山東省2013年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何第1講 直線與圓 理

專題六解析幾何第1講直線與圓真題試做1(2012·陜西高考，理4)已知圓C：x2y24x0，l是過(guò)點(diǎn)P(3,0)的直線，則()Al與C相交 Bl與C相切Cl與C相離 D以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能2(2012天津高考，理8)設(shè)m，nR，若直線(m1)x(n1)y20與圓(x1)2(y1)21相切，則mn的取值范圍是()A1，1B(，11，)C22，22D(，2222，)3(2012·重慶高考，理3)對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線ykx1與圓x2y22的位置關(guān)系一定是()A相離 B相切C相交但直線不過(guò)圓心 D相交且直線過(guò)圓心4(2012·江蘇高考，12)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2y28x150，若直線ykx2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是_5(2012·江西高考，文14)過(guò)直線xy20上點(diǎn)P作圓x2y21的兩條切線，若兩條切線的夾角是60°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_6(2012·浙江高考，文17)定義：曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離已知曲線C1：yx2a到直線l：yx的距離等于曲線C2：x2(y4)22到直線l：yx的距離，則實(shí)數(shù)a_.考向分析直線與方程是解析幾何的基礎(chǔ)，高考中主要考查基本概念和求在不同條件下的直線方程；直線平行與垂直的關(guān)系的判定；兩條直線的交點(diǎn)和距離問(wèn)題等，一般以選擇題、填空題的形式考查對(duì)于圓的考查，主要是結(jié)合直線的方程用幾何法或待定系數(shù)法確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及一般方程；利用圓的性質(zhì)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系等問(wèn)題，其中含參數(shù)問(wèn)題為命題熱點(diǎn)一般以選擇題、填空題的形式考查，難度不大，從能力要求看，主要考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合思想以及分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力熱點(diǎn)例析熱點(diǎn)一直線方程與兩條直線的位置關(guān)系經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，3)作圓(x1)2y225的弦AB，使點(diǎn)P為弦AB的中點(diǎn)，則弦AB所在直線方程為()Axy50 Bxy50Cxy50 Dxy50規(guī)律方法 (1)求直線方程的方法直接法：直接選用恰當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，寫出結(jié)果；待定系數(shù)法：先由直線滿足的一個(gè)條件設(shè)出直線方程，使方程中含有一待定系數(shù)，再由題目中另一條件求出待定系數(shù)(2)兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1l2k1k2，l1l2k1k21；兩條不重合的直線a1xb1yc10和a2xb2yc20平行的充要條件為a1b2a2b10且a1c2a2c1或b1c2b2c1；兩條直線a1xb1yc10和a2xb2yc20垂直的充要條件為a1a2b1b20.判定兩直線平行與垂直的關(guān)系時(shí)，如果給出的直線方程中存在字母系數(shù)，不僅要考慮斜率存在的情況，還要考慮斜率不存在的情況(3)忽視對(duì)直線方程中的字母分類討論而丟解或增解直線方程的截距式1中，有ab0的限制，而截距可以取正數(shù)、負(fù)數(shù)和零，所以需要對(duì)a，b分類討論，否則容易造成丟解如過(guò)點(diǎn)P(2，1)，在x軸，y軸上的截距分別為a，b，且滿足a3b的直線易漏掉過(guò)原點(diǎn)的情形變式訓(xùn)練1 (1)“a3”是“直線ax2y10與直線6x4yc0平行”的_條件()A充要B充分而不必要C必要而不充分D既不充分也不必要(2)已知圓C過(guò)點(diǎn)(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：yx1被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2，則過(guò)圓心且與直線l垂直的直線的方程為_(kāi)熱點(diǎn)二圓的方程【例2】已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,3)，B(2,2)，并且直線m：3x2y0平分圓的面積求圓C的方程規(guī)律方法 圓的方程的求法求圓的方程一般有兩類方法：(1)幾何法，通過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，從而求得圓的基本量和方程；(2)代數(shù)法，用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)，從而求得圓的方程一般采用待定系數(shù)法特別提醒：圓心到切線的距離等于半徑，該結(jié)論在解題過(guò)程中經(jīng)常用到，需牢記變式訓(xùn)練2 我們把圓心在一條直線上且相鄰兩圓彼此外切的一組圓叫做“串圓”在如圖所示的“串圓”中，圓C1和圓C3的方程分別為x2+y21和(x3)2+(y4)21，則圓C2的方程為_(kāi).熱點(diǎn)三直線與圓的位置關(guān)系【例3】如圖所示，已知以點(diǎn)A(1,2)為圓心的圓與直線l1：x2y70相切過(guò)點(diǎn)B(2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線l與l1相交于點(diǎn)P.(1)求圓A的方程；(2)當(dāng)|MN|2時(shí)，求直線l的方程；(3)是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由規(guī)律方法 (1)研究直線與圓的位置關(guān)系最基本的解題方法為代數(shù)法，將幾何問(wèn)題代數(shù)化，利用函數(shù)與方程思想解題(2)與弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，及半弦長(zhǎng)，構(gòu)成直角三角形的三邊，利用其關(guān)系來(lái)處理變式訓(xùn)練3 已知直線l：2mxy8m30和圓C：(x3)2(y6)225.(1)證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C總相交；(2)求直線l被圓C截得的線段的最短長(zhǎng)度以及此時(shí)直線l的方程思想滲透1數(shù)形結(jié)合思想解答與圓有關(guān)的范圍問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常以形助數(shù)，巧妙破解【典型例題1】若直線yxb與曲線y3有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是()A1,12 B12，12C12，3 D1，3解析：方程yxb表示斜率為1的平行直線系，曲線方程可化為(x2)2(y3)24(1y3)表示圓心為(2,3)，半徑為2的下半圓如圖所示，當(dāng)直線yxb與半圓相切時(shí)須滿足圓心(2,3)到直線xyb0的距離等于2，即2，解得b12或b12(舍)當(dāng)直線yxb過(guò)點(diǎn)(0,3)時(shí)，可得b3，由圖可知滿足題意的b的取值范圍為12b3.答案：C2分類討論思想遇到字母時(shí)往往要對(duì)其進(jìn)行討論【典型例題2】試判斷方程x2y24x2my80表示的曲線類型解：將x2y24x2my80配方，得(x2)2(ym)2m24.(1)當(dāng)m240，即m2或m2時(shí)，原方程表示以(2，m)為圓心，為半徑的圓；(2)當(dāng)m240，即m±2時(shí)，原方程表示點(diǎn)(2，2)或(2,2)；(3)當(dāng)m240，即2m2時(shí)，原方程不表示任何曲線1“ab”是“直線yx2與圓(xa)2(yb)22相切”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件2已知圓C與直線xy0及xy40都相切，圓心在直線xy0上，則圓C的方程為()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)223(2012·安徽安慶二模，5)已知圓C：x2y22x4y40，直線l：2xy0，則圓C上的點(diǎn)到直線l的距離最大值為()A1 B2 C3 D44(2012·山東濰坊二模，14)若a，b，c是RtABC的三邊的長(zhǎng)(c為斜邊長(zhǎng))，則圓C：x2y24被直線l：axbyc0所截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)5(2012·吉林長(zhǎng)春實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模，14)圓心在直線x2y10上，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)(2,1)的圓的方程為_(kāi)6(2012·湖北武昌5月模擬，13)在圓x2y24上的點(diǎn)，與直線l：4x3y120的距離的最小值是_7已知直線l過(guò)點(diǎn)P(0,2)，斜率為k，圓Q：x2y212x320.(1)若直線l和圓相切，求直線l的方程；(2)若直線l和圓交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，問(wèn)是否存在常數(shù)k，使得與共線？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由參考答案命題調(diào)研·明晰考向真題試做1A解析：由題意可知圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑r2.因?yàn)辄c(diǎn)P(3,0)到圓心的距離d12，所以點(diǎn)P在圓內(nèi)故直線l與圓C相交2D解析：直線與圓相切，1，|mn|，即：mnmn1，設(shè)mnt，則mn2，t1，t24t40，解得：t22或t22.3C解析：直線ykx1過(guò)定點(diǎn)(0,1)，而02122，所以點(diǎn)(0,1)在圓x2y22內(nèi)部，直線ykx1與圓x2y22相交且直線不經(jīng)過(guò)圓心，故選C.4解析：圓C的方程可化為(x4)2y21，直線ykx2是過(guò)定點(diǎn)(0，2)的動(dòng)直線圓心C到直線ykx2的距離d，要使其滿足已知條件，則需d11，即11，解得0k.故k的最大值為.5(，)解析：如圖所示，過(guò)P點(diǎn)作圓x2y21的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，由已知得，APO30°，所以|PO|2.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則解得故所求坐標(biāo)為(，)6解析：x2(y4)22到直線yx的距離為，所以yx2a到y(tǒng)x的距離為，而與yx平行且距離為的直線有兩條，分別是yx2與yx2，而拋物線yx2a開(kāi)口向上，所以yx2a與yx2相切，可求得a.精要例析·聚焦熱點(diǎn)熱點(diǎn)例析【例1】A解析：設(shè)圓心為C，則AB垂直于CP.kCP1，故直線AB：y3x2，即xy50，故選A.【變式訓(xùn)練1】(1)C解析：兩條直線平行的充要條件是：，即故“a3”是“直線ax2y10與直線6x4yc0平行”的必要而不充分條件(2)xy30解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為(x0,0)(x00)由于圓過(guò)點(diǎn)(1,0)，則半徑r|x01|，圓心到直線l的距離d.由弦長(zhǎng)為2可知2(x01)22，整理得(x01)24.x01±2，x03或x01(舍去)因此圓心為(3,0)，由此可求得過(guò)圓心且與直線yx1垂直的直線方程為y(x3)，即xy30.【例2】解：由已知得，線段AB的中點(diǎn)E，kAB1，故線段AB的中垂線方程為yx，即xy10.因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，故圓心在線段AB的中垂線上，又因?yàn)橹本€m：3x2y0平分圓的面積，所以直線m經(jīng)過(guò)圓心由解得即圓心C(2,3)而圓的半徑r|CB|1，所以圓C的方程為(x2)2(y3)21.【變式訓(xùn)練2】2(y2)2解析：易求出C1(0,0)，半徑r11，圓心C3(3,4)，半徑r31.設(shè)圓C2的圓心坐標(biāo)為C2(a，b)，半徑r2，據(jù)題意即可解出故圓C2的方程為2(y2)2.【例3】解：(1)設(shè)圓A的半徑為R.圓A與直線l1：x2y70相切，R2.圓A的方程為(x1)2(y2)220.(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x2符合題意；當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x2)，即kxy2k0.連接AQ，則AQMN.|MN|2，|AQ|1.由|AQ|1，得k，直線l的方程為3x4y60.所求直線l的方程為x2或3x4y60.(3)AQBP，.當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，得P，則.又(1,2)，.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x2)由解得P，5.綜上所述，是定值，且.【變式訓(xùn)練3】(方法一)(1)證明：設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則有d，整理可得4(d21)m212md290，為使上面關(guān)于m的方程有實(shí)數(shù)解，則12216(d21)(d29)0，解得0d.可得d5，故不論m為何實(shí)數(shù)，直線l與圓C總相交(2)解：由(1)可知0d，即d的最大值為.根據(jù)平面幾何知識(shí)可知：當(dāng)圓心到直線l的距離最大時(shí)，直線l被圓C截得的線段長(zhǎng)度最短當(dāng)d時(shí)，線段(即弦)的最短長(zhǎng)度為22.將d代入可得m，代入直線l的方程得直線被圓C截得最短線段時(shí)l的方程為x3y50.(方法二)(1)證明：將直線l的方程變形有：m(2x8)y30，解得知直線l過(guò)定點(diǎn)A(4，3)又(43)2(36)225，A點(diǎn)在圓C內(nèi)部，因此直線l與圓C總相交(2)同方法一創(chuàng)新模擬·預(yù)測(cè)演練1A解析：直線yx2與圓(xa)2(yb)22相切圓心(a，b)到直線yx2的距離dr，即，|ab2|2.解得ab0或ab4，故選A.2B解析：由圓心在直線xy0上，不妨設(shè)為C(a，a)，r，解得a1，r，圓C的方程為(x1)2(y1)22.3C解析：可利用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行分析解決425.22解析：設(shè)所求圓的方程為(xa)2(yb)2r2，由題設(shè)可得解此方程組，得所以所求圓的方程為22.6解析：圓的半徑是2，圓心O(0,0)到l：4x3y120的距離d，所以圓x2y24上的點(diǎn)與直線l：4x3y120的距離的最小值是2.7解：(1)將圓的方程化簡(jiǎn)，得(x6)2y24.圓心Q(6,0)，半徑r2.直線l的方程為：ykx2，故圓心到直線l的距離d，因?yàn)橹本€l和圓相切，故dr，即2，解得k0或k，所以，直線l的方程為y2或3x4y80.(2)將直線l的方程和圓的方程聯(lián)立得消y得(1k2)x24(k3)x360，因?yàn)橹本€l和圓相交，故4(k3)24×36×(1k2)0，解得k0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有而y1y2kx12kx22k(x1x2)4，(x1x2，y1y2)，(6，2)因?yàn)榕c共線，所以2×(x1x2)6×(y1y2)，即(13k)(x1x2)120，代入得(13k)120，解得k.又因?yàn)閗0，所以沒(méi)有符合條件的常數(shù)k.