7.5第1課時 三角形內(nèi)角和定理

7.5三角形內(nèi)角和定理第1課時 三角形內(nèi)角和定理教學(xué)目標(biāo)【知識與技能】掌握“三角形內(nèi)角和定理”的證明及簡單的應(yīng)用.【過程與方法】通過一題多變,建立思考情境,形成獨立思考、合作交流的學(xué)習(xí)模式,培養(yǎng)理性說理能力.【情感態(tài)度價值觀】培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性,弘揚個性發(fā)展,體驗解決問題的成就感,使學(xué)生感悟邏輯推理的數(shù)學(xué)價值.教學(xué)重難點【教學(xué)重點】理解三角形內(nèi)角和定理及其簡單的應(yīng)用.【教學(xué)難點】 三角形內(nèi)角和定理的證明方法.課前準(zhǔn)備【教師準(zhǔn)備】教學(xué)導(dǎo)入圖片和例題圖片.【學(xué)生準(zhǔn)備】量角器、三角板等作圖工具.教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課導(dǎo)入一:師:我們知道,三角形內(nèi)角和等于多少度?生:(齊聲)三角形的內(nèi)角和是180°.師:你們還記得這個結(jié)論的探索過程嗎?請看試驗:將三角形紙片的三個角剪下,隨意將它們拼湊在一起.生:由試驗可知三角形的內(nèi)角和正好為一個平角.師:但觀察與試驗得到的結(jié)論,并不一定正確、可靠,這樣就需要通過數(shù)學(xué)證明.那么怎樣證明呢?這節(jié)課我們一起探究一下三角形內(nèi)角和定理的證明.(教師板書課題)設(shè)計意圖對比過去撕紙等探索過程,體會思維試驗和符號化的理性作用.將自己的操作轉(zhuǎn)化為符號語言對于學(xué)生來說還存在一定困難,因此需要一個臺階,使學(xué)生逐步過渡到嚴(yán)格的證明.導(dǎo)入二:課件出示三角形家族的“官司”風(fēng)波.故事導(dǎo)入:很久很久以前的一天,數(shù)學(xué)國際法庭來了三位告狀者,它們是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.“它們干什么來了?”“是來打官司的.”這不它們在法庭外剛一見面又爭吵起來:銳角三角形說:“我們銳角三角形的內(nèi)角和度數(shù)最大!”直角三角形說:“不對!是我們直角三角形的內(nèi)角和最大!”鈍角三角形說:“你們別吵了!還是我們鈍角三角形的內(nèi)角和最大!”問題1【課件1】如果你是法庭庭長,你認(rèn)為該怎樣對它們宣判?為什么?問題2【課件2】你們還記得小學(xué)是怎樣探索三角形內(nèi)角和的嗎?誰能給大家說一說或者展示一下嗎?問題3【課件3】小學(xué)的證明方法固然好,但是這些方法可靠嗎?現(xiàn)在有更加科學(xué)嚴(yán)密、更有說服力的證明方法嗎?處理方式學(xué)生觀察并讀出對話及問題.問題1學(xué)生能夠順利解決;問題2學(xué)生一次回答出全部答案會有困難,根據(jù)學(xué)生已有的知識經(jīng)驗,學(xué)生間互相補充能夠解決,學(xué)生邊說邊在講臺上演示測量法、折拼法、剪拼法(撕拼法).學(xué)生回答時語言可能不準(zhǔn)確,教師及時引導(dǎo)糾正.教師根據(jù)學(xué)生回答利用課件展示三種方法.對于問題3,學(xué)生通過思考、聯(lián)想前面所學(xué),應(yīng)該能夠解決.學(xué)生只要能夠回答出用推理的方法證明三角形內(nèi)角和即可,不要求作出具體回答.1.測量法.2.折拼法:3.剪拼法(撕拼法):設(shè)計意圖通過學(xué)生動手測量、折紙與剪紙等操作讓學(xué)生獲得直接經(jīng)驗,為下面探究推理證明提供直接經(jīng)驗.導(dǎo)入三:出示下面的投影片 工人師傅將凹型零件(圖(1)加工成斜面EC與槽底CD成55°角的燕尾槽(圖(2)的程序是:將垂直的銑刀傾斜偏轉(zhuǎn)35°角(圖(3),就能得到55°的燕尾槽底角.為什么銑刀偏轉(zhuǎn)35°角就能得到55°的燕尾槽底角呢?設(shè)計意圖通過問題的解答,再現(xiàn)所學(xué)知識,為新知識的接納做心理和知識上的準(zhǔn)備,引出新課內(nèi)容.2、 新知構(gòu)建(1).探索三角形內(nèi)角和定理過渡語我們已經(jīng)知道三角形內(nèi)角和等于180°,這個定理是怎樣證明的呢?思路一活動內(nèi)容1證明思路的探索分析.(多媒體出示)剪拼法圖示(動態(tài)):問題1【課件1】如圖所示,當(dāng)A移到1的位置時,殘邊CD和邊AB有何位置關(guān)系?為什么?問題2【課件2】在剪拼法中,通過移動角拼成了一個平角;如果不實際移動角,那么你還有其他方法可以達(dá)到同樣的效果嗎?處理方式教師先出示圖,學(xué)生讀題回答.對于問題1可讓學(xué)生到黑板前指圖回答,注意語言表達(dá)及學(xué)生指圖的準(zhǔn)確性,發(fā)現(xiàn)不當(dāng)處,及時強(qiáng)調(diào).問題2可以讓學(xué)生合作完成.如果有困惑,教師可作引導(dǎo).利用課件圖形,結(jié)合問題1引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逆向思考:“如果先移動角,那么可以得到平行線;反過來,如果我們先畫出平行線,會得到什么呢?”此時教師在空白ABC上規(guī)范作出射線CD,使CDAB,學(xué)生自然推出1=A.教師追問:“你還可以得到哪些角相等?說說理由.”學(xué)生得出2=B后,一個平角自然就擺放在學(xué)生眼前了,達(dá)到了移角的效果.此時教師順勢引出輔助線:為了證明的需要,在原來的圖形上添作的線叫做輔助線.(教師板書:輔助線)在平面幾何里,輔助線通常畫成虛線.設(shè)計意圖利用剪撕紙得來的直接經(jīng)驗和逆向思維的方式,引導(dǎo)學(xué)生初步感悟輔助線的來源和作用,提高學(xué)生分析問題的能力.活動內(nèi)容2說一說,寫一寫.問題1【課件1】你能用簡潔的語言完整地說一說分析思路嗎?問題2【課件2】你能用數(shù)學(xué)推理的方法證明它嗎?問題3【課件3】證明的關(guān)鍵是什么?說說你的想法.處理方式問題1小組交流后學(xué)生代表發(fā)言,展示交流成果.學(xué)生發(fā)言時,教師注意提示學(xué)生文字命題的證明步驟以及數(shù)學(xué)語言表達(dá)的規(guī)范性.對于問題2,教師引導(dǎo)學(xué)生再次明確輔助線的作法及其相關(guān)要求:(1)這里的CD稱為輔助線;(2)輔助線通常畫成虛線.師生合作,教師規(guī)范完成輔助線的添加后,余下的證明過程由一名學(xué)生在黑板上獨立完成,其余學(xué)生在練習(xí)本上寫出完整的證明過程.教師巡視,幫助、鼓勵困難學(xué)生解決問題.學(xué)生板演完成后師生共同評價,評價時重點強(qiáng)調(diào)輔助線的作法及證明過程的規(guī)范性.對于問題3,學(xué)生回答時,可能語言不準(zhǔn)確,教師及時引導(dǎo),讓學(xué)生自主感悟體會到證明的關(guān)鍵是添加輔助線,把三角形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成一個平角.【多媒體展示】已知:如圖所示,ABC. 求證:A+B+ACB=180°.證明:如圖所示,延長BC至D,過點C作射線CEAB,則1=A(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),2=B(兩直線平行,同位角相等).1+2+ACB=180°(平角的定義),A+B+ACB=180°(等量代換).師:命題“三角形的內(nèi)角和等于180°”經(jīng)過了我們嚴(yán)密地推理證明,它是真命題.此時我們可以理直氣壯地稱之為三角形內(nèi)角和定理.【課件展示】三角形內(nèi)角和定理:三角形的內(nèi)角和等于180°.設(shè)計意圖用平行線的性質(zhì)定理來推導(dǎo)出三角形內(nèi)角和定理,讓學(xué)生再次體會推理證明的嚴(yán)密性和數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn).同時讓學(xué)生初步理解添加輔助線的原因及添加輔助線的注意事項,培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和邏輯推理能力.思路二過渡語根據(jù)上面給出的基本事實和三角形內(nèi)角和定理,你能用自己的語言說一說這一結(jié)論的證明思路嗎?你能用較為簡潔的語言寫出這一證明過程嗎?與同伴交流.接下來同學(xué)們來證明:三角形的內(nèi)角和等于180°這個真命題.這是一個文字命題,證明時需要先干什么呢?生:需要先畫出圖形,根據(jù)命題的條件和結(jié)論,結(jié)合圖形寫出已知、求證.師:對,下面大家來證明,哪位同學(xué)上黑板給大家板演呢? 生1:已知:如圖所示,ABC. 求證:A+B+ACB=180°.證明:作BC的延長線CD,過點C作射線CEAB,則ACE=A(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),ECD=B(兩直線平行,同位角相等).ACB+ACE+ECD=180°(平角的定義),A+B+ACB=180°(等量代換).生2:老師,我的證明過程是這樣的:證明:作BC的延長線CD,作ECD=B,則ECAB(同位角相等,兩直線平行),A=ACE(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).ACB+ACE+ECD=180°(1平角=180°),ACB+A+B=180°(等量代換).師:同學(xué)們寫的證明過程都很好,在證明過程中,我們僅僅添畫了一條射線CE,使處于原三角形中不同位置的三個角,巧妙地拼“湊”到了一起.為了證明的需要,在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里,輔助線通常畫成虛線.我們通過推理的過程,得證了命題:三角形的內(nèi)角和等于180°是真命題,這時稱它為定理,即三角形內(nèi)角和定理.(2)、想一想,做一做【問題】你還能用其他方法證明三角形內(nèi)角和定理嗎?處理方式學(xué)生先嘗試獨立完成,教師巡視引導(dǎo).絕大多數(shù)學(xué)生會想到圖形(1)的方法.對于圖形(2),可能只有少數(shù)學(xué)生想到或者全體學(xué)生都想不到.當(dāng)只有少數(shù)學(xué)生想到時,教師指名學(xué)生說說方法和理由.如果全體學(xué)生都想不到,教師可以追問:“我們移動其中一塊,能否得到平行線呢?”并引導(dǎo)學(xué)生擺出圖形(2).結(jié)合圖形(2),學(xué)生會恍然大悟:應(yīng)該如何添加輔助線,進(jìn)而解決圖形(2)的證明過程.教師巡視時,有意識尋找證明過程正確規(guī)范的作業(yè),全班展示、評價. 【參考答案】證法1:過點A作DEBC. DEBC,1=B,2=C(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).1+2+3=180°(平角的定義),BAC+B+C=180°(等量代換).證法2:過點A作ADBC. ADBC,1=B(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),DAC+C=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補).又DAC=1+2,1+2+C=180°(等量代換),BAC+B+C=180°(等量代換).設(shè)計意圖通過學(xué)生獨立運用較簡單的方法證明三角形內(nèi)角和定理,感受體會“輔助線”的作法和作用,提高一題多解的能力,體會思維的多樣性和基本的轉(zhuǎn)化思想.(3)、議一議【問題】綜上所述,添加輔助線的目的是什么?你是怎樣理解輔助線的?處理方式教師先快速地展示三種輔助線的添加圖形,學(xué)生結(jié)合圖片先在小組內(nèi)討論交流,形成小組成果,然后全班交流、隨時互評.學(xué)生討論時,教師參與其中,傾聽學(xué)生的討論,引導(dǎo)學(xué)生從輔助線的作用、作法、要求去交流.學(xué)生通過觀察圖形得出:添加輔助線的目的是構(gòu)造180°的平角或同旁內(nèi)角.【課件展示】添加輔助線的目的:三角形內(nèi)角和平角、同旁內(nèi)角【教師總結(jié)】(1)輔助線通常畫成虛線;(2)輔助線要正確、規(guī)范地寫出作法,并標(biāo)明字母,便于書寫證明過程;(3)輔助線能把題目中可利用的隱藏條件顯露出來,化難為易.為便于學(xué)生掌握,總結(jié)四句話:小小輔助線,作時畫虛線,寫清其來源,隱藏條件見.設(shè)計意圖添加輔助線是教學(xué)中的一個難點,學(xué)生通過思考、討論、交流對輔助線的認(rèn)識,展示思維過程,然后在老師的引導(dǎo)下達(dá)成共識,進(jìn)一步加深了對輔助線的理解,易于突破教學(xué)難點,提高學(xué)生解決問題的能力.(4)、探究活動剛才同學(xué)們對輔助線掌握得很好.接下來,我將平角或同旁內(nèi)角的位置移動或者改造一下,使它再有一些難度,看誰還能攻克它?處理方式教師先出示圖(1),思考:怎樣添加輔助線?學(xué)生思考討論,由于圖形較直觀,學(xué)生能夠解決輔助線的添加問題;學(xué)生完成后教師出示圖(2);為便于學(xué)生敘述證明過程,教師再出示圖(3).學(xué)生根據(jù)圖(3)口述證明過程.學(xué)生在口述證明過程時,教師注意數(shù)學(xué)語言表達(dá)的規(guī)范性和推理證明的邏輯性.(1)(2) 設(shè)計意圖用多種方法證明三角形內(nèi)角和定理,培養(yǎng)一題多解的能力,同時提高學(xué)生添加輔助線的技能、技巧,提高解決問題的能力.(5)、典例解析,應(yīng)用新知活動內(nèi)容1通過剛才的學(xué)習(xí),同學(xué)們不僅知道了輔助線,而且利用它用多種方法證明了三角形內(nèi)角和定理,你們覺得學(xué)了這些知識,能解決哪些問題呢?【課件展示】如圖所示,在ABC中,B=38°,C=62°,AD是ABC的角平分線,求ADB的度數(shù). 處理方式學(xué)生先結(jié)合圖形讀題,指圖說出已知條件和要解決的問題,然后說說分析思路及求解過程,最后學(xué)生板演,師生共同評價.如果學(xué)生有困難,可以先在小組內(nèi)討論交流.在學(xué)生板演時,教師巡視指導(dǎo),幫助、鼓勵學(xué)困生完成任務(wù).集體評價時,教師強(qiáng)調(diào)證明過程的規(guī)范性和嚴(yán)謹(jǐn)性.解:在ABC中,B+C+BAC=180°(三角形內(nèi)角和定理).B=38°,C=62°(已知),BAC=180°-38°-62°=80°(等式的性質(zhì)).AD平分BAC(已知),BAD=CAD=12BAC=12×80°=40°(角平分線的定義).在ADB中,B+BAD+ADB=180°(三角形內(nèi)角和定理).B=38°(已知),BAD=40°(已證),ADB=180°-38°-40°=102°(等式的性質(zhì)).設(shè)計意圖學(xué)生通過三角形內(nèi)角和定理的簡單應(yīng)用,及時加深了對所學(xué)知識的理解,規(guī)范學(xué)生的證明過程,培養(yǎng)了學(xué)生良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣.三、課堂總結(jié)四、課堂練習(xí)1.三角形三個內(nèi)角的和等于. 答案:180°2.如下圖所示的是三角形內(nèi)角和定理的幾種證明方法,可分別記作法,法,法.  答案:拼湊作平行線折疊3. 如圖所示,AD是BAC的平分線,若ADC=110°,且DAC=C,求ABC的三個內(nèi)角的度數(shù). 解:ADC=110°,DAC=C,C=180°-110°2=35°,BAC=2DAC=2C=70°,B=180°-70°-35°=75°.4.在ABC中,ABC=135,求A,B,C的度數(shù).解:設(shè)A,B,C的度數(shù)分別為x,3x,5x,則x+3x+5x=180°,解得x=20°,A=20°,B=60°,C=100°.五、板書設(shè)計第1課時1.探索三角形內(nèi)角和定理2.想一想,做一做3.議一議4.探索活動5.典例解析,應(yīng)用新知六、布置作業(yè)【必做題】教材隨堂練習(xí)第2,3題.【選做題】教材習(xí)題7.6第5題.- 9 -