2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何與空間向量 第1節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積、體積課件 理 新人教A版.ppt

第1節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積、體積,考試要求1.利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)；2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；3.能用斜二測(cè)法畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)單組合)的直觀圖.,知 識(shí) 梳 理,1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征,平行,全等,平行,相似,平行且相等,一點(diǎn),一點(diǎn),平行四邊形,三角形,梯形,(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征,垂直,一點(diǎn),一點(diǎn),矩形,等腰三角形,等腰梯形,圓,矩形,扇形,扇環(huán),2.直觀圖,空間幾何體的直觀圖常用_畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為_，z軸與x軸、y軸所在平面_. (2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別_坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度_，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼腳.,斜二測(cè),45(或135),垂直,平行于,不變,一半,3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式,2rl,rl,(r1r2)l,4.空間幾何體的表面積與體積公式,S底h,4R2,微點(diǎn)提醒,1.臺(tái)體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn). 2.正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，則與其有關(guān)的切、接球常用結(jié)論如下 ：,基 礎(chǔ) 自 測(cè),1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”),(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.() (2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.() (3)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的A時(shí)，若A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且A90，則在直觀圖中，A45.() (4)錐體的體積等于底面面積與高之積.(),解析(1)反例：由兩個(gè)平行六面體上下組合在一起的圖形滿足條件，但不是棱柱.,(2)反例：如圖所示的圖形滿足條件但不是棱錐. (3)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的A時(shí)，把x，y軸畫成相交成45或135，平行于x軸的線段還平行于x軸，平行于y軸的線段還平行于y軸，所以A也可能為135. (4)錐體的體積等于底面面積與高之積的三分之一，故不正確. 答案(1)(2)(3)(4),2.(必修2P10B1改編)如圖，長(zhǎng)方體ABCDABCD被截去一部分，其中EHAD.剩下的幾何體是(),A.棱臺(tái) B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱 解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱. 答案C,3.(必修2P27練習(xí)1改編)已知圓錐的表面積等于12 cm2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為(),解析由題意，得S表r2rlr2r2r3r212，解得r24，所以r2(cm). 答案B,4.(2016全國(guó)卷)體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為(),答案A,5.(2017全國(guó)卷)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為(),答案B,6.(2019菏澤一中月考)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的矩形的直觀圖，則直觀圖的面積與原矩形的面積之比為_.,考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,【例1】 (1)給出下列命題： 在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線； 直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐； 棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是() A.0 B.1 C.2 D.3,(2)給出下列命題： 棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形； 在四棱柱中，若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； 存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體； 棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn). 其中正確命題的序號(hào)是_.,解析(1)不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等.,(2)不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；正確，如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中的三棱錐C1ABC，四個(gè)面都是直角三角形；正確，由棱臺(tái)的概念可知.,答案(1)A(2),規(guī)律方法1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過舉反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只需舉一個(gè)反例. 2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系. 3.既然棱(圓)臺(tái)是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺(tái)問題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略.,【訓(xùn)練1】 下列命題正確的是(),A.兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái) B.兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái) C.以直角梯形的一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái) D.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形,解析如圖所示，可排除A，B選項(xiàng).只有截面與圓柱的母線平行或垂直，則截得的截面為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一部分. 答案C,考點(diǎn)二空間幾何體的直觀圖 【例2】 已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么ABC的平面直觀圖ABC的面積為(),解析如圖所示的實(shí)際圖形和直觀圖.,答案D,【訓(xùn)練2】 如果一個(gè)水平放置的圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是(),解析恢復(fù)后的原圖形為一直角梯形，,答案A,考點(diǎn)三空間幾何體的表面積 【例3】 (1)若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都為2，則其全面積為_. (2)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10 cm和20 cm，它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180，那么圓臺(tái)的表面積為_(結(jié)果中保留). (3)如圖直平行六面體的底面為菱形，若過不相鄰兩條側(cè)棱的截面的面積分別為Q1，Q2，則它的側(cè)面積為_.,解析(1)因?yàn)樗睦忮F的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是正方形，所以該四棱錐為正四棱錐，如圖.,由題意知底面正方形的邊長(zhǎng)為2，正四棱錐的高為2，,(2)如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上底周長(zhǎng)為C，因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180，所以CSA.,又C21020，所以SA20. 同理SB40. 所以ABSBSA20.,故圓臺(tái)的表面積為1 100 cm2.,規(guī)律方法1.求解有關(guān)多面體側(cè)面積的問題，關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形，如棱柱中的矩形、棱臺(tái)中的直角梯形、棱錐中的直角三角形，它們是聯(lián)系高與斜高、邊長(zhǎng)等幾何元素間的橋梁，從而架起求側(cè)面積公式中的未知量與條件中已知幾何元素間的聯(lián)系. 2.多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理. 3.旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.,【訓(xùn)練3】 (1)圓柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為6和4的矩形，則圓柱的表面積為() A.6(43) B.8(31) C.6(43)或8(31) D.6(41)或8(32) (2)(必修2P36A10改編)一直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為6 cm，8 cm，10 cm，繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為_.,解析(1)分兩種情況：以長(zhǎng)為6的邊為高時(shí)，4為圓柱底面周長(zhǎng)，則2r4，r2，所以S底4，S側(cè)64242，S表2S底S側(cè)82428(31)；以長(zhǎng)為4的邊為高時(shí)，6為圓柱底面周長(zhǎng)，則2r6，r3.所以S底9，S表2S底S側(cè)182426(43).,考點(diǎn)四空間幾何體的體積 【例4】 (1)(必修2P27例4改編)圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的體積與圓柱的體積比V球V柱為() A.12 B.23 C.34 D.13,(2)(2018天津卷)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐MEFGH的體積為_.,規(guī)律方法1.(直接法)規(guī)則幾何體：對(duì)于規(guī)則幾何體，直接利用公式計(jì)算即可. 2.(割補(bǔ)法)不規(guī)則幾何體：當(dāng)一個(gè)幾何體的形狀不規(guī)則時(shí)，常通過分割或者補(bǔ)形的手段將此幾何體變?yōu)橐粋€(gè)或幾個(gè)規(guī)則的、體積易求的幾何體，然后再計(jì)算.經(jīng)常考慮將三棱錐還原為三棱柱或長(zhǎng)方體，將三棱柱還原為平行六面體，將臺(tái)體還原為錐體. 3.(等積法)三棱錐：利用三棱錐的“等積性”可以把任一個(gè)面作為三棱錐的底面. (1)求體積時(shí)，可選擇“容易計(jì)算”的方式來計(jì)算；(2)利用“等積性”可求“點(diǎn)到面的距離”，關(guān)鍵是在面中選取三個(gè)點(diǎn)，與已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐.,【訓(xùn)練4】 (必修2P28A3改編)如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為_.,答案147,考點(diǎn)五多面體與球的切、接問題典例遷移 【例5】 (經(jīng)典母題)(2016全國(guó)卷)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是(),解析由ABBC，AB6，BC8，得AC10. 要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個(gè)側(cè)面相切，設(shè)底面ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.,2r43，不合題意. 球與三棱柱的上、下底面相切時(shí)，球的半徑R最大.,答案B,【遷移探究1】 若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BCA1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面積.,解將直三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體ABECA1B1E1C1， 則球O是長(zhǎng)方體ABECA1B1E1C1的外接球. 體對(duì)角線BC1的長(zhǎng)為球O的直徑.,故S球4R2169.,【遷移探究2】 若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，求該球的體積.,解如圖，設(shè)球心為O，半徑為r，,規(guī)律方法1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題. 2.若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體確定直徑解決外接問題.,【訓(xùn)練5】 (2019北京海淀區(qū)調(diào)研)三棱錐PABC中，平面PAC平面ABC，ABAC，PAPCAC2，AB4，則三棱錐PABC的外接球的表面積為(),答案D,思維升華 1.幾何體的截面及作用 (1)常見的幾種截面：過棱柱、棱錐、棱臺(tái)的兩條相對(duì)側(cè)棱的截面；平行于底面的截面；旋轉(zhuǎn)體中的軸截面；球的截面. (2)作用：利用截面研究幾何體，貫徹了空間問題平面化的思想，截面可以把幾何體的性質(zhì)、畫法及證明、計(jì)算融為一體. 2.棱臺(tái)和圓臺(tái)是分別用平行于棱錐和圓錐的底面的平面截棱錐和圓錐后得到的，所以在解決棱臺(tái)和圓臺(tái)的相關(guān)問題時(shí)，?！斑€臺(tái)為錐”，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.,3.轉(zhuǎn)化與化歸思想：計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，“化曲為直”來解決，因此要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法. 易錯(cuò)防范 1.求組合體的表面積時(shí)：組合體的銜接部分的面積問題易出錯(cuò). 2.底面是梯形的四棱柱側(cè)放時(shí)，容易和四棱臺(tái)混淆，在識(shí)別時(shí)要緊扣定義，以防出錯(cuò).,直觀想象與邏輯推理簡(jiǎn)單幾何體的外接球與內(nèi)切球問題,1.直觀想象主要表現(xiàn)為利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物，解決與球有關(guān)的問題對(duì)該素養(yǎng)有較高的要求. 2.簡(jiǎn)單幾何體外接球問題是立體幾何中的難點(diǎn)和重要的考點(diǎn)，此類問題實(shí)質(zhì)是解決球的半徑長(zhǎng)或確定球心O的位置問題，其中球心的確定是關(guān)鍵. 一、知識(shí)要點(diǎn) 1.外接球的問題 (1)必備知識(shí)： 簡(jiǎn)單多面體外接球的球心的結(jié)論. 結(jié)論1：正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心是其體對(duì)角線的中點(diǎn).,結(jié)論2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點(diǎn). 結(jié)論3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn). 構(gòu)造正方體或長(zhǎng)方體確定球心. 利用球心O與截面圓圓心O1的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點(diǎn)的連線垂直于弦的性質(zhì)，確定球心. (2)方法技巧：幾何體補(bǔ)成正方體或長(zhǎng)方體. 2.內(nèi)切球問題 (1)必備知識(shí)： 內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等. 正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合. 正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合. (2)方法技巧：體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法.,二、突破策略 1.利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線探索外接球半徑 【例1】 已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是() A.16 B.20 C.24 D.32 解析設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，球半徑為R，則正四棱柱的體積為Va2h16，a2，4R2a2a2h2441624，所以球的表面積為S24. 答案C,評(píng)析若幾何體存在三條兩兩垂直的線段或者三條線有兩個(gè)垂直，可構(gòu)造墻角模型(如下圖)，直接用公式(2R)2a2b2c2求出R.,2.利用長(zhǎng)方體的面對(duì)角線探索外接球半徑,解析如圖，在長(zhǎng)方體中，設(shè)AEa，BEb，CEc.,從而a2b2c214(2R)2，可得S4R214. 故所求三棱錐的外接球的表面積為14. 答案14,評(píng)析三棱錐的相對(duì)棱相等，探尋球心無從著手，注意到長(zhǎng)方體的相對(duì)面的面對(duì)角線相等，可在長(zhǎng)方體中構(gòu)造三棱錐，從而巧妙探索外接球半徑. 3.利用底面三角形與側(cè)面三角形的外心探索球心,答案C,評(píng)析三棱錐側(cè)面與底面垂直時(shí)，可緊扣球心與底面三角形外心連線垂直于底面這一性質(zhì)，利用底面與側(cè)面的外心，巧探外接球球心，妙求半徑. 4.利用直棱柱上下底面外接圓圓心的連線確定球心,評(píng)析直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型如下圖,其外接球球心就是上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn).,5.錐體的內(nèi)切球問題 (1)題設(shè)：如圖，三棱錐PABC是正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑.,圖,圖,6.柱體的內(nèi)切球問題,