2013年全國高考數(shù)學(xué) 試題分類匯編7 立體幾何

2013年全國高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編7：立體幾何一、選擇題 （2013年高考新課標(biāo)1（理）如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器的厚度,則球的體積為 （）ABCD【答案】A （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版）設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（）A若,則B若,則 C若,則D若,則【答案】D （2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）若兩個球的表面積之比為,則這兩個球的體積之比為（）ABCD【答案】C （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對）已知正四棱柱中,則與平面所成角的正弦值等于（）ABCD【答案】A （2013年高考新課標(biāo)1（理）某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（）ABCD【答案】A （2013年高考湖北卷（理）一個幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成,其體積分別記為,上面兩個簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體,下面兩個簡單幾何體均為多面體,則有（）ABCD 【答案】C （2013年高考湖南卷（理）已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形,則該正方體的正視圖的面積不可能等于（）A BCD 【答案】C （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版）某四棱臺的三視圖如圖所示,則該四棱臺的體積是 正視圖俯視圖側(cè)視圖第5題圖（）ABCD【答案】B （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案）已知為異面直線,平面,平面.直線滿足,則（）A,且B,且C與相交,且交線垂直于D與相交,且交線平行于【答案】D （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直,體積為,底面是邊長為的正三角形.若為底面的中心,則與平面所成角的大小為（）ABCD【答案】B （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）某幾何體的三視圖如題圖所示,則該幾何體的體積為（）ABCD【答案】C （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版）已知三棱柱的6個頂點都在球的球面上,若,則球的半徑為（）ABCD 【答案】C （2013年高考江西卷（理）如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且,正方體的六個面所在的平面與直線CE,EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,那么（）A8B9C10D11【答案】A （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案）一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是,畫該四面體三視圖中的正視圖時,以平面為投影面,則得到正視圖可以為 （）ABCD【答案】A （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）在下列命題中,不是公理的是（）A平行于同一個平面的兩個平面相互平行B過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面C如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)D如果兩個不重合的平面有一個公共點, 那么他們有且只有一條過該點的公共直線【答案】A （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）在空間中,過點作平面的垂線,垂足為,記.設(shè)是兩個不同的平面,對空間任意一點,恒有,則（）A平面與平面垂直B平面與平面所成的(銳)二面角為 C平面與平面平行D平面與平面所成的(銳)二面角為 【答案】A （2013年高考四川卷（理）一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以是 【答案】D 二、填空題（2013年高考上海卷（理）在平面上,將兩個半圓弧和、兩條直線 和圍成的封閉圖形記為D,如圖中陰影部分.記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為,過作的水平截面,所得截面面積為,試?yán)米鏁溤怼⒁粋€平放的圓柱和一個長方體,得出的體積值為_【答案】. （2013年高考陜西卷（理）某幾何體的三視圖如圖所示, 則其體積為_.【答案】 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對）已知圓和圓是球的大圓和小圓,其公共弦長等于球的半徑,且圓與圓所在的平面所成的一個二面角為,則球的表面積等于_.【答案】 （2013年高考北京卷（理）如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點,點P在線段D1E上,點P到直線CC1的距離的最小值為_.【答案】 （2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WORD版含附加題）如圖,在三棱柱中,分別是的中點,設(shè)三棱錐的體積為,三棱柱的體積為,則_.【答案】 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積等于_.43233正視圖側(cè)視圖俯視圖（第12題圖）【答案】24 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）如圖,正方體的棱長為1,P為BC的中點,Q為線段上的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的編號).當(dāng)時,S為四邊形;當(dāng)時,S為等腰梯形;當(dāng)時,S與的交點R滿足;當(dāng)時,S為六邊形;當(dāng)時,S的面積為.【答案】 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版）某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是_.【答案】 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）已知某一多面體內(nèi)接于一個簡單組合體,如果該組合體的正視圖.測試圖.俯視圖均如圖所示,且圖中的四邊形是邊長為2的正方形,則該球的表面積是_【答案】 （2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）在如圖所示的正方體中,異面直線與所成角的大小為_D1C1B1A1DCAB【答案】 三、解答題（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版）如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上的點.(I)求證:(II)【答案】 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）如圖,四棱錐中,為的中點,.(1)求的長; (2)求二面角的正弦值.【答案】 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）如圖,圓錐頂點為.底面圓心為,其母線與底面所成的角為22.5°.和是底面圓上的兩條平行的弦,軸與平面所成的角為60°.()證明:平面與平面的交線平行于底面; ()求.【答案】解: () . 所以,. () . . . 法二: （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）如圖,在四面體中,平面,.是的中點, 是的中點,點在線段上,且.(1)證明:平面;(2)若二面角的大小為,求的大小.ABCDPQM（第20題圖）【答案】解:證明()方法一:如圖6,取的中點,且是中點,所以.因為是中點,所以;又因為()且,所以,所以面面,且面,所以面; 方法二:如圖7所示,取中點,且是中點,所以;取的三等分點,使,且,所以,所以,且,所以面; ()如圖8所示,由已知得到面面,過作于,所以,過作于,連接,所以就是的二面角;由已知得到,設(shè),所以 , 在中,所以在中, ,所以在中 ; （2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）如圖,在正三棱錐中,異面直線與所成角的大小為,求該三棱柱的體積.B1A1C1ACB【答案】解因為 . 所以為異面直線與.所成的角,即=. 在Rt中, 從而, 因此該三棱柱的體積為. （2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WORD版含附加題）本小題滿分14分.如圖,在三棱錐中,平面平面,過作,垂足為,點分別是棱的中點.求證:(1)平面平面; (2).【答案】證明:(1),F分別是SB的中點 E.F分別是SA.SB的中點 EFAB 又EF平面ABC, AB平面ABC EF平面ABC 同理:FG平面ABC 又EFFG=F, EF.FG平面ABC平面平面 (2)平面平面 平面平面=BC AF平面SAB AFSB AF平面SBC 又BC平面SBC AFBC 又, ABAF=A, AB.AF平面SAB BC平面SAB又SA平面SABBCSA （2013年高考上海卷（理）如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,證明直線BC1平行于平面DA1C,并求直線BC1到平面D1AC的距離.【答案】因為ABCD-A1B1C1D1為長方體,故, 故ABC1D1為平行四邊形,故,顯然B不在平面D1AC上,于是直線BC1平行于平面DA1C; 直線BC1到平面D1AC的距離即為點B到平面D1AC的距離設(shè)為 考慮三棱錐ABCD1的體積,以ABC為底面,可得 而中,故 所以,即直線BC1到平面D1AC的距離為. （2013年高考湖北卷（理）如圖,是圓的直徑,點是圓上異于的點,直線平面,分別是,的中點.(I)記平面與平面的交線為,試判斷直線與平面的位置關(guān)系,并加以證明;(II)設(shè)(I)中的直線與圓的另一個交點為,且點滿足.記直線與平面所成的角為,異面直線與所成的角為,二面角的大小為,求證:.第19題圖【答案】解:(I), 又 (II)連接DF,用幾何方法很快就可以得到求證.(這一題用幾何方法較快,向量的方法很麻煩,特別是用向量不能方便的表示角的正弦.個人認(rèn)為此題與新課程中對立體幾何的處理方向有很大的偏差.) （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版）如圖1,在等腰直角三角形中,分別是上的點,為的中點.將沿折起,得到如圖2所示的四棱錐,其中.() 證明:平面; () 求二面角的平面角的余弦值.COBDEACDOBE圖1圖2【答案】() 在圖1中,易得 CDOBEH 連結(jié),在中,由余弦定理可得 由翻折不變性可知, 所以,所以, 理可證, 又,所以平面. () 傳統(tǒng)法:過作交的延長線于,連結(jié), 因為平面,所以, 所以為二面角的平面角. 結(jié)合圖1可知,為中點,故,從而 CDOxE向量法圖yzB所以,所以二面角的平面角的余弦值為. 向量法:以點為原點,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示, 則, 所以, 設(shè)為平面的法向量,則 ,即,解得,令,得 由() 知,為平面的一個法向量, 所以,即二面角的平面角的余弦值為. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 側(cè)棱A1A底面ABCD, AB/DC, ABAD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E為棱AA1的中點. () 證明B1C1CE; () 求二面角B1-CE-C1的正弦值. () 設(shè)點M在線段C1E上, 且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為, 求線段AM的長. 【答案】 （2013年高考新課標(biāo)1（理）如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,BA A1=60°.()證明ABA1C;()若平面ABC平面AA1B1B,AB=CB=2,求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值.【答案】()取AB中點E,連結(jié)CE, AB=,=,是正三角形, AB, CA=CB, CEAB, =E,AB面, AB; ()由()知ECAB,AB, 又面ABC面,面ABC面=AB,EC面,EC, EA,EC,兩兩相互垂直,以E為坐標(biāo)原點,的方向為軸正方向,|為單位長度,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系, 有題設(shè)知A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(-1,0,0),則=(1,0,),=(-1,0,),=(0,-,), 設(shè)=是平面的法向量, 則,即,可取=(,1,-1), =, 直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值為 （2013年高考陜西卷（理）如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O為底面中心, A1O平面ABCD, . () 證明: A1C平面BB1D1D; () 求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角的大小. 【答案】解:() ;又因為,在正方形AB CD中,. 在正方形AB CD中,AO = 1 . .(證畢) () 建立直角坐標(biāo)系統(tǒng),使用向量解題. 以O(shè)為原點,以O(shè)C為X軸正方向,以O(shè)B為Y軸正方向.則 . 由()知, 平面BB1D1D的一個法向量 設(shè)平面OCB1的法向量為 . 所以,平面OCB1與平面BB1D1D的夾角為 （2013年高考江西卷（理）如圖,四棱錐中,連接并延長交于.(1)求證:;(2)求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】解:(1)在中,因為是的中點,所以, 故, 因為,所以, 從而有, 故,又因為所以. 又平面, 所以故平面. (3)以點為坐標(biāo)原點建立如圖所示的坐標(biāo)系,則, (4) ,故 設(shè)平面的法向量,則 , 解得,即. 設(shè)平面的法向量,則,解得, 即.從而平面與平面的夾角的余弦值為. （2013年高考四川卷（理）如圖,在三棱柱中,側(cè)棱底面,分別是線段的中點,是線段的中點.()在平面內(nèi),試作出過點與平面平行的直線,說明理由,并證明直線平面;()設(shè)()中的直線交于點,交于點,求二面角的余弦值.【答案】解:如圖,在平面內(nèi),過點做直線/,因為在平面外, 在平面內(nèi),由直線與平面平行的判定定理可知, /平面. 由已知,是的中點,所以,則直線. 因為平面,所以直線.又因為在平面內(nèi),且與相交,所以直線平面 解法一: 連接,過作于,過作于,連接. 由知,平面,所以平面平面. 所以平面,則. 所以平面,則. 故為二面角的平面角(設(shè)為). 設(shè),則由,有,. 又為的中點,所以為的中點,且, 在中, ;在中, . 從而,所以. 所以. 故二面角的余弦值為 解法二: 設(shè).如圖,過作平行于,以為坐標(biāo)原點,分別以,的方向為軸,軸,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系(點與點重合). 則,. 因為為的中點,所以分別為的中點, 故, 所以,. 設(shè)平面的一個法向量為,則 即故有 從而 取,則,所以. 設(shè)平面的一個法向量為,則 即故有 從而 取,則,所以. 設(shè)二面角的平面角為,又為銳角, 則. 故二面角的余弦值為 （2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WORD版含附加題）本小題滿分10分.如圖,在直三棱柱中,點是的中點(1)求異面直線與所成角的余弦值(2)求平面與所成二面角的正弦值.【答案】本題主要考察異面直線.二面角.空間向量等基礎(chǔ)知識以及基本運(yùn)算,考察運(yùn)用空間向量解決問題的能力. 解:(1)以為為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系, 則, , 異面直線與所成角的余弦值為 (2) 是平面的的一個法向量 設(shè)平面的法向量為, 由 取,得,平面的法向量為 設(shè)平面與所成二面角為 , 得 平面與所成二面角的正弦值為 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對）如圖,四棱錐中,與都是等邊三角形.(I)證明: (II)求二面角的大小.【答案】 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）如圖所示,在三棱錐中,平面, 分別是的中點, ,與交于點,與交于點,連接.()求證:; ()求二面角的余弦值.【答案】解:()證明:因為 分別是的中點, 所以,所以, 又平面,平面, 所以平面, 又平面,平面平面, 所以, 又, 所以. ()解法一:在中, , 所以,即,因為平面,所以, 又,所以平面,由()知, 所以平面,又平面,所以,同理可得, 所以為二面角的平面角,設(shè),連接, 在中,由勾股定理得, 在中,由勾股定理得, 又為的重心,所以 同理 , 在中,由余弦定理得, 即二面角的余弦值為. 解法二:在中, 所以,又平面,所以兩兩垂直, 以為坐標(biāo)原點,分別以所在直線為軸,軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,所以, 設(shè)平面的一個法向量為, 由, 得 取,得. 設(shè)平面的一個法向量為 由, 得 取,得.所以 因為二面角為鈍角,所以二面角的余弦值為. （2013年高考湖南卷（理）如圖5,在直棱柱,.(I)證明:; (II)求直線所成角的正弦值.【答案】解: () . (證畢) () . （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）如圖,在四棱柱中,側(cè)棱,.(1)求證:(2)若直線與平面所成角的正弦值為,求的值;(3)現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼接成一個新的棱柱,規(guī)定:若拼接成的新的四棱柱形狀和大小完全相同,則視為同一種拼接方案.問:共有幾種不同的方案?在這些拼接成的新四棱柱中,記其中最小的表面積為,寫出的表達(dá)式(直接寫出答案,不必要說明理由)【答案】解:()取中點,連接 , 四邊形為平行四邊形 且 在中, ,即,又,所以 平面,平面 ,又, 平面 ()以為原點,的方向為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 所以, 設(shè)平面的法向量,則由 得取,得 設(shè)與平面所成角為,則 ,解得.故所求的值為1 ()共有種不同的方案 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案）如圖,直棱柱中,分別是的中點,.()證明:平面; ()求二面角的正弦值.【答案】 （2013年高考北京卷（理）如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形,平面ABC平面AA1C1C,AB=3,BC=5.()求證:AA1平面ABC;()求二面角A1-BC1-B1的余弦值;()證明:在線段BC1存在點D,使得ADA1B,并求的值.【答案】解: (I)因為AA1C1C為正方形,所以AA1 AC. 因為平面ABC平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個平面的交線AC,所以AA1平面ABC. (II)由(I)知AA1 AC,AA1 AB. 由題知AB=3,BC=5,AC=4,所以ABAC. 如圖,以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-,則B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), 設(shè)平面A1BC1的法向量為,則,即, 令,則,所以. 同理可得,平面BB1C1的法向量為,所以. 由題知二面角A1-BC1-B1為銳角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值為. (III)設(shè)D是直線BC1上一點,且. 所以.解得,. 所以. 由,即.解得. 因為,所以在線段BC1上存在點D, 使得ADA1B. 此時,.