內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第2講　函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)

內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第2講函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)主干知識(shí)整合1函數(shù)的性質(zhì)(1)單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)，是函數(shù)中最常涉及的性質(zhì)，特別注意定義中的符號(hào)語(yǔ)言；(2)奇偶性：偶函數(shù)其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的定義域區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；奇函數(shù)其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的定義域區(qū)間上具有相同的單調(diào)性特別注意定義域含0的奇函數(shù)f(0)0；(3)周期性：f(xT)f(x)(T0)，則稱f(x)為周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期2對(duì)稱性與周期性的關(guān)系(1)若函數(shù)f(x)的圖象有兩條對(duì)稱軸xa，xb(ab)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，2|ba|是它的一個(gè)正周期，特別地若偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線xa(a0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)正周期；(2)若函數(shù)f(x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,0)，(b,0) (ab)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，2|ba|是它的一個(gè)正周期，特別，若奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)(a0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)正周期；(3)若函數(shù)f(x)的圖象有一條對(duì)稱軸xa和一個(gè)對(duì)稱中心(b,0)(ab)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，4|ba|是它的一個(gè)正周期，特別是若偶函數(shù)f(x)有對(duì)稱中心(a,0)(a0)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，4|a|是它的一個(gè)正周期，若奇函數(shù)f(x)有對(duì)稱軸xa(a0)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，4|a|是它的一個(gè)正周期3函數(shù)的圖象(1)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等初等函數(shù)的圖象的特點(diǎn)；(2)函數(shù)的圖象變換主要是平移變換、伸縮變換和對(duì)稱變換4指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)(注意根據(jù)圖象記憶性質(zhì))指數(shù)函數(shù)yax(a>0，a1)的圖象和性質(zhì)，分0<a<1，a>1兩種情況；對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，a1)的圖象和性質(zhì)，分0<a<1，a>1兩種情況；冪函數(shù)yx的圖象和性質(zhì)，分冪指數(shù)>0，0，<0三種情況要點(diǎn)熱點(diǎn)探究探究點(diǎn)一函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用例1 (1)2011·安徽卷 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x) 2x2x，則f(1)()A3 B1 C1 D3(2)設(shè)奇函數(shù)yf(x)(xR)，滿足對(duì)任意tR都有f(t)f(1t)，且x時(shí)，f(x)x2，則f(3)f的值等于_(1)A(2)【解析】 (1)法一：f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x0時(shí)，f(x) 2x2x，f(1)f(1)2×(1)2(1)3，故選A.法二：設(shè)x>0，則x<0，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x0時(shí)，f(x) 2x2x，f(x)2(x)2(x)2x2x，又f(x)f(x)，f(x)2x2x，f(1)2×1213，故選A.(2)根據(jù)對(duì)任意tR都有f(t)f(1t)可得f(t)f(1t)，即f(t1)f(t)，進(jìn)而得到f(t2)f(t1)f(t)f(t)，得函數(shù)yf(x)的一個(gè)周期為2，故f(3)f(1)f(01)f(0)0，ff.所以f(3)f的值是0.【點(diǎn)評(píng)】 函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱性，在解題中根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際通過(guò)變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題本題第(2)小題中，實(shí)際上就是用已知條件給出了這個(gè)函數(shù)，解決問(wèn)題的基本思路有兩條：一條是把這個(gè)函數(shù)在整個(gè)定義域上的解析式求出，然后再求解具體的函數(shù)值；一條是推證函數(shù)的性質(zhì)，把求解的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到已知函數(shù)解析式的區(qū)間上的函數(shù)值本題根據(jù)對(duì)任意tR都有f(t)f(1t)還可以推證函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，函數(shù)又是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，這樣就可以畫(huà)出這個(gè)函數(shù)在上的圖象，再根據(jù)周期性可以把這個(gè)函數(shù)的圖象拓展到整個(gè)定義域上，進(jìn)而通過(guò)函數(shù)的圖象解決求指定的函數(shù)值，研究這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)等問(wèn)題，在復(fù)習(xí)中要注意這種函數(shù)圖象的拓展變式題：設(shè)偶函數(shù)f(x)對(duì)任意xR，都有f(x3)，且當(dāng)x3，2時(shí)，f(x)4x，則f(107.5)()A10 B. C10 DB【解析】 根據(jù)f(x3)，可得f(x6)f(x)，所以函數(shù)yf(x)的一個(gè)周期為6.所以f(107.5)f(1080.5)f(0.5)f(0.5)f(2.53).例2 2011·安徽卷 函數(shù)f(x)axm(1x)n在區(qū)間0,1上的圖象如圖21所示，則m，n的值可能是()圖21Am1，n1 Bm1，n2Cm2，n1 Dm3，n1B【解析】 由圖可知a0.當(dāng)m1，n1時(shí)，f(x)ax(1x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，所以A不可能；當(dāng)m1，n2時(shí)，f(x)ax(1x)2a(x32x2x)，f(x)a(3x24x1)a(3x1)(x1)，所以f(x)的極大值點(diǎn)應(yīng)為x0.5，由圖可知B可能當(dāng)m2，n1時(shí)，f(x)ax2(1x)a(x2x3)，f(x)a(2x3x2)ax(3x2)，所以f(x)的極大值點(diǎn)為x0.5，所以C不可能；當(dāng)m3，n1時(shí)，f(x)ax3(1x)a(x3x4)，f(x)a(3x24x3)ax2(4x3)，所以f(x)的極大值點(diǎn)為x0.5，所以D不可能，故選B.【點(diǎn)評(píng)】 函數(shù)圖象分析類試題，主要就是推證函數(shù)的性質(zhì)，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)、特殊點(diǎn)的函數(shù)值以及圖象的實(shí)際作出判斷，這類試題在考查函數(shù)圖象的同時(shí)重點(diǎn)是考查探究函數(shù)性質(zhì)、用函數(shù)性質(zhì)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)函數(shù)圖象作出分析判斷類的試題，已經(jīng)逐漸成為高考的一個(gè)命題熱點(diǎn)，看下面的變式變式題：2011·山東卷 函數(shù)y2sinx的圖象大致是()圖22C【解析】 由f(x)f(x)知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以排除A；又f(x)2cosx，當(dāng)x在x軸右側(cè)，趨向0時(shí)，f(x)<0，所以函數(shù)f(x)在x軸右邊接近原點(diǎn)處為減函數(shù)，當(dāng)x2時(shí)，f(2)2cos2<0，所以x2應(yīng)在函數(shù)的減區(qū)間上，所以選C.探究點(diǎn)三基本初等函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用例3 2011·遼寧卷 設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(x)2的x的取值范圍是()A1,2 B0,2 C1，) D0，)D【解析】 當(dāng)x1時(shí)，f(x)2化為21x2，解得0x1；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)1log2x<1<2恒成立，故x的取值范圍是0，)，故選D.【點(diǎn)評(píng)】 本題要注意在分段函數(shù)上分段處理的方法，另外就是要注意在解對(duì)數(shù)方程或者不等式時(shí)一定要注意其真數(shù)大于零的隱含條件高考對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)的考查主要是應(yīng)用，應(yīng)用這些函數(shù)的性質(zhì)分析函數(shù)圖象、解不等式、比較數(shù)值的大小等，如下面的變式變式題：2011·天津卷 已知a5log23.4，b5log43.6，clog30.3，則()Aa>b>c Bb>a>c Ca>c>b Dc>a>bC【解析】 令mlog23.4，nlog43.6，llog3，在同一坐標(biāo)系下作出三個(gè)函數(shù)的圖象，由圖象可得m>l>n，又y5x為單調(diào)遞增函數(shù)，a>c>b.創(chuàng)新鏈接2抽象函數(shù)解題思路所謂抽象函數(shù)問(wèn)題就是不給出函數(shù)的解析式，只給出函數(shù)滿足的一些條件的函數(shù)問(wèn)題，這類問(wèn)題的主要題型是推斷函數(shù)的其他性質(zhì)、研究特殊的函數(shù)值、解與函數(shù)的解析式有關(guān)的不等式等抽象函數(shù)問(wèn)題的難點(diǎn)就是沒(méi)有給出函數(shù)的解析式，需要我們根據(jù)函數(shù)滿足的一些已知條件推斷函數(shù)的性質(zhì)，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題，可以說(shuō)推斷函數(shù)性質(zhì)是我們解決抽象函數(shù)問(wèn)題的一個(gè)基本思想如果是選擇題或者填空題可以找到滿足已知條件的具體函數(shù)，通過(guò)具體函數(shù)解決一般性問(wèn)題例4 定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x)且f(x)在1,0上是增函數(shù)，給出下列四個(gè)命題：f(x)是周期函數(shù)；f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱；f(x)在1,2上是減函數(shù)；f(2)f(0)其中正確命題的序號(hào)是_(請(qǐng)把正確命題的序號(hào)全部寫(xiě)出來(lái))【分析】根據(jù)給出的函數(shù)值的等式，f(x1)f(x)，把其中的x替換成x1后，再次使用上面關(guān)系可得f(x2)f(x)，再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)可得f(x2)f(x)，即可得函數(shù)圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象還關(guān)于y軸對(duì)稱，即可根據(jù)函數(shù)在已知區(qū)間上的單調(diào)性推斷該函數(shù)在未知區(qū)間上的單調(diào)性【答案】 【解析】 由f(x1)f(x)f(x2)f(x1)f(x)，故函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，命題正確；由于函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，故f(x2)f(x)，函數(shù)圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，故命題正確；由于函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間0,1上遞減，根據(jù)對(duì)稱性，函數(shù)在1,2上應(yīng)該是增函數(shù)(也可根據(jù)周期性判斷)，故命題不正確；根據(jù)周期性，f(2)f(0)，命題正確【點(diǎn)評(píng)】 解這類抽象函數(shù)試題，關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)值等式的變換，通過(guò)變換首先得到其周期性，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各個(gè)結(jié)論作出判斷本題中關(guān)系式f(x1)f(x)，可以變換為f(x1)f(x)，這個(gè)等式說(shuō)明函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱變式題：(1)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x4)，當(dāng)x>2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，如果x1x2<4且(x12)(x22)<0，則f(x1)f(x2)的值()A恒小于0 B恒大于0C可能為0 D可正可負(fù)(2)2011·遼寧卷 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(1)2，對(duì)任意xR，f(x)2，則f(x)2x4的解集為()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)(1)A(2)B【解析】 (1)根據(jù)不等式(x12)(x22)<0，可得x1，x2的值一個(gè)大于2、一個(gè)小于2.由題意知x1，x2地位是對(duì)等的，不妨設(shè)x1<2，x2>2，當(dāng)x1<2，x2>2，x1x2<4時(shí)，可得2<x2<4x1.又x>2時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(x2)<f(4x1)f(x1)，即f(x1)f(x2)<0.(2)設(shè)G(x)f(x)2x4，所以G(x)f(x)2，由于對(duì)任意xR，f(x)>2，所以G(x)f(x)2>0恒成立，所以G(x)f(x)2x4是R上的增函數(shù)，又由于G(1)f(1)2×(1)40，所以G(x)f(x)2x4>0，即f(x)>2x4的解集為(1，)，故選B.規(guī)律技巧提煉1(1)已知函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x有f(xa)f(x)(a0)，則可得f(x2a)f(xa)f(x)，即可推知2a是這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期；(2)已知函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x都有f(xa)，f(xa)(a0)，同樣可推知2a為其周期；(3)已知函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x，都有f(xa)(a0，f(x)1)，則采用f(x2a)，f(x4a)進(jìn)行推理可得其一個(gè)周期是4a.2如果函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x都有f(ax)f(bx)，則這個(gè)函數(shù)圖象本身是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，關(guān)于直線x對(duì)稱，反之亦然；如果函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x都有f(ax)f(bx)，則這個(gè)函數(shù)圖象本身是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是，反之亦然注意這個(gè)結(jié)論中ba的情況3由偶函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa(a0)對(duì)稱可得函數(shù)解析式滿足f(ax)f(ax)，進(jìn)而f(2ax)f(x)f(x)，即可得到函數(shù)yf(x)的一個(gè)周期是2a；當(dāng)奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)(a0)對(duì)稱時(shí)，可得f(ax)f(ax)，以xa代x得，f(2ax)f(x)f(x)，也可推出2a是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期教師備用例題備選理由：例1是考查以映射的觀點(diǎn)看待函數(shù)以及函數(shù)的三要素，鑒于這個(gè)問(wèn)題不是高考考查的重點(diǎn)，我們?cè)谡闹袥](méi)有列入這個(gè)探究點(diǎn)，可用此題補(bǔ)充這個(gè)知識(shí)點(diǎn)；例2雖然是2009的高考試題，可這個(gè)題目是高考考查抽象和函數(shù)性質(zhì)中較為深入的一個(gè)試題，試題具有較大的難度，其解法體現(xiàn)了解決一類抽象函數(shù)問(wèn)題的基本方法；例3的目的是考查使用函數(shù)性質(zhì)的思想意識(shí)，就是透過(guò)具體的函數(shù)解析式發(fā)現(xiàn)和使用函數(shù)性質(zhì)，這種意識(shí)也要注意培養(yǎng)；例4，試圖通過(guò)這個(gè)題提供一個(gè)解決區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)的一般方法例1給定kN*，設(shè)函數(shù)f：N*N*滿足：對(duì)于任意大于k的正整數(shù)n，f(n)nk.(1)設(shè)k1，則其中一個(gè)函數(shù)f在n1處的函數(shù)值為_(kāi)；(2)設(shè)k4，且當(dāng)n4時(shí)，2f(n)3，則不同的函數(shù)f的個(gè)數(shù)為_(kāi)【答案】 a(a為正整數(shù))16【解析】 由于函數(shù)f(n)在n>1時(shí)的解析式是f(n)n1，根據(jù)給出的函數(shù)值必須是正整數(shù)，可得只要f(1)的值為正整數(shù)即可，即此時(shí)函數(shù)f(n)當(dāng)k4時(shí)，函數(shù)在n>4時(shí)的解析式是f(n)n4，在n1,2,3,4時(shí)，由于函數(shù)值滿足f(n)2,3，故f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的取值各自有兩種可能，因此這個(gè)函數(shù)在n4時(shí)，f(1)，f(2)，f(3)，f(4)取值的可能性有16種，所以有16個(gè)這樣不同的函數(shù)【點(diǎn)評(píng)】 本題考查函數(shù)概念的理解，即在函數(shù)定義域確定的情況下，函數(shù)的值域可以不同，從而得到的函數(shù)也不相同，本題的目的是考查考生對(duì)函數(shù)三要素的理解程度例2函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x1)與f(x1)都是奇函數(shù)，則()Af(x)是偶函數(shù) Bf(x)是奇函數(shù)Cf(x)f(x2) Df(x3)是奇函數(shù)【解析】 D由已知條件知f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)由f(x1)f(x1)f(x2)f(x)；由f(x1)f(x1)f(x2)f(x)由此得到f(x2)f(x2)，即f(x2)f(x2)，由此可得f(x4)f(x)，即函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)這樣f(x3)f(x1)，故函數(shù)f(x3)是奇函數(shù)例3設(shè)f(x)x3x，xR，當(dāng)0時(shí)，f(msin)f(1m)>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(0,1) B(，0) C. D(，1)【解析】 D根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，不等式f(msin)f(1m)>0，即f(msin)>f(m1)，得msin>m1在上恒成立當(dāng)m>0時(shí)，即sin>恒成立，只要0>即可，解得0<m<1；當(dāng)m0時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)m<0時(shí)，只要sin<，即1<，只要>0即可，解得m<0.綜上可知：m<1.例42011·北京卷 設(shè)A(0,0)，B(4,0)，C(t4,4)，D(t,4)(tR)記N(t)為平行四邊形ABCD內(nèi)部(不含邊界)的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則函數(shù)N(t)的值域?yàn)?)A9,10,11 B9,10,12C9,11,12 D10,11,12【解析】 C顯然四邊形ABCD內(nèi)部(不包括邊界)的整點(diǎn)都在直線yk(k1,2,3)落在四邊形ABCD內(nèi)部的線段上，由于這樣的線段長(zhǎng)等于4，所以每條線段上的整點(diǎn)有3個(gè)或4個(gè)，所以93×3N(t)3×412.如圖(1)，圖(2)，當(dāng)四邊形ABCD的邊AD上有5個(gè)整點(diǎn)時(shí)，N(t)9；如圖(3)，當(dāng)四邊形ABCD的邊AD上有2個(gè)整點(diǎn)時(shí)，N(t)11；如圖(4)，當(dāng)四邊形ABCD的邊AD上有1個(gè)整點(diǎn)時(shí)，N(t)12.故應(yīng)選C.