2012年高考數(shù)學 考點46 隨機抽樣、用樣本估計總體、變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例

考點46 隨機抽樣、用樣本估計總體、變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例一、選擇題1. （2012·湖北高考文科·2）容量為20的樣本數(shù)據(jù),分組后的頻數(shù)如下表:分組10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)60,70)頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間10,40)的頻率為()(A)0.35 (B)0.45 (C)0.55 (D)0.65【解題指南】解答本題先要讀懂頻數(shù)分布表,再結(jié)合頻率的求法求解.【解析】選B.數(shù)據(jù)落在區(qū)間10,40)內(nèi)的頻數(shù)為9,樣本容量為20,所求頻率P=0.45.2.（2012·湖南高考文科·5）與（2012·湖南高考理科·4）相同設(shè)某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的回歸方程為，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過樣本點的中心（，）C.若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg【解題指南】根據(jù)線性相關(guān)，回歸直線，樣本點的中心等相關(guān)概念判斷.【解析】選D. 選項具體分析結(jié)論Ax的系數(shù)大于零正相關(guān)；正確B回歸直線一定過樣本點中心；由回歸直線方程的計算公式可知直線必過點正確C由一次函數(shù)的單調(diào)性知，x每增加1cm，體重均增加0.85kg，是估計變量；正確D體重應(yīng)約為58.79kg，是估計變量。不正確3. （2012·陜西高考文科·3）對某商店一個月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進行了統(tǒng)計,得到樣本的莖葉圖(如圖所示),則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是（ ）(A)46，45，56 (B) 46，45，53 (C) 47，45，56 (D) 45，47，53 【解題指南】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、極差的概念進行計算，注意觀察莖葉圖中的數(shù)據(jù). 【解析】選A. 莖葉圖中共有30個數(shù)據(jù)，所以中位數(shù)是第15個和第16個數(shù)字的平均數(shù)，即，排除C，D；再計算極差，最小數(shù)據(jù)是12，最大數(shù)據(jù)是68，所以，故選A.4.（2012·陜西高考理科·6）從甲乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機，對其銷售額進行統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示（如圖所示）.設(shè)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為、，中位數(shù)分別為、，則（ ）(A) ，(B) ，(C) ，(D) ，【解題指南】平均數(shù)的大小可以根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)的分布的集中位置進行判斷,中位數(shù)則需要確定第8個數(shù)與第9個數(shù)的平均值,然后再比較大?。换蛑苯痈鶕?jù)平均數(shù)和中位數(shù)的計算公式進行計算.【解析】選B.解法一：觀察莖葉圖可知，甲組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是，乙組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是，.解法二：,所以，又，,故選B.5.（2012·安徽高考理科·5）甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則( ) 甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù) 甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù) 甲的成績的方差小于乙的成績的方差 甲的成績的極差小于乙的成績的極差【解題指南】根據(jù)平均數(shù)、方差、中位數(shù)的定義計算即可.【解析】選.,甲的成績的方差為，乙的成績的方差為.6. （2012·新課標全國高考文科·3）在一組樣本數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）（n2，x1,x2,xn不全相等）的散點圖中，若所有樣本點（xi，yi）(i=1,2,n)都在直線y=x+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（ ） （A）1 （B）0 （C） （D）1【解題指南】理清相關(guān)系數(shù)與相關(guān)性強弱的關(guān)系是解決本題關(guān)鍵.【解析】選D. 樣本相關(guān)系數(shù)越接近1,相關(guān)性越強，現(xiàn)在所有的樣本點都在直線上，樣本的相關(guān)系數(shù)應(yīng)為1.7.（2012·江西高考文科·6）小波一星期的總開支分布圖如圖（1）所示，一星期的食品開支如圖（2）所示，則小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為（ ）A.30 B.10 C.3 D.不能確定【解題指南】讀圖，理清雞蛋開支、食品開支與總開支之間的百分比關(guān)系.【解析】選C.由圖2知，小波一星期的食品開支為300元，其中雞蛋開支為30元，占食品開支的10%，而食品開支占總開支的30%，所以小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為3%.8. （2012·江西高考理科·9）樣本的平均數(shù)為，樣本的平均數(shù)為.若樣本的平均數(shù)，其中，則的大小關(guān)系為（ ）A. B. C. D.不能確定【解題指南】用表示出，結(jié)合已知條件，建立所滿足的關(guān)系式，由的范圍獲得所滿足的不等關(guān)系，進而判斷出與的大小關(guān)系.【解析】選A.由已知得，整理得，即，又，.9.（2012·山東高考文科·4）在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)都加2后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是( ) (A)眾數(shù)(B)平均數(shù)(C)中位數(shù)(D)標準差【解題指南】本題考查樣本的數(shù)字特征來估計總體.【解析】選D. B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)都加2后所得數(shù)據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)比原來的都多2，而標準差不變.10.（2012·山東高考理科·4）采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號為1,2，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間的人做問卷，編號落入?yún)^(qū)間的人做問卷，其余的人做問卷.則抽到的人中，做問卷的人數(shù)為( )（A）7 （B）9 （C）10 （D）15【解題指南】本題考查系統(tǒng)抽樣方法和數(shù)列項數(shù)的計算方式，由系統(tǒng)抽樣抽出的數(shù)的編號是等差數(shù)列.【解析】選C. 采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人，將整體分成32組，每組30人，即，第k組的號碼為，令，而，解得，則滿足的整數(shù)k有10個，故答案應(yīng)選C. 二、填空題11.（2012·天津高考理科·9）某地區(qū)有小學150所，中學75所，大學25所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學校中抽取30所學校對學生進行視力調(diào)查，應(yīng)從小學中抽取_所學校，中學中抽取_所學校.【解題指南】根據(jù)抽取樣本的比例計算.【解析】分層抽樣也叫按比例抽樣，由題知學?？倲?shù)為250所，所以應(yīng)從小學中抽取（人），同理可得從中學中抽?。ㄈ耍?【答案】18 9.12. （2012·山東高考文科·14）右圖是根據(jù)部分城市某年6月份的平均氣溫(單位：)數(shù)據(jù)得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是20.5，26.5，樣本數(shù)據(jù)的分組為，.已知樣本中平均氣溫低于22.5的城市個數(shù)為11，則樣本中平均氣溫不低于25.5的城市個數(shù)為.【解題指南】本題考查頻率分布直方圖，關(guān)鍵是抓住縱軸表示的是頻率/組距.【解析】最左邊兩個矩形面積之和為0.10×1+0.12×10.22，總城市數(shù)為11÷0.2250，最右面矩形面積為0.18×10.18，50×0.189.【答案】9.13.（2012·湖北高考文科·11）一支田徑運動隊有男運動員56人，女運動員42人.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的男運動員有8人，則抽取的女運動員有_人.【解題指南】本題考查分層抽樣,解答本題的關(guān)鍵是求出入樣率.【解析】選X. 由,可知結(jié)果.【答案】6.14.（2012·浙江高考文科·11）某個年級有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從該年級全體學生中抽取一個容量為280的樣本，則此樣本中男生人數(shù)為_.【解題指南】考查隨機抽樣的方法,利用抽樣比乘以組內(nèi)人數(shù)即可求出.【解析】此樣本中男生人數(shù)為.【答案】160.15.（2012·廣東高考文科·13）由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標準差等于1，則這組數(shù)據(jù)為 .（從小到大排列）【解題指南】本題是考查統(tǒng)計的有關(guān)知識，要知道平均數(shù)及中位數(shù)（按從小到大或從大到小的順序排列，若奇數(shù)個數(shù)據(jù)取中間的數(shù)，若偶數(shù)個數(shù)據(jù)取中間兩個數(shù)的平均數(shù)）的求法，以及標準差公式。利用平均數(shù)、中位數(shù)、標準差公式分類討論求解. 【解析】假設(shè)這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為則又同理可求得由均為正整數(shù)，且均為圓上的點，分析知應(yīng)為1,1,3,3.【答案】1,1,3,3.16.（2012·福建高考文科·14）一支田徑隊有男女運動員98人，其中男運動員有56人。按男女比例用分層抽樣的方法，從全體運動員中抽出一個容量為28的樣本，那么應(yīng)抽取女運動員人數(shù)是_.【解題指南】女運動員本來占多大的比例，抽取后也應(yīng)該占多大的比例，這就是分層抽樣的精髓. 【解析】由題意知，女運動員數(shù)為42，因此抽取的女運動員為.【答案】.17.（2012·江蘇高考·2）某學校高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比是3：3：4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取_名學生.【解題指南】關(guān)鍵算出高二學生人數(shù)在總數(shù)中的比例,通過頻率公式求解.【解析】高二年級學生人數(shù)占總數(shù)的，所以樣本容量為50，則50×=15.【答案】15.18.（2012·遼寧高考文科·T19）電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查，其中女性有55名。下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖；將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性.()根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計男女合計 ()將日均收看該體育項目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”中有2名女性，若從“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率.附【解題指南】(1)據(jù)頻率分布直方圖可計算“體育迷”， “非體育迷”人數(shù)，按照提供的公式，計算相關(guān)數(shù)值，與所給數(shù)據(jù)比較，獲得結(jié)論；（2）將所有的基本事件羅列，很容易解決問題.【解析】由所給的頻率分布直方圖知，“體育迷”人數(shù)為“非體育迷”人數(shù)為75，則據(jù)題意完成列聯(lián)表：非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100將列聯(lián)表的數(shù)據(jù)代入公式計算：因為，所以沒有理由認為“體育迷”與性別有關(guān).（2）由所給的頻率分布直方圖知“超級體育迷”人數(shù)為，記表示男性，表示女性，所有可能結(jié)果構(gòu)成的基本事件空間為，共有10個基本事件組成，且每個基本事件出現(xiàn)是等可能的；用A表示事件“任選2人，至少1名女性”，則，共有7個基本事件組成，故“任選2人，至少1名女性”的概率為.19. （2012·安徽高考文科·18）若某產(chǎn)品的直徑長與標準值的差的絕對值不超過1mm 時，則視為合格品，否則視為不合格品.在近期一次產(chǎn)品抽樣檢查中，從某廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中，隨機抽取5000件進行檢測，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有50件不合格品.計算這50件不合格品的直徑長與標準值的差（單位：mm）, 將所得數(shù)據(jù)分組，得到如下頻率分布表：分組頻數(shù)頻率-3, -2)0.10-2, -1)8（1,20.50（2,310（3,4合計501.00（）將上面表格中缺少的數(shù)據(jù)填在答題卡的相應(yīng)位置；（）估計該廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中，不合格品的直徑長與標準值的差落在區(qū)間（1,3內(nèi)的概率；（）現(xiàn)對該廠這種產(chǎn)品的某個批次進行檢查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有20件不合格品.據(jù)此估算這批產(chǎn)品中的合格品的件數(shù).【解題指南】（1）利用頻率=頻數(shù)/樣本總數(shù)；（2）利用頻率估計概率；【解析】（I）分組頻數(shù)頻率-3, -2)0.1-2, -1)8（1,20.5（2,310（3,4合計501（）不合格品的直徑長與標準值的差落在區(qū)間（1,3內(nèi)的概率為.（）合格品的件數(shù)為（件）答：（）不合格品的直徑長與標準值的差落在區(qū)間（1,3內(nèi)的概率為（）合格品的件數(shù)為（件）.20.（2012·湖南高考文科·17）（本小題滿分12分）某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)（人）302510結(jié)算時間（分鐘/人）11.522.53已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55.（）確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；（）求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率.（將頻率視為概率）【解題指南】本題考查概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識，考查運算能力、分析問題能力.第一問中根據(jù)統(tǒng)計表和100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55，知從而解得，再用樣本估計總體，得出顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值的估計值；第二問，通過設(shè)事件，判斷事件之間互斥關(guān)系，從而求得一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率.【解析】（）由已知得，該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為一個容量為100的簡單隨機樣本，顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計，其估計值為:(分鐘).（）記A為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘”，分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1分鐘”， “該顧客一次購物的結(jié)算時間為分鐘”， “該顧客一次購物的結(jié)算時間為2分鐘”.將頻率視為概率，得.是互斥事件，.故一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率為.21.（2012·福建高考文科·18）某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價x (元)88.28.48.68.89銷量y (件)908483807568（）求回歸直線方程，其中，；（）預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（I）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？（利潤=銷售收入成本）【解題指南】本題主要考查回歸分析、一元二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、應(yīng)用意識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想【解析】（）由于，所以，從而回歸直線方程為（）設(shè)工廠獲得的利潤為元，依題意得當且僅當時，取得最大值，故當單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤22.（2012·廣東高考文科·17）某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：. （1）求圖中的值； （2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分. （3）若這100名學生語文成績某些分數(shù)段的人數(shù)（x）與數(shù)學成績相應(yīng)分數(shù)段的人數(shù)（y）之比如下表所示，求數(shù)學成績在之外的人數(shù).【解題指南】(1)本小題根據(jù)每個區(qū)間上的矩形的面積和為1，可建立關(guān)于a的方程，解出a的值.(2)由頻率分布直方圖求平均分：每個區(qū)間的中點值乘以區(qū)間上矩形面積之和.(3)本題關(guān)鍵是先把語文成績在的人數(shù)求出來.根據(jù)每段的頻率求出每段的頻數(shù).【解析】(1)由頻率分布直方圖知.(2).所以平均分為73分.(3) 分別求出語文成績分數(shù)段在的人數(shù)依次為.所以數(shù)學成績分數(shù)段在的人數(shù)依次為:5,20,40,25.所以在之外的人數(shù)有(人).