2013年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)講座 第二十三講 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

2013年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)第二十三講 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】圓的定義及性質(zhì)：圓的定義： 形成性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)叫 線段OA叫做 描述性定義：圓是到定點(diǎn)的距離等于 的點(diǎn)的集合【名師提醒：1、在一個(gè)圓中，圓決定圓的 半徑?jīng)Q定圓的 2、直徑是圓中 的弦，弦不一定是錐】2、弦與?。?弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的 叫做弦 ?。簣A上任意兩點(diǎn)間的 叫做弧，弧可分為 、 、 三類(lèi)3、圓的對(duì)稱性： 軸對(duì)稱性：圓是軸對(duì)稱圖形，有 條對(duì)稱軸 的直線都是它的對(duì)稱軸 中心對(duì)稱性：圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是 【名師提醒：圓不僅是中心對(duì)稱圖形，而且具有旋轉(zhuǎn) 性，即繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都被與原來(lái)的圖形重合】垂徑定理及推論： 1、垂徑定理：垂直于弦的直徑 ，并且平分弦所對(duì)的 2、推論：平分弦（ ）的直徑 ，并且平分弦所對(duì)的 【名師提醒：1、垂徑定理及其推論實(shí)質(zhì)是指一條直線滿足：過(guò)圓心垂直于弦平分弦平分弦所對(duì)的優(yōu)弧平分弦所對(duì)的劣弧五個(gè)條件中的兩個(gè)，那么可推出其中三個(gè)，注意解題過(guò)程中的靈活運(yùn)用2、圓中常作的輔助線是過(guò)圓心作弦的 線3、垂徑定理常用作計(jì)算，在半徑r弦a弦心d和弦h中已知兩個(gè)可求另外兩個(gè)】三、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系： 1、圓心角定義：頂點(diǎn)在 的角叫做圓心角 2、定理：在 中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量 它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也分別 【名師提醒：注意：該定理的前提條件是“在同圓或等圓中”】圓周角定理及其推論： 1、圓周角定義：頂點(diǎn)在 并且兩邊都和圓 的角叫圓周角 2、圓周角定理：在同圓或等圓中，圓弧或等弧所對(duì)的圓周角 都等于這條弧所對(duì)的圓心角的 推論1、在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角 那么它們所對(duì)的弧 推論2、半圓（或直弦）所對(duì)的圓周角是 900的圓周角所對(duì)的弦是 【名師提醒：1、在圓中，一條弦所對(duì)的圓心角只有一個(gè)，而 它所對(duì)的圓周角有 個(gè)，它們的關(guān)系是 作直弦所對(duì)的圓周角是圓中常作的輔助線】圓內(nèi)接四邊形： 定義：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在圓上，這個(gè)多邊形叫做 這個(gè)圓叫做 性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角 【名師提醒：圓內(nèi)接平行四邊形是 圓內(nèi)接梯形是 】考點(diǎn)一：垂徑定理例1 （2012紹興）如圖，AD為O的直徑，作O的內(nèi)接正三角形ABC，甲、乙兩人的作法分別是：甲：1、作OD的中垂線，交O于B，C兩點(diǎn)，2、連接AB，AC，ABC即為所求的三角形      乙：1、以D為圓心，OD長(zhǎng)為半徑作圓弧，交O于B，C兩點(diǎn)2、連接AB，BC，CAABC即為所求的三角形對(duì)于甲、乙兩人的作法，可判斷（）A甲、乙均正確B甲、乙均錯(cuò)誤C甲正確、乙錯(cuò)誤D甲錯(cuò)誤，乙正確考點(diǎn)：垂徑定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形專(zhuān)題：計(jì)算題分析：由甲的思路畫(huà)出相應(yīng)的圖形，連接OB，由BC為OD的垂直平分線，得到OE=DE，且BC與OD垂直，可得出OE為OD的一半，即為OB的一半，在直角三角形BOE中，根據(jù)一直角邊等于斜邊的一半可得出此直角邊所對(duì)的角為30°，得到OBE為30°，利用直角三角形的兩銳角互余得到BOE為60°，再由BOE為三角形AOB的外角，且OA=OB，利用等邊對(duì)等角及外角性質(zhì)得到ABO也為30°，可得出ABC為60°，同理得到ACB也為60°，利用三角形的內(nèi)角和定理得到BAC為60°，即三角形ABC三內(nèi)角相等，進(jìn)而確定三角形ABC為等邊三角形；由乙的思路畫(huà)出相應(yīng)的圖形，連接OB，BD，由BD=OD，且OB=OD，等量代換可得出三角形OBD三邊相等，即為等邊三角形，的長(zhǎng)BOE=DBO=60°，由BC垂直平分OD，根據(jù)三線合一得到BE為角平分線，可得出OBE為30°，又BOE為三角形ABO的外角，且OA=OB，利用等邊對(duì)等角及外角的性質(zhì)得到ABO也為30°，可得出ABC為60°，同理得到ACB也為60°，利用三角形的內(nèi)角和定理得到BAC為60°，即三角形ABC三內(nèi)角相等，進(jìn)而確定三角形ABC為等邊三角形，進(jìn)而得出兩人的作法都正確解答：解：根據(jù)甲的思路，作出圖形如下：連接OB，BC垂直平分OD，E為OD的中點(diǎn)，且ODBC，OE=DE=OD，又OB=OD，在RtOBE中，OE=OB，OBE=30°，又OEB=90°，BOE=60°，OA=OB，OAB=OBA，又BOE為AOB的外角，OAB=OBA=30°，ABC=ABO+OBE=60°，同理C=60°，BAC=60°，ABC=BAC=C，ABC為等邊三角形，故甲作法正確；根據(jù)乙的思路，作圖如下：連接OB，BD，OD=BD，OD=OB，OD=BD=OB，BOD為等邊三角形，OBD=BOD=60°，又BC垂直平分OD，OM=DM，BM為OBD的平分線，OBM=DBM=30°，又OA=OB，且BOD為AOB的外角，BAO=ABO=30°，ABC=ABO+OBM=60°，同理ACB=60°，BAC=60°，ABC=ACB=BAC，ABC為等邊三角形，故乙作法正確，故選A點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理，等邊三角形的判定，含30°直角三角形的判定，三角形的外角性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理及判定是解本題的關(guān)鍵對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1（2012哈爾濱）如圖，O是ABC的外接圓，B=60°，OPAC于點(diǎn)P，OP=2，則O的半徑為（）A4 B6 C8 D12考點(diǎn)：垂徑定理；含30度角的直角三角形；圓周角定理專(zhuān)題：計(jì)算題分析：由B的度數(shù)，利用同弧所對(duì)的圓心角等于所對(duì)圓周角的2倍，求出AOC的度數(shù)，再由OA=OC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，利用三角形的內(nèi)角和定理求出OAC=30°，又OP垂直于AC，得到三角形AOP為直角三角形，利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，根據(jù)OP的長(zhǎng)得出OA的長(zhǎng)，即為圓O的半徑解答：解：圓心角AOC與圓周角B所對(duì)的弧都為，且B=60°，AOC=2B=120°，又OA=OC，OAC=OCA=30°，OPAC，AOP=90°，在RtAOP中，OP=2，OAC=30°，OA=2OP=4，則圓O的半徑4故選A點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及含30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵考點(diǎn)二：圓周角定理例2 （2012青海）如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于點(diǎn)N，點(diǎn)M在O上，1=C（1）求證：CBMD；（2）若BC=4，sinM= ，求O的直徑考點(diǎn)：圓周角定理；垂徑定理；解直角三角形分析：（1）由C與M是 所對(duì)的圓周角，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可得C=M，又由1=C，易得1=M，即可判定CBMD；（2）首先連接AC，AB為O的直徑，可得ACB=90°，又由弦CDAB，根據(jù)垂徑定理的即可求得= ，繼而可得A=M，又由BC=4，sinM= ，即可求得O的直徑解答：（1）證明：C與M是所對(duì)的圓周角，C=M，又1=C，1=M，CBMD；（2）解：連接AC，AB為O的直徑，ACB=90°，又CDAB，= ，A=M，sinA=sinM，在RtACB中，sinA=，sinM=，BC=4，AB=6，即O的直徑為6點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、平行線的判定以及三角函數(shù)等知識(shí)此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用對(duì)應(yīng)訓(xùn)練37（2012沈陽(yáng)）如圖，O是ABC的外接圓，AB是O的直徑，D為O上一點(diǎn)，ODAC，垂足為E，連接BD（1）求證：BD平分ABC；（2）當(dāng)ODB=30°時(shí)，求證：BC=OD考點(diǎn)：圓周角定理；含30度角的直角三角形；垂徑定理專(zhuān)題：證明題分析：（1）由ODAC OD為半徑，根據(jù)垂徑定理，即可得 ，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可證得BD平分ABC；（2）首先由OB=OD，易求得AOD的度數(shù)，又由ODAC于E，可求得A的度數(shù)，然后由AB是O的直徑，根據(jù)圓周角定理，可得ACB=90°，繼而可證得BC=OD解答：證明：（1）ODAC   OD為半徑，CBD=ABD，BD平分ABC；（2）OB=OD，OBD=0DB=30°，AOD=OBD+ODB=30°+30°=60°，又ODAC于E，OEA=90°，A=180°-OEA-AOD=180°-90°-60°=30°，又AB為O的直徑，ACB=90°，在RtACB中，BC=AB，OD=AB，BC=OD點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、垂徑定理以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用考點(diǎn)三：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)例3 （2012深圳）如圖，C過(guò)原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），M是第三象限內(nèi) 上一點(diǎn)，BMO=120°，則C的半徑長(zhǎng)為（）A6 B5 C3 D3 考點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；含30度角的直角三角形專(zhuān)題：探究型分析：先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出OAB的度數(shù)，由圓周角定理可知AOB=90°，故可得出ABO的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)論解答：解：四邊形ABMO是圓內(nèi)接四邊形，BMO=120°，BAO=60°，AB是O的直徑，AOB=90°，ABO=90°-BAO=90°-60°=30°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），OA=3，AB=2OA=6，C的半徑長(zhǎng)=3故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵對(duì)應(yīng)訓(xùn)練3（2011肇慶）如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若BAD=105°，則DCE的大小是（）A115° Bl05° C100° D95°考點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)專(zhuān)題：計(jì)算題分析：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)得到BAD+BCD=180°，而B(niǎo)CD與DEC為鄰補(bǔ)角，得到DCE=BAD=105°解答：解：四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，BAD+BCD=180°，而B(niǎo)CD+DCE=180°，DCE=BAD，而B(niǎo)AD=105°，DCE=105°故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)也考查了鄰補(bǔ)角的定義以及等角的補(bǔ)角相等【聚焦山東中考】1（2012泰安）如圖，AB是O的直徑，弦CDAB，垂足為M，下列結(jié)論不成立的是（）ACM=DM B CACD=ADC DOM=MD考點(diǎn)：垂徑定理專(zhuān)題：計(jì)算題分析：由直徑AB垂直于弦CD，利用垂徑定理得到M為CD的中點(diǎn)，B為劣弧的中點(diǎn)，可得出A和B選項(xiàng)成立，再由AM為公共邊，一對(duì)直角相等，CM=DM，利用SAS可得出三角形ACM與三角形ADM全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得出選項(xiàng)C成立，而OM不一定等于MD，得出選項(xiàng)D不成立解答：解：AB是O的直徑，弦CDAB，垂足為M，M為CD的中點(diǎn)，即CM=DM，選項(xiàng)A成立；B為的中點(diǎn)，即，選項(xiàng)B成立；在ACM和ADM中，ACMADM（SAS），ACD=ADC，選項(xiàng)C成立；而OM與MD不一定相等，選項(xiàng)D不成立故選D點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理為：垂直于弦的直徑平分弦，且平分弦所對(duì)的弧，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵2（2012東營(yíng)）某施工工地安放了一個(gè)圓柱形飲水桶的木制支架（如圖1），若不計(jì)木條的厚度，其俯視圖如圖2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，則圓柱形飲水桶的底面半徑的最大值是 cm230考點(diǎn)：垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理分析：當(dāng)圓柱形飲水桶的底面半徑最大時(shí)，圓外接于ABC；連接外心與B點(diǎn)，可通過(guò)勾股定理即可求出圓的半徑解答：解：連接OB，如圖，當(dāng)O為ABC的外接圓時(shí)圓柱形飲水桶的底面半徑的最大AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，O點(diǎn)在AD上，BD=24cm；在Rt0BD中，設(shè)半徑為r，則OB=r，OD=48-r，r2=（48-r）2+242，解得r=30即圓柱形飲水桶的底面半徑的最大值為30cm故答案為：30點(diǎn)評(píng)：此題考查把實(shí)物圖轉(zhuǎn)化為幾何圖形的能力以及勾股定理，垂徑定理的討論和勾股定理3（2012泰安）如圖，在半徑為5的O中，弦AB=6，點(diǎn)C是優(yōu)弧上一點(diǎn)（不與A，B重合），則cosC的值為 3考點(diǎn)：圓周角定理；勾股定理；垂徑定理；銳角三角函數(shù)的定義分析：首先構(gòu)造直徑所對(duì)圓周角，利用勾股定理得出BD的長(zhǎng)，再利用cosC=cosD=求出即可解答：解：連接AO并延長(zhǎng)到圓上一點(diǎn)D，連接BD，可得AD為O直徑，故ABD=90°，半徑為5的O中，弦AB=6，則AD=10，BD=8，D=C，cosC=cosD=，故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義和圓周角定理，根據(jù)已知構(gòu)造直角三角形ABD是解題關(guān)鍵4（2012青島）如圖，點(diǎn)A、B、C在O上，AOC=60°，則ABC的度數(shù)是 4.150°考點(diǎn)：圓周角定理分析：首先在優(yōu)弧上取點(diǎn)D，連接AD，CD，由圓周角定理，即可求得ADC的度數(shù)，又由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可求得答案解答：解：在優(yōu)弧上取點(diǎn)D，連接AD，CD，AOC=60°，ADC=AOC=30°，ABC+ADC=180°，ABC=180°-ADC=180°-30°=150°故答案為：150°點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握輔助線的作法【備考真題過(guò)關(guān)】一、選擇題1（2012無(wú)錫）如圖，以M（-5，0）為圓心、4為半徑的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，P是M上異于A、B的一動(dòng)點(diǎn)，直線PA、PB分別交y軸于C、D，以CD為直徑的N與x軸交于E、F，則EF的長(zhǎng)（）A等于4 B等于4 C等于6 D隨P點(diǎn)位置的變化而變化考點(diǎn)：垂徑定理；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)專(zhuān)題：計(jì)算題分析：連接NE，設(shè)圓N半徑為r，ON=x，則OD=r-x，OC=r+x，證OBDOCA，推出OC：OB=OA：OD，即（r+x）：1=9：（r-x），求出r2-x2=9，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求出答案解答：解：連接NE，設(shè)圓N半徑為r，ON=x，則OD=r-x，OC=r+x，以M（-5，0）為圓心、4為半徑的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，OA=4+5=9，0B=5-4=1，AB是M的直徑，APB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），BOD=90°，PAB+PBA=90°，ODB+OBD=90°，PBA=OBD，PAB=ODB，APB=BOD=90°，OBDOCA，即，解得：（r+x）（r-x）=9，r2-x2=9，由垂徑定理得：OE=OF，OE2=EN2-ON2=r2-x2=9，即OE=OF=3，EF=2OE=6，故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，垂徑定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出OE=OF和r2-x2=9，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力2（2012陜西）如圖，在半徑為5的O中，AB、CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB=CD=8，則OP的長(zhǎng)為（）A3 B4 C3 D4考點(diǎn)：垂徑定理；勾股定理分析：作OMAB于M，ONCD于N，連接OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的長(zhǎng)，然后判定四邊形OMPN是正方形，求得正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)即可求得OM的長(zhǎng)解答：解：作OMAB于M，ONCD于N，連接OP，OB，OD，由垂徑定理、勾股定理得：OM=3，弦AB、CD互相垂直，DPB=90°，OMAB于M，ONCD于N，OMP=ONP=90°四邊形MONP是正方形，OP=3故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確地作出輔助線3（2012黃岡）如圖，AB為O的直徑，弦CDAB于E，已知CD=12，BE=2，則O的直徑為（）A8B10C16D20考點(diǎn)：垂徑定理；勾股定理分析：連接OC，可知，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，在RtOEC中，OE=OB-BE=OC-BE，根據(jù)勾股定理，即可得出OC，即可得出直徑解答：解：連接OC，根據(jù)題意，CE=CD=6，BE=2在RtOEC中，設(shè)OC=x，則OE=x-2，故：（x-2）2+62=x2解得：x=10即直徑AB=20故選D點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)垂徑定理和解直角三角形的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理構(gòu)造直角三角形4（2012河北）如圖，CD是O的直徑，AB是弦（不是直徑），ABCD于點(diǎn)E，則下列結(jié)論正確的是（）AAEBEB CD=AECDADECBE考點(diǎn)：垂徑定理；圓周角定理；相似三角形的判定分析：根據(jù)垂徑定理及相似三角形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可解答：解：CD是O的直徑，AB是弦（不是直徑），ABCD于點(diǎn)E，AE=BE，故A、B錯(cuò)誤；AEC不是圓心角，DAEC，故C錯(cuò)誤；CEB=AED，DAE=BCE，ADECBE，故C正確故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理、圓周角定理、相似三角形的判定，難度不大，是基礎(chǔ)題5（2012重慶）已知：如圖，OA，OB是O的兩條半徑，且OAOB，點(diǎn)C在O上，則ACB的度數(shù)為（）A45° B35° C25° D20°考點(diǎn)：圓周角定理專(zhuān)題：探究型分析：直接根據(jù)圓周角定理進(jìn)行解答即可解答：解：OAOB，AOB=90°，ACB=AOB=45°故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓周角定理，即在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半6（2012云南）如圖，AB、CD是O的兩條弦，連接AD、BC若BAD=60°，則BCD的度數(shù)為（）A40° B50° C60° D70°考點(diǎn)：圓周角定理分析：由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可求得BCD的度數(shù)解答：解：BAD與BCD是對(duì)的圓周角，BCD=BAD=60°故選C點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等定理的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用7（2012襄陽(yáng)）ABC為O的內(nèi)接三角形，若AOC=160°，則ABC的度數(shù)是（）A80° B160° C100° D80°或100°考點(diǎn)：圓周角定理分析：首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由圓周角定理即可求得答案ABC的度數(shù)，又由圓的內(nèi)接四邊四邊形性質(zhì)，即可求得ABC的度數(shù)解答：解：如圖，AOC=160°，ABC=AOC=×160°=80°，ABC+ABC=180°，ABC=180°-ABC=180°-80°=100°ABC的度數(shù)是：80°或100°故選D點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)此題難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，注意別漏解8（2012瀘州）如圖，在ABC中，AB為O的直徑，B=60°，BOD=100°，則C的度數(shù)為（）A50° B60° C70° D80°考點(diǎn)：圓周角定理分析：由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，即可求得A的度數(shù)，然后由三角形的內(nèi)角和定理，即可求得C的度數(shù)解答：解：BOD=100°，A=BOD=50°，B=60°，C=180°-A-B=70°故選C點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理與三角形的內(nèi)角和定理此題難度不大，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵二、填空題9（2012朝陽(yáng)）如圖，AB為O的直徑，CD為O的一條弦，CDAB，垂足為E，已知CD=6，AE=1，則0的半徑為 595考點(diǎn)：垂徑定理；勾股定理分析：連接OD，由垂徑定理得求出DE，設(shè)O的半徑是R，由勾股定理得出R2=（R-1）2+32，求出R即可解答：解： 連接OD，ABCD，AB是直徑，由垂徑定理得：DE=CE=3，設(shè)O的半徑是R，在RtODE中，由勾股定理得：OD2=OE2+DE2，即R2=（R-1）2+32，解得：R=5，故答案為：5點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，用了方程思想，題目比較好，難度適中10（2012成都）如圖，AB是O的弦，OCAB于C若AB=2，0C=1，則半徑OB的長(zhǎng)為 2102考點(diǎn)：垂徑定理；勾股定理專(zhuān)題：探究型分析：先根據(jù)垂徑定理得出BC的長(zhǎng)，再在RtOBC中利用勾股定理求出OB的長(zhǎng)即可解答：解：AB是O的弦，OCAB于C，AB=2，BC=，AB=，0C=1，在RtOBC中，OB=故答案為：2點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理及勾股定理，先求出BC的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出OB的長(zhǎng)是解答此題的關(guān)鍵11（2012嘉興）如圖，在O中，直徑AB丄弦CD于點(diǎn)M，AM=18，BM=8，則CD的長(zhǎng)為 241124考點(diǎn)：垂徑定理；勾股定理專(zhuān)題：探究型分析：連接OD，由AM=18，BM=8可求出O的半徑，利用勾股定理可求出MD的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理即可得出CD的長(zhǎng)解答：解：連接OD，AM=18，BM=8，OD=13，OM=13-8=5，在RtODM中，DM=，直徑AB丄弦CD，AB=2DM=2×12=24故答案為：24點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵12（2012株洲）已知：如圖，在O中，C在圓周上，ACB=45°，則AOB= 1290°考點(diǎn)：圓周角定理分析：由在O中，C在圓周上，ACB=45°，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，即可求得AOB的度數(shù)解答：解：在O中，C在圓周上，ACB=45°，AOB=2ACB=2×45°=90°故答案為：90°點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半定理的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用13（2012玉林）如圖，矩形OABC內(nèi)接于扇形MON，當(dāng)CN=CO時(shí)，NMB的度數(shù)是 1330°考點(diǎn)：圓周角定理；含30度角的直角三角形；矩形的性質(zhì)分析：首先連接OB，由矩形的性質(zhì)可得BOC是直角三角形，又由OB=ON=2OC，BOC的度數(shù)，又由圓周角定理求得NMB的度數(shù)解答：解：連接OB，CN=CO，OB=ON=2OC，四邊形OABC是矩形，BCO=90°，cosBOC=，BOC=60°，NMB=BOC=30°故答案為：30°點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、矩形的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值此題難度適中，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用14（2012義烏市）如圖，已知點(diǎn)A（0，2）、B（2，2）、C（0，4），過(guò)點(diǎn)C向右作平行于x軸的射線，點(diǎn)P是射線上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，以AP為邊在其左側(cè)作等邊APQ，連接PB、BA若四邊形ABPQ為梯形，則：（1）當(dāng)AB為梯形的底時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是 ；（2）當(dāng)AB為梯形的腰時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是 14（1），（2）0或考點(diǎn)：圓周角定理；等邊三角形的性質(zhì)；梯形；解直角三角形專(zhuān)題：幾何綜合題分析：首先根據(jù)題意畫(huà)出符合題意的圖形，（1）當(dāng)AB為梯形的底時(shí)，PQAB，可得Q在CP上，由APQ是等邊三角形，CPx軸，即可求得答案；（2）當(dāng)AB為梯形的腰時(shí)，AQBP，易得四邊形ABPC是平行四邊形，即可求得CP的長(zhǎng)，繼而可求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)解答：解：（1）如圖1：當(dāng)AB為梯形的底時(shí)，PQAB，Q在CP上，APQ是等邊三角形，CPx軸，AC垂直平分PQ，A（0，2），C（0，4），AC=2，PC=ACtan30°=2×，當(dāng)AB為梯形的底時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是：；（2）如圖2，當(dāng)AB為梯形的腰時(shí)，AQBP，Q在y軸上，BPy軸， CPx軸，四邊形ABPC是平行四邊形，CP=AB=2，如圖3，當(dāng)C與P重合時(shí)，A（0，2）、B（2，2），tanAPC=，APC=60°，APQ是等邊三角形，PAQ=60°，ACB=PAQ，AQBP，當(dāng)C與P重合時(shí)，四邊形ABPQ以AB為要的梯形，此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為0；當(dāng)AB為梯形的腰時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是：0或2故答案為：（1），（2）0或點(diǎn)評(píng)：此題考查了梯形的性質(zhì)與等邊三角形的性質(zhì)此題難度適中，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出符合要求的圖形，然后利用數(shù)形結(jié)合思想求解15（2012鞍山）如圖，ABC內(nèi)接于O，AB、CD為O直徑，DEAB于點(diǎn)E，sinA=，則D的度數(shù)是 15.30°考點(diǎn)：圓周角定理；特殊角的三角函數(shù)值專(zhuān)題：計(jì)算題分析：由圓周角定理、特殊角的三角函數(shù)值求得CAB=30°；然后根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、對(duì)頂角相等求得EOD=COB=60°；最后在直角三角形ODE中求得D的度數(shù)解答：解：AB為O直徑，ACB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）；又sinA=，CAB=30°，ABC=60°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）；又點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，OC=OB，OCB=OBC=60°，COB=60°，EOD=COB=60°（對(duì)頂角相等）；又DEAB，D=90°-60°=30°故答案是：30°點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓周角定理、特殊角的三角函數(shù)值解題時(shí)，注意“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一知識(shí)點(diǎn)的利用三、解答題16（2012荊門(mén)）如圖所示為圓柱形大型儲(chǔ)油罐固定在U型槽上的橫截面圖已知圖中ABCD為等腰梯形（ABDC），支點(diǎn)A與B相距8m，罐底最低點(diǎn)到地面CD距離為1m設(shè)油罐橫截面圓心為O，半徑為5m，D=56°，求：U型槽的橫截面（陰影部分）的面積（參考數(shù)據(jù)：sin53°0.8，tan56°1.5，3，結(jié)果保留整數(shù)）考點(diǎn)：垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理；等腰梯形的性質(zhì)；解直角三角形的應(yīng)用分析：連接AO、BO過(guò)點(diǎn)A作AEDC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作ONDC于點(diǎn)N，ON交O于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)F，則OFAB，先根據(jù)垂徑定理求出AF的值，再在在RtAOF中利用銳角三角函數(shù)的定義求出AOB的度數(shù)，由勾股定理求出OF的長(zhǎng)，根據(jù)四邊形ABCD是等腰梯形求出AE的長(zhǎng)，再由S陰=S梯形ABCD-（S扇OAB-SOAB）即可得出結(jié)論解答：解：如圖，連接AO、BO過(guò)點(diǎn)A作AEDC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作ONDC于點(diǎn)N，ON交O于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)F則OFABOA=OB=5m，AB=8m，AF=BF=AB=4（m），AOB=2AOF，在RtAOF中，sinAOF=0.8=sin53°，AOF=53°，則AOB=106°，OF=3（m），由題意得：MN=1m，F(xiàn)N=OM-OF+MN=3（m），四邊形ABCD是等腰梯形，AEDC，F(xiàn)NAB，AE=FN=3m，DC=AB+2DE在RtADE中，tan56°=，DE=2m，DC=12mS陰=S梯形ABCD-（S扇OAB-SOAB）=（8+12）×3-（×52-×8×3）=20（m2）答：U型槽的橫截面積約為20m2點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形及等腰梯形，再利用勾股定理進(jìn)行求解是解答此題的關(guān)鍵17（2012南通）如圖，O的半徑為17cm，弦ABCD，AB=30cm，CD=16cm，圓心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距離考點(diǎn)：垂徑定理；勾股定理專(zhuān)題：探究型分析：過(guò)點(diǎn)O作弦AB的垂線，垂足為E，延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)F，連接OA，OC；由于ABCD，則OFCD，EF即為AB、CD間的距離；由垂徑定理，易求得AE、CF的長(zhǎng)，可連接OA、ODC在構(gòu)建的直角三角形中，根據(jù)勾股定理即可求出OE、OF的長(zhǎng)，也就求出了EF的長(zhǎng)，即弦AB、CD間的距離解答：解：過(guò)點(diǎn)O作弦AB的垂線，垂足為E，延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)F，連接OA，OC，ABCD，OFCD，AB=30cm，CD=16cm，AE=AB=×30=15cm，CF=CD=×16=8cm，在RtAOE中，OE=8cm，在RtOCF中，OF=15cm，EF=OF-OE=15-8=7cm答：AB和CD的距離為7cm點(diǎn)評(píng)：本題考查的是勾股定理及垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵18（2012寧夏）在O中，直徑ABCD于點(diǎn)E，連接CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，且CFAD求D的度數(shù)考點(diǎn)：垂徑定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)分析：連接BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：BDCF，則BDC=C，根據(jù)圓周角定理可得BDC= BOC，則C= BOC，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求解解答：解：方法一：連接BD        ABO是直徑，BDAD又CFAD，BDCF，BDC=C又BDC=BOC，C=BOCABCD，C=30°，ADC=60°方法二：設(shè)D=x，CFAD，ABCD，A=A，AFOAED，D=AOF=x，ADC=2ADC=2x，x+2x=180，x=60，ADC=60°點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理以及直角三角形的性質(zhì)，正確得到C=BOC是解題的關(guān)鍵19（2012長(zhǎng)沙）如圖，A，P，B，C是半徑為8的O上的四點(diǎn)，且滿足BAC=APC=60°，（1）求證：ABC是等邊三角形；（2）求圓心O到BC的距離OD考點(diǎn)：圓周角定理；等邊三角形的判定；垂徑定理；解直角三角形專(zhuān)題：探究型分析：（1）先根據(jù)圓周角定理得出ABC的度數(shù)，再直接根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行解答即可；（2）連接OB，由等邊三角形的性質(zhì)可知，OBD=30°，根據(jù)OB=8利用直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論解答：解：（1）在ABC中，BAC=APC=60°，又APC=ABC，ABC=60°，ACB=180°-BAC-ABC=180°-60°-60°=60°，ABC是等邊三角形；（2）ABC為等邊三角形，O為其外接圓，O為ABC的外心，BO平分ABC，OBD=30°，OD=8×=4點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定，垂徑定理，解直角三角形等知識(shí)，將各知識(shí)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合，旨在考查同學(xué)們的綜合應(yīng)用能力20（2012大慶）如圖ABC中，BC=3，以BC為直徑的O交AC于點(diǎn)D，若D是AC中點(diǎn)，ABC=120°（1）求ACB的大??；（2）求點(diǎn)A到直線BC的距離考點(diǎn)：圓周角定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形分析：（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AB=BC，進(jìn)而得出A=C=30°即可；（2）根據(jù)BC=3，ACB=30°，BDC=90°，得出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AE的長(zhǎng)度即可解答：解：（1）連接BD，以BC為直徑的O交AC于點(diǎn)D，BDC=90°，D是AC中點(diǎn)，BD是AC的垂直平分線，AB=BC，A=C，ABC=120°，A=C=30°，即ACB=30°；（2）過(guò)點(diǎn)A作AEBC于點(diǎn)E，BC=3，ACB=30°，BDC=90°，cos30°=，CD=，AD=CD，AC=3，在RtAEC中，ACE=30°，AE=點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出CD的長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵21（2012懷化）如圖，已知AB是O的弦，OB=4，OBC=30°，點(diǎn)C是弦AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接CO并延長(zhǎng)CO交O于點(diǎn)D，連接AD、DB（1）當(dāng)ADC=18°時(shí)，求DOB的度數(shù)；（2）若AC=2，求證：ACDOCB考點(diǎn)：圓周角定理；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理；相似三角形的判定專(zhuān)題：證明題；幾何綜合題分析：（1）連接OA，根據(jù)OA=OB=OD，求出DAO、OAB的度數(shù)，求出DAB，根據(jù)圓周角定理求出即可；（2）過(guò)O作OEAB于E，根據(jù)垂徑定理求出AE和BE，求出AB，推出C、E重合，得出ACD=OCB=90°，求出DC長(zhǎng)得出 ，根據(jù)相似三角形的判定推出即可解答：（1）解：連接OA，OA=OB=OD，OAB=OBC=30°，OAD=ADC=18°，DAB=DAO+BAO=48°，由圓周角定理得：DOB=2DAB=96°（2）證明：過(guò)O作OEAB于E，由垂徑定理得：AE=BE，在RtOEB中，OB=4，OBC=30°，OE=OB=2，由勾股定理得：BE=2=AE，即AB=2AE=4，AC=2，BC=2，即C、E兩點(diǎn)重合，DCAB，DCA=OCB=90°，DC=OD+OC=2+4=6，OC=2，AC=BC=2，=，ACDOCB（兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩三角形相似）點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生能否運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理，題目綜合性比較強(qiáng)，是一道比較好的題目