2.4 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

*2.4 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系教學(xué)目標1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的兩根x1，x2與系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系。2、能根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系式和已知一個根的條件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知數(shù)。3、會求已知方程的兩根的倒數(shù)和與平方和、兩根的差。4、在推導(dǎo)過程中，培養(yǎng)學(xué)生“觀察發(fā)現(xiàn)猜想證明”的研究問題的思想與方法。教學(xué)重難點【教學(xué)重點】一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的兩根x1，x2與系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系，求已知方程的兩根的倒數(shù)和與平方和、兩根的差?！窘虒W(xué)難點】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系式和已知一個根的條件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知數(shù)。課前準備無教學(xué)過程第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)回顧內(nèi)容：1、一元二次方程的一般形式？ ax2+bx+c=0 (a0)（板書）     2、一元二次方程有實數(shù)根的條件是什么？ (=b2-4ac0)3、當(dāng)0，=0，0 根的情況如何？4、一元二次方程的求根公式是什么？ 目的：以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生思考，回憶公式法解一元二次方程的相關(guān)知識，有利于學(xué)生銜接前后知識，形成清晰的知識脈絡(luò)，為后面的學(xué)習(xí)作好鋪墊。效果：第一問題學(xué)生先動筆寫在練習(xí)本上，有個別同學(xué)少了條件“a0”。后面的問題由于較簡單，學(xué)生很快回答出來，提高了學(xué)生自信心。第二環(huán)節(jié)：情景引入內(nèi)容：同學(xué)們，我們來做一個游戲，看誰能更快速的說出下列一元二次方程的兩根和與兩根積？ （1）x2+3x+4=0 （2）6x2+x-2=0  （3） 2x2-3x +1=0目的：通過游戲入手，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。效果：激發(fā)了學(xué)生的求知欲和好奇心，激起了學(xué)生探究新知的興趣。自然引出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的課題第三環(huán)節(jié)：探究新知內(nèi)容： 計算填表（驗證第一環(huán)節(jié)游戲的結(jié)果）方程 x1 x2x1+x2 x1x2  x2+3x+4=0    6x2+x-2=0     2x2-3x +1=0    問題：1、你找到快速求出一元二次方程的兩根和與兩根積的方法了嗎？        2、剛才我們列舉了部分方程發(fā)現(xiàn)兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系，那么是不是所有的一元二次方程根與系數(shù)都有這樣的關(guān)系呢？3、請根據(jù)以上的觀察發(fā)現(xiàn)進一步猜想：方程ax2+bx+c=0 (a0)的根x1，x2與a、b、c之間的關(guān)系：_。4.你能證明上面的猜想嗎？請證明，并用文字語言敘述說明。（分小組討論以上的問題，并作出推理證明。）目的：本環(huán)節(jié)采用“實踐觀察發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，使學(xué)生既動手、動腦，又動口，教師引導(dǎo)啟發(fā)，避免注入式地講授一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)學(xué)生的主體學(xué)習(xí)特性，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。效果：在復(fù)習(xí)舊知的基礎(chǔ)上，學(xué)生很快口完成了表格，為解決后面的問題做好了準備。問題串讓學(xué)生合作解決，在探究的過程中體現(xiàn)了特殊到一般，從實踐到理論的認知規(guī)律。第四環(huán)節(jié)：嘗試發(fā)展嘗試題1：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出下列方程的兩根之和與兩根之積（方程兩根為x1，x2、k是常數(shù)）（1）2x2-3x-1=0      x1+x2= _      x1x2= _            （2）3x2+5x=0        x1+x2= _    x1x2= _  （3）x2+7x=-6     x1+x2= _   x1x2= _  （4）5x2+kx-6=0      x1+x2= _   x1x2= _（學(xué)生迅速演算或口算）嘗試題2：利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程2x2-3x+5=0的兩個根的（1）平方和 （2）倒數(shù)和 （3）差嘗試題3：已知方程6x2+kx-5=0的一個根為1，求它的另一個根及k的值。目的：“嘗試題1”是引導(dǎo)學(xué)生及時鞏固本節(jié)所學(xué)的新知“根與系數(shù)的關(guān)系”，其中第（3）小題是培養(yǎng)學(xué)生思維嚴謹性和批判性；第（4）小題是起過渡作用設(shè)計?！皣L試題2” 將平方和、倒數(shù)和及差轉(zhuǎn)化為兩根和與積的代數(shù)式。例如：x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2;  “嘗試題3” 展示學(xué)生的不同作法，通過比較，學(xué)生可以體會到用根與系數(shù)的關(guān)系來解決此類問題比較簡便。效果：1、兩根之和等于一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)的相反數(shù)中的符號是學(xué)生的易錯點2、將平方和、倒數(shù)和及差轉(zhuǎn)化為兩根和與積的代數(shù)式時，部分學(xué)生不能熟練的掌握。3、使學(xué)生體會解題方法的多樣性，開闊解題思路，優(yōu)化解題方法，增強擇優(yōu)能力。力求讓學(xué)生在自主探索和合作交流的過程中進行學(xué)習(xí)，獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。第五環(huán)節(jié)：拓展創(chuàng)新1已知三角形的兩邊長a、b是方程x2-12x+k=0的兩個根，三角形的第三條邊c=4,求這個三角形的周長。X k B 1 . c o m 2、變式訓(xùn)練：已知三角形的兩邊長a、b是方程x2-12x+k=0的兩個根，三角形的第三條邊c能等于15嗎？3、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求作一個一元二次方程，使它的兩根為2和3.目的：1、第1、2題把一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系與三角形三邊關(guān)系相組合，借此鍛煉學(xué)生綜合分析、推理、歸納的能力。2、第3題已知方程的兩根求作一個一元二次方程，是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的逆用，比較抽象，學(xué)生真正掌握有一定的難度。同時要注意答案的多樣性及其中的規(guī)律效果：留給學(xué)生充分的獨立思考和小組合作交流的時間與空間，使學(xué)生在資源共享的同時，充分體會到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的廣泛應(yīng)用和便捷，第六環(huán)節(jié) 感悟與收獲內(nèi)容：師生互相交流總結(jié)在方程ax2+bx+c=0（a0）中，a、b、c有哪些作用？二次項系數(shù)a是否為零，決定著方程是否為二次方程；當(dāng)a0時，b=0，a、c異號，方程兩根互為相反數(shù)；當(dāng)a0時，=b2-4ac可判定根的情況X k B 1 . c o m當(dāng)a0，b2-4ac0時，x1+x2=      ，x1x2=    當(dāng)a0，c=0時，方程必有一根為0。 目的：鼓勵學(xué)生回顧本節(jié)課知識方面以及與之相聯(lián)系的知識有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高，通過回顧進一步鞏固知識，將新知識納入到學(xué)生個人已有的知識體系中。效果：學(xué)生通過回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)，感受到公式推導(dǎo)的全過程，發(fā)展了邏輯思維能力，提高了推理技能。 第七環(huán)節(jié) 布置作業(yè)P52 A 知識技能1  B  數(shù)學(xué)理解3C、已知方程的一個根為2，求另一個根及的值。 4