《義務(wù)教育教科書 數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)教材介紹

義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)教材介紹根據(jù)新頒布的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版），并結(jié)合過(guò)去十幾年教師、學(xué)生及社會(huì)各界對(duì)教材提出 的意見(jiàn)和建議，我們對(duì)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（以下簡(jiǎn)稱實(shí)驗(yàn)教材）進(jìn)行了全面而系統(tǒng)的修訂，形 成了義務(wù)教育教科書 數(shù)學(xué)。這套教材于 2013 年 3 月全部通過(guò)國(guó)家基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì)的審查， 并已于 2012 年秋季開(kāi)始陸續(xù)使用。2015 年上半年開(kāi)始使用修訂后的下冊(cè)教材。下面對(duì)五年級(jí)下冊(cè)教材內(nèi)容及編排思路的主要變化進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹。本冊(cè)教材包括下面一些內(nèi)容：觀察物體、因數(shù)與倍數(shù)、長(zhǎng)方體和正方體、分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)、圖形的運(yùn)動(dòng)、分 數(shù)的加法和減法、折線統(tǒng)計(jì)圖、數(shù)學(xué)廣角和數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)等。其中因數(shù)與倍數(shù)、長(zhǎng)方體和正方體、分?jǐn)?shù)的意 義和性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的加法和減法、折線統(tǒng)計(jì)圖等是本冊(cè)教材的重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容。和實(shí)驗(yàn)教材相比，有三個(gè)單元的內(nèi)容發(fā)生了較大的變化。一是新增了“觀察物體（三）”；二是“圖形的運(yùn)動(dòng) （三）”將原來(lái)軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)的內(nèi)容分開(kāi)，這里編排旋轉(zhuǎn)的變換；三是“折線統(tǒng)計(jì)圖”將單式折線統(tǒng)計(jì)圖和復(fù)式折 線統(tǒng)計(jì)圖合并起來(lái)編排，不再安排眾數(shù)的學(xué)習(xí)。此外，“因數(shù)與倍數(shù)”中概念的引入方式也進(jìn)行了調(diào)整，綜合與實(shí) 踐活動(dòng)也將原“粉刷墻壁”更換為新的“探索圖形”。在具體編排上，為了更好地體現(xiàn)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）的理念，真正落實(shí)“四基”，發(fā)展“四 能”，我們?cè)诤芏鄡?nèi)容的編排上作出了一些新的嘗試與努力，以期促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上獲得更全面的發(fā)展。如在 數(shù)學(xué)思想方法方面，教材除了結(jié)合因數(shù)與倍數(shù)、長(zhǎng)方體和正方體、分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)、圖形的運(yùn)動(dòng)、分?jǐn)?shù)的加法和 減法、折線統(tǒng)計(jì)圖等知識(shí)，讓學(xué)生體會(huì)、理解和掌握歸納法、符號(hào)思想、分類思想、演繹推理思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù) 形結(jié)合思想、模型思想等思想方法外，還安排了“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、推理 等活動(dòng)讓學(xué)生體會(huì)優(yōu)化、推理、模型和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，體會(huì)解決問(wèn)題策略的多樣性及運(yùn)用優(yōu)化、轉(zhuǎn)化的方法 解決問(wèn)題的有效性，感受數(shù)學(xué)的魅力。在用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題方面，教材結(jié)合分?jǐn)?shù)的加法和減法、長(zhǎng)方體和正方體等多 個(gè)單元，教學(xué)用所學(xué)的知識(shí)解決生活中的簡(jiǎn)單問(wèn)題，掌握解決問(wèn)題的方法和策略。下面分單元具體說(shuō)明。一、觀察物體（三）本單元是在學(xué)生經(jīng)歷了從不同角度觀察實(shí)物和單個(gè)立體圖形以及幾何組合體的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)根據(jù)一 個(gè)或三個(gè)方向觀察到的圖形拼搭出相應(yīng)的幾何組合體，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和空間觀念。是在原來(lái)習(xí)題的基礎(chǔ)上新 增的內(nèi)容。1合理安排，優(yōu)化教材知識(shí)結(jié)構(gòu)根據(jù)兒童已有的經(jīng)驗(yàn)及心理發(fā)展規(guī)律，按從易到難、螺旋上升的編排原則，小學(xué)階段觀察物體分三個(gè)階段進(jìn)行 編排。首先，幫助學(xué)生從直觀觀察立體圖形，頭腦中建立表象，能夠根據(jù)直觀立體圖形進(jìn)行想象；進(jìn)而，分辨不同 方向觀察立體圖形得到的形狀圖；進(jìn)一步，由建立的幾何直觀進(jìn)行空間想象，通過(guò)逆向推理，根據(jù)觀察到的形狀圖 還原立體圖形。這樣按梯度編排，循序漸進(jìn)地促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展，提高學(xué)生空間想象能力。另一方面，本單元的編排也是從易到難，首先例1 教學(xué)根據(jù)從一個(gè)方向看到的形狀圖進(jìn)行還原，讓學(xué)生借助空 間想象力進(jìn)行操作，初步經(jīng)歷逆向思考的過(guò)程。接下來(lái)例2 教學(xué)根據(jù)從三個(gè)方向看到的形狀圖還原幾何組合體，利 用例 1 的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行操作，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和推理能力。2注重動(dòng)手實(shí)踐與自主探索，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展學(xué)生在具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口，多種感官協(xié)調(diào)活動(dòng)，這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)有利于學(xué)生在相互交流中 從多角度去感悟，強(qiáng)化感知和思維，豐富自己的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。本單元的編排，特別注重學(xué)生的動(dòng)手操作和自主探索。 由觀察到的形狀圖（平面圖形）還原幾何組合體（立體圖形）的過(guò)程，需要將抽象的空間想象具體化，這就必然要 讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，借助建立的直觀表象進(jìn)行推理，在拼擺小正方體的活動(dòng)中不斷驗(yàn)證、加以完善，探索出拼搭 的方法。在操作、想象、推理和交流中促進(jìn)空間觀念的發(fā)展。教學(xué)例 1，在操作探索中要注意及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生交流，分享經(jīng)驗(yàn)，充分經(jīng)歷“猜”“搭”“辯”“想”“賞”的 過(guò)程，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，更好地完成后面的探索。教學(xué)例2，應(yīng)允許學(xué)生有不同的操作思路。一種是借助例1 的經(jīng)驗(yàn)， 先根據(jù)一個(gè)方向看到的擺，然后再根據(jù)其他兩個(gè)方向不斷的調(diào)整；一種是借助表象嘗試擺出一個(gè)立體圖性，再驗(yàn)證 和調(diào)整。并且，三個(gè)方向選擇的順序沒(méi)有規(guī)定，學(xué)生可以自主探索，通過(guò)交流體會(huì)最終的擺法。需要說(shuō)明的是，本單元所有要擺的立體圖性都是組合的小正方體，它們中間是沒(méi)有分開(kāi)的，并且都是邊和邊的 拼擺，不涉及錯(cuò)開(kāi)的情形。教學(xué)時(shí)，如果學(xué)生出現(xiàn)分開(kāi)擺放的情況，可適當(dāng)說(shuō)明。另外，根據(jù)三個(gè)方向看到的形狀 圖還原，有時(shí)候擺法也不是唯一的。二、因數(shù)與倍數(shù)本單元學(xué)生開(kāi)始學(xué)習(xí)初等數(shù)論的知識(shí)，主要變化有：因數(shù)和倍數(shù)的概念改由整數(shù)除法算式引出；將 2、5 的倍 數(shù)特征合并在一起進(jìn)行教學(xué)，從 2、5 的倍數(shù)的特征到 3 的倍數(shù)的特征，再到質(zhì)數(shù)和合數(shù)，用百數(shù)表貫穿始終；增 加用數(shù)的特征解決問(wèn)題的例題。在小學(xué)階段，有關(guān)因數(shù)與倍數(shù)的知識(shí)是傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容，它既是小學(xué)生應(yīng)該掌握的重要的基礎(chǔ)知識(shí)，又是發(fā)展 小學(xué)生邏輯思維的良好素材。但這部分內(nèi)容概念集中，比較抽象，概念之間的聯(lián)系緊密，學(xué)生理解起來(lái)比較困難。 并且以往的編排，聯(lián)系實(shí)際的素材不多，學(xué)習(xí)過(guò)程顯得比較枯燥。因此，這部分內(nèi)容向來(lái)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。 這次因數(shù)與倍數(shù)的編排除了保留原實(shí)驗(yàn)教材的主要特點(diǎn)外，還進(jìn)行了一些改進(jìn)。1精簡(jiǎn)理論概念，改進(jìn)因數(shù)、倍數(shù)概念的呈現(xiàn)方式首先是精簡(jiǎn)了整除的概念。從數(shù)學(xué)的角度看，在數(shù)論中，起始概念之一就是整除。一般地，對(duì)于任意整數(shù) a、b，都存在整數(shù) n、r，使 anbr（其中 rb），當(dāng) r0 時(shí)，我們就說(shuō) a 能被 b 整除（或 b 能整除 a），a 是 b 的倍數(shù)，b 是 a 的因數(shù)。可見(jiàn)，整除與倍數(shù)、因數(shù)，是同一數(shù)學(xué)事實(shí)的兩種不同說(shuō)法，是等價(jià)的。從學(xué)生角度看，他們已經(jīng)積累了大量的區(qū)分整除與有余數(shù)除法的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)整除的含義有比較清楚的認(rèn)識(shí)，但對(duì)使用“誰(shuí)能被誰(shuí)整除”“誰(shuí)能整除誰(shuí)”的敘述方式卻很不適應(yīng)，容易說(shuō)錯(cuò)。因此，不出現(xiàn)整除的概念，會(huì)使教師感到有些習(xí)慣說(shuō)法要改口， 對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)并不會(huì)產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性的影響。教材不再出現(xiàn)整除的概念，但因數(shù)和倍數(shù)的概念改由整數(shù)除法算式引出。雖然 anbr（rb），與a÷bn r 的表示形式是等價(jià)的。但對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，采用乘法的表示形式，容易產(chǎn)生誤解，以為因數(shù)、倍數(shù)是針對(duì)整數(shù)乘法 來(lái)說(shuō)的。比較而言，采用除法的表示形式，更便于他們感知因數(shù)與倍數(shù)的本質(zhì)意義，領(lǐng)悟到這兩個(gè)概念反映了整數(shù) 除法中余數(shù)為 0 的情況，有利于避免誤解。同時(shí)為后面找一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)作準(zhǔn)備。我們知道，概念的教學(xué)需要讓學(xué)生經(jīng)歷由具體到一般的抽象概括過(guò)程。例如，因數(shù)與倍數(shù)的概念的建立，首先 是觀察一批除法算式，找出它們的異同，然后在分類的基礎(chǔ)上，抽象概括出其中一類具有“商是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)” 的共同屬性。又如，通過(guò)一些具體的例子，總結(jié)出任何一個(gè)數(shù)的倍數(shù)個(gè)數(shù)都是無(wú)限的等規(guī)律性的認(rèn)識(shí)。這些過(guò)程， 對(duì)于學(xué)生逐步形成抽象概括與歸納推理能力，都是非常有益的。其次是精簡(jiǎn)了分解質(zhì)因數(shù)、互質(zhì)數(shù)等概念。在以往的教材中，求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)唯一的固定方法就是用短除法分解質(zhì)因數(shù)，因此，分解質(zhì)因數(shù)的概念與短除法以及互質(zhì)數(shù)的概念，一直是必學(xué)內(nèi)容?？紤]到學(xué)習(xí)求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)主要用于約分、通分，事實(shí)上，學(xué)生在約分、通分時(shí)，實(shí)際采用口算，幾乎不用短除法。所以，允許學(xué)生采用多樣的方法求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)之后，分解質(zhì)因數(shù)就失去了其不可或缺的作用。為了減少這一 單元的理論概念，把分解質(zhì)因數(shù)等內(nèi)容作為補(bǔ)充知識(shí)，安排在“你知道嗎？”中進(jìn)行介紹，顯然是合理的。再次是將公因數(shù)、最大公因數(shù)和公倍數(shù)、最小公倍數(shù)等內(nèi)容移后，與約分、通分編排在一起。在以往的教材中，有關(guān)“數(shù)的整除”的概念集中在一個(gè)單元內(nèi)學(xué)習(xí)，雖然有利于凸顯相關(guān)概念之間緊密的邏輯關(guān)系，但也形成了同一單元概念過(guò)多、抽象程度過(guò)高的現(xiàn)象，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)概念混淆、理解困難的問(wèn)題。實(shí)踐表明，將其分開(kāi)編排，能夠分散難點(diǎn)，減少教與學(xué)的困難，而且也有利于突出知識(shí)的應(yīng)用性。因?yàn)榧s分需要盡快找出分子、分母的公因數(shù)，通分需要盡快找出兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母的公倍數(shù)，現(xiàn)在的編排，學(xué)了就用，便于鞏固，有利于提高教學(xué)的有效性。2充分利用百數(shù)表，留給學(xué)生更大的探索空間教材將 2、5 的倍數(shù)特征合并在一起進(jìn)行教學(xué)，從 2、5 的倍數(shù)的特征到 3 的倍數(shù)的特征，再到質(zhì)數(shù)和合數(shù)， 用百數(shù)表貫穿始終，讓學(xué)生在經(jīng)歷對(duì)整數(shù)特征探究的過(guò)程中能更好地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，理解概念。編排探究 2、5 和 3 的倍數(shù)的特征時(shí)，教材一概采用百數(shù)表，由學(xué)生自己圈數(shù)，自己生成觀察材料，同時(shí)減少提示，以放大學(xué)生的探究空間。這就有利于學(xué)生獲得更為豐富的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。我們知道，2、5 的倍數(shù)特征僅僅體現(xiàn)在個(gè)位數(shù)上，比較明顯，容易理解，而 3 的倍數(shù)的特征，只看個(gè)位數(shù)來(lái)判定恰恰成了“陷阱”。怎樣才能使學(xué)生想到轉(zhuǎn)變思路，從只看個(gè)位數(shù)轉(zhuǎn)向考察各位上的數(shù)相加的和？教材通過(guò)學(xué)生對(duì)話的插圖，在思維的轉(zhuǎn)折處設(shè)問(wèn)，并針對(duì)改變觀察角度提出問(wèn)題，力求“提示”與“留白”恰到好處。教學(xué)中可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得“山 窮水盡”與“柳暗花明”的探究體驗(yàn)。3增加了用數(shù)的特征解決問(wèn)題教材新增了研究?jī)蓴?shù)之和的奇偶性的純數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)整數(shù)特征探索的過(guò)程，特別是合情推理的探索 過(guò)程，滲透研究數(shù)學(xué)的科學(xué)方法。同時(shí)在探究過(guò)程中獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，豐富解決問(wèn)題的策略。根據(jù)奇數(shù)、偶數(shù)相加的三種情況，教材提出了三個(gè)問(wèn)題。讓學(xué)生經(jīng)歷解決問(wèn)題的全過(guò)程：首先，利用算式表征 問(wèn)題理解題意；接下來(lái)，通過(guò)舉例、說(shuō)理、圖示獲取結(jié)論；最后，通過(guò)舉例加以驗(yàn)證。事實(shí)上，舉例、說(shuō)理、圖示 三種方法結(jié)合使用，可以提高結(jié)論的可靠性，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)結(jié)論的理解與確信感。教學(xué)中注意讓學(xué)生經(jīng)歷探究、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)的完整過(guò)程。本單元2、5、3 的倍數(shù)特征，100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表，以及兩數(shù)之和的奇偶性等，都是比較典型的適合小學(xué)生開(kāi)展探究學(xué)習(xí)的課題。教學(xué)時(shí)，應(yīng)放手讓學(xué)生嘗試，讓他們經(jīng)歷 從舉例考察到分析綜合，從猜想到驗(yàn)證，最后歸納總結(jié)的過(guò)程，從中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。三、長(zhǎng)方體和正方體長(zhǎng)方體、正方體作為最基本的立體圖形，是學(xué)生從二維空間轉(zhuǎn)向三維空間學(xué)習(xí)的起始。通過(guò)學(xué)習(xí)，學(xué)生能形成 關(guān)于立體圖形研究的基本思路，并遷移應(yīng)用到以后的立體圖形學(xué)習(xí)中。具體編排上有以下特點(diǎn)。1通過(guò)觀察、操作、推理等方式，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程本單元的概念、特征、計(jì)算方法等新知的學(xué)習(xí)，力圖讓學(xué)生通過(guò)觀察、操作、推理等自主探索獲得。如，長(zhǎng)方 體、正方體的認(rèn)識(shí)，教材通過(guò)觀察長(zhǎng)方體物品、制作長(zhǎng)方體框架，討論得出關(guān)于“面、棱、頂點(diǎn)”的特征；體積計(jì)算方法的學(xué)習(xí)，通過(guò)用體積為 1cm3的正方體擺成不同的長(zhǎng)方體，填表觀察這一任務(wù)，結(jié)合長(zhǎng)方體體積的意義，探索發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體體積與長(zhǎng)、寬、高之間的關(guān)系，從而總結(jié)出長(zhǎng)方體體積的計(jì)算公式；體積單位間的進(jìn)率的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生用不同的方法表達(dá)棱長(zhǎng) 1dm 的正方體體積是多少，推理得出 1dm3 與 1000 cm3之間的相等關(guān)系。教學(xué)中注意加強(qiáng)學(xué)生對(duì)基本概念的理解，像表面積的概念、體積的概念，因?yàn)檫@是學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體、正方體的表面 積計(jì)算公式和體積計(jì)算公式的核心與基礎(chǔ)。例如，學(xué)生在理解表面積的概念后，就能自主探究表面積的計(jì)算方法。 可以是六個(gè)面相加，也可以根據(jù)長(zhǎng)方體的特征，求出其中一組三個(gè)面的面積再乘 2。從而引導(dǎo)學(xué)生理解“（ab+ah+bh） ×2”這一公式，不僅僅是乘法分配律的運(yùn)用，而是圖形特征的具體應(yīng)用。同樣，在明確體積的概念基礎(chǔ)上，通過(guò) 小正方體擺出不同形狀的長(zhǎng)方體，觀察、猜測(cè)、歸納、推理出長(zhǎng)方體的計(jì)算公式。運(yùn)用“每排個(gè)數(shù)、排數(shù)、層數(shù)” 來(lái)解釋體積計(jì)算公式的算理，獲得對(duì)求積公式“長(zhǎng)×寬×高”的意義理解，使學(xué)生知其然，并知其所以然。同時(shí)，教學(xué)中要注意為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)作好鋪墊。如，長(zhǎng)方體、正方體的體積、表面積計(jì)算教學(xué)，可以為圓柱 的體積與表面積計(jì)算作適當(dāng)?shù)匿亯|。教材將長(zhǎng)方體、正方體體積公式溝通為“底面積×高”，就為圓柱的體積計(jì)算 作了很好的蘊(yùn)伏，還能廣泛遷移于一般的柱體體積計(jì)算中。表面積的計(jì)算，除掌握基本公式之外，可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā) 現(xiàn)，也可用“側(cè)面積+底面積”的方法來(lái)計(jì)算，而側(cè)面積可以用“底面周長(zhǎng)×高”來(lái)計(jì)算，這樣，就為后面學(xué)習(xí)圓 柱的表面積計(jì)算作好了方法溝通的準(zhǔn)備。2重視空間觀念的培養(yǎng)教材加強(qiáng)了空間觀念培養(yǎng)的力度，安排了一些將三維轉(zhuǎn)換為二維、由立體圖想象展開(kāi)圖、由立體圖想象實(shí)物的 練習(xí)。這些對(duì)于發(fā)展學(xué)生的空間觀念都是十分有利的。同時(shí)，本單元常用的體積單位、容積單位的教學(xué)，不僅要讓 學(xué)生理解單位的意義，更要關(guān)注實(shí)際大小表象的建立，讓學(xué)生建立 1 cm3、1 dm3、1 m3、1 L、1 mL 等具體單 位的實(shí)際大小觀念。教學(xué)中，可以通過(guò)活動(dòng)來(lái)加強(qiáng)體驗(yàn)。如，容積與容積單位的教學(xué)，可以通過(guò)將一瓶礦泉水倒在紙杯中，看看可 以倒?jié)M幾杯，估計(jì)幾杯水大約是 1L 等活動(dòng)，體驗(yàn) 500 mL、200 mL、100 mL、1 L 的液體大約有多少，建立起 實(shí)際的觀念和表象。綜合與實(shí)踐：探索圖形在認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體和正方體后，教材新編了“探索圖形”的綜合與實(shí)踐活動(dòng)。目的是讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)過(guò)的正方體的 特征等知識(shí)，探索由小正方體拼成的大正方體中各種涂色小正方體的數(shù)量，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的數(shù)量上的規(guī)律，以及每 種涂色小正方體的位置特征，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和推理能力，體會(huì)分類計(jì)數(shù)的思想。探索圖形分類計(jì)數(shù)問(wèn)題中的規(guī)律，重在探索而不是規(guī)律的應(yīng)用。教學(xué)中，要讓學(xué)生體會(huì)化繁為簡(jiǎn)的策略，通過(guò) 觀察、想象和推理逐步找出簡(jiǎn)單情形中每種涂色小正方體的數(shù)量，在交流中體會(huì)、概括其中蘊(yùn)含的位置特征和數(shù)量 規(guī)律。從具體到抽象，從特殊到一般，在逐步深入的探討過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生把握問(wèn)題的共性，從而得到一般性的結(jié) 論，并鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和模型正確地表達(dá)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。使學(xué)生學(xué)會(huì)探索規(guī)律的方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟 數(shù)學(xué)思想方法。四、分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)從本學(xué)期開(kāi)始，學(xué)生將要系統(tǒng)地學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算。本套教材仍然采用了原實(shí)驗(yàn)教材的 編排體系，同時(shí)，對(duì)部分內(nèi)容作了適當(dāng)?shù)木?jiǎn)處理或編排調(diào)整。其一，真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，突出了單位“1”，將原教材的例 2（假分?jǐn)?shù)）和例 3（帶分?jǐn)?shù)）整合，很好地溝通了假分?jǐn)?shù)和整數(shù)、帶分?jǐn)?shù)的關(guān)系，為教學(xué)例3 把假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)作了鋪墊，同時(shí)加強(qiáng)了對(duì)化法的道理 的理解。其二，最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)先給出概念和求法，再應(yīng)用到解決問(wèn)題中。原來(lái)將解決問(wèn)題與概念引入結(jié)合在一起，學(xué)生理解起來(lái)難度較大，所以，教材先給出最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)概念，突出概念的本質(zhì)，然后探索它們 的求法，最后在解決問(wèn)題的應(yīng)用中體會(huì)它們的現(xiàn)實(shí)意義，加深對(duì)概念的理解。教學(xué)中注意揭示知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，在理解的基礎(chǔ)上掌握數(shù)學(xué)方法。如，約分與通分、假分?jǐn)?shù)化為帶分?jǐn)?shù)或整數(shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化的方法，都是必須掌握的。這些方法看似頭緒較多，但通過(guò)揭示相關(guān)知識(shí)與方法的聯(lián)系，就比較容易在理解的基礎(chǔ)上掌握。以約分與通分為例，它們都是分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用。盡管約分時(shí)分子、分母同除以一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)，通分時(shí)分子、分母同乘一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)，但它們都是依據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，使分?jǐn)?shù)的大小保持不變。因此，教學(xué)時(shí)應(yīng)凸顯得出方法的過(guò)程，使學(xué)生明白操作方法背后的道理。這樣就能在理解的基礎(chǔ)上掌握方法，而不 是依賴記憶進(jìn)行機(jī)械的操作。五、圖形的運(yùn)動(dòng)（三）前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生初步感知了生活中的對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。本單元是在此基礎(chǔ)上的進(jìn)一步擴(kuò)展和提高， 讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圖形的旋轉(zhuǎn)，探索圖形旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)，學(xué)習(xí)在方格紙上畫出一個(gè)簡(jiǎn)單圖形旋轉(zhuǎn) 90°后的圖形，發(fā)展空間觀念。具體編排有以下特點(diǎn)和變化：1將旋轉(zhuǎn)的認(rèn)識(shí)分為兩個(gè)層次編排一是，特征的認(rèn)識(shí)。例 1 為線段的旋轉(zhuǎn)；例 2 為圖形的旋轉(zhuǎn)。例 2 讓學(xué)生在方格紙上旋轉(zhuǎn)直角三角尺（30°和 60°的），通過(guò)實(shí)物操作直觀感受圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的特征，并留給學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探索的空間。二是，特征的應(yīng)用。例 3 教學(xué)畫出簡(jiǎn)單圖形旋轉(zhuǎn) 90°后的圖形，比原實(shí)驗(yàn)教材降低了難度，一方面，有例 2 作為例 3 的鋪墊；另一方面， 三角形的兩條直角邊都在方格紙的縱線、橫線上，旋轉(zhuǎn)中心為直角所在的頂點(diǎn)。從整體上看，整個(gè)小學(xué)階段都只是初步認(rèn)識(shí)圖形的運(yùn)動(dòng)，也就是積累感性認(rèn)識(shí)，形成初步表象，其外顯的表現(xiàn) 就是“能識(shí)別”“會(huì)畫圖”。離定性地認(rèn)識(shí)、定量地研究還有一定距離。因此，學(xué)習(xí)的主要方式是結(jié)合實(shí)例，通過(guò) 觀察與動(dòng)手操作，如動(dòng)手操作、畫圖等活動(dòng)來(lái)進(jìn)行。而且還規(guī)定了畫圖的行為條件“在方格紙上”，為學(xué)生提供了 參照系，自然也是降低了學(xué)習(xí)的難度。2新增“解決問(wèn)題”的內(nèi)容教材安排例 4，讓學(xué)生借助方格紙上的七巧板，通過(guò)在方格紙上平移、旋轉(zhuǎn)各塊板，拼出給定大輪廓的圖形。 使學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的圖形運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，解決簡(jiǎn)單的對(duì)圖形進(jìn)行分割、組合、變換的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn) 題的能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。六、分?jǐn)?shù)的加法和減法分?jǐn)?shù)的加法和減法是數(shù)學(xué)運(yùn)算的重要基礎(chǔ)知識(shí)之一。本單元的變化主要有：一是，同一例題中同時(shí)展開(kāi)分?jǐn)?shù)加 法和減法的教學(xué)。無(wú)論是同分母分?jǐn)?shù)加減法，還是異分母分?jǐn)?shù)加、減法，教材都只安排了一個(gè)例題。這樣有利于對(duì) 分?jǐn)?shù)加、減法含義的理解，同時(shí)提高計(jì)算教學(xué)的有效性。二是，同分母分?jǐn)?shù)的連加、連減運(yùn)算不再單獨(dú)安排例題， 而是在練習(xí)中讓學(xué)生自主探索完成。三是，加強(qiáng)對(duì)算理的概括總結(jié)。四是，新增解決問(wèn)題的內(nèi)容，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的 畫圖方法分析數(shù)量關(guān)系、解決問(wèn)題。根據(jù)分?jǐn)?shù)加、減法的含義和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，概括出具有一般性的計(jì)算方法，既是計(jì)算教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)，也是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要。教材引導(dǎo)學(xué)生在自主探究中逐步概括出分?jǐn)?shù)加、減法的計(jì)算方法。如，同分母分?jǐn)?shù)的加、減法，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)交流，用一句話概括計(jì)算法則；異分母分?jǐn)?shù)的加、減法則在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上，以文字形式對(duì) 計(jì)算法則進(jìn)行總結(jié)和概括。事實(shí)上，表述準(zhǔn)確、規(guī)范、精煉的法則，有利于學(xué)生準(zhǔn)確把握計(jì)算法則的內(nèi)涵，掌握計(jì)算方法。教學(xué)中要注意結(jié)合圖示讓學(xué)生明白：計(jì)算同分母分?jǐn)?shù)加、減法時(shí)，“分母不變”是因?yàn)榉帜赶嗤簿褪欠謹(jǐn)?shù)單位相同，所以只用分子相加、減就可；計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)加、減法時(shí)，只要將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)，也就是轉(zhuǎn)化為相同的分 數(shù)單位就可以了。這樣，在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法，避免機(jī)械、單純的記憶法則的弊端。綜合與實(shí)踐活動(dòng)“打電話”和原來(lái)的編排沒(méi)有太多變化。七、折線統(tǒng)計(jì)圖根據(jù)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）的要求，小學(xué)階段不再學(xué)習(xí)眾數(shù)的知識(shí)。本套教材把單式折線統(tǒng)計(jì)圖和復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖整合在一起進(jìn)行編排和教學(xué)，加強(qiáng)知識(shí)之間的聯(lián)系，提高課堂教學(xué)效率。具體編排有以下 特點(diǎn):1以豐富的生活素材為基礎(chǔ)，在學(xué)習(xí)中體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)的價(jià)值教材所采用的素材注重兩個(gè)方面：一是貼近學(xué)生生活，更加反映社會(huì)發(fā)展；二是突出了使用折線統(tǒng)計(jì)圖的必要性，以及折線統(tǒng)計(jì)圖的特征和優(yōu)勢(shì)。如：中國(guó)青少年機(jī)器人大賽參賽隊(duì)伍數(shù)量的變化、兒童身高的變化、近 10 年上海的出生人口數(shù)和死亡人口數(shù)的變化、農(nóng)村居民年收入情況、某地月平均氣溫變化情況等。讓學(xué)生體會(huì)到統(tǒng)計(jì)與 我們的生活是緊密相連的，折線統(tǒng)計(jì)圖能更清楚地反映出數(shù)據(jù)的增減變化。教學(xué)時(shí)讓學(xué)生感悟體會(huì)這一特點(diǎn)，并從中引發(fā)思考，認(rèn)識(shí)折線統(tǒng)計(jì)圖反映的現(xiàn)實(shí)意義，學(xué)會(huì)根據(jù)數(shù)據(jù)的變化合 理地進(jìn)行預(yù)測(cè)，增強(qiáng)數(shù)據(jù)分析觀念。2加強(qiáng)新舊知識(shí)之間的銜接和對(duì)比前面學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了單式、復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖。因此，教材在編排本單元內(nèi)容時(shí)，通過(guò)與先前統(tǒng)計(jì)知識(shí)的聯(lián)系， 學(xué)習(xí)單式、復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖。這樣既有助于加深對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的理解，也便于對(duì)新知識(shí)的領(lǐng)悟和掌握。教學(xué)時(shí)，可充分利用學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，以知識(shí)遷移的方式建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，通過(guò)與所學(xué)知識(shí)的對(duì)比，體會(huì)折線統(tǒng)計(jì)圖的特征和適用范圍。如，教學(xué)單式折線統(tǒng)計(jì)圖時(shí)可以通過(guò)條形統(tǒng)計(jì)圖導(dǎo)入，在對(duì)比中感悟折線統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)；教學(xué)復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖時(shí)，可先用單式折線統(tǒng)計(jì)圖分別表示兩組數(shù)據(jù)，讓學(xué)生體會(huì)到，單式折線統(tǒng)計(jì)圖可以清楚地反映出一組數(shù)據(jù)的增減變化，但在對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較時(shí)就不方便了，由此引出復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖。從 而使學(xué)生深切體會(huì)到折線統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，加深對(duì)復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖的認(rèn)識(shí)。3經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)的全過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題及進(jìn)行合理推測(cè)的能力例 2 的編排突出了解決問(wèn)題的完整過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)的全過(guò)程：抽樣調(diào)查整理、描述數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)判斷、預(yù)測(cè)。學(xué)習(xí)繪制統(tǒng)計(jì)圖之后，一方面，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解決有關(guān)問(wèn)題，為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題及解決問(wèn)題提供了較大的空間。另一方面，讓學(xué)生感悟由于數(shù)據(jù)變化帶來(lái)的啟示，并能合理地進(jìn)行推理與判斷，提高數(shù)據(jù)分 析能力。教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)創(chuàng)造盡可能多的機(jī)會(huì)讓學(xué)生親自從事簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)，如調(diào)查同學(xué)們的視力情況、喜歡看的科 普讀物、所穿鞋子的號(hào)碼、零花錢的使用情況等。讓學(xué)生經(jīng)歷簡(jiǎn)單的收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的過(guò)程，鼓勵(lì)他 們能根據(jù)數(shù)據(jù)的變化合理地進(jìn)行預(yù)測(cè)，增強(qiáng)數(shù)據(jù)分析觀念。八、數(shù)學(xué)廣角找次品本單元以“找次品”這一探索性操作活動(dòng)為載體，讓學(xué)生通過(guò)觀察、猜測(cè)、試驗(yàn)等方式探索解決問(wèn)題的策略。同時(shí)，進(jìn)一步理解隨機(jī)事件，感受解決問(wèn)題策略的多樣性和優(yōu)化思想，培養(yǎng)觀察、分析、邏輯推理的能力，并學(xué)習(xí) 如何用直觀的方式清晰、簡(jiǎn)潔、有條理地表示邏輯推理過(guò)程。具體編排上，重點(diǎn)突出以下幾點(diǎn):1讓學(xué)生充分經(jīng)歷“比較猜想驗(yàn)證”的過(guò)程，尋求找次品的方法“找次品”問(wèn)題是一類經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題。教材選擇了比較簡(jiǎn)單的一類作為例題，即：有n 個(gè)從外表看完全相同的零件，其中一個(gè)是次品，次品比合格品重（或輕）一些。假如用沒(méi)有砝碼的天平稱，最少稱幾次就能保證找出這個(gè)次品？對(duì)于這一問(wèn)題，一般性的解決方法是“把這 n 個(gè)零件盡可能平均分成 3 份”。這是由天平的特點(diǎn)決定的，因?yàn)樘炱接袃蓚€(gè)托盤，所以次品的位置無(wú)外乎三個(gè)地方，即兩個(gè)托盤上、天平外，天平稱一次就能確定出次品在三個(gè)位置中的哪一個(gè)。而要使稱量的次數(shù)最少，每次稱量后，就應(yīng)把次品確定在更小的范圍內(nèi)。要做到這一點(diǎn)，就應(yīng) 使三個(gè)地方的零件個(gè)數(shù)盡量同樣多。為了讓學(xué)生理解“盡可能地將待測(cè)物品平均分成 3 份”的合理性，我們也特意對(duì)教材進(jìn)行了改編。例1 由原來(lái)的 5 個(gè)物品，改為 3 個(gè)物品。讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)找次品問(wèn)題的含義，明確找次品的基本方法。特別是，讓學(xué)生初步體會(huì)到：天平稱一次，可以判斷出次品在兩個(gè)托盤或者天平外中的一個(gè)。也就是說(shuō)，通過(guò)推理，可以將次品確定在這 三份中的一份中。這就為分三份提供了直觀的經(jīng)驗(yàn)，為后面的探索作準(zhǔn)備。例 2 將由探索 9 個(gè)零件，改為先探討 8 個(gè)，再研究 9 個(gè)零件。從 8 個(gè)零件中找次品，學(xué)生一般會(huì)很自然地想到平均分成 2 份（4，4），但會(huì)發(fā)現(xiàn)這不是稱得最少的次數(shù)，分成 3 份（3，3，2）的方法才是稱得最少的次數(shù)。而從 9 個(gè)中找次品，受天平平衡的暗示，學(xué)生會(huì)自然想到（4，4，1）和（3，3，3）的分法。通過(guò)對(duì)比，學(xué)生會(huì)感受到分成 3 份的情況中平均分的方法稱的次數(shù)最少。如果不能平均分呢？回過(guò)頭再去研究 8 個(gè)的最少次數(shù)，會(huì)發(fā)現(xiàn)盡可能的平均分可以使稱的次數(shù)最少。最后將此規(guī)律應(yīng)用到 10 個(gè)、11 個(gè)零件加以驗(yàn)證。這樣層層遞進(jìn)，逐漸感知理解到稱的次數(shù)最少的方法的特點(diǎn)，總結(jié)出找次品的最優(yōu)策略：一是把待測(cè)物品分成 3 份；二是盡量平均分。當(dāng)然，教學(xué)可以在教材提供的基本教學(xué)思路的前提下，進(jìn)行一些調(diào)整。如，可以從 2 個(gè)開(kāi)始，再重點(diǎn)探究 3、8、9 個(gè)的情形。也可以從 3 個(gè)開(kāi)始，再以小組為單位分工合作研究 49 個(gè)的情形。通過(guò)討論、交流，分析、總結(jié) 出最優(yōu)的方法。2突出數(shù)學(xué)思維過(guò)程的表達(dá)“找次品”問(wèn)題中的天平并不是一架實(shí)物天平，而是一種抽象的數(shù)學(xué)化形式的天平。因?yàn)橐坏┠靡患軐?shí)物天平進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，就不會(huì)出現(xiàn)“假如平衡”“假如不平衡”的情況，而只會(huì)出現(xiàn)其中一種，要么平衡，要么不平衡。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，實(shí)際上是用頭腦中建立的天平表象，反復(fù)地進(jìn)行“如果平衡，那么”“如果不平衡，那么”的邏輯推理的過(guò)程。那么如何清晰、有條理地將這一過(guò)程表示出來(lái)呢？最為直接的是口頭表述。但當(dāng)物品總量比較多時(shí)，步驟相應(yīng)增加，很容易表述不清。當(dāng)然也可以采用文字表述的方式，但由于前后步驟之間的層層套迭關(guān)系，表述起來(lái)也顯得冗長(zhǎng)且繁瑣。而使用直觀圖或流程圖，配以相應(yīng)的文字說(shuō)明，可以比較簡(jiǎn)潔而又清晰地表示出邏輯推理的整個(gè)過(guò)程，讓人一目了然。因此教材從例題到習(xí)題，不斷引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)用符號(hào)、文字，直觀、簡(jiǎn)潔 地表示思維過(guò)程，使學(xué)生在潛移默化中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地表達(dá)，有意識(shí)地培養(yǎng)思維的條理性、邏輯性和準(zhǔn)確性。因此，教學(xué)中要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生嘗試用畫直觀圖、流程圖，并配以文字說(shuō)明的方式表示邏輯推理的過(guò)程，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)化的方式表達(dá)思維過(guò)程。當(dāng)然，在表示思路時(shí)，可以是例題中的直觀圖，可以是流程圖，還可 以樹(shù)形直觀圖等。不管學(xué)生使用哪種表示方式，最重要的是要把各種可能性都考慮到。與前面各冊(cè)教材一致，本冊(cè)教材為了使學(xué)生獲得結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的知識(shí)，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的整理，同 時(shí)關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)之后的自我反思和評(píng)價(jià)，促進(jìn)學(xué)生的主動(dòng)思考和自我提升。