2013年全國高考數(shù)學 試題分類匯編4 數(shù)列

2013年全國高考理科數(shù)學試題分類匯編4：數(shù)列一、選擇題 （2013年高考上海卷（理）在數(shù)列中,若一個7行12列的矩陣的第i行第j列的元素,()則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個數(shù)為( )(A)18 (B)28 (C)48 (D)63【答案】A. （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學（理）WORD版含答案（已校對）已知數(shù)列滿足,則的前10項和等于(A) (B) (C) (D)【答案】C （2013年高考新課標1（理）設的三邊長分別為,的面積為,若,則()A.Sn為遞減數(shù)列 B.Sn為遞增數(shù)列C.S2n-1為遞增數(shù)列,S2n為遞減數(shù)列D.S2n-1為遞減數(shù)列,S2n為遞增數(shù)列【答案】B （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學（理）試題（純WORD版）函數(shù)的圖像如圖所示,在區(qū)間上可找到個不同的數(shù)使得則的取值范圍是(A) (B) (C) (D)【答案】B （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學（理）試題（純WORD版）已知等比數(shù)列的公比為q,記則以下結論一定正確的是( )A.數(shù)列為等差數(shù)列,公差為 B.數(shù)列為等比數(shù)列,公比為C.數(shù)列為等比數(shù)列,公比為 D.數(shù)列為等比數(shù)列,公比為【答案】C （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試新課標卷數(shù)學（理）（純WORD版含答案）等比數(shù)列的前項和為,已知,則(A) (B) (C) (D)【答案】C （2013年高考新課標1（理）設等差數(shù)列的前項和為,則 ( )A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學（理）試題（WORD版）下面是關于公差的等差數(shù)列的四個命題: 其中的真命題為(A) (B) (C) (D)【答案】D （2013年高考江西卷（理）等比數(shù)列x,3x+3,6x+6,.的第四項等于A.-24 B.0 C.12 D.24【答案】A 二、填空題（2013年高考四川卷（理）在等差數(shù)列中,且為和的等比中項,求數(shù)列的首項、公差及前項和.【答案】解:設該數(shù)列公差為,前項和為.由已知,可得 . 所以, 解得,或,即數(shù)列的首相為4,公差為0,或首相為1,公差為3. 所以數(shù)列的前項和或 （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試新課標卷數(shù)學（理）（純WORD版含答案）等差數(shù)列的前項和為,已知,則的最小值為_.【答案】 （2013年高考湖北卷（理）古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1,3,6,10,第個三角形數(shù)為.記第個邊形數(shù)為,以下列出了部分邊形數(shù)中第個數(shù)的表達式:三角形數(shù) 正方形數(shù) 五邊形數(shù) 六邊形數(shù) 可以推測的表達式,由此計算_.選考題【答案】1000 （2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學）（已校對純WORD版含附加題）在正項等比數(shù)列中,則滿足的最大正整數(shù) 的值為_.【答案】12 （2013年高考湖南卷（理）設為數(shù)列的前n項和,則(1)_; (2)_.【答案】; （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學（理）試題（純WORD版）當時,有如下表達式:兩邊同時積分得:從而得到如下等式: 請根據(jù)以下材料所蘊含的數(shù)學思想方法,計算:【答案】 （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學（理）試題（含答案）已知是等差數(shù)列,公差,為其前項和,若成等比數(shù)列,則【答案】 （2013年上海市春季高考數(shù)學試卷(含答案)）若等差數(shù)列的前6項和為23,前9項和為57,則數(shù)列的前項和_.【答案】 （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學（理）卷（純WORD版）在等差數(shù)列中,已知,則_.【答案】 （2013年高考陜西卷（理）觀察下列等式: 照此規(guī)律, 第n個等式可為_. 【答案】 （2013年高考新課標1（理）若數(shù)列的前n項和為Sn=,則數(shù)列的通項公式是=_.【答案】=. （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學（理）試題（純WORD版）如圖,互不-相同的點和分別在角O的兩條邊上,所有相互平行,且所有梯形的面積均相等.設若則數(shù)列的通項公式是_.【答案】 （2013年高考北京卷（理）若等比數(shù)列an滿足a2+a4=20,a3+a5=40,則公比q=_;前n項和Sn=_.【答案】2, （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學（理）試題（WORD版）已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列,是的前項和,若是方程的兩個根,則_.【答案】63 三、解答題（2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學（理）試題（純WORD版）設函數(shù),證明:()對每個,存在唯一的,滿足;()對任意,由()中構成的數(shù)列滿足.【答案】解: () 是x的單調(diào)遞增函數(shù),也是n的單調(diào)遞增函數(shù). . 綜上,對每個,存在唯一的,滿足;(證畢) () 由題知 上式相減: . 法二: （2013年高考上海卷（理）(3 分+6分+9分)給定常數(shù),定義函數(shù),數(shù)列滿足.(1)若,求及;(2)求證:對任意,;(3)是否存在,使得成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的,若不存在,說明理由.【答案】:(1)因為,故, (2)要證明原命題,只需證明對任意都成立, 即只需證明 若,顯然有成立; 若,則顯然成立 綜上,恒成立,即對任意的, (3)由(2)知,若為等差數(shù)列,則公差,故n無限增大時,總有 此時, 即 故, 即, 當時,等式成立,且時,此時為等差數(shù)列,滿足題意; 若,則, 此時,也滿足題意; 綜上,滿足題意的的取值范圍是. （2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學）（已校對純WORD版含附加題）本小題滿分10分.設數(shù)列,即當時,記,對于,定義集合(1)求集合中元素的個數(shù); (2)求集合中元素的個數(shù).【答案】本題主要考察集合.數(shù)列的概念與運算.計數(shù)原理等基礎知識,考察探究能力及運用數(shù)學歸納法分析解決問題能力及推理論證能力. (1)解:由數(shù)列的定義得:, , , 集合中元素的個數(shù)為5 (2)證明:用數(shù)學歸納法先證 事實上, 當時, 故原式成立 假設當時,等式成立,即 故原式成立 則:,時, 綜合得: 于是 由上可知:是的倍數(shù) 而,所以是 的倍數(shù) 又不是的倍數(shù), 而 所以不是的倍數(shù) 故當時,集合中元素的個數(shù)為 于是當時,集合中元素的個數(shù)為 又 故集合中元素的個數(shù)為 （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學（理）試題（純WORD版）在公差為的等差數(shù)列中,已知,且成等比數(shù)列.(1)求; (2)若,求【答案】解:()由已知得到: ; ()由(1)知,當時, 當時, 當時, 所以,綜上所述:; （2013年高考湖北卷（理）已知等比數(shù)列滿足:,.(I)求數(shù)列的通項公式;(II)是否存在正整數(shù),使得?若存在,求的最小值;若不存在,說明理由.【答案】解:(I)由已知條件得:,又, 所以數(shù)列的通項或 (II)若,不存在這樣的正整數(shù); 若,不存在這樣的正整數(shù). （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學（理）試題（含答案）設等差數(shù)列的前n項和為,且,.()求數(shù)列的通項公式;()設數(shù)列前n項和為,且 (為常數(shù)).令.求數(shù)列的前n項和.【答案】解:()設等差數(shù)列的首項為,公差為, 由,得 , 解得, 因此 ()由題意知: 所以時, 故, 所以, 則 兩式相減得 整理得 所以數(shù)列數(shù)列的前n項和 （2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學）（已校對純WORD版含附加題）本小題滿分16分.設是首項為,公差為的等差數(shù)列,是其前項和.記,其中為實數(shù).(1)若,且成等比數(shù)列,證明:(); (2)若是等差數(shù)列,證明:.【答案】證明:是首項為,公差為的等差數(shù)列,是其前項和 (1) 成等比數(shù)列 左邊= 右邊= 左邊=右邊原式成立 (2)是等差數(shù)列設公差為,帶入得: 對恒成立 由式得: 由式得: 法二:證:(1)若,則,. 當成等比數(shù)列, 即:,得:,又,故. 由此:,. 故:(). (2), . () 若是等差數(shù)列,則型. 觀察()式后一項,分子冪低于分母冪, 故有:,即,而0, 故. 經(jīng)檢驗,當時是等差數(shù)列. （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學（理）WORD版含答案（已校對）等差數(shù)列的前項和為,已知,且成等比數(shù)列,求的通項式.【答案】 （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學（理）試題（含答案）已知首項為的等比數(shù)列不是遞減數(shù)列, 其前n項和為, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差數(shù)列. () 求數(shù)列的通項公式; () 設, 求數(shù)列的最大項的值與最小項的值. 【答案】 （2013年高考江西卷（理）正項數(shù)列an的前項和an滿足:(1)求數(shù)列an的通項公式an;(2)令,數(shù)列bn的前項和為.證明:對于任意的,都有【答案】(1)解:由,得. 由于是正項數(shù)列,所以. 于是時,. 綜上,數(shù)列的通項. (2)證明:由于. 則. . （2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學（理）卷（純WORD版）設數(shù)列的前項和為.已知,.() 求的值;() 求數(shù)列的通項公式;() 證明:對一切正整數(shù),有.【答案】.(1) 解: ,. 當時, 又, (2)解: ,. 當時, 由 ,得 數(shù)列是以首項為,公差為1的等差數(shù)列. 當時,上式顯然成立. (3)證明:由(2)知, 當時,原不等式成立. 當時, ,原不等式亦成立. 當時, 當時,原不等式亦成立. 綜上,對一切正整數(shù),有. （2013年高考北京卷（理）已知an是由非負整數(shù)組成的無窮數(shù)列,該數(shù)列前n項的最大值記為An,第n項之后各項,的最小值記為Bn,dn=An-Bn .(I)若an為2,1,4,3,2,1,4,3,是一個周期為4的數(shù)列(即對任意nN*,),寫出d1,d2,d3,d4的值;(II)設d為非負整數(shù),證明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要條件為an為公差為d的等差數(shù)列; (III)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),則an的項只能是1或者2,且有無窮多項為1.【答案】(I) (II)(充分性)因為是公差為的等差數(shù)列,且,所以 因此,. (必要性)因為,所以. 又因為,所以. 于是,. 因此,即是公差為的等差數(shù)列. (III)因為,所以,.故對任意. 假設中存在大于2的項. 設為滿足的最小正整數(shù),則,并且對任意,. 又因為,所以,且. 于是,. 故,與矛盾. 所以對于任意,有,即非負整數(shù)列的各項只能為1或2. 因此對任意,所以. 故. 因此對于任意正整數(shù),存在滿足,且,即數(shù)列有無窮多項為1. （2013年高考陜西卷（理）設是公比為q的等比數(shù)列. () 導的前n項和公式; () 設q1, 證明數(shù)列不是等比數(shù)列. 【答案】解:() 分兩種情況討論. . 上面兩式錯位相減: . 綜上, () 使用反證法. 設是公比q1的等比數(shù)列, 假設數(shù)列是等比數(shù)列.則 當=0成立,則不是等比數(shù)列. 當成立,則 .這與題目條件q1矛盾. 綜上兩種情況,假設數(shù)列是等比數(shù)列均不成立,所以當q1時, 數(shù)列不是等比數(shù)列.