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奧數(shù)第二十四講 整數(shù)的整除性

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奧數(shù)第二十四講 整數(shù)的整除性

教學(xué)視頻-公開課,優(yōu)質(zhì)課,展示課,課堂實(shí)錄(第二十四講* 整數(shù)的整除性整數(shù)的整除性問題,是數(shù)論中的最基本問題,也是國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)競(jìng)賽中最常出現(xiàn)的內(nèi)容之一由于整數(shù)性質(zhì)的論證是具體、嚴(yán)格、富有技巧,它既容易使學(xué)生接受,又是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和推理能力的一個(gè)有效課題,因此,了解一些整數(shù)的性質(zhì)和整除性問題的解法是很有必要的1整除的基本概念與性質(zhì)所謂整除,就是一個(gè)整數(shù)被另一個(gè)整數(shù)除盡,其數(shù)學(xué)定義如下定義 設(shè)a,b是整數(shù),b0如果有一個(gè)整數(shù)q,使得a=bq,那么稱a能被b整除,或稱b整除a,并記作ba如果不存在這樣的整數(shù)q,使得a=bq,則稱a不能被b整除,或稱b不整除a,記作ba關(guān)于整數(shù)的整除,有如下一些基本性質(zhì):性質(zhì)1 若ba,cb,則ca性質(zhì)2 若ca,cb,則c(a±b)性質(zhì)3 若ca,cb,則c(a±b)性質(zhì)4 若ba,dc,則bdac性質(zhì)5 若a=bc,且ma,mb,則mc性質(zhì)6 若ba,ca,則b,ca(此處b,c為b,c的最小公倍數(shù))特別地,當(dāng)(b,c)=1時(shí),bca(此處(b,c)為b,c的最大公約數(shù))性質(zhì)7 若cab,且(c,a)=1,則cb特別地,若p是質(zhì)數(shù),且pab,則pa或pb性質(zhì)8 若ab,n是自然數(shù),則(a-b)(an-bn)性質(zhì)9 若a-b,n是正偶數(shù),則(ab)(an-bn)性質(zhì)10 若a-b,n是正奇數(shù),則(ab)(anbn)2證明整除的基本方法證明整除常用下列幾種方法:(1)利用基本性質(zhì)法;(2)分解因式法;(3)按模分類法;(4)反證法下面舉例說明例1 證明:三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方和加1,能被12整除,但不能被24整除分析 要證明一個(gè)數(shù)能被12整除但不能被24整除,只需證明此數(shù)等于12乘上一個(gè)奇數(shù)即可證 設(shè)三個(gè)連續(xù)的奇數(shù)分別為2n-1,2n1,2n+3(其中n是整數(shù)),于是(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)21=12(n2n1)所以12(2n-1)2(2n1)2(2n3)2又n2+n1=n(n1)+1,而n,n+1是相鄰的兩個(gè)整數(shù),必定一奇一偶,所以n(n+1)是偶數(shù),從而n2n+1是奇數(shù),故24 (2n-1)2+(2n+1)2(2n3)2例2 若x,y為整數(shù),且2x+3y,9x5y之一能被17整除,那么另一個(gè)也能被17整除證 設(shè)u=2x3y,v=9x5y若17u,從上面兩式中消去y,得3v-5u=17x所以 173v因?yàn)?17,3)=1,所以17v,即179x5y若17v,同樣從式可知175u因?yàn)?17,5)=1,所以17u,即172x3yq1求pq的值解 若p=q,則不是整數(shù),所以pq不妨設(shè)pq,于是是整數(shù),所以p只能為3,從而q=5所以pq=3×5=15例4 試求出兩兩互質(zhì)的不同的三個(gè)自然數(shù)x,y,z,使得其中任意兩個(gè)的和能被第三個(gè)數(shù)整除分析 題中有三個(gè)未知數(shù),我們?cè)O(shè)法得到一些方程,然后從中解出這些未知數(shù)最小的一個(gè):y(y2x),所以y2x,于是數(shù)兩兩互質(zhì),所以x=1 所求的三個(gè)數(shù)為1,2,3例5 設(shè)n是奇數(shù),求證:606n-3n-2n-1分析 因?yàn)?0=22×3×5,22,3,5是兩兩互質(zhì)的,所以由性質(zhì)6,只需證明22,3,5能被6n-3n-2n-1整除即可對(duì)于冪的形式,我們常常利用性質(zhì)8性質(zhì)10,其本質(zhì)是因式分解證 60=22×3×5由于n是奇數(shù),利用性質(zhì)8和性質(zhì)10,有226n-2n,223n1,所以226n-2n-3n-1, 36n-3n, 32n+1,所以36n-3n-2n-1,56n-1,53n+2n,所以56n-1-3n-2n由于22,3,5兩兩互質(zhì),所以606n-3n-2n-1我們通常把整數(shù)分成奇數(shù)和偶數(shù)兩類,即被2除余數(shù)為0的是偶數(shù),余數(shù)為1的是奇數(shù)偶數(shù)常用2k表示,奇數(shù)常用2k+1表示,其實(shí)這就是按模2分類又如,一個(gè)整數(shù)a被3除時(shí),余數(shù)只能是0,1,2這三種可能,因此,全體整數(shù)可以分為3k,3k1,3k2這三類形式,這是按模3分類有時(shí)為了解題方便,還常把整數(shù)按模4、模5、模6、模8等分類,但這要具體問題具體處理例6 若整數(shù)a不被2和3整除,求證:24(a2-1)分析 因?yàn)閍既不能被2整除,也不能被3整除,所以,按模2分類與按模3分類都是不合適的較好的想法是按模6分類,把整數(shù)分成6k,6k1,6k2,6k3,6k4,6k5這六類由于6k,6k2,6k4是2的倍數(shù),6k3是3的倍數(shù),所以a只能具有6k1或6k5的形式,有時(shí)候?yàn)榱朔奖闫鹨?,也常?k5寫成6k-1(它們除以6余數(shù)均為5)證 因?yàn)閍不被2和3整除,故a具有6k±1的形式,其中k是自然數(shù),所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)由于k與3k±1為一奇一偶(若k為奇數(shù),則3k±1為偶數(shù),若k為偶數(shù),則3k±1為奇數(shù)),所以2k(3k±1),于是便有24(a2-1)例7 求證:3n+1(n為正整數(shù))能被2或22整除,但不能被2的更高次冪整除證 按模2分類若n=2k為偶數(shù),k為正整數(shù),則3n1=32k1=(3k)21由3k是奇數(shù),(3k)2是奇數(shù)的平方,奇數(shù)的平方除以8余1,故可設(shè)(3k)2=8l1,于是3n1=8l2=2(4l1)4l1是奇數(shù),不含有2的因數(shù),所以3n1能被2整除,但不能被2的更高次冪整除若n=2k1為奇數(shù),k為非負(fù)整數(shù),則3n+1=32k1+1=3·(3k)21 =3(8l1)1=4(6l1)由于6l1是奇數(shù),所以此時(shí)3n+1能被22整除,但不能被2的更高次冪整除在解決有些整除性問題時(shí),直接證明較為困難,可以用反證法來證例8 已知a,b是整數(shù),a2b2能被3整除,求證:a和b都能被3整除證 用反證法如果a,b不都能被3整除,那么有如下兩種情況:(1)a,b兩數(shù)中恰有一個(gè)能被3整除,不妨設(shè)3a,3b令a=3m,b=3n±1(m,n都是整數(shù)),于是a2+b2=9m2+9n2±6n+1=3(3m23n2±2n)+1,不是3的倍數(shù),矛盾(2)a,b兩數(shù)都不能被3整除令a=3m±1,b=3n±1,則a2b2=(3m±1)2+(3n±1)2 =9m2±6m+1+9n2±6n1 =3(3m2+3n2±2m±2n)2,不能被3整除,矛盾由此可知,a,b都是3的倍數(shù)例9 設(shè)p是質(zhì)數(shù),證明:滿足a2=pb2的正整數(shù)a,b不存在證 用反證法假定存在正整數(shù)a,b,使得a2=pb2令(a,b)=d,a=a1d,b=b1d,則(a1,b1)=1所以與(a1,b1)=1矛盾例10 設(shè)p,q均為自然數(shù),且求證:29p證 注意到29是質(zhì)數(shù)令a=10×11××19所以 ap=29q·b,29a·p,29是質(zhì)數(shù),且29a,所以29p練習(xí)二十四1求證:對(duì)任意自然數(shù)n,2×7n1能被3整除2證明:當(dāng)a是奇數(shù)時(shí),a(a2-1)能被24整除3已知整數(shù)x,y,使得7(13x+8y),求證:7(9x5y)4設(shè)p是大于3的質(zhì)數(shù),求證:24(p2-1)5求證:對(duì)任意自然數(shù)n,n(n-1)(2n-1)能被6整除6求證:三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的立方和能被9整除7已知a,b,c,d為整數(shù),abcd能被a-c整除,求證:adbc也能被a-c整除文章來源:教師之家 轉(zhuǎn)載請(qǐng)保留出處相關(guān)優(yōu)質(zhì)課視頻請(qǐng)?jiān)L問:教學(xué)視頻網(wǎng) 教師之家-免費(fèi)中小學(xué)教學(xué)資源下載網(wǎng)(

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