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(江蘇專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第6課時 雙曲線課時闖關(guān)(含解析)

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(江蘇專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第6課時 雙曲線課時闖關(guān)(含解析)

(江蘇專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第6課時 雙曲線 課時闖關(guān)(含解析)A級雙基鞏固一、填空題1已知雙曲線的中心在原點(diǎn),一個頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0),且焦距與實(shí)軸長之比為53,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_解析:可求得a3,c5.焦點(diǎn)的位置在x軸上,所得的方程為1.答案:12已知雙曲線1的右焦點(diǎn)為,則該雙曲線的漸近線方程為_解析:c,c213,9a13,a4.又焦點(diǎn)在x軸上,漸近線方程y±x.答案:y±x3已知雙曲線1的一條漸近線方程為yx,則該雙曲線的離心率e為_解析:設(shè)m>0,n>0,.e.設(shè)m<0,n<0.則1,.e.雙曲線的離心率為或.答案:或4已知雙曲線C:1(a>0,b>0)的實(shí)軸長為2,離心率為2,則雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_解析:由題意得:a1,e2,所以c2,又由標(biāo)準(zhǔn)方程可得焦點(diǎn)在x軸上,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2,0)答案:(±2,0)5若方程1表示雙曲線,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析:若方程表示雙曲線,則有或,解得2<k<2或k>5.答案:(2,2)(5,)6如果雙曲線1上一點(diǎn)P到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是2,那么點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是_解析:雙曲線的右準(zhǔn)線為l:x.離心率為,從而|xP|×2,xP(因右焦點(diǎn)為F2(,0)P點(diǎn)必在右支上,負(fù)根舍去)故點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為.答案:7(2011·高考福建卷改編)設(shè)圓錐曲線C的兩個焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,若曲線C上存在點(diǎn)P滿足|PF1|F1F2|PF2|432則曲線C的離心率為_解析:設(shè)|PF1|4k,|F1F2|3k,|PF2|2k(k>0)若圓錐曲線為橢圓,則2a6k,2c3k,e.若圓錐曲線為雙曲線,則2a4k2k2k,2c3k,e.答案:或8設(shè)雙曲線x2y21的兩條漸近線與直線x圍成的三角形區(qū)域(包含邊界)為D,點(diǎn)P(x,y)為D內(nèi)的一個動點(diǎn),則目標(biāo)函數(shù)zx2y的最小值為_解析:如圖所示A,B.而zx2y,即yx.過A時,zmin2×.答案:二、解答題9已知雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對稱,且與圓x2y210相交于點(diǎn)P(3,1),若此圓過點(diǎn)P的切線與雙曲線的一條漸近線平行,求此雙曲線的方程解:切點(diǎn)為P(3,1)的圓x2y210的切線方程是3xy10.雙曲線的一條漸近線與此切線平行,且雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對稱,兩漸近線方程為3x±y0.設(shè)所求雙曲線方程為9x2y2(0)點(diǎn)P(3,1)在雙曲線上,代入上式可得80,所求的雙曲線方程為1.10由雙曲線1上的一點(diǎn)P與左、右兩焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成PF1F2,求PF1F2的內(nèi)切圓與邊F1F2的切點(diǎn)坐標(biāo)解:由雙曲線方程知a3,b2,c.當(dāng)P在雙曲線右支上時,如圖,N為內(nèi)切圓與邊F1F2的切點(diǎn),根據(jù)從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長相等及雙曲線定義可得|PF1|PF2|2a,|NF1|NF2|PF1|PF2|2a.|NF1|NF2|2c.由得|NF1|ac.|ON|NF1|OF1|acca3.故切點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,0)根據(jù)對稱性,當(dāng)P在雙曲線左支上時,切點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,0)B級能力提升一、填空題1在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知ABC的頂點(diǎn)A(5,0)和C(5,0),頂點(diǎn)B在雙曲線1上,則為_解析:設(shè)ABC中角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,由正弦定理得,由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義可知,A、C是雙曲線的焦點(diǎn),則在ABC中b10,|ca|8.所以.答案:2過雙曲線1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)A作斜率為1的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B、C.若AB,則雙曲線的離心率是_解析:直線l:yxa與漸近線l1:bxay0交于B,l與漸近線l2:bxay0交于C,又A(a,0),A,B.AB,b2a,c2a24a2,e25,e.答案:3(2010·高考課標(biāo)全國卷改編)已知雙曲線E的中心為原點(diǎn),F(xiàn)(3,0)是E的焦點(diǎn),過F的直線l與E相交于A,B兩點(diǎn),且AB的中點(diǎn)為N(12,15),則E的方程為_解析:由已知kAB1.設(shè)E:1,A(x1,y1),B(x2,y2),1,1,則0,而所以1,b2a2.又c2a2b29,聯(lián)立解得a24,b25,E的方程為:1.答案:14已知雙曲線1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為l,若在雙曲線的左支上能找到一點(diǎn)P,使得|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項(xiàng)則雙曲線離心率的取值范圍是_解析:設(shè)在左半支上存在P點(diǎn),使|PF1|2|PF2|·d,由雙曲線的第二定義知e,即|PF2|e|PF1|,再由雙曲線的第一定義,得|PF2|PF1|2a,由式、,解得|PF1|,|PF2|.由題意知:|PF1|PF2|2c,2c.利用e,從式得e22e10,解得1e1,e>1,1<e1.答案:(1,1二、解答題5已知二次曲線Ck的方程:1.(1)分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件;(2)若雙曲線Ck與直線yx1有公共點(diǎn)且實(shí)軸最長,求雙曲線方程;(3)m,n為正整數(shù),且m<n,是否存在兩條曲線Cm、Cn,其交點(diǎn)P與點(diǎn)F1(,0),F(xiàn)2(,0),滿足·0?若存在,求m、n的值;若不存在,說明理由解:(1)當(dāng)且僅當(dāng)即k<4時,方程表示橢圓;當(dāng)且僅當(dāng)(9k)(4k)<0,即4<k<9時,方程表示雙曲線(2)由化簡得(132k)x22(9k)x(9k)(k3)0.0,即k6或k4(舍)雙曲線實(shí)軸最長,k取最小值6時,9k最大即雙曲線實(shí)軸最長,此時雙曲線方程為1.(3)由(1)知C1、C2、C3是橢圓,C5、C6、C7、C8是雙曲線,結(jié)合圖象的幾何性質(zhì),任意兩橢圓之間無公共點(diǎn),任意兩雙曲線之間也無公共點(diǎn)設(shè)|PF1|d1,|PF2|d2,m1,2,3,n5,6,7,8,則根據(jù)橢圓、雙曲線定義及·0(即PF1PF2),應(yīng)有所以mn8,所以這樣的Cm、Cn存在,且或或6.(2012·江蘇揚(yáng)州調(diào)研)如圖,已知雙曲線C:1(a>0,b>0),l1、l2為其漸近線,F(xiàn)為右焦點(diǎn),過F作直線ll2,且l交雙曲線C于點(diǎn)R,l1lM,又過點(diǎn)F作x軸的垂線與C交于第一象限內(nèi)的P點(diǎn)(1)試用F、F表示F;(2)求證:為定值;(3)若F,且,試求雙曲線C的離心率e的范圍解:易知F(c,0),P,直線l的方程為y(xc)由可得R;又由可得M.(1)F,F(xiàn)(c,0),F(xiàn).令Fmn,即m(c,0)n.解得FFF.(2)證明:|,|,.(3),由F,可得1,<<,<1<,解得<e<.故雙曲線C的離心率e的范圍為(,)

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