《信號(hào)與線性系統(tǒng)分析》第四章PPT課件.ppt

2020/8/5,2020/8/5,1,第四章 傅里葉變換,4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù),4.2 周期信號(hào)的頻譜分析,4.3 典型周期信號(hào)的頻譜,4.4 非周期信號(hào)的頻譜分析,4.5 典型非周期信號(hào)的頻譜,引言,2020/8/5,2,2020/8/5,2020/8/5,2,頻域分析,從本章開始由時(shí)域轉(zhuǎn)入變換域分析，首先討論傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析（頻域分析）。將信號(hào)進(jìn)行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。 頻域分析將時(shí)間變量變換成頻率變量，揭示了信號(hào)內(nèi)在的頻率特性以及信號(hào)時(shí)間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號(hào)的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制和頻分復(fù)用等重要概念。,2020/8/5,3,2020/8/5,2020/8/5,3,發(fā)展歷史,1822年，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)的原理，奠定了傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ)。 泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。 19世紀(jì)末，人們制造出用于工程實(shí)際的電容器。 進(jìn)入20世紀(jì)以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開辟了廣闊的前景。 在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點(diǎn)。 “FFT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。,2020/8/5,4,2020/8/5,2020/8/5,4,主要內(nèi)容,本章從傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開問題開始討論，引出傅里葉變換，建立信號(hào)頻譜的概念。 通過典型信號(hào)頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，初步掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。 對(duì)于周期信號(hào)而言，在進(jìn)行頻譜分析時(shí)，可以利用傅里葉級(jí)數(shù)，也可以利用傅里葉變換，傅里葉級(jí)數(shù)相當(dāng)于傅里葉變換的一種特殊表達(dá)形式。 本章最后研究抽樣信號(hào)的傅里葉變換，引入抽樣定理。,2020/8/5,5,2020/8/5,2020/8/5,5,傅里葉生平,1768年生于法國(guó) 1807年提出“任何周期信號(hào)都可用正弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示” 1829年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件 拉格朗日反對(duì)發(fā)表 1822年首次發(fā)表在“熱的分析理論”一書中,2020/8/5,6,2020/8/5,2020/8/5,6,傅里葉 ( Jean Baptise Joseph Fourier 17681830 ),法國(guó)數(shù)學(xué)家。1768年3月21日生于奧塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴黎綜合工科學(xué)校任講師。 1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，當(dāng)過埃及學(xué)院的秘書。1801年回法國(guó)，又任伊澤爾地區(qū)的行政長(zhǎng)官。1817年傅里葉被選為科學(xué)院院士，并于1822年成為科學(xué)院的終身秘書。1827年又當(dāng)選為法蘭西學(xué)院院士。,在十八世紀(jì)中期,是否有用信號(hào)都能用復(fù)指數(shù)的線性組合來表示這個(gè)問題曾是激烈爭(zhēng)論的主題。1753年,D.伯努利曾聲稱一根弦的實(shí)際運(yùn)動(dòng)都可以用正弦振蕩模的線性組合來表示,但他沒有繼續(xù)從數(shù)學(xué)上深入探求下去;后來歐拉本人也拋棄了三角級(jí)數(shù)的想法。,2020/8/5,7,2020/8/5,2020/8/5,7,在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角級(jí)數(shù)來表示一個(gè)具有間斷點(diǎn)的函數(shù),因此三角級(jí)數(shù)的應(yīng)用非常有限。正是在這種多少有些敵對(duì)和懷疑的處境下,傅里葉約于半個(gè)世紀(jì)后提出了他自己的想法。傅里葉很早就開始并一生堅(jiān)持不渝地從事熱學(xué)研究，1807年他在向法國(guó)科學(xué)院呈交一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)問題的論文中宣布了任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)。這篇論文經(jīng) J.-L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒讓德等著名數(shù)學(xué)家審查，由于文中初始溫度展開為三角級(jí)數(shù)的提法與拉格朗日關(guān)于三角級(jí)數(shù)的觀點(diǎn)相矛盾，而遭拒絕。由于拉格朗日的強(qiáng)烈反對(duì),傅里葉的論文從未公開露面過。為了使他的研究成果能讓法蘭西研究院接受并發(fā)表,在經(jīng)過了幾次其他的嘗試以后,傅里葉才把他的成果以另一種方式出現(xiàn)在熱的分析理論這本書中。這本書出版于1822年,也即比他首次在法蘭西研究院宣讀他的研究成果時(shí)晚十五年。這本書已成為數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性的文獻(xiàn)，其中基本上包括了他的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)成就。,2020/8/5,8,2020/8/5,2020/8/5,8,書中處理了各種邊界條件下的熱傳導(dǎo)問題，以系統(tǒng)地運(yùn)用三角級(jí)數(shù)和三角積分而著稱，他的學(xué)生以后把它們稱為傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉積分，這個(gè)名稱一直沿用至今。傅里葉在書中斷言：“任意”函數(shù)（實(shí)際上要滿足 一定的條件,例如分段單調(diào)）都可以展開成三角級(jí)數(shù),他列舉大量函數(shù)并運(yùn)用圖形來說明函數(shù)的這種級(jí)數(shù)表示的普遍性，但是沒有給出明確的條件和完整的證明。 傅里葉的創(chuàng)造性工作為偏微分方程的邊值問題提供了基本的求解方法-傅里葉級(jí)數(shù)法,從而極大地推動(dòng)了微分方程理論的發(fā)展，特別是數(shù)學(xué)物理等應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展； 其次，傅里葉級(jí)數(shù)拓廣了函數(shù)概念，從而極大地推動(dòng)了函數(shù)論的研究，其影響還擴(kuò)及純粹數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域。 傅里葉深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題的最卓越的工具， 并且認(rèn)為“對(duì)自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉?！?這一見解已成為數(shù)學(xué)史上強(qiáng)調(diào)通過實(shí)際應(yīng)用發(fā)展數(shù)學(xué)的一種代表性的觀點(diǎn)。,2020/8/5,9,2020/8/5,2020/8/5,9,傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn),“周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和” 傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn) “非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示”傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn),2020/8/5,10,2020/8/5,2020/8/5,10,頻域分析：傅里葉變換 自變量為 j 復(fù)頻域分析：拉氏變換 自變量為 S = +j Z域分析：Z 變換 自變量為z,變換域分析：,2020/8/5,11,2020/8/5,2020/8/5,11,4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù),正交矢量 正交函數(shù) 正交函數(shù)集 用完備正交集表示信號(hào),2020/8/5,12,2020/8/5,2020/8/5,12,一、正交矢量,矢量：V1 和 V2 參加如下運(yùn)算， Ve 是它們的差，如下式：,2020/8/5,13,2020/8/5,2020/8/5,13,表示 和 互相接近的程度,當(dāng)V1 、 V2完全重合，則 隨夾角增大，c12減??； 當(dāng) ， V1 和 V2相互垂直,2020/8/5,14,2020/8/5,2020/8/5,14,二維正交集,三維正交集,2020/8/5,15,2020/8/5,2020/8/5,15,二、 正交函數(shù),令 ，則誤差能量 最小,2020/8/5,16,2020/8/5,2020/8/5,16,解得,2020/8/5,17,2020/8/5,2020/8/5,17,正交條件,若 c12=0 ， 則 f1(t)不包含f2(t)的分量， 則稱正交。 正交的條件：,2020/8/5,18,2020/8/5,2020/8/5,18,例：,試用sint 在區(qū)間（0，2 ）來近似 f(t)。,2020/8/5,19,2020/8/5,2020/8/5,19,解：,所以：,2020/8/5,20,2020/8/5,2020/8/5,20,例：試用正弦sint 在（0，2）區(qū)間內(nèi)來表示余弦cost.,所以,說明cost 中不包含 sint 分量， 因此cost 和 sint 正交。,顯然,2020/8/5,21,2020/8/5,2020/8/5,21,三、 正交函數(shù)集,n個(gè)函數(shù) 構(gòu)成一函數(shù)集， 如在區(qū)間 內(nèi)滿足正交特性，即,則此函數(shù)集稱為正交函數(shù)集,2020/8/5,22,2020/8/5,2020/8/5,22,在（t1,t2）區(qū)間，任意函數(shù)f(t) 可由n個(gè)正交的函數(shù)的線性組合近似,由最小均方誤差準(zhǔn)則，要求系數(shù) 滿足,2020/8/5,23,2020/8/5,2020/8/5,23,在最佳逼近時(shí)的誤差能量,歸一化正交函數(shù)集：,2020/8/5,24,2020/8/5,2020/8/5,24,復(fù)變函數(shù)的正交特性,兩復(fù)變函數(shù)正交的條件是,2020/8/5,25,2020/8/5,2020/8/5,25,四 用完備正交集表示信號(hào),帕斯瓦爾(Parseval)方程,2020/8/5,26,2020/8/5,2020/8/5,26,另一種定義：在正交集 之外再?zèng)]有一有限能量的x(t)滿足以下條件,三角函數(shù)集 復(fù)指數(shù)函數(shù)集,2020/8/5,27,2020/8/5,2020/8/5,27,其它正交函數(shù)系,沃爾什函數(shù)集 勒讓德多項(xiàng)式 切比雪夫多項(xiàng)式,2020/8/5,28,2020/8/5,2020/8/5,28,4.2 周期信號(hào)的頻譜分析,周期信號(hào)可展開成正交函數(shù)線性組合的無窮級(jí)數(shù)： . 三角函數(shù)式的 傅立里葉級(jí)數(shù) cosn1t, sinn1t. 復(fù)指數(shù)函數(shù)式的傅里葉級(jí)數(shù) e j n 1t ,2020/8/5,29,2020/8/5,2020/8/5,29,一、三角函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù):,直流 分量,n =1 基波分量,n1 諧波分量,2020/8/5,30,2020/8/5,2020/8/5,30,直流系數(shù),余弦分量系數(shù),正弦分量系數(shù),2020/8/5,31,2020/8/5,2020/8/5,31,狄利赫利條件：,在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)間斷點(diǎn)； 在一個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)； 在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)絕對(duì)可積，即 一般周期信號(hào)都滿足這些條件.,2020/8/5,32,2020/8/5,2020/8/5,32,三角函數(shù)是正交函數(shù),2020/8/5,33,2020/8/5,2020/8/5,33,周期信號(hào)的另一種三角函數(shù)正交集表示,2020/8/5,34,2020/8/5,2020/8/5,34,比較幾種系數(shù)的關(guān)系,2020/8/5,35,2020/8/5,2020/8/5,35,周期函數(shù)的頻譜：,周期信號(hào)的譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率處。直觀看出：各分量的大小，各分量的相移，,2020/8/5,36,2020/8/5,2020/8/5,36,二、周期函數(shù)的復(fù)指數(shù)級(jí)數(shù),由前知 由歐拉公式 其中,引入了負(fù)頻率,2020/8/5,37,2020/8/5,2020/8/5,37,指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù),兩種傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系,2020/8/5,38,2020/8/5,2020/8/5,38,兩種傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系,2020/8/5,39,2020/8/5,2020/8/5,39,周期復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜圖,0,0,-,2020/8/5,40,2020/8/5,2020/8/5,40,周期復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜圖的特點(diǎn),引入了負(fù)頻率變量，沒有物理意義，只是數(shù)學(xué)推導(dǎo)； Cn 是實(shí)函數(shù)，F(xiàn)n 一般是復(fù)函數(shù)， 當(dāng) Fn 是實(shí)函數(shù)時(shí)，可用Fn的正負(fù)表示0和相位， 幅度譜和相位譜合一；,2020/8/5,41,2020/8/5,2020/8/5,41,三、周期信號(hào)的功率特性,P為周期信號(hào)的平均功率 符合帕斯瓦爾定理,2020/8/5,42,2020/8/5,2020/8/5,42,四、對(duì)稱信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù),三種對(duì)稱： 偶函數(shù) ：f (t )=f (-t) 奇函數(shù) ：f (t )= - f (-t) 奇諧函數(shù) ：半周期對(duì)稱 任意周期函數(shù)有：,偶函數(shù)項(xiàng),奇函數(shù)項(xiàng),2020/8/5,43,2020/8/5,2020/8/5,43,周期偶函數(shù),Fn是實(shí)數(shù),只含直流和余弦分量,2020/8/5,44,2020/8/5,2020/8/5,44,例如:周期三角函數(shù)是偶函數(shù),E,f(t),T1/2,-T1/2,t,2020/8/5,45,2020/8/5,2020/8/5,45,周期奇函數(shù)只含正弦項(xiàng),Fn為虛數(shù),2020/8/5,46,2020/8/5,2020/8/5,46,例如周期鋸齒波是奇函數(shù),E/2,-E/2,T1/2,-T1/2,f(t),t,0,2020/8/5,47,2020/8/5,2020/8/5,47,奇諧函數(shù) ：,沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期； 反相； 波形不變； 半波對(duì)稱,2020/8/5,48,2020/8/5,2020/8/5,48,奇諧函數(shù) 的波形：,T1/2,-T1/2,0,t,f(t),2020/8/5,49,2020/8/5,2020/8/5,49,奇諧函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù),奇諧函數(shù)的偶次諧波的系數(shù)為0,2020/8/5,50,2020/8/5,2020/8/5,50,例：利用傅立葉級(jí)數(shù)的對(duì)稱性判斷所含有的頻率分量,周期偶函數(shù)，奇諧函數(shù),周期奇函數(shù)，奇諧函數(shù),-T/2,T/2,-T/2,T/2,E/2,-E/2,只含基波和奇次諧波的余弦分量,只含基波和奇次諧波的正弦分量,2020/8/5,51,2020/8/5,2020/8/5,51,含有直流分量和正弦分量,只含有正弦分量,含有直流分量和余弦分量,-T,T,含有直流分量和偶次諧波余弦分量,2020/8/5,52,2020/8/5,2020/8/5,52,五、傅里葉有限級(jí)數(shù),如果完全逼近，則 n ; 實(shí)際應(yīng)用中，n=N, N是有限整數(shù)。 N愈趨近 ，則其均方誤差愈小 若用2N1項(xiàng)逼近，則,2020/8/5,53,2020/8/5,2020/8/5,53,誤差函數(shù)和均方誤差,誤差函數(shù) 均方誤差,2020/8/5,54,2020/8/5,2020/8/5,54,例如: 對(duì)稱方波, 是偶函數(shù)且奇諧函數(shù),只有奇次諧波的余弦項(xiàng)。,E/2,-E/2,T1/4,-T1/4,t,2020/8/5,55,2020/8/5,2020/8/5,55,對(duì)稱方波有限項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù),N=1,N=3,N=5,2020/8/5,56,2020/8/5,2020/8/5,56,項(xiàng)數(shù)N越大，誤差越小例如: N=11,-0.5,-0.4,-0.3,-0.2,-0.1,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2020/8/5,57,2020/8/5,2020/8/5,57,由以上可見：,N越大，越接近方波 快變信號(hào)，高頻分量，主要影響跳變沿； 慢變信號(hào)，低頻分量，主要影響頂部； 任一分量的幅度或相位發(fā)生相對(duì)變化時(shí)，波形將會(huì)失真 有吉伯斯現(xiàn)象發(fā)生,2020/8/5,2020/8/5,58,4.3 典型周期信號(hào)的頻譜,周期矩形脈沖信號(hào) 周期鋸齒脈沖信號(hào) 周期三角脈沖信號(hào) 周期半波脈沖信號(hào) 周期全波脈沖信號(hào),2020/8/5,59,2020/8/5,2020/8/5,59,一、周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜,f(t),t,0,E,-T,T,2020/8/5,60,2020/8/5,2020/8/5,60,f(t),t,0,E,-T,T,2020/8/5,61,2020/8/5,2020/8/5,61,f(t),Fn,t,0,0,E,T,-T,2020/8/5,62,2020/8/5,2020/8/5,62,頻譜分析表明,離散頻譜，譜線間隔為基波頻率，脈沖周期越大，譜線越密； 各分量的大小與脈幅成正比，與脈寬成正比，與周期成反比； 各譜線的幅度按 包絡(luò)線變化。過零點(diǎn)為： 主要能量在第一過零點(diǎn)內(nèi)。主帶寬度為：,Fn,0,2020/8/5,63,2020/8/5,周期信號(hào)的功率,例4.31 T=1s, t=0.2s, E=1,2020/8/5,64,2020/8/5,周期矩形的頻譜變化規(guī)律：,若T不變，在改變的情況 若不變，在改變T時(shí)的情況,2020/8/5,65,2020/8/5,2020/8/5,65,對(duì)稱方波是周期矩形的特例,T,T/4,-T/4,實(shí)偶函數(shù),周期矩形 奇諧函數(shù),對(duì)稱方波 奇次余弦,2020/8/5,66,2020/8/5,2020/8/5,66,對(duì)稱方波的頻譜變化規(guī)律,T,T/4,-T/4,奇次諧波,0,2020/8/5,67,2020/8/5,2020/8/5,67,傅立葉級(jí)數(shù) 的系數(shù),T 信號(hào)的周期,脈寬,基波頻率1,傅立葉級(jí)數(shù)小結(jié),2020/8/5,68,2020/8/5,2020/8/5,68,當(dāng)周期信號(hào)的周期T無限大時(shí),就演變成了非周期信號(hào)的單脈沖信號(hào),頻率也變成連續(xù)變量,4.4 非周期信號(hào)的頻譜分析,2020/8/5,69,2020/8/5,2020/8/5,69,頻譜演變的定性觀察,-T/2,T/2,T/2,-T/2,2020/8/5,70,2020/8/5,2020/8/5,70,1.從周期信號(hào)FS推導(dǎo)非周期信號(hào)的FT,傅立葉 變換,=F f(t),2020/8/5,71,2020/8/5,2020/8/5,71,2.傅立葉的逆變換,傅立葉 逆變換,=F -1 F(w),2020/8/5,72,2020/8/5,F(w) =F f(t) F(jw),f(t)=F -1F(w),f(t)F(w),2020/8/5,73,2020/8/5,2020/8/5,73,3.從物理意義來討論FT,(a) F()是一個(gè)密度函數(shù)的概念 (b) F()是一個(gè)連續(xù)譜 (c) F()包含了從零到無限高頻的所有頻率分量 (d) 各頻率分量的頻率不成諧波關(guān)系,2020/8/5,74,2020/8/5,2020/8/5,74,傅立葉變換一般為復(fù)數(shù),FT一般為復(fù)函數(shù),若f(t)為實(shí)數(shù)，則幅頻為偶函數(shù),相頻為奇函數(shù),2020/8/5,75,2020/8/5,2020/8/5,75,4.傅立葉變換存在的充分條件,用廣義函數(shù)的概念，允許奇異函數(shù)也能滿足上述條件，因而象階躍、沖激一類函數(shù)也存在傅立葉變換,2020/8/5,76,2020/8/5,2020/8/5,76,4.5 典型非周期信號(hào)的頻譜,單邊指數(shù)信號(hào) 雙邊指數(shù)信號(hào) 矩形脈沖信號(hào) 符號(hào)函數(shù) 沖激函數(shù)信號(hào) 沖激偶函數(shù)信號(hào) 階躍函數(shù)信號(hào),2020/8/5,77,2020/8/5,2020/8/5,77,1.單邊指數(shù)信號(hào),信號(hào)表達(dá)式 幅頻 相頻,2020/8/5,78,2020/8/5,2020/8/5,78,f(t),t,0,0,0,1.單邊指數(shù)信號(hào),2020/8/5,79,2020/8/5,2020/8/5,79,2.雙邊指數(shù)信號(hào),2020/8/5,80,2020/8/5,2020/8/5,80,2.雙邊指數(shù)信號(hào),2020/8/5,81,2020/8/5,2020/8/5,81,3.矩形脈沖信號(hào),2020/8/5,82,2020/8/5,2020/8/5,82,t,0,2020/8/5,83,2020/8/5,奇異信號(hào)的傅氏變換,符號(hào)函數(shù) 沖激函數(shù) 沖激偶函數(shù) 階躍函數(shù),2020/8/5,84,2020/8/5,2020/8/5,84,4.符號(hào)函數(shù),不滿足絕對(duì)可積條件,2020/8/5,85,2020/8/5,2020/8/5,85,4.符號(hào)函數(shù),2020/8/5,86,2020/8/5,2020/8/5,86,- 0,Sgn(t),+1,-1,2020/8/5,87,2020/8/5,2020/8/5,87,5. 沖激函數(shù)傅立葉變換,F d(t)=1,1、由定義,2、由極限概念,F (1/)g(t)= (1/)Sa(/2),2020/8/5,88,2020/8/5,2020/8/5,88,5. 沖激函數(shù)傅立葉變換,1,t,0,0,F d(t)=1,2020/8/5,89,2020/8/5,6、直流信號(hào)傅氏變換,F -1d(w),1,0,t,0,F 1=2p d(w),2020/8/5,90,2020/8/5,2020/8/5,90,7.沖激偶的傅立葉變換,F d(t)=1,F,F,2020/8/5,91,2020/8/5,2020/8/5,91,8. 階躍信號(hào)的傅立葉變換,e(t),0,t,0,F,2020/8/5,92,其它信號(hào)三角形脈沖,E(1-2|t|/t) |t|t/2,2020/8/5,93,第二部分,