(chǔ)，與教材聯(lián)系緊密（如四下搭配的規(guī)律），教學(xué)時(shí)要先通過(guò)生活中淺顯的實(shí)例，如購(gòu)物問(wèn)題、行程問(wèn)題、搭配問(wèn)題等，幫助孩子理解兩個(gè)原理，再讓孩子學(xué)習(xí)運(yùn)用原理解決問(wèn)題。運(yùn)用兩個(gè)原理解決的都是比較復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題，在解題時(shí)要細(xì)心、耐心、有條理地分析問(wèn)題。計(jì)數(shù)時(shí)要注意區(qū)分是分類(lèi)問(wèn)題還是分步問(wèn)題，正確運(yùn)用兩個(gè)原理。靈活機(jī)動(dòng)地分層重復(fù)使用或綜合運(yùn)用兩個(gè)原理，可以巧妙解決很多復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題。小學(xué)階段只學(xué)習(xí)兩個(gè)原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。【例題一】每天從武漢到北京去，有 4 班火車(chē)，2 班飛機(jī)，1 班汽車(chē)。請(qǐng)問(wèn)：每天從武漢到北京去，乘坐這些交通工具共有多少種不同的走法？ 【解析】運(yùn)用加法原理，把組成方法分成三類(lèi)：一類(lèi)乘坐火車(chē),二類(lèi)乘坐飛機(jī),三類(lèi)乘坐洗車(chē).解:4+2+1=7(種)【例題二】用1角、2角和5角的三種人民幣（每種的張數(shù)沒(méi)有限制）組成1元錢(qián)，有多少種方法？【解析】運(yùn)用加法原理，把組成方法分成三大類(lèi)：只取一種人民幣組成1元，有3種方法：10張1角；5張2角；2張5角。取兩種人民幣組成1元，有5種方法：1張5角和5張1角；一張2角和8張1角；2張2角和6張1角；3張2角和4張1角；4張2角和2張1角。取三種人民幣組成1元，有2種方法：1張5角、1張2角和3張1角的；1張5角、2張2角和1張1角的。解:所以共有組成方法：3+5+2=10（種）。【例題三】在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的兩位數(shù)共有多少個(gè)？【解析】運(yùn)用加法原理，把組成的三位數(shù)分為九類(lèi)：十位是9的有9個(gè)，十位是8的有8個(gè)，十位是1的有1個(gè). 解: 共有：1+2+3+9=45(個(gè))【例題四】各數(shù)位的數(shù)字之和是24的三位數(shù)共有多少個(gè)？【解析】一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，最大只能是9，24可分拆為：24=9+9+6； 24=9+8+7；24=8+8+8。運(yùn)用加法原理，把組成的三位數(shù)分為三大類(lèi)：由9、9、8三個(gè)數(shù)字可組成3個(gè)三位數(shù)：998、989、899；由9、8、7三個(gè)數(shù)字可組成6個(gè)三位數(shù)：987、978、897、879、798、789；由8、8、8三個(gè)數(shù)字可組成1個(gè)三位數(shù)：888。解:所以組成三位數(shù)共有：3+6+1=10（個(gè)）?！纠}五】有一批長(zhǎng)度分別為1，2，3，4，5，6，7和8厘米的細(xì)木條若干，從中選取適當(dāng)?shù)?根木條作為三條邊可以圍成多少個(gè)不同的三角形？【解析】圍三角形的依據(jù)：三根木條能?chē)扇切?，必須滿足任意兩邊之和大于第三邊。要滿足這個(gè)條件，需要且只需要兩條較短邊的和大于最長(zhǎng)邊就可以了。這道題的計(jì)數(shù)比較復(fù)雜，需要分層重復(fù)運(yùn)用加法原理。根據(jù)三角形三邊長(zhǎng)度情況，我們先把圍成的三角形分為兩大類(lèi)：第一大類(lèi)：圍成三角形的三根木條，至少有兩根木條等長(zhǎng)（包括三根等長(zhǎng)的）。由題目條件，圍成的等腰三角形腰長(zhǎng)可以為1、2、3、4、5、6、7、8厘米，根據(jù)三角形腰長(zhǎng)，第一大類(lèi)又可以分為8小類(lèi)，三邊長(zhǎng)依次是：腰長(zhǎng)為1的三角形1個(gè)：1、1、1。腰長(zhǎng)為2的三角形3個(gè)：2、2、1；2、2、2；2、2、3。腰長(zhǎng)為3的三角形5個(gè)：3、3、1；3、3、2；3、3、3；3、3、4；3、3、5。腰長(zhǎng)為4的三角形7個(gè)：4、4、1；4、4、2；4、4、7。腰長(zhǎng)為5的三角形8個(gè)：5、5、1；5、5、2；5、5、8。同理，腰長(zhǎng)為6、7、8厘米的三角形都是8個(gè)。第一大類(lèi)可圍成的不同的三角形：1+3+5+7+8×4=48（個(gè)）。第二大類(lèi)：圍成三角形的三根木條，任意兩根木條的長(zhǎng)度都不同。根據(jù)最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度，我們?cè)侔训诙箢?lèi)圍成的三角形分為五小類(lèi)（最長(zhǎng)邊不可能為是3厘米、2厘米、1厘米）：最長(zhǎng)邊為8厘米的三角形有9個(gè)，三邊長(zhǎng)分別為：8、7、6；8、7、5；8、7、4；8、7、3；8、7、2；8、6、5；8、6、4；8、6、3；8、5、4。最長(zhǎng)邊為7厘米的三角形有6個(gè)，三邊長(zhǎng)分別為：7、6、5；7、6、4；7、6、3；7、6、2；7、5、4；7、5、3。最長(zhǎng)邊為6厘米的三角形有4個(gè)，三邊長(zhǎng)分別為：6、5、4；6、5、3；6、5、2；6、4、3。最長(zhǎng)邊為5厘米的三角形有2個(gè)，三邊長(zhǎng)分別為：5、4、3；5、4、2。最長(zhǎng)邊為4厘米的三角形有1個(gè)，三邊長(zhǎng)為：4、3、2。第二大類(lèi)可圍成的不同的三角形：9+6+4+2+1=22（個(gè)）。所以，這一題共可以圍成不同的三角形：48+22=70（個(gè)）。【例題六】一把鑰匙只能開(kāi)一把鎖，現(xiàn)在有10把鑰匙和10把鎖全部都搞亂了，最多要試驗(yàn)多少次才能全部配好鎖和相應(yīng)的鑰匙？【解析】要求“最多”多少次配好鎖和鑰匙，就要從最糟糕的情況開(kāi)始考慮：第1把鑰匙要配到鎖，最多要試9次（如果9次配對(duì)失敗，第10把鎖就一定是這把鑰匙，不用再試）；同理，第2把鑰匙最多要試8次；第9把鎖最多試1次，最好一把鎖不用試。解: 最多試驗(yàn)次數(shù)為：9+8+7+2+1=45（次）?！纠}七】如圖,從甲地到乙地有三條路,從乙地到丙地有三條路,從丙地到丁地有四條路,從甲地到丙地有二條路。問(wèn)：甲地到丁地共有多少種走法？乙甲丙丁【解析】從甲地到乙地的走法分兩大類(lèi)：一大類(lèi)從甲地直接到達(dá)乙地，二大類(lèi)是經(jīng)過(guò)乙地和丙地到達(dá)丁地，用加法原理。第二大類(lèi)中，從甲地到丁地走法分三步，第一步，從甲地到乙地，第二步，從乙地到丙地，第三步，從丙地到丁地，用乘法原理。、第一大類(lèi)從甲地到丁地有2條路，用加法原理有2種走法。、第二大類(lèi)從甲地到丁地分三步完成，用乘法原理。第一步，從甲地到乙地，有3條路，用加法原理有3種走法。第二步，從乙地到丙地，有3條路，用加法原理有3種走法。第三步，從丙地到丁地，有4條路，用加法原理有4種走法。根據(jù)乘法原理，第二大類(lèi)共有3×3×436種走法。、用加法原理，從甲地到乙地共有23638種走法。解：2+3×3×438（種）【例題七】某人到食堂去買(mǎi)飯菜，食堂里有4種葷菜，3種蔬菜，2種湯。他要各買(mǎi)一樣，共有多少種不同的買(mǎi)法？【解析】運(yùn)用乘法原理，把買(mǎi)飯菜分為三步走：第一步：選湯有2種方法。第二步：選葷菜有4種方法。每種選湯方法對(duì)應(yīng)的都有4種選葷菜的方法，湯和葷菜共有2個(gè)4種，即8種不同的搭配方法。第三步：選蔬菜有3種方法。葷菜和湯有8種不同的搭配方法，每種搭配方法，對(duì)應(yīng)的都有3種選蔬菜的方法與其二次搭配，共有8個(gè)3種，即24種不同搭配方法。如下圖所示 解：共有不同的買(mǎi)法：2×4×3=24（種）。【例題八】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師要求同學(xué)們用 0、1、2、3 這四個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)，請(qǐng)問(wèn)： （1）可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ （2）可以組成多少個(gè)不相等的三位數(shù)？ 【解析】組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)要求千位、十位、個(gè)位上的數(shù)字不同，數(shù)位之間是互相聯(lián)系的，用乘法原理。完成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的組成，分三步。第一步，看千位有多少種放法，0不能放首位，1、2、3任一個(gè)都可以放，有3種放法。第二步，看十位有多少種放法，四個(gè)數(shù)字千位放了一個(gè)，還剩三個(gè)，有3種放法。第三步，看個(gè)位有多少種放法，四個(gè)數(shù)字千位、十位各放了一個(gè)，還剩二個(gè)，有2種放法。解： （）3×3×2=18（個(gè)）不相等的三位數(shù)，可以看出各數(shù)位上的數(shù)字是能重復(fù)的。要完成數(shù)的組合應(yīng)該分三步：第一步，看千位有多少種放法，0不能放首位，1、2、3任一個(gè)都可以放，有3種放法。第二步，看十位有多少種放法，四個(gè)數(shù)字都可以放，有4種放法。第三步，看個(gè)位有多少種放法，四個(gè)數(shù)字都可以放，有4種放法，有4種放法。解：（2）3×4×4=48（個(gè)）【例題九】小新、阿呆等七個(gè)同學(xué)照像，分別求出在下列條件下有多少種站法？（1）七個(gè)人排成一排； （2）七個(gè)人排成一排，小新必須站在中間.（3）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間.（4）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊.（5）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆都沒(méi)有站在邊上.（6）七個(gè)人站成兩排，前排三人，后排四人.（7）七個(gè)人站成兩排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排?！窘馕觥浚?）七個(gè)人排成一排要有序的分步進(jìn)行，第一步，七個(gè)人每人都可以站第一位，7選7叫全選，有7種選法，也就是完成七個(gè)人排成一排的第一步。第二步，七人已選出一人站到第一位，還剩六人，有6種選法。同理，第三步有5種選法。第四步有4種選法。第五步有3種選法。第六步有2種選法。第七步有1種選法。解：根據(jù)乘法原理得：7×6×5×4×3×2×15040（種）注：用排列公式寫(xiě)作：（種）。（2）確定小新站中間，只要考慮六人站一排的排列問(wèn)題。只需排其余6個(gè)人站剩下的6個(gè)位置。分六步，第一步6種選法、第二步5種選法、第三步4種選法、第四步3種選法、第五步2種選法、第六步1種選法。解：根據(jù)乘法原理得：6×5×4×3×2×1720（種）注：用排列公式寫(xiě)作：（種）.（3）先確定中間的位置站誰(shuí)，有2種選法。再排剩下的6個(gè)位置。解：根據(jù)乘法原理得：（6×5×4×3×2×1）×21440（種）注：用排列公式寫(xiě)作：2×=1440(種)（4）先排兩邊，再排剩下的5個(gè)位置，其中兩邊的小新和阿呆還可以互換位置如圖可知，小新和阿呆站兩邊位置是2選2，有2×12種選法。其余五個(gè)位置站法：第一位5種選法、第二位4種選法、第三位3種選法、第四位2種選法、第五位1種選法。其余5人所站位置小新和阿呆所站位置2112435解：根據(jù)乘法原理得：（5×4×3×2×1）×（2×1）240（種）注：用排列公式寫(xiě)作： (種)（5）先排兩邊，從除小新、阿呆之外的5個(gè)人中選2人，也就是邊上的兩個(gè)位置5人去站，第一個(gè)位置有5種選法，第二個(gè)位置有4種選法，根據(jù)乘法原理得：5×420（種）。再排剩下的5個(gè)人，有5×4×3×2×1120（種）。解：根據(jù)乘法原理得：20×1202400（種）注：用排列公式寫(xiě)作：（種）.（6）七個(gè)人排成一排時(shí)，7個(gè)位置就是各不相同的現(xiàn)在排成兩排，不管前后排各有幾個(gè)人，7個(gè)位置還是各不相同的，所以本題實(shí)質(zhì)就是7個(gè)元素的全排列解：根據(jù)乘法原理得：7×6×5×4×3×2×15040（種）注：用排列公式寫(xiě)作：（種）. （7）可以分為兩類(lèi)情況：“小新在前，阿呆在后”和“小新在后，阿呆在前”，兩種情況是對(duì)等的，所以只要求出其中一種的排法數(shù)，再乘以2即可排隊(duì)問(wèn)題，一般先考慮特殊情況再去全排列。解：根據(jù)乘法原理得：4×3×（5×4×3×2×1）×22880(種)注：用排列公式寫(xiě)作：4×3××2=2880(種)【例題十】用1、2、3、4、5、6可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的個(gè)位是5的三位數(shù)？【解析】個(gè)位數(shù)字已知，問(wèn)題變成從個(gè)元素中取個(gè)元素的排列問(wèn)題，三位數(shù)的個(gè)位已確定為5，那么，1、2、3、4、6可以任意選擇十位或百位，百位有5種選法，十位有4種選法。如圖： 5種選法 4種選法 1種選法5 千位 百位 個(gè)位解：根據(jù)乘法原理得：5×420（種）注：用排列公式解題：已知，根據(jù)排列數(shù)公式，一共可以組成(個(gè))符合題意的三位數(shù)。【例題十一】用、這五個(gè)數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫(xiě)出多少個(gè)3的倍數(shù)？【解析】按位數(shù)來(lái)分類(lèi)考慮：首先要知道3的倍數(shù)的數(shù)的各位數(shù)值之和的規(guī)律:各位數(shù)值之和為3的倍數(shù),則這個(gè)數(shù)是3的倍數(shù). 一位數(shù)只有個(gè)； 兩位數(shù)：由與，與，與，與四組數(shù)字組成，每一組可以組成(個(gè))不同的兩位數(shù)，共可組成(個(gè))不同的兩位數(shù)； 三位數(shù)：由，與；，與；，與；，與四組數(shù)字組成，每一組可以組成(個(gè))不同的三位數(shù)，共可組成(個(gè))不同的三位數(shù)； 四位數(shù)：可由，這四個(gè)數(shù)字組成，有(個(gè))不同的四位數(shù)； 五位數(shù)：可由，組成，共有(個(gè))不同的五位數(shù)解：根據(jù)加法原理得：一共有(個(gè))能被整除的數(shù)，即的倍數(shù)【例題十二】某管理員忘記了自己小保險(xiǎn)柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個(gè)非數(shù)碼組成，且四個(gè)數(shù)碼之和是，那么確保打開(kāi)保險(xiǎn)柜最多要試幾次？【解析】用排除法分析：四個(gè)非數(shù)碼之和等于9的組合數(shù)位上不能有9、8、7數(shù)字，否則，其和大于9。首先，從合題意的大數(shù)6尋找有1，1，1，6一種組合；從5尋找有1，1，2，5一各組合；從4尋找有1，1，3，4；1，2，2，4；二種組合；從3尋找有1，2，3，3；2，2，2，3二種組合；從1、2分析其和小于9；因此分析得共有六種。第一種中，可以組成多少個(gè)密碼呢？只要考慮的位置就可以了，可以任意選擇個(gè)位置中的一個(gè)，其余位置放，共有種選擇；第二種中，先考慮放，有種選擇，再考慮的位置，可以有種選擇，剩下的位置放，共有(種)，選擇同樣的方法，可以得出第三、四、五種都各有種選擇最后一種，與第一種的情形相似，的位置有種選擇，其余位置放，共有種選擇解：根據(jù)加法原理得：一共可以組成(個(gè))不同的四位數(shù)，即確保能打開(kāi)保險(xiǎn)柜最多要試次【例題十三】?jī)蓪?duì)三胞胎喜相逢，他們圍坐在桌子旁，要求每個(gè)人都不與自己的同胞兄妹相鄰，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少種不同的坐法？【解析】第一個(gè)位置在個(gè)人中任選一個(gè)，有(種)選法，第二個(gè)位置在另一胞胎的人中任選一個(gè)，有(種)選法同理，第，個(gè)位置依次有2，2，1，1種選法如圖：6選1 3選3 2選2 2選2 1選1 1選1632211 甲乙胞 乙胞 甲胞乙胞甲胞乙胞解：根據(jù)乘法原理得：6×3×2×2×1×172（種）注：用排列公式寫(xiě)作：(種)?！纠}十四】一種電子表在6時(shí)24分30秒時(shí)的顯示為6:24：30，那么從8時(shí)到9時(shí)這段時(shí)間里，此表的5個(gè)數(shù)字都不相同的時(shí)刻一共有多少個(gè)?【解析】設(shè)A:BC:DE是滿足題意的時(shí)刻，有A為8，B、D應(yīng)從0，1，2，3，4，5這6個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)不同的數(shù)字，所以有6×5=30種選法，而C、E應(yīng)從剩下的7個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)不同的數(shù)字，所以有7×6=42種選法.如圖：7選2ABCDE16756確定為86選2解：根據(jù)乘法原理得：所以共有×=1260種選法。從8時(shí)到9時(shí)這段時(shí)間里，此表的5個(gè)數(shù)字都不相同的時(shí)刻一共有1260個(gè)?！纠}十五】一個(gè)六位數(shù)能被11整除，它的各位數(shù)字非零且互不相同的將這個(gè)六位數(shù)的6個(gè)數(shù)字重新排列，最少還能排出多少個(gè)能被11整除的六位數(shù)?【解析】設(shè)這個(gè)六位數(shù)為，則有、的差為0或11的倍數(shù)且a、b、c、d、e、f均不為0，任何一個(gè)數(shù)作為首位都是一個(gè)六位數(shù)。先考慮a、c、e偶數(shù)位內(nèi)，b、d、f奇數(shù)位內(nèi)的組內(nèi)交換，有×=36種順序；再考慮形如這種奇數(shù)位與偶數(shù)位的組間調(diào)換，也有×=36種順序。所以，用均不為0的a、b、c、d、e、f最少可排出36+36=72個(gè)能被11整除的數(shù)(包含原來(lái)的)。所以最少還能排出72-1=71個(gè)能被11整除的六位數(shù)。【例題十六】已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次甲、乙兩名參賽者去詢(xún)問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的”從這個(gè)回答分析，5人的名次排列共有多少種不同的情況？【解析】這道題乍一看不太像是排列問(wèn)題，這就需要靈活地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化仔細(xì)審題，已知“甲和乙都未拿到冠軍”，而且“乙不是最差的”，也就等價(jià)于人排成一排，甲、乙都不站在排頭且乙不站在排尾的排法數(shù)，因?yàn)橐业南拗谱疃?，所以先排乙，有種排法，再排甲，也有種排法，剩下的人隨意排，有(種)排法解：根據(jù)乘法原理得：一共有(種)不同的排法?！纠}十七】名男生，名女生，全體排成一行，問(wèn)下列情形各有多少種不同的排法： 甲不在中間也不在兩端； 甲、乙兩人必須排在兩端； 男、女生分別排在一起； 男女相間【解析】 先排甲，個(gè)位置除了中間和兩端之外的個(gè)位置都可以，有種選擇，剩下的個(gè)人隨意排，也就是個(gè)元素全排列的問(wèn)題，有(種)選擇解：根據(jù)乘法原理得：共有(種)排法 甲、乙先排，有(種)排法；剩下的個(gè)人隨意排，有(種)排法解：根據(jù)乘法原理得：共有(種)排法 分別把男生、女生看成一個(gè)整體進(jìn)行排列，有(種)不同排列方法，再分別對(duì)男生、女生內(nèi)部進(jìn)行排列，分別是個(gè)元素與個(gè)元素的全排列問(wèn)題，分別有(種)和(種)排法解：根據(jù)乘法原理得：共有(種)排法 先排名男生，有(種)排法，再把名女生排到個(gè)空檔中，有(種)排法解：根據(jù)乘法原理得：一共有(種)排法?！纠}十八】一臺(tái)晚會(huì)上有個(gè)演唱節(jié)目和個(gè)舞蹈節(jié)目求： 當(dāng)個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí)，有多少不同的安排節(jié)目的順序？ 當(dāng)要求每個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排個(gè)演唱節(jié)目時(shí)，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？【解析】 先將個(gè)舞蹈節(jié)目看成個(gè)節(jié)目，與個(gè)演唱節(jié)目一起排，則是個(gè)元素全排列的問(wèn)題，有(種)方法第二步再排個(gè)舞蹈節(jié)目，也就是個(gè)舞蹈節(jié)目全排列的問(wèn)題，有(種)方法解：根據(jù)乘法原理得：一共有(種)方法 首先將個(gè)演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“”)，是個(gè)元素全排列的問(wèn)題，一共有(種)方法×××××××第二步，再將個(gè)舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或個(gè)演唱節(jié)目之間(即上圖中“×”的位置)，這相當(dāng)于從個(gè)“×”中選個(gè)來(lái)排，一共有(種)方法解：根據(jù)乘法原理得：一共有(種)方法?！纠}十九】從1，2，8中任取3個(gè)數(shù)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有多少個(gè)？（只要求列式）從8位候選人中任選三位分別任團(tuán)支書(shū)，組織委員，宣傳委員，共有多少種不同的選法？3位同學(xué)坐8個(gè)座位，每個(gè)座位坐1人，共有幾種坐法？8個(gè)人坐3個(gè)座位，每個(gè)座位坐1人，共有多少種坐法？一火車(chē)站有8股車(chē)道，停放3列火車(chē)，有多少種不同的停放方法？8種不同的菜籽，任選3種種在不同土質(zhì)的三塊土地上，有多少種不同的種法？【解析】按順序，有百位、十位、個(gè)位三個(gè)位置，8個(gè)數(shù)字（8個(gè)元素）取出3個(gè)往上排，有種3種職務(wù)3個(gè)位置，從8位候選人（8個(gè)元素）任取3位往上排，有種3位同學(xué)看成是三個(gè)位置，任取8個(gè)座位號(hào)（8個(gè)元素）中的3個(gè)往上排（座號(hào)找人），每確定一種號(hào)碼即對(duì)應(yīng)一種坐法，有種3個(gè)坐位排號(hào)1，2，3三個(gè)位置，從8人中任取3個(gè)往上排（人找座位），有種3列火車(chē)編為1，2，3號(hào)，從8股車(chē)道中任取3股往上排，共有種土地編1，2，3號(hào)，從8種菜籽中任選3種往上排，有種。【例題二十】某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個(gè)階段進(jìn)行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個(gè)小組，每組6人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第二階段：將8個(gè)小組產(chǎn)生的前2名共16人再分成個(gè)小組，每組人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第三階段：由4個(gè)小組產(chǎn)生的個(gè)第名進(jìn)行場(chǎng)半決賽和場(chǎng)決賽，確定至名的名次問(wèn)：整個(gè)賽程一共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？【解析】第一階段中，每個(gè)小組內(nèi)部的個(gè)人每人要賽一場(chǎng)，組內(nèi)賽場(chǎng)，共個(gè)小組，有場(chǎng)；第二階段中，每個(gè)小組內(nèi)部人中每人賽一場(chǎng)，組內(nèi)賽場(chǎng)，共個(gè)小組，有場(chǎng)；第三階段賽場(chǎng)解：根據(jù)乘法原理得：整個(gè)賽程一共有場(chǎng)比賽?！纠}二十一】由數(shù)字1，2，3組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中1，2，3至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有_個(gè)。(2007年“迎春杯”高年級(jí)組決賽)【解析】這是一道組合計(jì)數(shù)問(wèn)題由于題目中僅要求，至少各出現(xiàn)一次，沒(méi)有確定，出現(xiàn)的具體次數(shù)，所以可以采取分類(lèi)枚舉的方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，也可以從反面想，從由組成的五位數(shù)中，去掉僅有個(gè)或個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)即可(法1)分兩類(lèi)：，中恰有一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)次，這樣的數(shù)有(個(gè))；，中有兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)次，這樣的數(shù)有(個(gè))符合題意的五位數(shù)共有(個(gè))(法2)從反面想，由，組成的五位數(shù)共有個(gè)，由，中的某個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)共有個(gè)，由，中的某個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)共有個(gè)，所以符合題意的五位數(shù)共有(個(gè))?！纠}二十二】個(gè)人圍成一圈，從中選出兩個(gè)不相鄰的人，共有多少種不同選法？ 【解析】(法1)乘法原理按題意，分別站在每個(gè)人的立場(chǎng)上，當(dāng)自己被選中后，另一個(gè)被選中的，可以是除了自己和左右相鄰的兩人之外的所有人，每個(gè)人都有種選擇，總共就有種選擇，但是需要注意的是，選擇的過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)“選了甲、乙，選了乙、甲”這樣的情況本來(lái)是同一種選擇，而卻算作了兩種，所以最后的結(jié)果應(yīng)該是()(種)(法2)排除法可以從所有的兩人組合中排除掉相鄰的情況，總的組合數(shù)為，而被選的兩個(gè)人相鄰的情況有種，所以共有(種)?！纠}二十三】8個(gè)人站隊(duì)，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？【解析】冬冬要站在小悅和阿奇的中間，就意味著只要為這三個(gè)人選定了三個(gè)位置，中間的位置就一定要留給冬冬，而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇小慧和大智不能相鄰的互補(bǔ)事件是小慧和大智必須相鄰小光和大亮必須相鄰，則可以將兩人捆綁考慮只滿足第一、三個(gè)條件的站法總數(shù)為：（種）同時(shí)滿足第一、三個(gè)條件，滿足小慧和大智必須相鄰的站法總數(shù)為：（種）因此同時(shí)滿足三個(gè)條件的站法總數(shù)為：（種）?！纠}二十四】小明有10塊大白兔奶糖,從今天起,每天至少吃一塊.那么他一共有多少種不同的吃法?【解析】我們將10塊大白兔奶糖從左至右排成一列,如果在其中9個(gè)間隙中的某個(gè)位置插入“木棍”,則將lO塊糖分成了兩部分。我們記從左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,，如:|表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒： | | 表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒不難知曉,每一種插入方法對(duì)應(yīng)一種吃法,而9個(gè)間隙,每個(gè)間隙可以插人也可以不插入,且相互獨(dú)立，故共有29=512種不同的插入方法,即512種不同的吃法?！纠}二十五】某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有個(gè)成人和個(gè)兒童要分乘這些游船，為安全起見(jiàn)，有兒童乘坐的游船上必須至少有個(gè)成人陪同，那么他們?nèi)顺俗@三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？【解析】由于有兒童乘坐的游船上必須至少有個(gè)成人陪同，所以?xún)和荒艹俗暨@人都不乘坐船，則恰好坐滿兩船，若兩個(gè)兒童在同一條船上，只能在船上，此時(shí)船上還必須有個(gè)成人，有種方法；若兩個(gè)兒童不在同一條船上，即分別在兩船上，則船上有個(gè)兒童和個(gè)成人，個(gè)兒童有種選擇，個(gè)成人有種選擇，所以有種方法故人都不乘坐船有種安全方法；若這人中有人乘坐船，這個(gè)人必定是個(gè)成人，有種選擇其余的個(gè)成人與個(gè)兒童，若兩個(gè)兒童在同一條船上，只能在船上，此時(shí)船上還必須有個(gè)成人，有種方法，所以此時(shí)有種方法；若兩個(gè)兒童不在同一條船上，那么船上有個(gè)兒童和個(gè)成人，此時(shí)個(gè)兒童和個(gè)成人均有種選擇，所以此種情況下有種方法；故人中有人乘坐船有種安全方法所以，共有種安全乘法【例題二十六】從名男生，名女生中選出人參加游泳比賽在下列條件下，分別有多少種選法？恰有名女生入選；至少有兩名女生入選；某兩名女生，某兩名男生必須入選；某兩名女生，某兩名男生不能同時(shí)入選；某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人?！窘馕觥壳∮忻脒x，說(shuō)明男生有人入選，應(yīng)為種；要求至少兩名女生人選，那么“只有一名女生入選”和“沒(méi)有女生入選”都不符合要求運(yùn)用包含與排除的方法，從所有可能的選法中減去不符合要求的情況：；人必須入選，則從剩下的人中再選出另外人，有種；從所有的選法種中減去這個(gè)人同時(shí)入選的種：分三類(lèi)情況：人無(wú)人入選；人僅有人入選；人中有人入選，共：?！纠}二十七】在10名學(xué)生中，有5人會(huì)裝電腦，有3人會(huì)安裝音響設(shè)備，其余2人既會(huì)安裝電腦，又會(huì)安裝音響設(shè)備，今選派由人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要人，安裝音響設(shè)備要人，共有多少種不同的選人方案？【解析】按具有雙項(xiàng)技術(shù)的學(xué)生分類(lèi)： 兩人都不選派，有(種)選派方法； 兩人中選派人，有種選法而針對(duì)此人的任務(wù)又分兩類(lèi)：若此人要安裝電腦，則還需人安裝電腦，有(種)選法，而另外會(huì)安裝音響設(shè)備的人全選派上，只有種選法由乘法原理，有(種)選法；若此人安裝音響設(shè)備，則還需從人中選人安裝音響設(shè)備，有(種)選法，需從人中選人安裝電腦，有(種)選法由乘法原理，有(種)選法根據(jù)加法原理，有(種)選法；綜上所述，一共有(種)選派方法 兩人全派，針對(duì)兩人的任務(wù)可分類(lèi)討論如下：兩人全安裝電腦，則還需要從人中選人安裝電腦，另外會(huì)安裝音響設(shè)備的人全選上安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案；兩人一個(gè)安裝電腦，一個(gè)安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案；兩人全安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案根據(jù)加法原理，共有(種)選派方案綜合以上所述，符合條件的方案一共有(種)【例題二十八】有11名外語(yǔ)翻譯人員，其中名是英語(yǔ)翻譯員，名是日語(yǔ)翻譯員，另外兩名英語(yǔ)、日語(yǔ)都精通從中找出人，使他們組成兩個(gè)翻譯小組，其中人翻譯英文，另人翻譯日文，這兩個(gè)小組能同時(shí)工作問(wèn)這樣的分配名單共可以開(kāi)出多少?gòu)垼俊窘馕觥酷槍?duì)兩名英語(yǔ)、日語(yǔ)都精通人員(以下稱(chēng)多面手)的參考情況分成三類(lèi)： 多面手不參加，則需從名英語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇由乘法原理，有種選擇 多面手中有一人入選，有種選擇，而選出的這個(gè)人又有參加英文或日文翻譯兩種可能：如果參加英文翻譯，則需從名英語(yǔ)翻譯員中再選出人，有種選擇，需從名日語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇由乘法原理，有種選擇；如果參加日文翻譯，則需從名英語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語(yǔ)翻譯員中再選出名，有種選擇由乘法原理，有種選擇根據(jù)加法原理，多面手中有一人入選，有種選擇 多面手中兩人均入選，對(duì)應(yīng)一種選擇，但此時(shí)又分三種情況：兩人都譯英文；兩人都譯日文；兩人各譯一個(gè)語(yǔ)種情況中，還需從名英語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇需從名日語(yǔ)翻譯員中選人，種選擇由乘法原理，有種選擇情況中，需從名英語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇還需從名日語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇根據(jù)乘法原理，共有種選擇情況中，兩人各譯一個(gè)語(yǔ)種，有兩種安排即兩種選擇剩下的需從名英語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇由乘法原理，有種選擇根據(jù)加法原理，多面手中兩人均入選，一共有種選擇綜上所述，由加法原理，這樣的分配名單共可以開(kāi)出張THANKS !致力為企業(yè)和個(gè)人提供合同協(xié)議，策劃案計(jì)劃書(shū)，學(xué)習(xí)課件等等打造全網(wǎng)一站式需求歡迎您的下載，資料僅供參考-可編輯修改-