（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 第30練 計數(shù)原理、隨機變量、數(shù)學(xué)歸納法課件 理.ppt

第三篇附加題專項練，力保選做拿滿分,第30練計數(shù)原理、隨機變量、數(shù)學(xué)歸納法,明晰考情 1.命題角度：計數(shù)原理與排列、組合的簡單應(yīng)用；n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布、離散型隨機變量的均值與方差；數(shù)學(xué)歸納法的簡單應(yīng)用. 2.題目難度： 中檔難度.,核心考點突破練,欄目索引,高考押題沖刺練,考點一計數(shù)原理與二項式定理的綜合,方法技巧(1)區(qū)分某一項的二項式系數(shù)與這一項的系數(shù)兩個不同的概念；(2)在二項式展開式中，利用通項公式求一些特殊的項，如常數(shù)項、有理項、整式項等；(3)根據(jù)所給式子的結(jié)構(gòu)特征，對二項式定理的逆用或變用；(4)關(guān)于x的二項式(abx)n(a，b為常數(shù))的展開式可以看成是關(guān)于x的函數(shù)，當(dāng)展開式涉及到與系數(shù)有關(guān)的問題時，可以利用函數(shù)思想來解決.,核心考點突破練,1.設(shè)A，B均為非空集合，且AB，AB1,2,3，n(n3，nN*).記A，B中元素的個數(shù)分別為a，b，所有滿足“aB，且bA”的集合對(A，B)的個數(shù)為an. (1)求a3，a4的值；,解答,解當(dāng)n3時，AB1,2,3，且AB.,當(dāng)n4時，AB1,2,3,4，且AB.,若a2，b2，則2B,2A，這與AB矛盾；,解答,(2)求an.,解當(dāng)n為偶數(shù)時，AB1,2,3，n，且AB.,；,；,綜上所述，當(dāng)n3，且nN*時，,解答,2.已知等式(1x)2n1(1x)n1(1x)n.,證明,解答,(1)若f(x)1，求g(x)；,解f(x)1，,零的零次冪無意義， g(x)1，且x0，x1，xR.,(2)若f(x)x，求g(x).,解答,又f(x)x，,x(1x)xn1x， 即g(x)x，x0，x1，xR.,4.設(shè)集合S1,2,3，n(nN*，n2)，A，B是S的兩個非空子集，且滿足集合A中的最大數(shù)小于集合B中的最小數(shù)，記滿足條件的集合對(A，B)的個數(shù)為Pn. (1)求P2，P3的值； 解當(dāng)n2時，即S1,2，此時A1，B2，所以P21. 當(dāng)n3時，即S1,2,3. 若A1，則B2或B3或B2,3； 若A2或A1,2，則B3. 所以P35.,解答,解答,(2)求Pn的表達(dá)式.,解當(dāng)集合A中的最大元素為“k”時，集合A的其余元素可在1,2，k1中任取若干個(包含不取)，,此時集合B的元素只能在k1，k2，n中任取若干個(至少取1個)，,所以當(dāng)集合A中的最大元素為“k”時，集合對(A，B)共有2k1(2nk1)2n12k1(對)， 當(dāng)k依次取1,2,3，n1時，可分別得到集合對(A，B)的個數(shù)，求和可得Pn(n1)2n1(2021222n2)(n2)2n11.,考點二隨機變量及其概率分布,方法技巧求解離散型隨機變量的概率分布問題，先要明確離散型隨機變量的所有可能取值及其對應(yīng)事件，然后確定概率分布的類型，求出相應(yīng)事件的概率，即可列出概率分布，再求其數(shù)學(xué)期望與方差即可.若所求事件比較復(fù)雜，可以根據(jù)事件的性質(zhì)將其分為互斥事件之和或轉(zhuǎn)化為對立事件求解即可.,解答,5.(2018蘇州調(diào)研)某公司年會舉行抽獎活動，每位員工均有一次抽獎機會.活動規(guī)則如下：一個盒子里裝有大小相同的6個小球，其中3個白球，2個紅球，1個黑球，抽獎時從中一次摸出3個小球，若所得的小球同色，則獲得一等獎，獎金為300元；若所得的小球顏色互不相同，則獲得二等獎，獎金為200元；若所得的小球恰有2個同色，則獲得三等獎，獎金為100元. (1)求小張在這次活動中獲得的獎金數(shù)X的概率分布及數(shù)學(xué)期望；,解小張在這次活動中獲得的獎金數(shù)X的所有可能取值為100,200,300.,所以獎金數(shù)X的概率分布為,(2)若每個人獲獎與否互不影響，求該公司某部門3個人中至少有2個人獲二等獎的概率.,解答,設(shè)該公司某部門3個人中至少有2個人獲二等獎為事件A，,解答,6.射擊測試有兩種方案.方案1：先在甲靶射擊一次，以后都在乙靶射擊；方案2：始終在乙靶射擊.某射手命中甲靶的概率為 ，命中一次得3分；命中乙靶的概率為 ，命中一次得2分.若沒有命中則得0分.用隨機變量表示該射手一次測試?yán)塾嫷梅?，如果的值不低?分就認(rèn)為通過測試，立即停止射擊；否則繼續(xù)射擊，但一次測試最多打靶3次，每次射擊的結(jié)果相互獨立. (1)如果該射手選擇方案1，求其測試結(jié)束后所得總分的概率分布和數(shù)學(xué)期望E()；,的所有可能取值為0,2,3,4，,所以的概率分布為,解答,(2)該射手選擇哪種方案通過測試的可能性大？請說明理由.,解設(shè)射手選擇方案1通過測試的概率為P1， 選擇方案2通過測試的概率為P2，,因為P1P2，所以選擇方案1通過測試的概率更大.,解答,(1)某人花20元參與游戲甲兩次，用X表示該人參加游戲甲的收益(收益參與游戲獲得的錢數(shù)付費錢數(shù))，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望；,解X的所有可能取值為10,5,0，5，10，,所以X的概率分布為,(2)用表示某人參加n次游戲乙的收益，n為任意正整數(shù)，求證：的數(shù)學(xué)期望為0.,證明,證明的所有可能取值為10n,10(n2)，10(n4)，10(n2k)，10n(kN且0kn)，,，得,所以E()0.,8.(2017江蘇)已知一個口袋有m個白球，n個黑球(m，nN*，n2)，這些球除顏色外完全相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機的逐個取出，并放入如圖所示的編號為1,2,3，mn的抽屜內(nèi)，其中第k次取球放入編號為k的抽屜(k1,2,3，mn).,解答,(1)試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率P；,證明,證明隨機變量X的概率分布為,考點三數(shù)學(xué)歸納法,方法技巧利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題，在第二步證明nk1成立時，一定要利用歸納假設(shè)，即必須把歸納假設(shè)“nk時命題成立”作為條件來導(dǎo)出“nk1時命題也成立”，在書寫f(k1)時，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項，這是數(shù)學(xué)歸納法的核心.,解答,(1)試將an1表示為an的函數(shù)關(guān)系式；,又nN*，n12，an10，,解答,a1b1，,a2b2，,猜想：當(dāng)n3時，anbn，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)n3時，由上知，a3b3，結(jié)論成立.,假設(shè)當(dāng)nk，k3，nN*時，akbk成立，,當(dāng)nk1時，結(jié)論也成立.,綜合可知：當(dāng)n3時，anbn成立. 綜上可得：當(dāng)n1時，a1b1； 當(dāng)n2時，a2b2， 當(dāng)n3，nN*時，anbn.,10.(2018江蘇省南京六校聯(lián)考)把圓分成n(n3)個扇形，設(shè)用4種顏色給這些扇形染色，每個扇形恰染一種顏色，并且要求相鄰扇形的顏色互不相同，設(shè)共有f(n)種方法. (1)寫出f(3)，f(4)的值； 解f(3)24，f(4)84.,解答,解答,(2)猜想f(n)(n3)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.,解當(dāng)n4時，首先，對于第1個扇形a1，有4種不同的染法， 由于第2個扇形a2的顏色與a1的顏色不同， 所以，對于a2有3種不同的染法，類似地，對扇形a3，an1均有3種染法. 對于扇形an，用與an1不同的3種顏色染色， 但是，這樣也包括了它與扇形a1顏色相同的情況， 而扇形a1與扇形an顏色相同的不同染色方法數(shù)就是f(n1)， 于是可得，f(n)43n1f(n1) ， 猜想f(n)3n(1)n3(n3，nN*)，證明如下： 當(dāng)n3時，左邊f(xié)(3)24，右邊33(1)3324， 所以等式成立.,假設(shè)當(dāng)nk(k3)時，f(k)3k(1)k3， 則當(dāng)nk1時，f(k1)43kf(k) 43k3k(1)k3 3k1(1)k13， 即當(dāng)nk1時，等式也成立， 綜上，f(n)3n(1)n3(n3).,11.設(shè)f(n)是定義在N*上的增函數(shù)，f(4)5，且滿足： 對任意的nN*，f(n)Z；對任意的m，nN*，有f(m)f(n)f(mn)f(mn1). (1)求f(1)，f(2)，f(3)的值； 解因為f(1)f(4)f(4)f(4)， 所以5f(1)10，所以f(1)2. 因為f(n)是定義在N*上的增函數(shù)， 所以2f(1)<f(2)<f(3)<f(4)5. 因為f(n)Z，所以f(2)3，f(3)4.,解答,(2)求f(n)的表達(dá)式.,解答,解由f(1)2，f(2)3，f(3)4，f(4)5， 猜想f(n)n1(nN*). 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)n1,2,3,4時，命題成立. 假設(shè)當(dāng)nk(k4)時，命題成立， 即f(k)k1，下面討論當(dāng)nk1時的情形.,又k1f(k)<f(k1)<f(k2)k3， 所以f(k1)k2. 因此不論k的奇偶性如何，總有f(k1)k2， 即nk1時，命題也成立. 于是對一切nN*，f(n)n1.,解答,(1)求a1，a2，a3的值；,解a12, a24, a38.,解答,(2)猜想數(shù)列an的通項公式，并證明.,解猜想：an2n(nN*).證明如下： 當(dāng)n1,2,3時，由(1)知結(jié)論成立； 假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時結(jié)論成立，,所以ak12k1，故當(dāng)nk1時結(jié)論也成立. 由得，an2n ，nN*.,高考押題沖刺練,解答,1.設(shè)nN*，n3，kN*. (1)求值：,解答,解答,(14n)n(n1)2n23n(2n11)(2n1n) 2n2(n25n4).,解答,(1)求小陳同學(xué)三次投籃至少命中一次的概率；,解答,(2)記小陳同學(xué)三次投籃命中的次數(shù)為隨機變量，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望.,解可能的取值為0,1,2,3.,故隨機變量的概率分布為,3.某高中全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽培訓(xùn)共開設(shè)有初等代數(shù)、平面幾何、初等數(shù)論和微積分初步四門課程，要求初等數(shù)論、平面幾何都要合格，且初等代數(shù)和微積分初步至少有一門合格，則能取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格.現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)報名參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，每一位同學(xué)對這四門課程考試是否合格相互獨立，其合格的概率均相同(見下表)，且每一門課程是否合格相互獨立.,解答,(1)求甲同學(xué)取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格的概率；,解分別記甲對初等代數(shù)、平面幾何、初等數(shù)論、微積分初步這四門課程考試合格為事件A，B，C，D， 且事件A，B，C，D相互獨立，“甲能取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格”的概率為,解答,(2)記表示三位同學(xué)中取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽資格的人數(shù)，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望E().,解由題設(shè)知，的所有可能取值為0,1,2,3，,的概率分布為,解答,4.(2018揚州邗江區(qū)調(diào)研)某班級共派出n1個男生和n個女生參加學(xué)校運動會的入場儀式，其中男生倪某為領(lǐng)隊.入場時，領(lǐng)隊男生倪某必須排第一個，然后女生整體在男生的前面，排成一路縱隊入場，共有En種排法；入場后，又需從男生(含男生倪某)和女生中各選一名代表到主席臺服務(wù)，共有Fn種選法. (1)試求En和Fn；,解答,(2)判斷l(xiāng)nEn和Fn的大小(nN*)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.,解因為lnEn2ln n！，F(xiàn)nn(n1)， 所以lnE10<F12，ln E2ln 4<F26， ln E3ln 36<F312，由此猜想： 當(dāng)nN*時，都有l(wèi)n En<Fn，即2ln n！<n(n1). 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明2ln n！<n(n1)(nN*). 當(dāng)n1時，該不等式顯然成立； 假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時，不等式成立，即2ln k！<k(k1)， 則當(dāng)nk1時，2ln(k1)！2ln(k1)2ln k！<2ln(k1)k(k1)， 要證當(dāng)nk1時不等式成立， 只要證2ln(k1)k(k1)(k1)(k2)，只要證ln(k1)k1.,所以f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，,從而f(x)<f(1)1<0，而k1(1，)， 所以ln(k1)k1成立. 則當(dāng)nk1時，不等式也成立. 綜合得原不等式對任意的nN*均成立.,本課結(jié)束,